DISUSUN OLEH KELOMPOK III

Transkripsi

1 FUNGSI BESSEL DISUSUN OLEH KELOMPOK III Nama Aggoa : Desaah 7.. T Yua 7..5 Oa Helaa 7.. Sea ula Dessy Adea 7.. Esca Oaa Semese : L Pogam Sud : Pedda Maemaa Maa Kulah : Maemaa Lajua FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 9/

2 FUNGSI BESSEL PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL Fugs Bessel dbagu sebaga eyelesaa esamaa dfeesal. y y y, yag damaa esamaa dfeesal Bessel. Peyelesaa umum dbea oleh y c c Y Peyelesaa, yag memuya lm behgga uu medea ol damaa fugs Bessel jes eama da beode. eyelesaa Y yag a memuya lm behgga [yau a ebaas] uu medea ol damaa fugs Bessel jes edua da beode- aau fugs Neuma. a eubah bebas ada dga λ d maa λ suau osaa, esamaa yag dhasla adalah y y λ y Yag memuya eyelesaa umum y c λ c Y λ FUNGSI BESSEL ENIS PERTAMA Ddefsa fugs Bessel jes eama beode sebaga Γ... 5 Aau! Γ D maa Γ adalah fugs gamma [Bab 9]. a blaga bula osf, Γ!, Γ. Uu, maa

3 ... 7 Dee ovege uu sea. Gaf da dujua ada Gamba -. a seegah aau blaga gajl osf, daa dyaaa dalam suu-suu sus da cosus. Lha Soal. da.7. Sebuah fugs, > daa ddefsa dega megga oleh ada 5 aau. a suau blaga bula, maa a daa meujua bahwa [lha Soal.] 8 a bua suau blaga bula, maa da bebas lea, da uu asus eyelesaa umum adalah y A B,,,,,... 9 FUNGSI BESSEL ENIS KEDUA Ka aa medefsa fugs Bessel jes edua beode sebaga Y cos,,,,... s cos lm,,,,... s Uu asus d maa,,,, deoleh uaa dee beu uu Y. Y! l γ { Φ Φ }!! D maa γ, adalah osaa Eule da Φ..., Φ

4 FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK GENERATING FUNCTION Fugs e damaa fugs embag uu fugs Bessel jes eama beode bula, yag saga baya guaya dalam memeoleh sfa-sfa fugs uu la bula da emuda segal daa dbua belau uu semua. RUMUS-RUMUS PENGULANGAN RECURRENCE FORMULA Hasl beu belau uu sea la... [ ].. d d [ ] 5. d d. [ ] a adalah suau blaga bula umus esebu daa dbua dega fugs embag. Pehaa bahwa hasl da beuu-uu seaa dega 5 da. Fugs Y memeuh hasl yag sama see d aas, d maa meggaa. Y FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL.Fugs Hael es Peama da Kedua, yag beuu-uu ddefsa oleh

5 H Y, H Y I K.Fugs Bessel yag Dmodfas. Fugs Bessel yag dmodfas jes eama beode ddefsa oleh e a blaga bula, I I 5 Tea ja bua blaga bula, I da I bebas lea. Fugs Bessel yag dmodfas jes edua beode ddefsa oleh I I,,,,... s I I lm,,,,... s Fugs memeuh esamaa dfeesal y" y y 7 da eyelesaa umum esamaa adalah c K y c I 8 aau ja,,,,... y AI BI 9.Fugs Be, Be, Ke, Ke. Fugs Be da Be adalah baga l da maje da d maa e, yau Be Be Fugs Ke da Ke adalah baga l da maje da e K d maa e, yau

6 e K Ke Ke Fugs-fugs begua sehubuga dega esamaa y" y y yag membagu e elsa da laaga laya. Peyelesaa umum da esamaa adalah y c ck PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM PERSAMAAN BESSEL Pesamaa y β y" α y d maa, α,, β osaa memuya eyelesaa umum y α α c cy 5 d maa β α K. a, esamaaya daa dselesaa sebaga esamaa Eule aau Cauchy [lha halama 8] RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL Uu la besa a memuya umus asmo beu ~ cos, Y ~ s NILAI NOL FUNGSI BESSEL Ka daa meujua bahwa ja suau blaga l, memuya a behgga bayaya aa yag semuaya l. Pebedaa d aaa aa-aa yag beuua medea ja la aaya membesa.

7 I daa dlha da. Ka daa juga meujua bahwa aa-aa elea d aaa da juga dbua uu Y.. Caaa seua daa KETEGAK-LURUSAN ORTHOGONALITY FUNGSI BESSEL a λ da µ dua osaa bebeda, a daa meujua [lha Soal.] bahwa λ µ λ µ λ µ λ µ d 7 λ µ sedaga [lha Soal.] λ d λ λ 8 λ Da 7 a lha bahwa λ da µ adalah dua aa bebeda da esamaa S R 9 d maa R da S osaa, maa d λ µ yag meyaaa bahwa fugs λ da µ egaluus ada,. Pehaalah bahwa sebaga asus husus 9 a melha bahwa λ da µ daa meuaa dua aa bebeda da aau Ka daa juga megaaa bahwa fugs-fugs λ, ehada fugs eadaa.. µ egaluus DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL See ada asus Dee Foue, a daa meujua bahwa ja f memeuh syaa Dchle [d halama 97] maa d sea eoua f ada selag < < edaa suau uaa dee Bessel yag bebeu

8 f A A λ A λ λ... R d maa λ, λ,... adalah aa-aa osf 9 dega, S da S A λ λ R S λ λ f d D ea-oua dee d uas aa ovege e [ f ]. f yag daa dguaa uu meggaa uas Dalam asus S sehgga,... A λ λ adalah aa-aa da, λ λ f d, a R da, maa dee dmulas dega suu ea A f d SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL. Guaa meode Fobeus uu meeua dee eyelesaa esamaa dfeesal Bessel y" y y da. Adaa suau jawaba bebeu β y c d maa begea sama da c uu <, maa β β β y c c c y β c β β β y" c β Kemuda, dega mejumlahaya deoleh c β

9 [ β β c β c c c ] y" β da aea oefse [ ] c c β haus ol, deoleh β Adaa ada ; aea c maa deoleh esamaa awal c β ; aau adaa c, β. Kemuda, jaulah dua asus, β da β. Peama aa dadag asus eama β, da asus edua deoleh dega meggaa oleh. Kasus, β. Dalam asus mejad c c Ambllah,,,,... secaa beuua ada, a memuya c, c c, ad dee yag dga adalah c c, c c, y c Kasus, c β. c... c Galah oleh ada Kasus, deoleh... y c... Seaag, ja edua dee sama. a,,... dee edua da mug ada. Tea bla,,,... edua dee esebu daa dujua bebas lea sehgga uu asus eyelesaa umumya adalah y C... D... 5

10 Kasus uu,,,,... aa dbcaaa emuda [lha Soal.5 da.]. FUNGSI BESSEL ENIS PERTAMA Guaa defs 5 da yag dbea ada halama uu meujua bahwa ja,,,,... maa eyelesaa umum ada esamaa bassel adalah y A B uu asus,,,,....bualah a s, b cos, !! 5/! 7 / a b 5 /!/ / /!!!... 5! / 5 / / / 7 / s / /... s 7 / /! 5/ / /!!!... cos.huglah a d, b d a Meode.Meode egala asal membea d [ d] d [ ] [ ][ ] d c b Meode. Guaalah, deahu d d d { d} d [ d] [ ] [ ][ d] d { d}...

11 Maa d [ { }] c 8 d 5 [ d] 5 [ ] [ ] 5 d d [ ]d 5 [ ] [ ] d d d [ ] d d d d Maa d 5 [ d] d { } Iegal d da daa deoleh dalam beu euu.secaa umum, d daa deoleh dalam beu euu ja q da q gea haslya daa deoleh dalam suu-suu d a Bualah. s b Bahaslah a hasl a dadag da ebegauga lea da c Kaea, da,,beuu-uu dsga da, memeuh esamaa bassel,maa ", " aaalah esamaa eama dega Maa yag daa duls d d da edua dega da uagalah. " " [ ] [ ] [ ] [ ]

12 d Aau { [ ]} d Iegalalah,a memeoleh Uu meeua c guaalah uaa dee da,deoleh c...,...,...,... Da emuda subsusa ada, a memeoleh s c Dega megguaa hasl,dhalama 7. I membea hasl yag dga. a Beu ada a adalah deema Wos da da. a blaga bula a lha da a bahwa deema wos ol;sehgga da begauga lea da da juga jelas da soal.a. dalam hal la,ja bua blaga bula, da eduaya bebas lea aea ada asus deema wosya a ol. FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA Bualah e e Ka memuya Adaa mejad e e!! sehgga begea da!! sama, maa jumlahya!!!! Bualah a cos sθ cos θ cos θ... Adaa b s sθ sθ s θ 5 s 5θ... θ e ada soal,maa

13 e θ θ e e sθ θ e e [ cos θ s θ ] { [ ] cosθ [ ] cosθ...} { [ ] sθ [ ] s θ...} { cos θ...} { sθ s...} θ Dmaa a elah megguaa soal.a. samaa baga l da majeya uu eoleh hasl yag dga. Bualah cos θ sθ dθ,,,,... Kala hasl eama da edua soal.beuu-uu dega caa cos θ da s θ da egala da sama dega megguaa m cosm θ cos θdθ m sm θ s θdθ Kemuda ja gea aau ol deoleh : m m cos sθ cos θdθ, s sθ s θdθ Da dega mejumlahaya deoleh : [ cos sθ cos θ s sθ s θ ] dθ cos θ sθ dθ Dega caa seua,ja gajl,maa s sθ s θdθ, cos sθ s θdθ Da dega mejumlahaya deoleh θ θ dθ cos s ad a memeoleh hasl yag belau uu gea aua gajl,yau,,, Bualah hasl soal.b uu la bula dega megguaa fugs embag. Dfeesala edua uas fugs embag ehada aa meulsa lm sama uu des.

14 e Aau Yau I daa duls sebaga Aau Yau Kaea oefse haus sama,maa Da da s hasl yag dga deoleh dega megga oleh -. FUNGSI BESSEL ENIS KEDUA atujua bahwa ja blaga bula,eyelesaa umum esamaa Bessel adalah y E F s cos belasalah bagamaa ada daa megguaa baga a uu memeoleh eyelesaa umum esamaa bessel dalam asus bula. FUNGSI BESSEL a Kaea da bebas lea,peyelesaa umum esamaa bessel daa duls : y c c

15 da hasl yag dga deoleh dega megga osaa sebaag c oleh E dmaa c F cos c E, c s F s Pehaalah bahwa a medefsa fugs bessel jes edua bla bua suau blaga bula dega Y b Beulah cos s cos s Mejad suau a eu / deemae yag bebeu / uu asus suau blaga bula.hal dsebaba uu suau blaga,deahu cos da lha soal.. beu a eu daa dhug dega umus L Hosal,yau cos lm s Guaalah soal uu memeoleh eyelesaa umum esamaa uu Dalam asus haus dhug cos lm s Guaalah umus L Hosal uua emblag da eyebu ehada ada lm,deoleh lm / cos cos P / P P

16 Dmaa lambag yag dguaa meyaaa bahwa a megambl uua asal da da P ehada da emuda megambl.kaea. / / P lm yag dga juga sama dega Uu memeoleh / duua dee! / Tehada da deoleh /! P Seaag ja seadaya G /, maa L l / l G Sehgga uuaya ehada membea / l G G Maa uu deoleh / l / G Guaa da, deoleh / l! / { }... / l γ

17 Dmaa dee eah deoleh dega megguaa hasl dhalama.dee eah adalah dee uu Y.Dega caa yag sama a daa memeoleh dee dhalama uu Y dmaa sebuah blaga bula.a sebuah blaga bula,maa eyelesaa umumya y c c Y dbea oleh FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL. Bualah umus egulaga uu fugs bessel jes eama yagelah dmodfas l yag dbea oleh I I I Da soal.ba memeoleh Galah dega uu memeoleh Seaag meuu defsya I aau I sehgga mejad I I I Baglah dega,maa hasl yag dga ecaa.. a bua suau blaga bula,ujualah bahwa e a H s Meuu defs H day, maa cos H Y s s cos s cos s s

18 e s e s b e H s Kaea, Y H deha megga oleh ada hasl a maa deoleh e H s e s. Tujualah a Be Be... 8 FUNGSI BESEEL Deahu: Da hasl yag dga ecaa dega megga bahwa da Be Be meyamaa baga l da majeya.elu

19 dca bahwa adag-adag meghlaga des ol dalam Be dabe. PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL.. eua eyelesaa umum esamaa y y ay. Pesamaa esebu daa duls sebaga y y ay da meuaa suau husus da esamaa d halama dmaa, a a,, β maa eyelesaa see dbea adalah y c a c y a KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL.Bualah λ µ λ µ λ µ λ µ d ja λ µ. λ µ Da da dhalama,elhaa bahwa y λ y µ da Adalah eyelesaa esamaa y y λ y, y y µ y Dega egala esamaa dega y da dega y da emuda uaga, a memeoleh [ y y y y ] [ y y y y ] µ λ y y Seelah dbag dega daa duls sebaga beu Aau d d [ y y y y ] [ y y y y ] µ λ y y { [ y y y y ]} µ λ y y d d Kemuda egala da hlaga osaa egegalaya,

20 µ λ y y d [ y y y y ] Lalu guaa y λ y maa, µ da baga dega µ λ, λ µ ad λ µ d [ λ µ λ µ λ µ ] λ d µ λ µ λ µ λ µ µ λ Yag evale dega hasl yag dga. λ µ λ ada hasl soal o.dega meguaa umus L hosal. bua λ d λ λ. msala deoleh λµ d λ µ λ λ µ µ λ µ λ µ λ lm µ λ λ λ λ λ λ Tea aea λ λ λ λ λ λ, uu λ dega meyelesaa da mesubsusaya deoleh λ d λ λ.bua bahwa ja λda µ adalah dua aa bebeda da samaa N R S λ µ d Yau λ da dmaa R da S osaa, maa µ salg ega luus ada,. Kaea λ da µ aa da, R S a memuya λ

21 R λ S N, R S µ µ µ Kemuda, ja R, S da a memeoleh λ µ µ µ λ µ Sehgga da soal.a medaaa hasl yag dga λ λ d Dalam asus R, S aau R, S, hasl esebu juga daa dbua dega mudah. DERET FUNGSI BESSEL.a f A, λ < >, dmaa λ,,,,..., aa osf da, dujua bahwa A P λ λ f d Kala dee uu f dega da sama.maa λ f d A λ λ A λ da egala suu dem suu λ AK N λ Dmaa a elah meggua soal..da. besama-sama dega eyaaa bahwa d d A K λ λ f d Uu memeoleh hasl yag dga da s,dguaa umus egulaga dhalama yag evale dega umus dhalama u, a memeoleh λ λ λ λ λ

22 Aau aea λ λ λ.uaa f dalam suau dee yag bebeu A Uu <<,ja λ A λ d λ X λ,,,,, adlah aa osf da, λ λ λ λ v v λ λ λ v λ Dmaa a elah megguaa eggaa v λ dalam egalya da hasl soal.8 dega ad a memeoleh dee yagdga f λ λ λ v dv Yag daa duls sebaga λ λ λ λ λ... λ SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL.. Tujualah bahwa ja dga oleh λ dmaa λ osaa, maa esamaa Bessel y y y dasfomasa mejad y y λ y FUNGSI BESSEL ENIS PERTAMA

23 5 selag eovegea adalah X <<.7.a ujua....8.ujua. d d.9. ujualah [ ]..Huglah a 5 da b 5 da esalah bahwa dalam suu-suu sus da cosus...eualah dalam suu-suu da... bualah bahwa a Da bualah eumusa hasl., [ ] [ ]. huglah a d b. d c. d. huglah a d b. d s d..5.huglah FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN. guaalah fugs embag uu membua bahwa [ ] uu asus dmaa bula..7 guaalah fugs embag uu megejaa soal. dalam asus bula. s d θ.8 ujualah cos θ.9 ujualah d FUNGSI BESSEL ENIS KEDUA.. Bualah Y Y

24 .. huglah a. Y, b.. Y..bualah Y Y.5. Tujualah I θ cosh s dθ..55. Tujualah a sh I I... b cosh I I I [ ] [...] sh.5. Tujualah a I cosh cosh b I sh..57. a Tujualah K K K b elasalah megaa fugs K memeuh umus egulaga yag sama see uu I dega I dga dega K..58. Bea umus asmo uu a I, b H..59. Tujualah Ke { l γ } Be Be!! 8 PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM PERSAMAAN BESSEL.. Selesaa y y y... Selesaa a y y y, b y y... Selesaalah y e y. msala e u... Tujualah dega egaa lagsug bahwa y adalah suau eyelesaa da y " y da b ulsalah eyelesaa umumya....

25 .. a Tujua dega egaa lagsug bahwa y adalah suau jawaba da y y da b ulsa eyelesaa umumya.,,,.5. a Tujualah bahwa esamaa Bessel y y y daa d u dasfomasa edalam u dmaa y u. d b Bahaslah asus dmaa besa da jelasa hubugaya dega umus asmo dhalama. DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL.. Legalah soal. dhalama 5 uu asus a R, S, b R, S.7. Tujualah d λ λ αλ.8. Bualah hasl.9. Tujualah 8 da λ..7. Tujualah λ da λ..7. Tujualah [ ] λ λ c λ λ λ... < < λ λ... < < λ λ λ... < λ λ 8 λ osf da. dmaa λ adalah aa osf dmaa λ adalah aa osf dmaa λ adalah aa.7. Guaalah soal.7 da.75 uu meujua adalah aa osf da λ. λ dmaa λ

26 AWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN.8. a 8.9. s cos b s cos.. a c b c d.. a c b j d.. s cos c.. a a b b a b b a b a a b a c b a b.8. a cos b s.5. a Y c b Y Y / c c Y Y Y Y d A BY y.. a As Bcos y b y A / B.5. A e BY e y