Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN

Transkripsi

1 FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday 7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya 7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya

2 7.1 Fungsi Logaritma Asli Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk memenuhi tempat kosong yang ada di atas. Definisi Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh, didefinisikan sebagai Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif. Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah, yaitu turunan suatu fungsi logaritma asli Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika dan jika terdiferensialkan, maka Contoh : Tentukan. Penyelesaian : Andaikan

3 Karena maka Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat :, dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu Contoh : Tentukan Penyelesaian : Sifat-sifat Logaritma Asli Teorema Logaritma Asli Jika dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka i. ii. iii. iv. Grafik Logaritma Asli Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di setengah bidang kanan. Karena, maka. Ini menunjukkan bahwa fungsi selalu naik. Dan untuk ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti berikut.

4 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya Teorema Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan. Fungsi monoton Misalkan terdefinisi pada suatu himpunan. Untuk semua, fungsi dikatakan: monoton naik, jika maka monoton turun, jika untuk maka monoton tak naik, jika untuk maka monoton tak turun, jika untuk maka monoton datar, jika untuk maka Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika maka Monoton turun jika maka Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu. Bukti teorema Kita ambil Jika monoton murni maka satu-satu dan onto

5 Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. Bukti untuk satu-satu. Diketahui monoton naik Dengan kata lain : Terbukti satu-satu. Bukti untuk onto Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya. Onto artinya, yang ekuivalen dengan dan Untuk sudah sangat jelas. Sekarang akan dibuktikan untuk Andaikan Maka Untuk Maka Menurut teorema apit maka haruslah Kontradiksi bahwa Jadi, adalah Onto. Contoh : Perlihatkan bahwa memiliki balikan. Untuk. Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu Dimana nilai selalu lebih besar nol untuk setiap. untuk semua Jadi naik pada seluruh garis real. Sehingga memiliki balikan di sana.

6 Cara Menentukan Fungsi Balikan Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu, kemudian kita menukarkan dan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan untuk dalam bentuk. 2. Langkah 2 : Gunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam. 3. Langkah 3 : Gantilah dengan. Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan dan. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan dan pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis. Jadi, grafik adalah gambar cermin grafik terhadap garis Contoh : Carilah invers dari Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan untuk dalam bentuk. Langkah 2 : menggunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam Langkah 3 : mengganti dengan.

7 Turunan Fungsi Balikan Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. Teorema Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang. Jika di suatu tertentu dalam. Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan dalam daerah hasil dan Menurut definisi invers. Yaitu, jika maka. Dengan melakukan substitusi kita dapatkan. Kita perhatikan untuk Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh : Yang ekuivalen dengan Bukti teorema Interval, dan, fungsi monoton murni dan kontinu pada. dan invers fungsi yang monoton murni dan kontinu.

8 Fungsi terdiferensial di titik dan. Fungsi terdiferensial di titik lebih lanjut, Ambil sembarang dengan, selanjutnya didefinisikan fungsi dengan Diketahui monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap dengan, maka. dengan kata lain, well define. Demikian halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi diperoleh Mudah dipahami bahwa untuk setiap dengan, maka. Selanjutnya dibuktikan bahwa Diberikan bilangan dan jika terdiferensial di, maka terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan sifat berlaku Diketahui kontinu di titik, artinya untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan, maka berlaku Karena fungsi invers dari maka bijektif, dengan kata lain injektif dan surjektif. injektif dan, maka diperoleh; jika maka untuk setiap Oleh karena itu untuk setiap dengan berakibat Untuk sebarang Jadi

9 Perhatikan bahwa karena maka, sehingga diperoleh Dapat disimpulkan, untuk setiap dengan berlaku Terbukti Contoh : Carilah jika diketahui Penyelesaian : Kita akan mencari nilai yang berpadanan dengan Kemudian kita cari Kita selesaikan dengan menggunakan teorema

10 7.3. Fungsi Eksponen Asli Definisi Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi Dari definisi dapat diambil bahwa i. ii. untuk semua Sifat-sifat Fungsi Eksponen Definisi Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga. Bilangan sama halnya seperti bilangan yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma. Teorema Andaikan dan sebarang bilangan real, maka dan Turunan Andaikan, maka dapat dituliskan. Perhatikan untuk Kedua ruas diturunkan terhadap Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh Karena, maka Apabila. Dan terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai Contoh : Tentukan Penyelesaian :

11 Integral Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral Contoh : Tentukan Penyelesaian : 7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum Definisi Untuk dan sebarang bilangan real maka berlaku Coba hitung dengan menggunakan. Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8, Karena kalkulator menggunakan nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal. Sifat-sifat Teorema Jika dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka i. ii. iii. iv. v.

12 Aturan-aturan Fungsi Eksponensial Teorema Contoh : tentukan Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh Fungsi Definisi Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti adalah. Jika sehingga, maka Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu

13 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial populasi bertambah. menunjukkan bahwa sekitar populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah Menyelesaikan Persamaan Differensial dengan syarat awal apabila. Dengan memisahkan peubah dan mengintegrasikan, kita peroleh Syarat pada saat akan menghasilkan Sehingga, Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika disebut peluruhan eksponensial. Peluruhan Radioaktif Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk Teorema

14 Bukti Pertama ingat kembali bahwa jika maka dan khususnya, Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat, kita peroleh Jadi. Karena adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga? Penyelesaian :. Andaikan Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil. Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan adalah nilai pada saat uang sebesar rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari terhadap waktu adalah, yakni Persamaan diferensial ini adalah 7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan pada sisi lainnya. Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

15 Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu. Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan factor integrasi Didapatkan Sisi kiri adalah turunan hasil kali, maka persamaannya mengambil bentuk Integrasi kedua sisi menghasilkan Contoh : Carilah penyelesaian umum dari Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk atau Jadi penyelesaian umumnya adalah

16 7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri Balikan sinus dan Kosinus Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang dan Sehingga, dan dan Balikan Tangen dan Balikan Sekan Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang dan Sehingga, dan dan Teorema i. ii. iii. iv. Turunan Fungsi Trigonometri

17 Turunan Fungsi Balikan Trigonometri Teorema i. ii. iii. iv.