PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup:

Transkripsi

1 PENDAULUAN D dalam modul Ada aka mempelajar teor gaggua bebas waktu yag mecakup: teor gaggua tak degeeras bebas waktu, teor gaggua degeeras bebas waktu, da efek Stark. Oleh karea tu, sebelum mempelajar modul Ada terlebh dahulu harus mempelajar modul-modul sebelumya. Mater kulah dalam modul merupaka dasar dar mater yag aka Ada pelajar pada modul-modul selajutya, terutama modul omor 9 dar matakulah Fska Kuatum. Pegetahua yag aka Ada peroleh dar modul aka barmafaat utuk mempelajar mater kulah Fska Zat Padat, Fska It, Fska Atom, Fska Partkel, da lmu-lmu Fska lajut laya. Setelah mempelajar modul Ada dharapaka dapat mecapa beberapa tujua struksoal khusus, sebaga berkut: Ada harus dapat 1. meghtug pemsaha eerg dega megguaka teor gaggua bebas waktu yag tak degeeras. 2. meghtug pemsaha eerg dega megguaka teor gaggua bebas waktu yag degeeras. 3. meghtug pemsaha eerg pada efek Stark. Mater kulah dalam modul aka dsajka dalam uruta sebaga berkut: 1. KB. Teor gaggua. D dalam KB. 1 Ada aka mempelajar sub-pokok bahasa : teor gaggua tak-degeeras bebas waktu da teor gaggua degeeras bebas waktu.. 1

2 2. KB. 2 teraks partkel dega meda lstrk. Dalam KB. 2 Ada aka mempelajar sub-pokok bahasa: efek Stark. Agar Ada dapat mempelajar modul dega bak, kutlah petujuk belajar berkut. 1. Bacalah tujua struksoal khusus utuk modul. 2. Baca da pelajar dega seksama uraa setap kegata belajar. 3. Sallah kosep dasar da persamaa-persamaa petg ke dalam buku latha Ada. 4. Perhatka da pelajar dega bak cotoh-cotoh soal/masalah dalam setap kegata belajar. 5. Kerjaka semua soal latha da usahaka tapa melhat kuc jawaba terlebh dahulu. 2

3 KB. 1 Teor Gaggua 1.1 Teor gaggua tak degeeras yag tak bergatug pada waktu. Pada KB-1 kta aka mempelajar tetag cara memperhalus metoda aproksmas. Teor gaggua dmula dega asums bahwa hamltoa peggaggu (pertubato hamltoa),, adalah sagat kecl dbadg dega hamltoa awal yatu hamltoa sebelum ada gaggua (uperturbed hamltoa),, sehgga hamltoa total () dapat dtuls sebaga berkut = +. (1) Asums laya adalah bahwa fugs ege da eerg ege dar hamltoa total () tdak jauh berbeda dega fugs ege da eerg ege dar hamltoa awal ( ). Dega kata la, msalka ϕ da E adalah fugs ege da eeg ege dar, sehgga ϕ > = ( + ) ϕ > = E ϕ > (2). Sedagka fugs ege da eerg ege dar adalah masg-masg ϕ da E, sehgga kta dapat meuls persamaa egevalueya sebaga berkut ϕ > = E ϕ > (3) Kemuda berdasarka kedua asums tad kta dapat meuls ϕ = ϕ + ϕ (4) E = E + E (5) Utuk tujua peekaa bahwa adalah sagat kecl dbadg, kta aka meulska dega cara meyertaka sebuah parameter yag berla sagat kecl da dber otas λ, 3

4 sehgga = λ. Dega megguaka hamltoa peggaggu, kta dapat meuls ulag persamaa egevalue d atas sebaga berkut ( + λ ) ϕ > = E ϕ > (6) Selajutya kta asumska bahwa fugs ege da eerg ege dar dketahu. Karea kta tahu bahwa jka λ medekat ol, maka ϕ aka medekat harga ϕ da E aka medekat E. Dega demka kta dapat megekspas ϕ da E dalam betuk deret dega ϕ da E sebaga suku pertamaya, yak sebaga berkut: ϕ = ϕ + λϕ (1) + λ 2 ϕ (2) +.. (7) E = E +λe (1) + λ 2 E (2) + (8) Perhatka bahwa agka-agak d dalam tada kurug ( ) tdak meyataka pagkat melaka meyataka orde. Jka kta substtuska persamaa (7) da (8) ke dalam persamaa (6) d atas, kta aka medapatka ( + λ )( ϕ + λϕ (1) + λ 2 ϕ (2) +...) = (E +λe (1) + λ 2 E (2) + )( ϕ + λϕ (1) + λ 2 ϕ (2) +.) (9) [ ϕ E ϕ ] + λ[ ϕ (1) + ϕ E ϕ (1) - E (1) ϕ ] + λ 2 [ ϕ (2) + ϕ (1) E (1) ϕ (1) E (2) ϕ ] +. =. (1) Persamaa berebtuk F () + λf (1) + λ 2 F (2) + λ 3 F (3) + λ 4 F (4) + λ 5 F (5) + =. Jka persamaa harus bear utuk sembarag la λ, maka : F () = F (1) = F (2) = F (3) = F (4) = F (5) =. =. 4

5 Dega cara sepert, dar persamaa (1) d atas kta dapat memperoleh hmpua persamaa-persamaa sebaga berkut a. ϕ = E ϕ. b. [ E ]ϕ (1) = [E (1) ]ϕ. c. [ E ]ϕ (2) = [E (1) ]ϕ (1) (2) + E ϕ. (11) d. [ E ]ϕ (3) = [E (1) ]ϕ (2) + [E (2) ϕ (1) (3) + E ϕ. Persamaa (11.a) dalam metoda aproksmas teredah megembalka formas ke keadaa semula, yak ϕ da E masg-masg merupaka fugs ege da eerg ege dar. Dalam persamaa (11.b) kta melhat bahwa beroperas pada ϕ (1). al meyaraka bahwa solus utuk persamaa dapat dperoleh melalu ekspas ϕ (1) dalam sebuah superposs dar fugs ege dar, yatu sebaga berkut ϕ () > = c ϕ >. (12) Substtuska persamaa (12) ke dalam persamaa (11.b) d atas! Ada aka memperoleh: [ E ] c ϕ > = [E (1) ] c ϕ > (13) Kta kalka persamaa (13) dega <ϕ j dar kr, sehgga kta dapatka: <ϕ j [ E ] c ϕ > = <ϕ j [E (1) ] c ϕ > (14) [E j E ] c j = E (1) δ j j. [E j E ] c j + j = E (1) δ j, (15) 5

6 dmaa j adalah eleme matrk dar hamltoa dalam represetas ϕ, yak j <ϕ j ϕ > (16) Jka j, maka aka meghaslka koefse-koefse c j yag jka dsubsttuska ke dalam persamaa (12) meghaslka koreks orde pertama utuk ϕ, yatu: c = E E ϕ (1) = E E ϕ () + c ϕ () (17) Koefse c pada persamaa (17) sebearya berla, karea kta berasums bahwa semua koreks terhadap ϕ () adalah ormal (tegak lurus) terhadap ϕ (), sehgga <ϕ (s) ϕ > =. (18) Jad persamaa (17) dapat dtuls lebh sederhaa sebaga berkut : ϕ (1) = E E ϕ () (19) Sekarag marlah kta kembal ke persamaa (15). Jka j =, persamaa (15) meghaslka koreks orde pertama utuk eerg E, sehgga E (1) = (2) Persamaa (2) adalah eleme-eleme dagoal dar matrk. Akhrya dega mesubsttuska persamaa-persamaa (19) da (2) ke dalam persamaa-persamaa (7) da (8) da mesalka λ = 1, Ada aka medapatka 6

7 ϕ = ϕ + E E ϕ () (21) da E = E + (22) Persamaa (21) da (22) meyataka fugs ege da eerg ege dar hamltoa total sampa koreks orde pertama. Utuk meetuka koreks orde kedua terhadap ϕ da E kta harus meyelesaka persamaa (11-c) d atas. Ds kta juga mecatat bahwa beroperas pada ϕ (2). Dalam hal aka lebh bak jka kta megekspas ϕ (2) dalam fugs ege dar, yatu sebaga berkut: ϕ (2) = d ϕ () (23) Jka kta substtuska persamaa (23) ke dalam persamaa (11-c) d atas, maka kta aka memperoleh: E () d ϕ () > + ϕ (1) > = E () d ϕ () > + E (1) ϕ (1) > + E (2) ϕ () > Kemuda kta kalka persamaa dega < ϕ () j dar sebelah kr, sehgga kta dapatka: (E () j E () ) d j + < ϕ () j ϕ (1) > = E (2) δ j + E (1) < ϕ () j ϕ (1) > (24) Jka j =, persamaa (24) aka meghaslka : E (2) = < ϕ () ϕ (1) > (25) Dega megguaka persamaa (19) d atas, kta aka dapat meulska persamaa (25) sebaga berkut: E (2) = E (2) = < ϕ () E E E E ϕ () > 7

8 E (2) = E 2 E (26) Dega demka, eerg total dar hamltoa total dapat dtuls sampa koreks eerg orde kedua adalah sebaga berkut: E = E () + + E 2 E. (27) Persamaa (27) meyataka la eerg total setelah adaya gaggua ( ) yag dapat dterma sampa koreks orde kedua. 1.2 Teor gaggua bebas waktu yag degeeras. Ada baru saja mempelajar teor gaggua bebas waktu yag tak-degeeras. Selajutya sekarag Ada aka mempelajar teor gaggua bebas waktu yag degeeras. Utuk hal, kta juga aka megguaka hamltoa total sebaga berkut : = + (22) dmaa juga sagat kecl dbadg. al mrp dega pembahasa utuk kasus tak-degeeras. Tetap ds memlk fugs ege yag degeeras. Msalka keadaa dasar dar adalah terdr dar q buah (lpat) degeeras. Tujua utama dar toer pertubas degeeras adalah utuk meghtug tgkat-tgkat eerg baru yag dhaslka akbat adaya degeeras. Msalka, sepert dalam kasus tak-degeeras, kta ekspas orde pertama fugs gelombag dalam betuk fugs ege sebaga berkut: 8

9 ϕ () > = c ϕ > (23) dmaa koefse-koefse c dtetuka oleh c = E E (24) Jka E () 1 adalah q buah degeeras, berart: E () 1 = E () 2 = E () 3 = E () () 4 =..= E q da c adalah tak berhgga utuk la, < q. Keadaa dapat dperbak dega cara mebuat sebuah hmpua fugs bass yag baru dar hmpua {ϕ () } yag medagoalsas sub-matrk. Dega eleme-eleme dluar dagoal berla ol, kta aka memperoleh koefse-koefse (c ) yag berkata dega eleme-eleme tersebut adalah juga berla ol, da kta dapat memprosesya sepert dalam kasus tak-degeeras. Jad tujua utama dalam teor gaggua bebas waktu yag degeeras adalah utuk medagoalsas sub-matrk dar. Kta msalka ke q buah fugs yag medagoalsas dber label ϕ, sehgga kta dapat megekspas ϕ = q a ϕ > (25) Kombas ler dar fugs ege-fugs ege medagoalsas sehgga < ϕ ϕ > = p δ p. (26) p Matrk dhtug dalam bass dega cara sebaga berkut: 9

10 = qq (27) Kta sekarag aka meujukka bahwa eleme-eleme dagoal sub-matrk q x q dar adalah merupaka koreks eerg orde pertama (E ) terhadap E, yatu: E = < ϕ ϕ > = utuk < q (28) Jka semua eleme dagoal adalah masg-masg berbeda, kemuda ke q buah degeeras dar dtadaka oleh perturbas (gaggua). Utuk mempertahaka kesamaa dar persamaa (28) kta lakuka hal berkut. Persamaa Schrodger utuk hamlto total dapat dtuls sebaga berkut: ϕ = ( + ) ϕ = E ϕ (29) Keadaa dasar dar adalah degeeras sebayak q buah. Jka kta substtuska ϕ = ϕ da E = E () (1) + E ke dalam persamaa (29) maka kta aka medapatka (1) ϕ > = E Ada harus gat bahwa ϕ > (3) ϕ adalah juga merupaka keadaa yag degeeras. Dar persamaa (3) Ada dapat membuktka bahwa E (1) =. (31) Persamaa (31) merupaka betuk la dar persamaa (28). 1

11 Latha: Sebuah atom hdroge yag berada dalam keadaa dasar (groud state) dber gaggua (perturbas) oleh sebuah potesal yag berbetuk: = er 2 (3 cos 2 θ - 1) q/4 dmaa e muata lstrk elektro, θ = sudut atara vektor jar-jar ( r ) dega sumbu-z postf, q kompoe dar meda yag membulka gaggua. Tetuka orde pertama fugs gelombag yag tergaggu utuk = 2 da = 3. 11

12 Ragkuma. 1. Koreks orde pertama utuk ϕ (yag tak degeeras) adalah: ϕ (1) = E E ϕ () + c ϕ () 2. koreks orde pertama utuk eerg E (yag tak degeeras) adalah: E (1) = 3. koreks orde kedua utuk eerg E (yag tak degeeras) adalah: E (2) = < ϕ () ϕ (1) > 12

13 Tes Formatf-1 Petujuk: jawablah semua soal d bawah. Sebuah partkel berada dalam sebuah potesal oslator harmok dua dmes V(x,y) = ½ mω 2 (x 2 + y 2 ). 1. Tulska hamltoa dar oslator dua dmes yag tdak tergaggu (uperturbed). 2. Tulska hamltoa total utuk sstem tersebut. 3. Tulslah tga tgkat eerg pertama. 4. Tetuka ketga fugs gelombagya utuk ketga tgkat eerg pada pertayaa d atas. 5. Msalka partkel tersebut dtempatka dalam sebuah perturbas sebesar = λxy. Tetuka koreks eerg orde pertama utuk keadaa dasar da keadaa ekstas pertama. 6. Tetuka pula orde ke ol fugs gelombag utuk keadaa ekstas pertama. 13

14 Tdak Lajut (Balka): Cocokalah jawaba Ada dega kuc jawaba tes formatf 1 pada akhr modul, da berlah skor (la) sesua dega bobot la setap soal yag djawab dega bear. Kemuda jumlahka skor yag Ada peroleh lalu guaka rumus d bawah utuk megetahu tgkat peguasaa (TP) Ada terhadap mater KB-1. Rumus (TP) = (jumlah skor/jumlah soal) x 1 % Art TP yag Ada peroleh adalah sebaga berkut : 9 % - 1 % = bak sekal. 8 % - 89 % = bak 7 % - 79 % = cukup < 7 % = redah. Apabla TP Ada > 8 %, maka Ada boleh melajutka pada mater KB 2, da Selamat!!, Tetap jka TP Ada < 8 %, Ada harus megulag mater KB-1 d atas terutama baga-baga yag belum Ada kuasa. 14