a home base to eellene Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 0 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan -
a home base to eellene TIU : Mahasiswa dapat memahami it ungsi TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan it ungsi Mahasiswa mampu menghitung it pada tak berhingga dan it tak hingga Mahasiswa mampu menjelaskan arti ungsi kontinu Mahasiswa mampu menentukan kekontinuan ungsi
a home base to eellene Sub Pokok Bahasan : Pendahuluan Limit Teorema Limit Limit Pada Tak Hingga Limit Tak Hingga Kekontinuan Fungsi
Limit Fungsi Tinjau ungsi yang ditentukan oleh : 3 Fungsi tidak terdeinisi pada = Tapi apa yang terjadi jika dibuat mendekati? L berarti bahwa bilamana dekat tetapi tidak sama dengan, maka dekat ke L
Limit Fungsi Contoh-ontoh : tentukan nilai it berikut 4 5 3 3 3 Deinisi ormal it : 6 L, berarti bahwa untuk tiap e > 0 betapapun keilnya, terdapat d > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga L < e, asalkan bahwa 0 < < d, atau dikatakan : ukup dekat dengan 0 < < d L < e e & d adalah bilangan positi keil berbeda dari L sebesar lebih keil dari e
Limit Fungsi Untuk setiap e > 0 Terdapat d > sedeikia sehigga < < d L < e
Limit Fungsi Contoh-ontoh : buktikan dengan Teorema Limit 3 7 5 4 3 5
Limit Kiri dan Limit Kanan L berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kanan, maka dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa L, berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kiri, maka adalah dekat ke L. Teorema Dalam hal ini tapi dapat dituliskan : tidak ada, L jika dan hanya jika L dan L
Conept Review :. L, berarti bahwa ejadi dekat ke.. ilaaa menjadi ukup dekat ke tetapi tidak saa dega... L, berarti bahwa ejadi dekat ke.. ilaaa mendekati dari.. 3. Jika L da L, aka... 4. Ketaksaaa L < e, setara dega < < 5. Makna yang tepat dari L adalah : Diberikan sembarang a bilangan positi e, terdapat suatu bilangan positi d yang berpadanan sedeikia rupa sehigga.. egiplikasika.. 6. Agar yaki ahwa 3 3 < e, kita seharusnya mensyaratkan bahwa < Latihan Soal Problem Set. No. 8 Problem Set. No. -
Teorema Utama Limit Andaikan n adalah bilangan bulat positi, k adalah konstanta, dan dan g adalah ungsi-ungsi yang mempunyai it di, maka : n n n n g g g g g g g g k k k k 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. ;. Contoh-Contoh : arilah nilai itnya 4 3 3 4 9 4
Teorema Substitusi Contoh : hitung nilai itnya 6 0 3. 8 6 3 6 3 0 7. 4 5 t t t t t Jika suatu ungsi polinom atau ungsi rasional, maka Asalkan terdeinisi. Dalam kasus ungsi rasional nilai penyebut di tidak nol Fungsi polinom, mempunyai bentuk : = a n n + a n- n- + + a + a 0 Fungsi rasional adalah hasil bagi dua ungsi polinom 0 0...... b b b b a a a a m m m m n n n n
Limit Fungsi Trigonometri.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. sin t sin ; ost tan t t ot t t set t st t ot s sin t t0 t ost t0 t os tan ; se; 0 Contoh-Contoh : arilah nilai itnya t ost t t0 sin 3 0 ost t0 sin t sin 4 0 tan Problem Set.3 No. 4 Problem Set.4 No. 4
Limit Pada Tak Berhingga Limit Misalkan dideinisikan pada [, untuk beberapa bilangan. Kita mengatakan bahwa L, jika untuk setiap e > 0 terdapat bilangan yang berkaitan M sedemikian sehingga > M L < e
Limit Pada Tak Berhingga Limit Misalkan dideinisikan pada, ] untuk beberapa bilangan. Kita mengatakan bahwa L, jika untuk setiap e > 0 terdapat bilangan yang berkaitan M sedemikian sehingga < M L < e k 0 k 0?? 3 3??
Limit Tak Berhingga Tinjau graik = /. Contoh-Contoh : arilah nilai itnya 5 6 rupa sehingga, jika untuk setiap bilangan positi M terdapat sebuah d > 0 sedemikian : 0 < < d > M Problem Set.5 No. 3 ; Tugas No : 7, 9,, 3, 5
Kekontinuan Fungsi Apabila terdeinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung, maka kita menyatakan bahwa kontinu di jika Dengan kata lain, suatu ungsi kontinu apabila terpenuhi 3 hal berikut ini : o ada o ada yakni berada dalam domain o dan tidak ada ada
Kekontinuan Fungsi Contoh : Andaikan = 4/,. Bagaimana seharusnya dideinisikan di = agar kontinu di titik itu?
Kekontinuan Fungsi Teorema A Kekontinuan Fungsi Polinomial dan Rasional Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real dalam domainnya, keuali pada titik yang membuat penyebut menjadi nol Teorema B Kekontinuan Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-n Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real. Jika n ganjil, ungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real ; jika n genap, ungsi ini kontinu di setiap bilangan real positi.
Kekontinuan Fungsi Teorema C Jika dan g kontinu, maka demikian pula halnya dengan k, +g, g, g, /g asalkan g 0, n dan n asalkan > 0 jika n genap Contoh : Pada bilangan-bilangan berapa saja F berikut kontinu F 3 3 Teorema D Fungsi sinus dan osinus adalah kontinu di setiap bilangan real. Fungsi tan, ot, se, dan s kontinu di setiap bilangan real dalam domainnya
Kekontinuan Fungsi Teorema E Teorema Limit Komposisi Jika g L, dan jika kontinu di L, maka L g g Khususnya jika g kontinu di g, maka ungsi komposisi g kontinu di. Contoh : Perlihatkan bahwa h = 3 + 6 kotiu di setiap bilangan real Perlihatkan bahwa g kontinu keuali di 3 dan g 4 3 sin 6
Kekontinuan Fungsi Kekontinuan Pada Interval Fungsi adalah kontinu dari kanan di a, jika jika b b a a, dan kontinu dari kiri di b Kita katakan kontinu pada suatu interval terbuka jika kontinu pada tiap titik di interval itu. Fungsi kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kontinu pada a,b dan kontinu dari kanan di a serta kontinu dari kiri di b Contoh : Dengan menggunakan deinisi di atas, uraikan siat kekontinuan dari ungsi dari graik berikut.
Kekontinuan Fungsi Teorema F Teorema Nilai Antara Jika kontinu pada [a,b] dan jika W sebuah bilangan antara a dan b, maka terdapat sebuah bilangan di antara a dan b sedemikian sehingga = W Problem Set.6 No. - 5 Tak kontinu, siat nilai antara tidak berlaku Tak kontinu, meskipun siat nilai antara berlaku