Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR PROGRAMMING M. Meftah Erryshady, O Soesato, M. Ahsar Karm Program Stud Matemata Fautas MIPA Uverstas Lambug Magurat J. Jed. A. Ya. Km. 36 Bajarbaru, Kamata Seata Ema: muse_me3@rocetma.com ABSTRACT ABSTRACT. Lear programmg s a geera mode that ca be used probem sovg the aocato probem of mted resources optmay. The mathematcs mode of ear programmg cossts of two fucto: objectve fucto ad costrat fucto. Based o the umber of objectve fuctos, ear programmg s dvded to two types: Sge Objectve Lear Programmg ad Mut-Objectve Lear Programmg. Mut Objectve Lear Programmg whch vaues are defed the scope of fuzzy s caed Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg. To fd the optma souto of the probem, frsty t s dvded to a ear program wth sge objectve ad soved usg the smpex method. Ths research was carred out by usg a terature study. The resuts of ths study dcate that the optma souto of Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg w be decso varabe ( x ), that are: x, x,..., x whch ts vaues f they are substtuted to the costrat fucto, the resuts w be cosstet wth the mts of specfed resources, as we as f they are substtuted to the objectve fucto, the t w be obtaed the optma souto of a expected purposes. Keywords: Lear programmg, mut objectve ear programmg, mut objectve fuzzy ear programmg.. PENDAHULUAN Program er merupaa suatu mode umum yag dapat dguaa daam pemecaha masaah megaoasa sumber-sumber yag terbatas secara optma. Program er megguaa mode matemats. Sebuta er berart bahwa semua fugs matemats yag dsaja daam mode harusah fugsfugs er. Daam program er dea dua macam fugs, yatu fugs tujua (objectve fucto) da fugs edaa (costrat fucto)[]. Daam ehdupa yata terdapat permasaaha pegamba eputusa dega meerapa program er yag mempertmbaga Mut Objectve. Permasaaha yag Mut Objectve harus dombasa daam beberapa cara utu mejadaya satu tujua tugga, sehgga dapat dseesaa oeh metode peyeesaa program matemata tujua tugga. Metode Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg bertujua utu mecapa beberapa obyetf dega data-data fuzzy secara bersamaa[3]. Pada umumya daam Mut Objectve Lear Programmg, oefse (dar fugs tujua da edaa) serta a ss aa dar edaa dasumsa sebaga a tegas (crsp). Pada baya stuas, asums tersebut tdaah bear-bear vad. Ha mug dareaa oefse serta a tersebut tda ddefsa dega ba dabata uragya formas data atau stuas sumber data yag tda meetu. Utu tuah dea pedefsa a-a daam ruag gup fuzzy. 39
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No.. METODE PENELITIAN Adapu prosedur-prosedur yag dguaa daam peeta a adaah meetua sous dar Mut Objectves Fuzzy Lear Programmg Probem, dega meyeesaa MOFLPP sebaga Lear Programmg bertujua tugga dega haya megguaa satu fugs tujua da abaa yag aya, mecar sous optma dar mode Lear Programmg, dega megguaa metode smpes, meetua batas atas da batas bawah utu tujua e- dar a yag dperoeh, meyusu mode fuzzy awa da megubah mode fuzzy mejad mode crsp (program er ovesoa). 3. TINJAUAN PUSTAKA 3. Teor Hmpua Fuzzy Hmpua A dataa crsp (tegas) ja sebarag aggota-aggota yag ada pada hmpua A tersebut deaa suatu fugs, maa aa bera ya ja a A maa fugs f(a) =, amu ja a A, maa a fugs yag deaa pada a yatu f(a) =. Na fugs yag deaa pada sebarag aggota hmpua A dataa sebaga a eaggotaa. Ja pada hmpua crsp, haya mempuya a eaggotaa yatu da, maa pada hmpua fuzzy, a eaggotaa dar aggota-aggotaya tda haya da saja tap berada pada terva tertutup [,]. Dega ata a hmpua A dataa fuzzy apaba fugs : A [,] [5]. Defs 3. [9] Ja X merupaa hmpua semesta, maa hmpua fuzzy à subset dar X : X, ddefsa dega fugs eaggotaa: µ à [ ] dmaa utu setap x X da ( x ) [, ] dar x pada Ã. µ meyataa derajat eaggotaa à 3. Traguar Fuzzy Number (TFN) Defs 3. [] Traguar Fuzzy Number r yatu à = ( a, a, a) dega etetua a > a dapat dterpretasa dega fugs eaggotaa sebaga berut: x a µ A [ x ] = ( x a ) ( a a ) x a a < x< a... () Defs 3.3 [] Traguar Fuzzy Number aa yatu à = ( a, a, a3) dega etetua a3 > a dapat dterpretasa dega fugs eaggotaa sebaga berut: 4
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. µ A [ x ] = ( a3 x) ( a a ) x a 3 3 a < x< a3... (3) x a 3.3 Fuzzy Lear Programmg Kosep dasar dar ear programg probem dapat dtusa sebaga berut: Masmaa Fugs edaa z = cx Ax b x dega: c x a a a b c x c =, x = a a a, A b =, b =.... (4) c x am am am bm Daam mode dasumsa bahwa semua eeme matrs A, b, da c adaah baga r (crsp). Pada Fuzzy Lear Programmg, aa dcar suatu a z yag merupaa fugs objetf yag aa doptmasa sedema hgga tudu pada batasa-batasa yag dmodea dega megguaa hmpua fuzzy. Oeh area tu, dmuga beberapa oefse dar masaah daam fugs tujua (c), oefse ss r fugs edaa (A) atau oefse ss aa fugs edaa (b) berupa baga fuzzy. Secara umum dapat dtusa sebaga berut: Masmaa z = cx Fugs edaa Ax b x dmaa: c x a a a b c x c =, x = a a a, A =, b b =. c x am am am b m... (5) 3.4 Mut Objectve Lear Programmg Permasaaha yag megharusa utu megoptmaa beberapa fugs tujua er secara bersamaa berdasara sejumah edaa er yag dbera dsebut Mut Objectve Lear Programmg Probem da dapat dgeerasasa sebaga berut: 4
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. z( x) = cx + cx + + c x z( x) = cx + cx + + cx Masmaa:... (6) r r r zr ( x) = cm x+ cmx+ + cmx Fugs edaa A x b dega x dmaa: z c c c x a a a b z z = c c c, c x =, x a a a = A b =, b =. r r r zr cm cm cm x am am am bm dega z adaah vetor oom berdmes m, c adaah matrs beruura m, x adaah vetor oom berdmes, A adaah matrs beruura m, da b adaah vetor oom berdmes m. 3.5 Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Berbeda dega osep dasar ear programg probem, utu membatu pembuat eputusa agar bear-bear mampu megoptmaa fugs tujua da memeuh edaa yatu dega mempertmbaga etdatepata atau etdajeasa dar pembuat eputusa. Dega ata a, merubah ear programg probem e daam betu fuzzy berut: c x z ; Ax b dmaa x Smbo meujua vers fuzzy dar da mem terpretas gust pada dasarya ebh ec dar atau sama dega. Smbo meujua vers fuzzy dar da mem terpretas gust pada dasarya ebh besar dar atau sama dega. Fugs objetf da fugs edaa aa smetrs apaba dubah e daam betu sebaga berut: - c x - z ; Ax b dmaa x c c c c c c dega c =, da =,,.., r r r r cm cm cm a a a x z a a a A = x, x z =, z = am am am x zr dmaa adaah batas bawah dar fugs tujua z. z 4
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. b b b b = b, b = bm b m c c c z c c c z r r r cm cm cm zr msa: B = b ' = a a a b a a a b am am a m bm...(7) c z sehgga: B=, b' = A, dega B da b ' adaah matrs seat. b c c c cx cx c x c c c cx cx cx r r r x r r r cm cm cm x cmx cm x cmx Utu Bx =. =,...(8) a a a ax + ax + + a x x a a a a x + ax + + ax am am am am x+ amx+ + amx cx dega ata a Bx adaah matr seat, yatu: Bx = Ax sehgga dar (7) da (8) dapat dyataa sebaga berut: Bx b b '. (9) x Utu memperba etmpaga pertdasamaa fuzzy ( Bx) b b ', utu =,,, m, dar pegamba eputusa (Decso Maer) pertdasamaa fuzzy Bx b b ', dapat megguaa fugs eaggotaa ear berut: 43
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. ; ( Bx) b ' ( Bx) b ' µ (( Bx) ) = ; b ; µ (( Bx) ) b ' < ( Bx) < b ' + b ( Bx) b ' + b dapat dgambara sebaga derajat dmaa ( Bx memeuh pertdasamaa fuzzy ( Bx) b b ' (dmaa ( Bx ) meujua bars e- dar Bx da b ' meujua bars e- dar b ', dega =,,..,m) (Supryato, ). d maa utu setap b adaah ostata utu megespresa toeras yag dapat dterma dar etmpaga pertdasamaa e-. Dasumsa bahwa fugs eaggotaa e- harus ja ( Bx) b b ', ja ( Bx) b ' + b, da atara da ) ja b ' < ( Bx) b ' + b. Megacu pada atura fuzzy decso (Supryato, ), fugs eaggotaa hmpua fuzzy utu (9) adaah m m (( Bx) ) =,, m { } yatu a terec (mma) dar a-a yag dperoeh dar fugs eaggotaa ( Bx ). Meemua eputusa masmum adaah utu memh x * sedema sehgga. m ( x*) = max m m (( Bx) ) { } D x =,, m ( Bx) b ' md ( x*) = max m x =,, m b b ( Bx) b ' md ( x*) = max m x =,, m b b b ( Bx) + b ' md ( x*) = max m x =,, m b Dega mempereaa varabe tambaha λ, dega λ = m{ m(( Bx) )}, dmaa λ sesua dasarya dega derajat eaggotaa x daam eputusa hmpua fuzzy []. λ merupaa varabe uura (measurg varabe) yag sesua dega fugs eaggotaa dar eputusa fuzzy (fuzzy decso), yag mecerma tgat aspras/pemeuha tujua utu sebuah sstem [3], permasaaha dapat dubah e daam betu pemrograma er ovesoa berut: masmaa z = λ b ( Bx) + b ' Fugs edaa λ b λb b ( Bx) + b ' λ b + ( Bx) b ' + b 44
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. x Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Probem (MOFLPP) secara gars besar meurut Jaa & Roy (4) dapat dbag mejad macam, yatu MOFLPP dega a aa pada fugs edaa merupaa baga fuzzy da MOFLPP dega oefse fugs tujua fuzzy da fugs edaa fuzzy. Daam tugas ahr haya aa dbahas Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Probem dega a aa pada fugs edaa merupaa baga fuzzy. 3.6 Mut Objectve Lear Programmg Probem (MOLPP) dega Kedaa fuzzy Mut Objectve Lear Programmg Probem dega edaa campura secara umum dapat dtus sebaga berut: Masmaa Fugs edaa cx j j z =,... () ax b, =,,..., m j j x, x,..., x Keta a aa dar fugs edaa adaah Traguar Fuzzy Number (TFN) maa () mejad: Masmaa Fugs edaa cx j j z =... () ax b b, =,,..., m j j x, x,..., x Aa berau beberapa asums sebaga berut: TFN aa b = ( b, b, b + b ) dega toeras b dmaa ax b b ; =,,..., m j j ( b > ) utu Sehgga () yag teah degap dega toeras dapat dtusa sebaga berut: Masmaa Fugs edaa z cx j j j j =, =,,, r... () ax b+ b, =,,..., m x, x,, x (Jaa & Roy, 4) 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Permasaaha pegamba eputusa yag berbetu program er bertujua gada atau Mut Objectve Lear Programmg secara umum dapat dformuasa sepert pada persamaa () yatu sebaga berut: 45
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. z = cx j j, Masmaa =,,, r ax j j b Fugs edaa x, x,, x, =,,..., m dega oefse a, b, da c merupaa baga crsp atau tegas. Dega ata a data-data yag aa dmasua daam persamaa harusah aga yag vad sehgga tda membua esaaha daam perhtuga da meghasa sous dar pegamba eputusa yag optma. Meggat baga crsp atau tegas mejad baga fuzzy (daam ha adaah Traguar Fuzzy Number) merupaa sebuah sous megatas etdaaurata data tersebut. Merubah baga crsp atau tegas mejad baga fuzzy daam ha adaah meambaha toeras pada baga tersebut sehgga mejad a eaggotaa segtga fuzzy (Traguar Fuzzy Number). Permasaaha Mut Objectve Lear Programmg dega oefse fuzzy dsebut juga Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Probem (MOFLPP). Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Probem (MOFLPP) dega a aa pada fugs edaa merupaa baga fuzzy dapat dcar sous optmaya dega terebh dahuu meyeesaaya sebaga Lear Programmg ovesoa bertujua tugga. 4. Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Probem Dega Na Kaa Pada Fugs Kedaa Merupaa Baga Fuzzy Rca agah-agah utu mecar sous dar MOFLPP adaah sebaga berut: Agortma Lagah. meyeesaa MOFLPP sebaga Lear Programmg bertujua tugga dega haya megguaa satu fugs tujua da abaa yag aya. Masmaa: z = cx + cx + + cx Masmaa: z = cx + cx + + cx Fugs Kedaa: ax + ax + + a x b b ax + ax + + ax b b am x+ amx+ + amx b b m x, x,, x dega b = ( b, b, b+ b ) b m = ( bm, bm, bm + bm) b = ( b, b, b + b ) 46
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. Utu bsa dcar sousya terebh dahuu MOFLPP aa duraa mejad Lear Programmg bertujua tugga, yatu sebaga berut: Masmaa: z = c x + c x + + c x Fugs Kedaa: ax + ax + + a x b a x + a x + + a x b Masmaa: Fugs Kedaa: Masmaa: a x + a x + + a x b m m m m x, x,, x z = c x + c x + + c x a x + a x + + a x b + b a x + a x + + a x b + b a x + a x + + a x b + b m m m m m x, x,, x z = c x + c x + + c x Fugs Kedaa: ax + ax + + a x b a x + a x + + a x b Masmaa: Fugs Kedaa: a x + a x + + a x b m m m m x, x,, x z = c x + c x + + c x a x + a x + + a x b + b a x + a x + + a x b + b a x + a x + + a x b + b m m m m m x, x,, x Lagah. mecar sous optma dar mode Lear Programmg megguaa metode smpes. Lagah 3. meetua batas atas da batas bawah utu tujua e- dar a yag dperoeh pada agah. s. s. s. z = m{ z( x, x,, x )} dega s =, u s. s. s. z = mas{ z( x, x,, x )} dega s =, Lagah 4. meyusu mode fuzzy awa. cx cx c x z cx cx cx z 47
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. c x c x c x z m m m a x + a x + + a x b b a x + a x + + a x b b a x + a x + + a x b b m m m m x, x,, x Lagah 5. megubah mode fuzzy mejad mode crsp (program er ovesoa). Masmaa z = λ Fugs edaa c x + c x + + c x u u + ( z z ) z c x + c x + + c x + ( z z ) z u u c x+ c x + + c x + ( z z ) z a x + a x + + a x + λb b + b u u m m m a x + a x + + a x + λb b + b a x + a x + + a x + λb b + b m m m m m m λ x x x,,,,. 4. Cotoh Permasaaha Mmaa z = 35x+ 4x + 58x3+ 4x4 Mmaa z = 4.46x+ 7.95x +.8x3 + 3.4x4 Kedaa.35x+ 7.45x +.65x3 + 7.9 x4 (, 6, 6),.5x +.4x + 5.38x + 9.44 x (4,8,8), 3 4 8.6x + 3.x + 3.77 x (,3,3), 3 4 4 x, x, x, x ; Lagah. mecar sous dar permasaaha d atas. Pertama-tama permasaaha dpecah mejad 4 sub permasaaha, yatu sebaga berut: Mmaa z = 35x + 4x + 58x3 + 4x4 Kedaa.35x+ 7.45x +.65x3+ 7.9x4 6,.5x +.4x + 5.38x + 9.44x 8, 3 4 8.6x + 3.x + 3.77x 3, 3 4 4 x, x, x, x ; Mmaa z = 35x + 4x + 58x3 + 4x4 48
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. Kedaa.35x+ 7.45x +.65x3+ 7.9x4,.5x +.4x + 5.38x + 9.44x 4, 3 4 8.6x + 3.x + 3.77x, 3 4 4 x, x, x, x ; Mmaa z = 4.46x + 7.95x +.8x3 + 3.4x4 Kedaa.35x+ 7.45x +.65x3+ 7.9x4 6,.5x+.4x + 5.38x3+ 9.44x4 8, 8.6x+ 3.x + 3.77x4 3, x, x, x, x ; 3 4 Mmaa z = 4.46x + 7.95x +.8x3 + 3.4x4 Kedaa.35x+ 7.45x +.65x3+ 7.9x4,.5x+.4x + 5.38x3+ 9.44x4 4, 8.6x+ 3.x + 3.77x4, x, x, x, x ; 3 4 Lagah. mecar sous optma dar sub permasaaha. Dar perhtuga dega megguaa smpes dperoeh has perhtuga sub permasaaha, yatu sebaga berut: sub permasaaha ()...... x = ( x, x, x3, x4 ) = (;;;3.58), z.( x ) = 443.3, sub permasaaha (3)...... x = ( x, x, x3, x4 ) = (;;;.73), z.( x ) = 468., sub permasaaha (4)...... x = ( x, x, x3, x4 ) = (;.866;.79;), z.( x ) =.7, sub permasaaha (5)...... x = ( x, x, x, x ) = (;.544;.84;), z ( x ) =.5, 3 4. u Lagah 3. Mecar a batas atas ( z ) da batas bawah ( z ) dar fugs objetf e-4 sub permasaaha pada agah..... z = m { z( x ), z( x ), z( x ), z( x )} = m{443.3; 468.;97889.8;64.7} = 468. u.... z = max { z( x ), z( x ), z( x ), z( x )} = max{443.3; 468.;97889.8;64.7} = 97889.8.... { } z = m z ( x ), z ( x ), z ( x ), z ( x ) 49
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. = m{6.783;35.577;.769;.5} =.5 u.... z = max { z( x ), z( x ), z( x ), z( x )} = max{6.783;35.577;.769;.5} = 6.783 Lagah 4. meyusu mode fuzzy awa: 35x+ 4x + 58x3 + 4x4 97889.8 4.46x+ 7.95x +.8x3 + 3.4x4 6.783.35x+ 7.45x +.65x3 + 7.9x4,.5x+.4x + 5.38x3+ 9.44x4 4, 8.6x+ 3.x + 3.77x4, x, x, x, x ; 3 4 Lagah 5. megubah mode fuzzy mejad mode crsp (program er ovesoa) yag drumusa sebaga berut: Masmaa z = λ Fugs Kedaa 35x+ 4x + 58x3+ 4x4 + 938.7λ 97889.8 4.46x+ 7.95x +.8x3 + 3.4x4 + 94.83λ 6.783.35x+ 7.45x +.65x3 + 7.9x4 + 4λ 6,.5x+.4x + 5.38x3+ 9.44x4 + 4λ 8, 8.6x+ 3.x + 3.77x4 + λ 3, x, x, x3, x4 Mode Lear Programmg d atas dapat dcar sous optmaya dega megguaa metode smpes. 5. KESIMPULAN Dar peeta yag teah daua, dapat dsmpua bahwa utu mecar sous dar Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Probem (MOLPP) dega edaa fuzzy terebh dahuu aa dseesaa sebaga Lear Programmg bertujua tugga. Dar sous-sous fugs tujua yag dperoeh emuda dapat dtetua a batas atas da batas bawah. Na batas atas da batas bawah sebaga acua utu meyusu mode fuzzy awa. Mode fuzzy seajutya aa drubah mejad mode crsp (program er ovesoa) da dega metode smpe dapat dcar sous optmaya. Dar cotoh permasaaha dapat dsmpua bahwa dega megguaa Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg dapat dcar sous optma dar beberapa fugs tujua seagus. Sous optma daam ha adaah dperoehya a-a varabe eputusa yatu x, x, x3,..., x yag ja dsubsttusa e daam fugs edaa hasya sesua dega batasa jumah sumber daya yag dtetapa, seagus apaba d substtusa e daam fugs tujua hasya aa dperoeh sous pag optma utu tujua-tujua yag dharapa. 5
Jura Matemata Mur da Terapa Epso Ju 4 Vo. 8 No. 6. DAFTAR PUSTAKA []. Eghba, et. a.,. Optmzg huma det probem based o prce ad taste usg mut-objectve fuzzy ear programmg approach. Iteratoa Joura of Optmzato ad Cotro: Theores & Appcatos. []. Jaa. B. da Roy, Tapa Kumar. 4. Mut-Objectve Fuzzy Lear Programmg ad Its Appcato Trasportato Mode. Deemed Uversty. Ida. [3]. Kahrama, Cegz. 8. Fuzzy Mut-Crtera Decso Mag Theory ad Appcatos. Tur. Sprger. [4]. Kusumadew. S. da Puromo, Har. 4. Apas Loga Fuzzy utu Peduug Keputusa. Yogyaarta: Graha Imu. [5]. Sahur, A. 7. Meyeesaa Mode Masaah Det Dega Metode Graf Da Metode Smpes. Uverstas Isam Neger Maag Fautas Matemata da Imu Pegetahua Aam. Maag. [6]. Spayug, E. T.,. Apas Mut Objectve Fuzzy Lear Programmg Daam Masaah Perecaaa Persedaa Produs. Uverstas Sumatera Utara Fautas Matemata da Imu Pegetahua Aam. Meda. [7]. Supryato.. Fuzzy Mut-Objectve Lear Programmg ad Smuato Approach to the Deveopmet of Vad ad Reastc Master Producto Schedue. Uverstät Dusburg-Esse. [8]. Wsto, L. W. 994. Operato Research: Appcatos ad Agorthms. Idaa Uversty. Duxbury Press. [9]. Zadeh, L.A. 978. Fuzzy sets as a bass for a theory of possbty, Fuzzy sets ad systems,, 3-8. 5