matematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

Transkripsi

1 Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata.. Dapat menjelaskan arti it fungsi di suatu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut.. Dapat menggunakan teorema-teorema dalam perhitungan it fungsi aljabar.. Dapat memahami it fungsi tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 5. Dapat mengaplikasikan konsep it dalam kehidupan sehari-hari. A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Ibu rutin berbelanja bahan pokok setiap minggu di supermarket. Bahan pokok yang dibeli selalu sama, baik macam maupun banyaknya. Sulit ditentukan dengan pasti dana yang dibutuhkan karena harga bahan pokok yang tidak stabil. Untuk itu, ibu menyiapkan uang Rp5., untuk pembelian bahan pokok dan uang cadangan untuk berjagajaga. Kenyataannya, jumlah uang yang dihabiskan ibu tidak pernah persis Rp5.,. Jumlahnya bisa lebih atau juga kurang. Jika lebih dari target, ibu terpaksa menambahkan pembayarannya dengan uang cadangan. Uang yang dihabiskan ibu untuk berbelanja bahan pokok dalam 6 minggu adalah Rp99.9,, Rp5.5,, Rp5.5,, Rp99.5,, Rp5.1,, dan Rp99.95,. Jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, akan diperoleh tabel seperti berikut.

2 Dalam rupiah target Jika dimisalkan sebagai uang belanja ibu per minggu, nilai < 5. merupakan bilangan yang mendekati 5. dari kiri (ditulis: 5. ) dan > 5. merupakan bilangan yang mendekati 5. dari kanan (ditulis: 5. + ). Secara umum, bilangan-bilangan itu disebut mendekati 5. atau 5. atau nilai hampiran terhadap 5.. Nilai hampiran suatu variabel terhadap suatu bilangan real tertentu disebut dengan it yang dinotasikan sebagai berikut. f L atau f L untuk c dengan Lc, R c (dibaca: it fungsi f() untuk mendekati c sama dengan L). Nilai f() dapat dibuat sedekat mungkin dengan L jika nilai yang diambil dekat dengan c, untuk c. Suatu it fungsi dikatakan ada (terdefinisi) jika nilai it kiri dan kanan untuk mendekati c sama. Secara Matematis, dapat dituliskan sebagai berikut. f L jika danhanya jika f f L + Keterangan: f f c + ( ) disebut it kiri; dan ( ) disebut it kanan. Contoh Soal 1 Buktikan bahwa ada! Misalkan f( ).

3 Fungsi f() merupakan fungsi rasional. Oleh karena itu, daerah asalnya adalah semua є R dengan syarat penyebutnya tidak, atau dapat dituliskan sebagai berikut. { R, } Ini berarti, f() tidak terdefinisi untuk. Meskipun demikian, pembuktiannya masih dapat diselesaikan. Hal ini dikarenakan pada it fungsi, nilai yang digunakan adalah yang mendekati, bukan nilai itu sendiri. Dengan mensubstitusikan nilai < (it kiri) dan > (it kanan) ke f (), diperoleh: < (it kiri) > (it kanan) 1,5 1,9 1,99 1, ,1,1,1,5 f (),5,9,99,999...?...,1,1,1,5 Dari tabel tersebut, diketahui bahwa jika bergerak semakin dekat dengan, baik dari kiri maupun dari kanan, f () akan bergerak semakin dekat dengan. Ini berarti: it kirinya adalah it kanannya adalah + Dengan demikian, diperoleh: + Jadi, terbukti bahwa ada. Contoh Soal Diketahui: 1, < f( ), <, Berdasarkan fungsi tersebut, apakah f dan f ada?

4 Mula-mula, tentukan it kiri dan kanannya. Untuk f : f( ) ( 1) 1 f + + Oleh karena it kiri dan kanannya tidak sama, maka f ( ) tidak ada. Untuk f : f 1 f( ) ( ) Oleh karena it kiri dan kanannya sama, maka f B. Teorema Limit Jika f dan g ada, k sembarang konstanta real, serta n bilangan bulat positif, berlaku: 1. k k c. c c. k f k f ± ±. f g f g 5. f g f g f( ) f( ) 6., g g( ) dengan g( ) 7. n n c c 8. f f n n ( ) n n 9. c, dengan c untuk n genap ada. 1. n f n f, dengan f untuk n genap ( ) ( )

5 Contoh Soal Tentukan nilai dari + 1! 1 Dengan menggunakan teorema it, diperoleh: Teorema Teorema Teorema dan Teorema 7 dan () ()+ 9 Jadi, Contoh Soal + ( ) 8f g Jika f( ) dan g( ), tentukan nilai dari f( ). g( ) Dengan menggunakan teorema it, diperoleh: f( )+ ( g( ) ) 8 8f( )+ ( g( ) ) f( ) g( ) Teorema 6 ( f( ) g( ) ) 8 + ( ) f g f g ( ) 8 f( )+ g f g + 8 f g f g Teorema Teorema 5 Teorema Teorema 8. 5

6 + ( ) ( ) 8 ( ) f g Jadi,. f( ) g( ) 1 C. Limit Fungsi f () untuk c, c є R 1. Substitusi Langsung Bentuk umum substitusi langsung pada it aljabar adalah sebagai berikut. a. f ( ) f ( c ) c f( ) f c b. g( ) g( c) Cara ini wajib dicoba terlebih dahulu dalam perhitungan it fungsi. Nilai suatu it hasil substitusi langsung dapat berupa bentuk tertentu (nilai yang diperbolehkan, yaitu suatu bilangan real,, dan ) atau bentuk tak tentu.. Cara Alternatif Cara alternatif digunakan jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu seperti,,. Bentuk tak tentu yang sering muncul pada it fungsi f() untuk c, c R adalah. Ada cara alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan nilai it fungsi f () untuk c, yaitu sebagai berikut. a. Memfaktorkan f( ) c u u c Bentuk umum: g( ) ( ) ( c) v( ) v( c) Keterangan: u (c), v (c) ; ( c) u () merupakan faktor dari f (); dan ( c) v () merupakan faktor dari g(). 6

7 b. Mengalikan dengan Akar Sekawan f Cara ini digunakan untuk menyelesaikan g atau keduanya memuat bentuk akar. dengan pembilang, penyebut, c. Dalil L Hopital f( ) f Bentuk umum: c g c g Cara ini baru dapat digunakan saat kamu telah mempelajari materi turunan fungsi aljabar. Contoh Soal 5 Tentukan nilai dari 5+. Dengan cara substitusi langsung, diperoleh: ( 5+ ) 5+ Jadi, ( 5+ ). Contoh Soal 6 18 Tentukan nilai dari. Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka gunakan cara alternatif, yaitu memfaktorkan. 7

8 Dengan memfaktorkan, diperoleh: ( + ) 18 ( ) ( + 1) ( + ) ( + 1) 1 Jadi, nilai dari 18. Contoh Soal 7 Tentukan nilai dari. Berdasarkan definisi it, diperoleh: Jadi, Contoh Soal 8 Tentukan nilai dari 8. Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka gunakan cara alternatif, yaitu memfaktorkan. + + ( + ) 8 8 Jadi,. 1 8

9 Contoh Soal 9 Tentukan nilai dari Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka gunakan cara alternatif. Cara alternatif yang dapat digunakan adalah mengalikan dengan akar sekawan l im ( ( + ) ) ( ) Jadi, nilai dari. + 8 D. Limit Fungsi f() Mendekati Tak Hingga Notasi (dibaca: tak hingga) melambangkan nilai bilangan yang semakin besar. Lambang ini bukan merupakan suatu bilangan, sehingga tidak dapat dilakukan operasi aljabar terhadapnya. Ini berarti, dan 1. Limit fungsi f() dengan mendekati tak hingga dinotasikan dengan f ( ). Untuk memahami pengertian it fungsi mendekati tak hingga, perhatikan grafik fungsi f( ) 1 berikut ini. 9

10 Y f( ) 1 X Berdasarkan grafik tersebut, terlihat bahwa semakin besar nilai, kurva f( ) semakin dekat dengan sumbu X (y f (). Hal ini diperkuat dengan tabel hubungan antara dan f( ) berikut f( ) 1,5,,1,1,1... Dari grafik dan tabel tersebut, diperoleh kesimpulan bahwa untuk, nilai f( ) semakin kecil mendekati nol. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai berikut. 1 Bentuk ini merupakan dasar perhitungan it fungsi f() dengan mendekati tak hingga. Agar lebih mudah menyelesaikan persoalan it fungsi mendekati tak hingga, gunakan sifat-sifat berikut. Sifat-Sifat Limit Fungsi f() Mendekati Tak Hingga Jika n bilangan bulat positif dan k R, berlaku: k 1. n. k n Sama halnya dengan it fungsi f() untuk c, ada cara dalam menyelesaikan it fungsi mendekati tak hingga, yaitu dengan substitusi langsung dan cara alternatif. 1

11 1. Substitusi Langsung Limit fungsi untuk biasanya memiliki bentuk berikut. f a a. g b m n b. f g m 1 a... n 1 dengan m dan n bilangan bulat positif + b +... f Substitusi nilai ke dan f g g berturut-turut akan menghasilkan bentuk tak tentu dan. Untuk mengubah hasilnya menjadi bentuk tertentu, dapat digunakan cara alternatif.. Cara Alternatif Ada cara alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan nilai it fungsi f () untuk, yaitu membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan akar sekawan. a. Membagi dengan Pangkat Tertinggi Cara ini digunakan untuk menyelesaikan bentuk it berikut ini. m m 1 f a a... n n g b + b Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. 1) Menentukan variabel dengan pangkat tertinggi pada f(). ) Menentukan variabel dengan pangkat tertinggi pada g(). ) Membandingkan variabel dengan pangkat tertinggi dari f() dan g() untuk menentukan pangkat tertinggi secara keseluruhan. ) Membagi setiap suku dengan variabel yang mempunyai pangkat tertinggi tersebut. Contoh Soal 1 Tentukan nilai dari Variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang:. Variabel dengan pangkat tertinggi pada penyebut:. Secara keseluruhan, variabel dengan pangkat tertinggi:. 11

12 Dengan demikian, diperoleh: Jadi,. + Contoh Soal Tentukan nilai dari Variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang: 5. Variabel dengan pangkat tertinggi pada penyebut:. Secara keseluruhan, variabel dengan pangkat tertinggi: 5. Dengan demikian, diperoleh:

13 Jadi, Contoh Soal 1 Tentukan nilai dari ( ) Mula-mula, sederhanakan bentuk pangkatnya ( ) Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang sama dengan penyebut, yaitu 16. Selanjutnya, bagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan 16 sehingga diperoleh: Jadi, ( )

14 a b SUPER, Solusi Quipper m> n, dengan a >, hasil m> n, dengan a <, hasil m 1 + a +... n 1 a + b +... m n, hasil b m< n, hasil m 1 n 1 Sekarang, mari selesaikan contoh soal 1, 11, 1 dengan SUPER "Solusi Quipper". Penyelesaian contoh soal 1 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari 15 6, diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m dan pangkat + tertinggi penyebut, n Oleh karena m < n, maka. + Penyelesaian contoh soal 11 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m 5 dan pangkat tertinggi penyebut, n. Oleh karena m > n dengan koefisien pangkat tertinggi pada pembilang bernilai positif, maka Penyelesaian contoh soal 1 dengan SUPER "Solusi Quipper" ( ) Dari, diperoleh pangkat 16 5( ) tertinggi pembilang, m 16 dan pangkat tertinggi penyebut, n Oleh karena m n, maka 15 5( )

15 Contoh Soal 1 Tentukan nilai dari Soal ini dapat diselesaikan dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari dan pangkat tertinggi penyebut, n 1. Oleh karena m n, maka: Jadi, , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m 1 (karena ) b. Mengalikan dengan Akar Sekawan Langkah-langkah menyelesaikan it fungsi berbentuk f g sebagai berikut. adalah 1.) Mengalikan fungsi f( ) g( ) dengan bilangan 1 dalam bentuk akar sekawannya, yaitu f g + + f g f g + + f g f g. Dengan demikian, diperoleh: f g f g +.) Sederhanakan fungsi yang terbentuk dari langkah 1..) Bagi setiap suku dari fungsi pada langkah dengan variabel berpangkat tertinggi. Contoh Soal 1 Tentukan nilai dari ( )

16 Dengan menggunakan akar sekawannya, diperoleh: ( ) ( ) Jadi, nilai dari ( ) l im ( Bagi pembilang dan penyebut dengan atau ) l im Contoh Soal 15 Nilai dari ( + ( 5) )... (UN 16) A. 6 B. C. 1 D. E. 6 Jawaban: E Mula-mula, ubah bentuk ( 5) ke dalam bentuk akar. ( 5) ( 5) + 5 Misalkan ( ) + 5 p 16

17 Tentukan nilai it fungsinya menggunakan perkalian akar sekawan seperti berikut. p ( ) ( Bagi pembilang dan penyebut dengan atau ) Jadi, nilai dari ( + ( 5 )) 6. SUPER, Solusi Quipper a> d, hasil b e a + b + c d + e+ f a d, hasil a a< d, hasil Sekarang, mari selesaikan contoh soal 1 dan 15 dengan SUPER "Solusi Quipper". Penyelesaian contoh soal 1 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari , diperoleh a 1, b, d 1, dan e 8. Oleh karena a d, maka: b e a 1 17

18 Penyelesaian contoh soal 15 dengan SUPER "Solusi Quipper". Dari + 5 5, diperoleh ( ) + + a, b, d, dan e. Oleh karena a d, maka: ( + + ) 5 6 E. Aplikasi Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari Pada umumnya, aplikasi it fungsi disajikan dalam bentuk soal cerita terkait disiplin ilmu lain seperti Fisika, Biologi, Ekonomi, Kimia, dan sebagainya. Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita tekait dengan it fungsi adalah sebagai berikut. 1. Tentukan nilai yang didekati oleh untuk melengkapi notasi it fungsinya.. Selesaikan it fungsi yang diperoleh dengan cara substitusi langsung terlebih dahulu.. Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, gunakan cara alternatif yang sesuai dengan bentuk fungsinya. Contoh Soal 16 Populasi kijang di suatu hutan lindung sangat memengaruhi populasi predatornya, seperti harimau dan ular. Hubungan antara populasi kijang dan predatornya dinyatakan dengan. fungsi y, y populasi predator dan populasi kijang. 8+ Jika populasi kijang meningkat tanpa batas, tentukan jumlah populasi predatornya. Oleh karena populasi kijang () meningkat tanpa batas, maka. Dengan cara membagi dengan pangkat tertinggi untuk it fungsi mendekati tak hingga, populasi predator dapat ditentukan sebagai berikut.. y Jadi, populasi predatornya adalah. ekor. 18