matematika LIMIT TRIGONOMETRI K e l a s Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

Transkripsi

1 Kurikulum 6/ matematika K e l a s XI LIMIT TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menghitung it fungsi trigonometri di suatu titik.. Dapat menghitung it fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat it fungsi.. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan it fungsi trigonometri. Pernahkah kamu berada pada kondisi emosional seperti optimis, senang, atau gembira pada suatu hari, kemudian pada hari berikutnya merasa kurang bersemangat atau sedih? Tidak hanya kondisi emosional, kondisi fisik dan intelektual seseorang juga selalu mengalami siklus layaknya roda yang berputar sejak ia dilahirkan. Para ahli merumuskan keteraturan siklus emosional, fisik, dan intelektual seseorang dalam model bioritme yang dinyatakan dalam fungsi sinus berikut. Fisik (siklus hari): t P sin, t t Emosional (siklus 8 hari): E sin, t 8 t Intelektual (siklus hari): I sin, t dengan t banyak hari sejak seseorang dilahirkan.

2 Hari "Baik" Hari "Buruk" t Juli 987 Siklus hari Siklus 8 hari Siklus hari Siklus fisik Siklus emosional Siklus intelektual September Gambar. Bioritme seseorang selama bulan September 7 t Model tersebut dapat membantu kamu mengetahui baik buruknya kondisi emosional, fisik, dan intelektual seseorang, misalnya saat mendekati tanggal September 7 (hari ke-7.8 sejak kelahirannya). Contoh perhitungan untuk pendekatan kondisi emosional ini dapat dituliskan sebagai berikut. E t 7. 8 t 7. 8 t sin 8 Agar kamu dapat menyelesaikan perhitungan tersebut dan mengetahui fakta-fakta menarik lainnya, mari pelajari tentang it fungsi trigonometri berikut. A. Definisi Limit Trigonometri Pada sesi sebelumnya, kamu telah mempelajari bahwa it fungsi f() untuk mendekati c adalah f c, dengan f() merupakan fungsi aljabar dan c R. Jika f() memuat perbandingan trigonometri, bentuk f c disebut sebagai it trigonometri. Contoh it trigonometri adalah sebagai berikut.. sin.. cos + cos + tan Teorema pada it aljabar juga berlaku pada it trigonometri. Agar kamu ingat kembali, perhatikan teorema it berikut.

3 Teorema Limit Jika f c dan positif, berlaku:. k k c. c c c ada, k sembarang konstanta real, serta n bilangan bulat g. k f kf c c ± ±. f g f g c c c 5. f g f g c c c f f c 6., g c g dengan g c 7. c c n n c n n ( ) ( ) c c 8. f f n n 9. c, dengan c untuk n genap c. n f n f, dengan f untuk n genap c c c Sama halnya dengan it aljabar, secara umum ada dua cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan it trigonometri, yaitu dengan substitusi langsung dan cara alternatif (memodifikasi bentuk fungsi dan menggunakan rumus it trigonometri). B. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi Langsung Bentuk umum substitusi langsung pada it fungsi trigonometri sama dengan it aljabar, yaitu sebagai berikut.. f ( ) f ( c ) c f f c. c g g( c) Cara ini wajib dicoba terlebih dahulu dalam perhitungan it fungsi. Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu misalnya, gunakan cara alternatif agar diperoleh bentuk tertentu, misalnya suatu bilangan real,, dan. Agar kamu lebih mudah dalam menyelesaikan persoalan it trigonometri, mari ingat kembali nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa berikut ini.

4 Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa sin cos tan Tak terdefinisi Contoh Soal Tentukan hasil dari it-it fungsi trigonometri berikut. a. cos 6 b. sin + tan c. cos + 5+ cos a. cos cos cos 6 6 b. ( sin + tan) sin tan sin tan c. cos + cos+ + cos + cos () C. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan Cara Alternatif. Memodifikasi Bentuk Fungsi Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan it trigonometri adalah dengan memodifikasi bentuk fungsi. Modifikasi dapat dilakukan dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu sebagai berikut.

5 a. Identitas perbandingan sin n tan( n) cos n b. Identitas Pythagoras sin ( n )+ cos ( n ) cos n atau cotan( n) sin n c. Sinus sudut rangkap n n sin ( n ) sin cos d. Kosinus sudut rangkap n cos( n ) sin n cos n n cos sin Contoh Soal Tentukan nilai dari cos sin. Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. cos sin cos cos sin sin Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka cara alternatifnya adalah memodifikasi bentuk fungsi. 5

6 Dengan menggunakan rumus identitas Pythagoras dan pemfaktoran, diperoleh: cos sin sin sin ( sin) ( + sin) + sin + sin + sin Jadi, nilai dari cos sin adalah. Contoh Soal Tentukan nilai dari cos. cos sin Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. cos cos cos sin cos sin cos cos sin Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka cara alternatifnya adalah memodifikasi bentuk fungsi. 6

7 Dengan menggunakan rumus kosinus sudut rangkap dan pemfaktoran, diperoleh: cos cos sin cos sin cos sin Jadi, nilai dari ( cos+ sin ) ( cos sin ) cos + sin + cos sin cos adalah. cos sin Contoh Soal Tentukan nilai dari sin sin. sin.cos sin Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. sin sin sin.cos sin sin sin sin ( ( ) )( cos) ( sin) Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka cara alternatifnya adalah memodifikasi bentuk fungsi. Dengan menggunakan rumus sinus sudut rangkap dan pemfaktoran, diperoleh: sin sin sin( sin ) sin.cos sin (.sin.cos ).cos sin sin( sin ) sin.cos sin sin sin sin cos sin Jadi, nilai dari sin sin adalah. sin.cos sin 7

8 . Menggunakan Rumus Limit Trigonometri Adakalanya modifikasi fungsi masih menghasilkan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, perlu digunakan rumus it trigonometri. Untuk memperoleh rumus it trigonometri, kamu dapat menganalisis grafik f sin dan menghitung nilai dari sin. Perhatikan grafik fungsi f sin berikut. (,, ) (, ) Y f sin (,, ) (, ) X (radian) Dari grafik tersebut, terlihat bahwa jika bergerak semakin dekat dengan, baik dari kiri ( < ) maupun dari kanan ( > ), f() bergerak semakin dekat dengan. Hal ini juga didukung dengan tabel hubungan antara dengan < dan f sin berikut. ± ±,5 ±, ±, ±, ±,... f sin,87,95885,995,998,99998, Dari grafik dan tabel tersebut, diperoleh kesimpulan bahwa untuk, nilai f sin semakin mendekati. Secara matematis, dapat ditulis sebagai berikut. sin Dengan cara yang sama, kamu dapat memperoleh rumus berikut. tan 8

9 Dari kedua rumus tersebut, dapat dikembangkan rumus-rumus it trigonometri berikut. No. Rumus Limit Trigonometri No. Rumus Limit Trigonometri. sin. a sin b a tan b sin c tand c sind ab. tan a sinb tan a b cd. tan c tand c sind. sin a a b sin b tan a a a b b tan b. sin a p b p p p tan a p p b p ( p) b( p) a p sin b p a p tan a b Selain rumus-rumus tersebut, cara pemfaktoran dan perkalian akar sekawan seperti pada it aljabar juga dapat digunakan dalam penyelesaian it trigonometri. Contoh Soal 5 Tentukan hasil dari it-it fungsi trigonometri berikut. a. sin b. sin tan6 ( + ) tan c. 5+ sin sin a. Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka dengan menggunakan rumus trigonometri nomor, diperoleh: sin Cara lain yang dapat digunakan adalah sebagai berikut. sin sin sin () 9

10 Jadi, sin. b. sin sin tan6 tan6 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka dengan menggunakan rumus trigonometri nomor, diperoleh: sin tan6 6 Cara lain yang dapat digunakan adalah sebagai berikut. sin sin 6 tan6 tan6 ( 6) sin 6 tan6 6 6 Jadi, sin. tan6 ( + ) tan c. 5+ ( ()+ ) tan tan 5 ( ()+ ) Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka dengan menggunakan rumus it trigonometri nomor, diperoleh: ( + ) tan( ) ( ) ( ) tan( ) 5+ ( ) ( ) tan( ) ( ) 9 ( + ) tan( ) Jadi,. 5+ 9

11 Contoh Soal 6 sin... + (SMUP ) A. B. C. D. E. Jawaban: B Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. sin + sin + Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka dengan menggunakan rumus trigonometri nomor dan pemfaktoran, diperoleh: sin sin Jadi, sin. + sin Contoh Soal sin Tentukan nilai dari tan Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung.!

12 8 + sin tan 8 sin ( ) + ( ) tan Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka dengan menguraikan bentuknya menjadi penjumlahan pecahan, serta menggunakan rumus dan, diperoleh: 8 + sin tan 8 sin + tan tan sin l im + tan tan sin + tan tan () sin Jadi, tan 5. D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan Memadukan Cara Alternatif Dua cara alternatif yaitu memodifikasi bentuk fungsi dan menggunakan rumus it trigonometri dapat dipadukan penggunaannya tergantung bentuk soal. Biasanya, fungsi dimodifikasi terlebih dahulu hingga memuat bentuk yang dapat diselesaikan dengan rumus it trigonometri. Mari pahami bentuk soal dan langkah-langkah penyelesaiannya melalui contoh-contoh soal berikut. Contoh Soal 8 Nilai dari cos tan A. B. C. 8 adalah... (UN 6) D. E. Jawaban:A

13 Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. cos tan cos tan Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka gunakan rumus kosinus sudut rangkap berikut. n n cos ( n ) sin cos n sin, dengan n Berdasarkan rumus tersebut dan rumus, diperoleh: cos sin tan tan sin... ( tan ).. sin.. ()() 8 Jadi, cos. tan 8 ( ) ( tan ). Contoh Soal 9 cos8 Nilai... sin.tan (UN ) A. 6 B. C. 8 D. E. Jawaban: C

14 Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. cos8 cos8 sin tan sin tan Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka gunakan rumus kosinus sudut rangkap berikut. n n cos ( n ) sin cos n sin, dengan n 8 Berdasarkan rumus tersebut dan rumus, diperoleh: cos8 sin sin tan sin tan sin sin sin tan sin sin sin tan ()()()() 8 cos8 Jadi, 8. sin tan SUPER "Solusi Quipper" Trik-trik menghitung it trigonometri adalah sebagai berikut.. Sinus dan tangen dapat diabaikan (dihilangkan) dengan ketentuan berikut. a. sin m n (n) m b. tan m n (n) m. Bentuk kosinus dapat diubah dengan menggunakan rumus berikut. a. cos n ( n) b. cos n ( n) c. cos n ( n) d. cos n ( n) e. cosn Syarat: setelah penyederhanaan (misalnya pemfaktoran), bentuk sin m n dan tan m n tidak terlibat dalam operasi penjumlahan dan pengurangan (pelajari contoh soal ).

15 Sekarang, mari selesaikan contoh soal 8 dan 9 dengan SUPER "Solusi Quipper". Penyelesaian contoh soal 8 dengan SUPER "Solusi Quipper" cos tan SUPER no. a. SUPER no. b ( ) 8 Penyelesaian contoh soal 9 dengan SUPER "Solusi Quipper" cos8 sin tan Contoh Soal ( SUPER no. a ) ( SUPER no. ) sin cos sin Nilai tan sin8 cos... Dengan memfaktorkan terlebih dahulu, kemudian menggunakan SUPER "Solusi Quipper", diperoleh: sin cos sin tan sin8 cos ( Faktorkan pembilang) sin cos sin Jadi, tan sin8 cos sin cos tan sin cos ( ( 8 ) 8 8. ) ( SUPER no. a ) 8 ( ) ( SUPER no. ) E. Aplikasi Limit Trigonometri Pada umumnya, aplikasi it trigonometri disajikan dalam bentuk soal cerita terkait disiplin ilmu seperti Fisika, Biologi, Ekonomi, dan sebagainya. Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita terkait it trigonometri adalah sebagai berikut. 5

16 . Tentukan nilai yang didekati oleh untuk melengkapi notasi it fungsinya.. Selesaikan it fungsi yang diperoleh dengan cara substitusi langsung terlebih dahulu.. Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, gunakan cara alternatif yang sesuai dengan bentuk fungsinya. Contoh Soal Sebuah partikel bergerak dalam bidang datar dengan fungsi jarak (dalam meter) terhadap waktu (dalam detik) dinyatakan sebagai s t sint t. Jika kecepatan v saat t dirumuskan dengan v t detik. () () s t+ h s t h h () + (dalam meter/detik), tentukan kecepatan partikel saat t Mula-mula, tentukan v(t) dengan mensubstitusikan s(t) sin t + t ke v(t). v t () () s t+ h s t h h ( t+ h)+ ( t+ h) [ t+ t] sin sin h h ( Gunakan: f g f g c + + ) c c sin( t+ h) sint ( t+ h) t + h h h h Gunakan: sina sinb cos ( A+ B) sin ( A B) cos ( t+ h+ t) sin ( t+ h t) t+ h t + h h h h t+ h cos sin h h + h h h h sin h cos t h +. + h h h ( t ) cos + cost + 6

17 Selanjutnya, tentukan kecepatan v saat t detik atau v( ). v ( ) cos+ + 5 Jadi, kecepatan partikel saat t detik adalah 5 meter/detik. 7