DISTRIBUSI RAYLEIGH UNTUK KLAIM AGREGASI. Getut Pramesti Staf Pengajar FKIP Universitas Sebelas Maret, Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta,

Transkripsi

1 Dstrbus Raylegh Getut ramest DITRIBUI RAYLEIGH UTUK KLAIM AGREGAI Getut ramest taf egajar FKI Uverstas ebelas Maret, Jl. Ir. utam 36A uraarta, Abstract A Aggregato of clams are clams the sum of dvdual clams ca be descrbed a dstrbuto of collectve rss that occur a sgle perod of surace. Dstrbuto s depcted a probablty desty fucto ad cumulatve desty fucto. These fuctos ca also descrbe the characterstcs of the dstrbuto through the mea ad varace. Wrtg ths paper s to determe the aggregate clams model wth a amout dvdual clams Raylegh dstrbuted ad the umber of clams osso dstrbuted. Dscusso of the results obtaed showed that the model's clam depeds o the aggregato of dvdual clams ad the umber of clams that occurred durg the perod of surace. Keywords: Aggregato, Clam, Raylegh. edahulua erusahaa asuras dalam pegelolaa reso tetuya harus memperhata dega sugguh-sugguh reso-reso yag mug mucul selama perode asuras. Megapa? Karea perusahaa asuras sebaga peaggug reso terjadya suatu eruga dar sured tetu harus dapat meaggug emuga-emuga terjadya lam dar sured epada surer. eaggug reso atau surer harus megetahu arater reso. Karater reso lah dapat dpelajar dalam suatu model dstrbus lam. Dstrbus lam yag dmasud dgambara dalam suatu dstrbus destas ba sebaga fugs destas probabltas maupu fugs destas umulatf. Dar fugs-fugs lah, utu selajutya surer dapat meetapa harga peagguga reso dar sured. Harga peagguga dmasuda utu meghdar surer dar loss. Terjadya reso dalam suatu sstem asuras dar sured dapat memucula lam. Klam adalah gat rug atas suatu reso eruga. Apabla reso tersebut terjad secara dvdual maa dsebut dega lam dvdual, sedaga lam gabuga atas lam-lam dvdual dsebut dega lam agregas. Basaya besar lam berdstrbus espoesal atau dstrbus la yag mash eluarga dega dstrbus espoesal sepert ormal, osso, Gamma, Bomal da Ivers Gauss [3]. Beberapa eluarga dstrbus espoesal tersebut juga masu e dalam dstrbus la estrm. Dstrbus la etrm merupaa dstrbus dar suatu varabel radom yag mempuya batasa berla mmum maupu masmum. Dstrbus la estrm baya juga dguaa sebaga dstrbus besar lam dareaa uura besar lam yag dapat cuup besar atau estrm. ehgga permasalaha yag mejad terest pada umumya adalah megea la-la estrm masmum atau estrm mmum. Beberapa jes dstrbus atara la Cauchy, Beta, Webull, Raylegh da sebagaya. Dalam maalah aa duraa permasalaha megea model lam agregas dega dstrbu Raylegh yag merupaa turua dar dstrbus Webull. 5

2 Meda tatsta, Vol. 4, o., Desember : 5- Klam yag mucul setap terjad reso dsebut dega lam dvdual, dar lam dvdual aa membetu suatu lam agregas. Klam agregas merupaa aumulas dar lam-lam dvdual selama suatu perode asuras tertetu. erlau lam agregas dapat dpelajar dar perlau besar da jumlah lam dvduya. Jad utu megetahu pola lam agregas terlebh dahulu harus dpelajar pola lam dvduya. ola lam dvdu melput dua hal yatu besar da jumlah lam yag terjad. Utu megetahu model agregas, harus dtetua model besar da jumlah lam dvdu. Model dar besar da jumlah lam dvdu dperoleh dar dstrbus masgmasg lam. Dalam maalah aa duraa tetag pembetua model lam agregas dega besar lam berdstrbus Raylegh da jumlah lam berdstrbus osso. embetua model dtetua dar betu fugs destas probabltas, dar fugs aa detahu araterst dstrbus lam agregas yatu dar uura rata-rata da varasya.. Kaja Teorts.. stem Asuras Meurut Bowers et al. 997:7 dalam sstem asuras melput beberapa hal, dataraya adalah ha tertaggug atau sured merupaa pha yag mug megalam eruga loss, ha peaggug atau surer dalam hal adalah perusahaa asuras, merupaa pha yag meaggug reso loss dar sured ja loss terjad, 3 eagguga loss dar sured e surer, mewajba sured utu membayar sejumlah uag yag dsebut dega prem, 4 dar prem lah sured aa meerma pols yatu perjaja tertuls yag dapat dajua lam-ya apabla terjad eruga, 5 Yag dmasud lam adalah gat rug atas reso yag terjad. uatu lam dvdu terjad dsebut dega lam dvdu. Ja lam dvdual e- dhasla oleh pols e- dmaa pols berlau pada perode asuras yag sama maa jumlaha dar lam-lam dsebut dega lam agregas. Klam agregas dapat dpadag berlau pada suatu perode tuggal asuras []... Besar Klam Idvdu da Klam Agregas Ja ut reso dvdu e-, =,,... dpadag sebaga ut besar lam dvdu e- da dotasa dega maa.,,, yag dapat dasumsa berdstrbus otu maupu dsrt merupaa varabel radom berdstrbus det salg bebas. Ddefsa lam agregas yag merupaa jumlaha dar lam dvdu yatu [6] :,, merupaa varabel radom yag meyataa besar lam dvdu e-. dapat berupa dsrt maupu otu yag det da salg bebas sehgga berlau :.3. Jumlah Klam ama sepert halya dega, juga merupaa varabel radom yag meyataa jumlah lam berla bulat o egatf. memuat,, yatu ejada dega jumlah lam yag mug terjad selama suatu perode asuras. Ja adalah ruag sampel, maa 6

3 Dstrbus Raylegh Getut ramest 7,...,, : dega da j j, Jumlah lam merupaa varabel radom yag salg bebas, artya terjadya pols pada tahu pertama tda dpegaruh oleh terjadya pols pada tahu edua da seterusya. Jumlah lam yag terjad selama perode tuggal asuras tertetu mejad data yag dperlua dalam peetua dstrbus jumlah lam. Jad utu megetahu lam agregas yag terjad, terlebh dahulu harus detahu besar da jumlah lam terlebh dahulu. 3. embahasa Dar persamaa dapat dtetua fugs destas probabltas dar lam agregas yatu sebaga berut: f Karea j j, maa berlau: f Utu suatu lam berlau: f ehgga dperoleh: p f dega,, * p da y y p y p p * * Dega cara yag sama dalam meetua fugs destas probabltas, maa aa dperoleh fugs destas umulatf dar lam agregasya adalah sebaga berut: F 3 dega,, *

4 Meda tatsta, Vol. 4, o., Desember : 5- * p y dy, otu * da * p y, dsrt Dar persamaa da 3 dapat detahu bahwa model lam agregas yag dapat dyataa dalam suatu dstrbus lam agregas dtetua dar dstrbus besar da jumlah lam dvdu yag terjad. Utu selajutya aa dtetua terlebh dahulu besar rata-rata da varas dar lam agregas. E E E E ehgga dperoleh rata-rata lam agregas adalah: E E E 4 V EE E V E E ehgga dperoleh varas lam agregas : V V E[ ] E[ ] V 5 Berdasara persamaa 4, dapat detahu bahwa rata-rata lam agregas dtetua oleh rata-rata besar da jumlah lam dvdu yag terjad. Begtu pula dega varas lam agregas, dtetua oleh varas besar lam dvdu, jumlah lam dvdu, rata-rata besar lam dvdu da rata-rata jumlah lam dvdu. Dar sstem asuras yag telah dpapara d atas, utu megetahu model lam agregas harus dtetua terlebh dahulu dstrbus besar lam dvdu da jumlah lam. Dalam maalah aa duraa apabla besar lam dvdu berdstrbus Raylegh da jumlah lam berdstrbus osso maa aa dcar model dstrbus lam agregas yag terbetu. Dstrbus Raylegh merupaa husus dar dstrbus Webull, sedaga Webull merupaa salah satu dstrbus la estrm. ehgga sebelum membcaraa tetag besar lam yag berdstrbus Raylegh terlebh dahulu dulas tetag dstrbus la estrm da Webull. uatu varabel radom dalam sstem asuras yag peuh dega ucertaty, adag memucula feomea yag estrm. la-la estrm juga merupaa varabel radom, dmaa dstrbusya bergatug pada dstrbus varabel radom asal varabel estrm dperoleh da juga uura sampel. Varabel aca terdstrbus secara det terbatas dyataa dalam suatu dstrbus la estrm. Dstrbus la estrm merupaa peluag otu yag membatas dstrbus utu mmum atau masmum dar sebuah oles yag sagat besar dar pegamata aca suatu dstrbus. Dstrbus la estrm megguaa tga parameter yatu parameter betu, parameter sala da parameter loas. Terdapat tga jes dar dstrbus la estrm yatu tpe I, tpe II da tpe III. Tpe I merupaa varabel radom dega la estrm masmum, Tpe II, varabel radom la estrm mmum atau masmum da Tpe III, la estrm mmum. Dstrbus Webull merupaa salah satu cotoh dar dstrbus la estrm tpe III. Webull baya dguaa dalam eadala da statsta area emampuaya medeat berbaga jes sebara data. Fugs destas probabltas dar dstrbus Webull adalah: 8

5 Dstrbus Raylegh Getut ramest [] f ep,,, 6 dega rata-rata E ep d E 7 dmaa adalah fugs Gamma yag ddefsa e d Adapu varas dar varabel radom berdstrbus Webull adalah sebaga berut: V ep d E V 8 Adapu dstrbus Raylegh merupaa asus husus dar dstrbus Webull. Dstrbus Raylegh mempuya fugs destas probabltas berut: f ep 9 dega adalah parameter tuggal yag euvale dega dstrbus Webull saat da Meurut persamaa 7 da 8 dapat detahu rata-rata da varas varabel radom berdstrbus Raylegh adalah: da E ep d 3 E V ep d E 3 V Jumlah lam dalam suatu sstem asuras merupaa perstwa stoast yag merupaa barsa ejada radom yag dapat dpredsa melalu dstrbus jumlah lam. Dstrbus jumlah lam dtetua melalu fugs destas probabltas da fugs destas umulatf. Dstrbus jumlah lam dvdu sagat petg area 9

6 Meda tatsta, Vol. 4, o., Desember : 5- meetua model lam agregas yag terbetu. Dstrbus jumlah lam basaya dguaa dstrbus osso, area osso merupaa dstrbus utu ejada-ejada yag jarag. Artya terjadya reso dalam suatu selag terval watu yag sgat atau daerah yag sempt sebadg dega pajag terval watu atau luas daerah da tda tergatug pada baya reso yag terjad d luar terval watu atau daerah tersebut. Ja berdstrbus osso maa mempuya fugs destas probabltas [] : e f,,,,,...! Dperoleh rata-rata jumlah lam berdstrbus osso adalah: e E ehgga! E 3 Varas jumlah lam: V e E! Jad V 4 ada persamaa 3 da 4 ampa bahwa rata-rata da varas jumlah lam sama dega parameter dar dstrbus jumlah lam yatu osso. Artya jumlah lam yag dasumsa berdstrbus osso, mempuya uura pemusata terjadya lam sama dega uura peyebara smpagaya. 3.. Model Klam Agregas Dar persamaa, da 9 dapat dtetua fugs destas probabltas dar lam agregas dega besar lam berdstrbus Raylegh da jumlah lam berdstrbus osso adalah sebaga berut: e f p 5! dega la awal *, p, * * da p p y p y dega y y y yep * p da p y p y Dega cara yag sama dalam meetua fugs destas probabltas, maa aa dperoleh fugs destas umulatf yatu: e F 6!

7 Dstrbus Raylegh Getut ramest dega la awal *,, da dega * * p y dy * * p y p z p y z z y z p z zep, * p y z p, y z Meurut persamaa 4, da 3 dapat dtetua rata-rata lam agregas dega besar lam berdstrbus raylegh da jumlah lam berdstrbus posso adalah sebaga berut: E E 3 7 Rata-rata besar lam agregas dega besar lam dvdu berdstrbus Raylegh, dar persamaa 7 tergatug dar parameter jumlah lam yag berdstrbus oso da parameter dar dstrbus Rayleght. Berdasara persamaa 5,,, 3 da 4 dperoleh varas besar lam agregas dega besar lam dvdual berdstrbus Raylegh da jumlah lam berdstrbus osso yatu: V ehgga dperoleh: V 8 Berdasara persamaa 8 ampa bahwa varas dar lam agregas dega besar lam dvdu berdstrbus Raylegh da jumlah lam berdstrbus osso tergatug dar da yag merupaa masg-masg parameter dar besar da jumlah lam dvdual. 4. Kesmpula uatu dstrbus lam agregas merupaa umpula dar lam-lam dvdu dalam suatu perode tuggal asuras. Dstrbus lam agregas dtetua dar model lam agregas, dmaa peetua model dperoleh dar model lam dvdual. Model lam dvdual dtetua oleh besar da jumlah lam, jad lam agregas tergatug

8 Meda tatsta, Vol. 4, o., Desember : 5- dar besar da jumlah lam dvdu yag terjad selama perode tuggal asuras. Ja besar lam dvdu berdstrbus Raylegh da jumlah lam berdstrbus osso maa aa dperoleh model lam agregas dar fugs destas probabltas sepert persamaa 5 da 6. Dar model tersebut ampa bahwa dstrbus lam agregas yag merupaa jumlaha dar lam dvdu tergatug dar dstrbus besar da jumlah lam dvdu yag terjad selama perode tuggal asuras tertetu. Mespu terjadya lam dvdu e-, e- da seterusya salg tda mempegaruh amu dstrbus lam agregas tergatug dar besar da jumlah lam dvdu. Begtu pula dega araterst lam agregas yag dlhat dar uura pusat da peyebaraya sepert persamaa 7 da 8, ampa bahwa rata-rata da varas tergabtug dar parameter masg-masg besar da jumlah lam dvdu yag terjad. UCAA TERIMA KAIH Termaash epada semua pha yag telah membatu terselesaaya peulsa maalah, terutama utu aa-aa almamater UGM yag member esempata epada peuls utu berarya. emoga arya ecl bermafaat. DAFTAR UTAKA. Ba Lee J da Egelhard, Itroducto to robablty & Mathematcal tatststc, ed., Dubury ress., Calfora, 99.. Bowers et al., Actuaral Mathematcs, ed., The ocety of Actuares, chaumburg, Illos, Duca et al., A racttoer s Gude to Geeralzed Lear Models, 3 th ed., 7, URL: 4. Getut ramest, Model Reso Koletf Dalam Asuras Utu erode Tuggal, rps Uverstas ebelas Maret,, Tda dpublasa. 5. Getut ramest, Depedes dalam Model Reso Idvdual Utu Asuras Jwa Kelompo, Thess Uverstas Gadjah Mada, 3, Tda dpublasa. 6. Waldma, K.H., O The Eact Calculato of The Aggregate Clams Dstrbuto The Idvdual Lfe Model, Ast Bulet, 994, 4: