5 A II LANDASAN TEORI Pada bab aa dbahas bebeapa teo alaba le yag meduug dalam peuua Teo Peo-Fobeus pada ab III Teo-teo yag aa dbahas beupa subuag vaa, poyeto, des mats, deomposs coe-lpotet, seta om da veto da mats Teo tesebut meupaa teo yag meduug megea popet da la aatest, mats oda, da Cesao Summable Ketga teo sagat eat ataya utu mempelaa da meuua Teo Peo-Fobeus Utu selautya, otas yag dguaa dalam peulsa tugas ah meupaa otas yag basa dguaa dalam alaba Subuag Ivaa Subuag vaa aa dguaa utu meabaa deomposs coelpotet pada Subbab 4 Namu, sebelum ta memasu pada pembahasa megea subuag vaa, ta aa medefsa dulu megea mats peubaha bass secaa sgat Msala A adalah opeato le pada V Msala pula da ' adalah dua bass bag V, maa mats peubaha bass da e ' dbea oleh [ A] P [ A] P, dmaa P [ I ] ' ' Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035)
a S adalah bass bau utu, maa olom e- pada [ A ] S adalah [ ] A( e ) A A A A S S S Dega ata la, oodat mats A tehadap S adalah A sed ad, ta peoleh bahwa [ ] [ ] A P A P P AP, () S ( x x x ) ( x x x ) dmaa [ ] [ ] [ ] [ ] P I S S S S Selautya, utu suatu opeato le T pada uag veto V da χ V, { x x χ} ( χ ) T T adalah hmpua semua hasl peta yag mug da veto d χ dbawah tasfomas T Pehata bahwa T( V) R T a χ adalah subuag da V, abatya T ( χ ) adalah subuag da V da basaya T ( χ ) tda behubuga dega χ Namu, dalam asus-asus tetetu T ( χ ) bsa meupaa subuag da χ Defs Utu suatu opeato le T pada V, subuag χ V dsebut subuag vaa dbawah T a ( χ ) T χ Subuag vaa utu opeato le T sagat petg aea subuag tesebut meghasla oodat mats epesetas da T yag sedehaa Utu membuta hal, ta msala bahwa χ da γ adalah subuag T { x,x, } vaa dbawah Msala pula { y,y,,y} χ,x da γ q masg-masg meupaa bass bag χ da γ yag meupaa hmpua baga da { x,x,,x,y,y,,y } q, yatu bass bag V Koodat mats tehadap bass adalah Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 6
( ) [ ] ( x ) ( x ) ( y ) ( y q) T T T T T Kaea setap T (x ) beada pada χ, maa haya buah veto petama pada yag dapat meepesetasa T ( x ), sehgga utu setap,,, T ( x ) αx da T ( x ) α α 0 0 Kaea setap T ( y ) beada pada γ, maa haya q buah veto ah pada ( y ) yag dapat meepesetasa T, sehgga utu setap,,, q ( y ) q T βy da ( y ) 0 0 T β β q ad, ta peoleh α α 0 0 α α 0 0 P 0 [ T], 0 0 β β q 0 Qq q 0 0 β β q qq dmaa P T / χ da Q T / γ χ γ Secaa umum, peyataa megea subuag vaa da mats epesetas tesebut dbea oleh Teoema beut Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 7
Teoema Msala bedmes T adalah opeato le pada uag veto V Msala pula χ, γ,, Z adalah subuag V dega dmesya masg-masg adalah,,, da bassya adalah χ, γ,, Z Selautya, msala da χ γ Z adalah bass bag V Subuag χ, γ,, Z vaa dbawah T a da haya a [ T ] mempuya betu mats dagoal blo [ T] dmaa P T / χ, / γ χ P 0 0 0 Q 0 0 0 R Q T, da R [ T ] γ / Z g Abat 3 Msala D TD T adalah mats, maa P 0 0 0 Q 0 () 0 0 R utu D suatu mats osgula a da haya a D ( D D D ) dega setap olom pada D adalah spa da subuag vaa dbawah T ut edasaa pesamaa (), a { q q q },,, adalah bass bag da a Q ( q q q ) adalah mats yag memuat veto d pada setap olomya, maa abat lagsug da Teoema [ T] D TD etu pesamaa () adalah Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 8
Poyeto Pada subbab aa duaa bebeapa sfat yag dml oleh poyeto yag dbea oleh Teoema 4 beut Teoema 4 Msala χ da γ adalah uag baga omplemete da V sehgga utu setap v V secaa tuggal bsa dtulsa sebaga v x+ y dmaa x χ da y γ Opeato le tuggal P ddefsa sebaga Pv x, yatu poyeto pada χ sepaag γ, da P mempuya sfat sebaga beut (a) I P adalah poyeto pada γ sepaag χ R N N (b) ( P) ( I P ) χ da ( I P) ( P ) γ (c) a V atau, maa P dbea oleh R I 0 P X Y X Y 0 0 [ ] [ ] dmaa setap olom da X da Y, masg-masg meyataa bass da χ da γ Fomula la utu P dapat dlhat pada Teoema 9, ut Utu (a), ta peoleh bahwa v x+ y Pv+ y Abatya y v Pv ( I P)v ad, I P adalah poyeto pada γ sepaag χ Utu (b) meupaa abat da defs poyeto tu sed Fomula pada (c) dpeoleh dega memsala χ da γ sebaga bass bag χ da γ, maa { x, x,, x, y, y,, y } adalah bass bag V Mats P χ γ elatf tehadap bass adalah Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 9
a [ P] [[ Px ] [ Px ] [ Py ] [ Py ] ] [[x ] [x ] [0] [0] ] [ e e 0 0] I 0 0 0 S adalah bass bau, maa [ P] Q [ P] S Q, dmaa [ ] [[x ] [x ] [y ] [y ] ] [ ] Q I X Y S S S S S I 0 P Q P Q X Y X Y S 0 0 Abatya, [ ] [ ] [ ] [ ] 3 Ides Mats Pada subbab aa duaa bebeapa teoema yag behubuga dega des da suatu mats yag meuag dalam pembahasa megea mats oda Defs 5 laga bulat oegatf teecl R ( A ) N( A ) dsebut des da A yag memeuh Abat 6 Ides da mats A adalah blaga bulat bulat oegatf teecl, maa peyataa beut bea (a) + R( A ) R( A ) (b) + N( A ) N( A ) Ides mats eat ataya megea mats lpote Suatu mats N dsebut lpote a N 0 utu suatu blaga bulat postf Ides N adalah blaga bulat teecl sehgga 0 Ides N N Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 0
basa dsebut dega des lpotes Sebaga cotoh, mats 0 0 N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 a dpagata maa aa dpeoleh N 0 0 0 da N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ad, Mats N adalah mats lpote dega tetap N 0 des N 3 aea 3 N 0, 4 Deomposs Coe-Nlpotet Dega teo dasa megea subuag vaa yag telah dbahas pada Subbab, beut adalah teoema yag meelasa megea salah satu subuag yag vaa tehadap A Teoema aa dguaa utu pembuta teoema selautya megea deomposs coe-lpotet yag dbea pada Teoema 8 Teoema 7 Msala des subuag vaa tehadap A A, maa R A da N ( A ) adalah ) ( + ut ( vaa tehadap A aea A R A R A R A R A ) N ( A ) vaa tehadap A aea + ( N) w w N N + + A x A w 0 x N( A ) A N( A ) N A x A A x A utu suatu A A da Teoema 8 a A adalah mats sgula dega des dmaa ( A ) a, maa tedapat mats osgula Q sehgga Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035)
C 0 Q AQ 0 N dmaa C adalah mats osgula da N adalah mats lpote dega des Dega ata la, seupa dega mats blo dagoal yag memuat mats osgula coe da mats lpote Mats blo dagoal tesebut damaa deomposs coe-lpotet da A A ut Msal ( ) da Q X Y dmaa olom da X da Y meupaa bass N ( A ) R A da Kaea R A da N A meupaa subuag vaa tehadap peoleh betu A bedasaa Teoema 7, maa da Abat 3, ta C 0 Q AQ [ A] dega 0 N C A / R( A ) X da N A / N ( A ) Y Utu meuua bahwa N lpote, msala Q U, da tuls V Abatya, C 0 U UA X 0 Q A Q A ( X Y) 0 N V VA X 0 N 0 da C 0 Q A Q Kaea C beuua da 0 0 ( C ) a A a Q A Q a osgula abatya C uga osgula Hal meuua bahwa C Teoema 9 Msal A mempuya des dega a A Msala pula C 0 Q AQ adalah deomoss coe-lpotet, maa 0 N dega ( ) Q X Y da Q U V Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035)
(a) I 0 Q Q 0 0 N ( A ) XU adalah poyeto pada R ( A ) sepaag 0 0 (b) Q Q YV adalah poyeto pada N ( A ) sepaag 0 I R ( A ) ut Kaea R ( A ) da N A adalah subuag omplememte da aea X Y olom da masg-masg meupaa bass utu subuag R A da N ( A ), maa bedasaa Teoema 4(c) dpeoleh I 0 [ ] [ ] I 0 P X Y X Y Q Q XU 0 0 0 0 R ( A ) sepaag meupaa poyeto pada N A Selautya, 0 0 [ ] [ ] 0 0 I P X Y X Y Q Q YV 0 I 0 I pada N ( A ) sepaag R ( A ) meupaa poyeto 5 Nom da Veto da Mats Uua paag da suatu veto dsebut dega om Utu dmes, ta defsa om- p da suatu veto pada Defs 0 beut Defs 0 Utu p, om- p da veto x ddefsa dega x p p ( x ) / p Utu p, ta megealya dega stlah Eucldea om d Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 3
Pada teoema beut, ta aa melhat pembuta da Petdasamaa Cauchy-uyaovs-Schwaz (CS) utu ods dmaa haya pesamaa yag mucul dalam CS tesebut (Teoema ) Hal dbutuha aea meduug Teoema yag aa bemafaat dalam pembuta salah satu teoema d ab III CS melbata hasl al dalam da om Teoema Msala x, y C, x 0, x,y x y a da haya a y ax dmaa x,y a x,x ut a y ax maa x,y a x x y Sebalya, a x,y x y maa x y x,y 0, aea x,y y,x x,y maa x y x,y y,x x,y 0 y,y a y,x,dega a x x,x y, ax y + ax, ax y ax y, ax y ax y maa ax y 0 y ax Teoema Msala x, y C, veto ta ol, x+ y x + y a da haya a y ax atau x ay, utu suatu a > 0 ) ut ( Msala x, y C, x+ y x + y ( x+ y ) ( x + y ) x + x,y + y,x + y x + x y + y x + Re x,y + y x + x y + y Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 4
maa, Re( x,y ) x y Kta tahu bahwa Re x,y x,y, maa x y Re( x,y ) x,y x y, maa x,y x y Da Teoema 4 ta peoleh a x,y x y, maa y ax, dmaa x,y a x,x Selautya, cuup dbuta bahwa a blaga eal postf Dega mesubttusa y ax edalam pesamaa x+ y x + y, maa ad, + a + a ( a) + a + Re( a) a + a + a + a + a + Re a + aa + a + aa a adalah blaga eal da a Re( a) a 0 Kaea y ax da y 0 maa a 0 abatya a > 0 ( ) Msal y ax, maa x + y x + ax ( + a)x ( + a) x, aea a> 0 maa x + a x x + x + ax y Secaa umum, msala x, x,, xp da haya a utu suatu {,,, } utu,,, s C, veto ta ol, x s x π x p p x a dega da π > 0 Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 5
Defs 3 Ut p-sphee ddefsa sebaga { x/ x p p } p,, S, utu Sebaga cotoh, ut -, -, da - d 3 sphee R adalah otahedo, bola, da ubus secaa betuut-tuut Kta bsa pehata bahwa otahedo aa temuat ddalam bola da edua-duaya aa temuat ddalam ubus Setelah ta megeal om veto, selautya ta aa membahas megea om mats Nom mats dguaa utu membatu dalam pembuta bebeapa teoema d ab III Msala eleme da 4 A A 4 Dega meguaa mead empat eleme da suatu veto, om Eucldea pada, maa ta bsa meulsa / 5 ( ) 4 ( ) A + + + I meupaa salah satu caa sedehaa utu medefsa om mats da hal basa dsebut dega om Fobeus Nom Fobeus da mats A m ddefsa oleh, A a Secaa umum, om mats meupaa suatu fugs yag memeuh sfat-sfat sepet yag ada pada defs beut Defs 4 Nom mats adalah suatu fugs da hmpua mats omples e blaga eal yag memeuh sfat-sfat beut (a) A 0 da A 0 A 0 (b) αa α A utu setap ostata α (c) A+ A + (d) A A Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 6
Nom Fobeus memeuh Defs 4 datas Sela tu, ta bsa medefsa om mats sela om Fobeus dega caa om mats tesebut dbagta (duced) da veto sepet pada teoema beut Teoema 5 Veto x p, p m, membagta om mats pada m dega medefsa A max A x, utu x A m da x Hal deal dega om mats duced ut Kaea max x A x memeuh Defs 4, maa max x A x adalah om mats da A Toeema 6 Nom mats yag dbagta da veto om- da omddefsa sebaga beut (a) (b) A max A x max a la absolut umlah olom tebesa x x A max A x max a la absolut umlah bas tebesa ut (a) Utu setap x dega x, petdasamaa segtga meghasla Ax A x ax a x x a x mas a mas a Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 7
etu pesamaa datas dapat dpeoleh aea a A adalah olom dega umlah absolut tebesa, tuls x e da pehata bahwa e da Ae A mas a ut (b) Utu setap x dega x, Ax mas ax mas a x mas a etu pesamaa datas dapat dpeoleh aea a umlah absolut tebesa da a x x adalah veto dmaa A adalah bas dega, a 0 a A x ax a, utu setap maa,, a a < 0 A x mas a a maa x da Ax mas x mas A a 6 Popet da Nla Kaatest Msala λ, λ, λ3,, λ s adalah la-la aatest yag bebeda da sebaag mats A Hmpua σ ( A ) { λ, λ, λ,, λ } dsebut spetum x 3 s da A, yatu hmpua semua la aatest da A Sela tu, ta megeal stlah yag dsebut dega spectal adus yatu ρ ( A ) max ( λ ) s ( ) ρ A da mats A, Spectal adus meupaa lgaa teecl dalam bdag omples yag memuat semua la aatest da mats A Msala λ σ ( A), maa ta mempuya bebeapa stlah la sepet la aatest smple da la aatest semsmple a ma ( λ ) maa λ dsebut dega la aatest smple Nla aatest yag memeuh Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 8
( λ ) ( λ ) ma mg dsebut dega la aatest semsmple Selautya, beut dbea defs des da suatu la aatest Defs 7 Ides la aatest λ da mats A x ddefsa sebaga des da mats ( A λi ) yag memeuh sfat pada Abat 6 Dega ata la, λ peyataa beut evale (a) R ( λ ) des adalah blaga asl teecl sehgga + ( A I ) R( ( A λi ) ) + ( A λi ) N( ( A λi ) ) (b) N Teoema 8 Msala mats A x, maa ρ ( A) A, utu setap om ut Msala ( λ,x) adalah sebaag pasaga aatest da A maa [ ] X x x x 0 da λ X AX megabata x λ X λx AX A X ad λ A utu setap A, atya ρ A A λ σ Teoema 9 Msala ρ A lm A A x, maa utu setap om mats belau ut Pehata bahwa ρ ρ Kta peoleh ρ utu setap ε > 0 maa A A A (bedasaa Teoema 8) ( ( )) A A Seaag pehata bahwa ρ A/ ρ A + ε < Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 9
lm A ρ ε 0 lm A ρ ε 0 + + ( A) ( A) Abatya tedapat blaga bulat postf utu setap / < ρ N sehgga A / ρ( A ) + ε < / N, maa A < ρ ( A ) + ε utu setap N da ρ A A A + ε utu N Kaea petdasamaa belau utu setap ε > 0, maa lm A ρ ( A ) Teoema 0 Msala dega elemeya adalah A da msala A meyataa mats a Utu mats C,, defsa C, yatu b < c utu setap da a A maa ρ ρ ρ A A ut Ketasamaa segtga membea A A utu setap blaga bulat postf Selautya, A megabata A Dega megguaa Teoema 9, maa A A A / / / A A / / / lm A lm A lm A ( A) ( A) ( ) ρ ρ ρ 7 Mats oda etu oda da A x dpeoleh dega megguaa deomposs coe-lpotet yag aa duaa beut Msala, λ σ des λ, maa tedapat mats osgula X sehgga A da Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 0
( λ ) X A I X L 0 0 C, (3) dmaa adalah mats lpote dega des da C adalah mats L osgula Hal tda mead masalah adaa pada blo dagoal petama adalah ataupu C pada (3) Utu asus, ta possa blo L lpote beada pada pada blo dagoal petama edasaa hasl da mats lpote maa tedapat mats osgula Y L Y ( λ ) Y N 0 0 0 N( λ) 0 0 0 ( λ ) N t sehgga yag meupaa mats blo dagoal yag meml sfat-sfat sebaga beut (a) Setap blo d ( λ ) 0 N mempuya betu ( λ ) N 0 (b) Tedapat t dm( L ) dm N( A λ I ) buah blo pada ( λ ) (c) ayaya blo beuua N dega betu N dalam N ( λ ) adalah v ( λ ) ( λ ) ( λ ) + ( λ ) ( λ ) ( λ ) a A I + λ dmaa Y 0 Selautya, Q X adalah mats osgula da 0 I ( λ ) N 0 Q ( A λi) Q 0 C atau evale dega Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035)
Q Mats ( λ ) ( λ ) λ ( λ ) N + I 0 0 AQ 0 C+ λi 0 A (4) λ N λ + λi pada (4) mempuya betu blo dagoal ( λ ) 0 0 0 ( λ) 0 0 0 ( λ ) t λ N λ + λi dega Mats ( λ ) dsebut dega segme oda yag beoespodes dega la aatest λ da setap blo yag temuat d λ dsebut dega blo oda yag beoespodes dega la aatest λ Stutu segme oda dtuua da stutu oda yag beoespodes dega mats lpote L Setap blo oda mempuya betu λ ( λ) ( λ) λ N + I λ Tedapat t dm dm N( λ ) L A I buah blo oda pada segme ( λ ) ayaya blo oda ( λ ) beuua λ dalam v ( λ ) ( λ ) ( λ ) + ( λ ) dmaa ( λ ) ( λ ) + a A I adalah λ Nla aatest yag bebeda utu A adalah σ ( A ) { λ, λ,, λ }, maa s la aatest yag bebeda utu A λi adalah { 0,,,, s } ( ) ( ) ( ) ( ) σ A λi λ λ λ λ λ λ Kaea la aatest 3 utu L adalah ol maa ta peoleh bahwa { s } ( ),( ),,( ) σ C λ λ λ λ λ λ ad spetum utu A C +λ I 3 Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035)
pada (4) adalah σ ( A ) { λ, λ,, λ } 3 s Hal beat poses deomposs coe-lpotet datas bsa dulag utu A λi utu medapata mats osgula Q sehgga ( λ ) 0 A Q A Q 0 dmaa σ { λ, λ,, λ } A 3 4 s Poses tesebut teus dulag sedema upa sehgga semua la aatest hlag da dpeoleh mats osgula P s P APs dag ( ( λ), ( λ),, ( λs )) Setap ( λ ) s oda yag meml t dm N( A λ I) sehgga adalah segme buah blo oda Mats dsebut dega betu oda da A Stutu oda da A ddefsa sebaga bayaya segme oda d beseta dega bayaya da uua da blo oda utu setap segme eut meupaa gasa da betu oda yag telah duaa datas Teoema Utu setap {,,, } s A dega la aatest yag bebeda σ A λ λ λ, tedapat mats osgula P sehgga (a) P AP ( λ ) 0 0 0 ( λ ) 0 0 0 ( λ ) dsebut mats oda yag mempuya satu buah segme oda ( λ ) utu setap la aatest λ σ A (b) Setap segme ( λ ) ted atas t dm N( A λ I) oda ( λ ) s sepet yag ddespsa beut buah blo Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 3
( λ ) ( λ ) 0 0 ( λ ) 0 0 0 0 t ( λ ) (c) Uua blo oda tebesa adalah (d) ayaya blo oda dalam ( λ ) dega ( λ ) λ λ dmaa ( λ ) dbea oleh des v( λ ) ( λ) ( λ) + + ( λ ) dmaa ( λ) a ( A λi) Teoema Ides ( λ ) a da haya a λ adalah la aatest mg ma semsmple Dega ata la ( λ ) ( λ ) ut Ides ( λ ) a da haya a utu setap blo oda beuua, yag aa tead a da haya a bayaya veto aatest yag beoespodes dega λ utu P sehgga P AP sama bayaya dega blo oda Hal sama saa dega megataa bahwa mg ( λ ) ma ( λ ) atau λ adalah la aatest semsmple Selautya, ta aa melhat fugs pada mats blo oda Msala A PP x dega σ ( A ) { λ, λ, λ,, λ } da 3 s dag ( ( λ), ( λ),, ( λ s )) adalah betu oda da A dmaa setap segme oda ( λ ) adalah mats blo dagoal yag memuat satu atau lebh blo oda Dega ata la, ta bsa meulsa suatu segme oda sebaga beut Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 4
( λ ) ( λ ) 0 0 ( λ ) 0 0 0 0 t ( λ ) dega ( λ ) λ λ f Kta g medefsa f ( ) mead ( ) ( ( λ )) f ( ( λ )) f s dega f ( λ) f ( * ( λ) ) ( * ) Utu medefsa tesebut, ta cuup beea pada f ( λ ) Aga otas yag ada tda membguga dalam poses pegeaa, maa ta λ dapat sedehaaa dega memsala * yag λ meupaa blo oda beuua ad ta dapat medefsa f ( ) da f ( * ) Msala dseta f : adalah fugs yag dapat despas dega deet Taylo λ maa utu suatu > 0, ( λ) f '''( λ) f '' 3 f ( z) f ( λ) + f '( λ)( z λ) + z λ + z λ +,! 3! dmaa z λ < Maa, ( λ) f '''( λ) f '' 3 f ( * ) f ( λ) I+ f '( λ)( * λi) + * λi + * λi +! 3! Namu, aea N * λi adalah mats lpote dega des, maa deet mead deet behgga, Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 5
f atya haya la da ( λ ) ( λ) 0 N, 0 f ( λ ) * N (5) 0! f, f ',, f ( ) 0 0 0 0 0 λ yag tedefs da 0 0 0 0 N,, N ad, epesetas f ( * ) pada (5) bsa dtulsa sepet pada teoema beut Teoema 3 Utu blo oda beuua dega la aatest maa ( ) f ( * ) λ Suatu fugs f ( z ) dmaa bsa dtulsa sebaga beut * ( ) f λ, f ' λ,, f λ ( λ ) f * f f ( ) ( λ ) ( ) f '' f f ( λ) f '( λ)!! λ f ( λ) f '( λ) ''( λ ) λ! f ( λ) f '( λ) ( λ f ) ada Teoema 4 Msal pula, P A PP utu suatu mats osgula Msala ( λ ) Q ( s ),, da P P P P P ( λ ) s Qs Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 6
Defsa G PQ a des( λ ) maa adalah poyeto pada N (( A λ ) I ) sepaag ( λ ) ( ) R A I G ut Pehata bahwa ( λ ) des ( λ ), tetap L λi meupaa mats lpote dega λ I osgula a, maa ( λ ) λ I A λi P( λi) P P L P ( λ ) λ s I adalah mats coe-lpotet sepet yag telah duaa pada Teoema 8 dega meguuta la aatest sehgga mats blo lpote beada pada blo dagoal palg bawah edasaa Teoema 9(b) maa, PQ G adalah poyeto pada ( λ ) ( ) ( ) N A sepaag ( λ ) R A L 8 Lmt da Mats eut tedapat dua teoema yag meyataa megea lmt da suatu mats bedasaa la spectal adus da mats tesebut Teoema 5 Msala A x da ρ ( A ) adalah spectal adus, maa lm A 0 a da haya a ρ ( A ) < ut ( ) Msal ( λ,v) adalah pasaga aatest utu A Kaea A v λ v, maa lm A v lm A v lm λ v vlm λ 0 Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 7
Kaea v 0, maa lm λ 0, abatya λ < Kaea hal tesebut belau utu sebaag la aatest, maa ρ ( A ) < a P AP adalah betu oda utu A, maa A P P P P dmaa λ ( λ ) meupaa λ blo oda d Selautya, A 0 a da haya a 0 utu setap blo oda ad, ta haya pelu membuta bahwa 0 maa ρ ( A ) < Dega megguaa fugs f ( z) z pada Teoema 8 dega syaat bahwa 0 utu >, maa, ( ) ( m ) λ ( ) λ ( ) λ ( ) m+ λ λ λ λ λ λ λ edasaa eleme dagoalya, elas bahwa a 0 maa λ 0 ad λ <, atya ρ ( A ) < m m Seaag ta aa melhat l m A ada tetap laya ta ol Sebelumya, ta tahu bahwa lm ada a da haya a lm ada utu setap blo oda a A * λ dega λ (yatu, λ e θ, 0 θ < < π ) maa dagoal da blo oda, yatu λ, laya aa teus beubah da hal aa membuat * ( da A) tda mempuya lmt a λ, maa Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 8
* m m m mempuya lmt a da haya a m, atya λ adalah la aatest semsmple Tetap λ bsa ada sebaya tedapat buah sehgga p blo oda dega betu [ ] Abatya, lm A ada a * x da haya a betu oda utu A mempuya betu I pxp 0 P AP, dmaa 0 K p p ma() da ρ ( K ) < eut teoema yag meyaa esstes da lmt suatu mats yag dpagata dega suatu blaga tetetu sepet yag telah duaa datas Teoema 6 Utu mats A, lm A ada a da haya a (a) ρ ( A ) <, atau (b) ρ ( A ), dmaa λ adalah satu-satuya la aatest pada lgaa satua da λ adalah semsmple 9 Cesao Summable Msal { α } adalah basa yag ovege e α Msala pula tedapat basa la, yatu { μ } yag beoespodes dega { α } dmaa α+ α μ α, α+ α + + α μ,, μ asa { μ } dsebut dega basa Cesao yag beoespodes dega { } α a lm μ α, maa { α} dsebut Cesao Summable e α Dega Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 9
ata la, eovegea megabata summablty tetap summablty tda megabata eovegea Sebaga cotoh, pehata basa { }, 0,, 0, asa tda ovege, tetap meml summablty /, yag meupaa la ata-ata da { 0, } Teoema 7 a { α } ovege e α maa { } μ α+ α + + α dmaa μ ovege e α ut a { α } basa yag ovege e α maa utu setap ε > 0 tedapat N blaga bulat postf sehgga α α < ε / utu setap N da tedapat blaga eal β sehgga α α < β utu setap Abatya, utu setap N a α + α + + α N μ α α ( α α) + ( α α) N+ N Nβ N ε Nβ ε α α + α α < + + N+ cuup besa maa Nβ ε, sehgga μ α < ε ad basa { μ } ovege e α Hal belau pula utu veto da mats dega mesubttusa dega om veto da om mats Kta ataa mats A ovege a lm A ada da mats summable a ( + + + + lm I A A A )/ ada Sepet dalam blaga, a A ovege e G maa A summable e G Utu megaalss bahwa A A Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 30
summable adalah dega mempehata bahwa summable a da haya a betu oda P AP utu A uga summable Dega ata la setap blo oda d summable Abatya, A tda mug summable a ρ ( A ) >, aea a A λ adalah blo oda dega λ >, λ lm I / adalah maa setap eleme dagoal da ( + + + + ) (, ) δ λ + λ+ λ + + λ λ λ (6) λ λ Nla da δ ( λ, ) aa mead tda tebatas a Dega ata la, ta bsa membatas maa A A ρ ( A ) < ρ A utu mead summable a ovege (da summable uga) e ol ad, ta haya pelu membuta utu asus ρ ( A ), dmaa la aatestya teleta pada lgaa satua dalam bdag omples a λ σ ( A) dmaa λ, λ da a des ( λ ) > maa tedapat blo oda λ λ yag uuaya lebh besa da Setap eleme pada supedagoal petama da ( ) I+ + + + / adalah tuua δ / λ da (6) Tuua aa beoslas tda tebatas a la, Dega ata A tda summable a tedapat la aatest λ pada lgaa satua da des ( λ ) > a λ da des λ >, maa supedagoal petama da lm A tda summable aea eleme pada ( I+ + + + ) adalah Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 3
+ + + Abatya, a g dtuua bahwa A summable da meml la aatest λ sehgga λ, maa hauslah des λ a λ adalah la aatest utu A dmaa λ, blo oda yag beoespodes dega λ aa summable, aea (6) aa megabata maa, λ + λ+ λ + + λ 0, utu λ, λ λ, utu λ [ ], a λ da des( λ) [ ] λ λ ( λ) ( I+ + + + ) lm 0, a, da des 0, a λ < Abatya, a A summable maa betu oda utu A adalah I p p 0 P AP 0 Nla aatest utu des Msala C, dmaa p ma ( λ ) C adalah λ < atau λ, λ dega Ip p 0 λ, maa C summable e 0, abatya summable e 0 0 ( ) P P P da P Q Q, maa I+ A+ A + + A I+ + + + P P Q P P P P PQ I 0 0 p p Ip p ( ) 0 0 0 0 Q G Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 3
edasaa Teoema 9(b) maa G adalah poyeto pada sepaag ( A) N I R( I A ) eut adalah gasa sgat dalam Teoema 8 megea Cesao Summable yag telah delasa sebelumya Teoema 8 (a) ρ ( A ) <, atau A dsebut Cesao Summable a da haya a (b) ρ ( A ) dega setap la aatest pada lgaa satua besfat semsmple a ada, lmt Cesao, yatu lm ( I+ A+ A + + A ) G meupaa poyeto pada N ( I A ) sepaag ( ) R I A Teo Peo-Fobeus utu Mats Stoast Madoa Yuta (003035) 33