Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1
Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2
Kompetesi Dasar Setelah megikuti kuliah, peserta dapat membedaka atara baris da deret, beberapa deret positif da deret gati tada yag populer, da meetuka kekovergea deret tersebut. 3
PENDAHULUAN Seorag filsuf dari Yuai Zeo of Elea (495-435 BC) megemukaka race course paradox. 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 2 2 b 1,,,,,,, 1 1/2 Apakah pelari sampai garis fiish? 4
Cotoh: Udia utuk medapat Uag Belaja setiap tahu sampai duia kiamat. - Apakah tidak perah stop? - Yag maa yag palig megutugka? Piliha I: B=Rp 1.000.000 B B B B B B,,,,,,, 2 4 8 16 2 Piliha II: C=Rp 500.000 C C C C C C,,,,,,, 2 3 4 5 5
Apakah barisa 1 1 1 1 1 1 1,,,,,,, 2 4 8 16 2 2 1 1 1 1 1 1 1,,,,,,, 2 3 4 5 b c b da c koverge? 1 1 1 1 1 b 1 2 4 8 16 2 1 1 1 1 1 c 1 2 3 4 5 b Apakah deret da c koverge? 6
Kekovergea Baris: Barisa a koverge ke L atau lim a L jika utuk setiap ε terdapat bilaga positif N sehigga utuk N, a L. Barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga disebut Diverge 7
Sifat-sifat limit barisa yag koverge 1.lim k k, 2.lim ka k lim a, a Misal da adalah barisa koverge da K adalah kostata. 3.lim a b lim a lim b, 4.lim a b lim a lim b, a lim a 5.lim, asalka lim b 0. b lim b b 8
Teorema Apit: a Jika da barisa yag koverge ke L da b c a b c, utuk K, maka koverge juga ke L. Cotoh: Tetuka kekovergea barisa koverge ke 0. 3 si Teorema limit mutlak: Jika lim a 0 lim a 0 maka 9
Teorema Barisa Mooto: Jika a barisa tak turu da U adalah batas atas dari barisa tersebut, maka barisa a aka koverge ke suatu limit A, da A U. U Jika a barisa tak aik da U adalah batas bawah dari barisa tersebut, maka barisa suatu limit A, da A U. a U aka koverge ke 10
DERET TAK-HINGGA k1 a a a a k 1 2 3... Jumlah parsial: S S S 1 2 a a 1 a 1, a a S 2, a... 1 2 3 a 11
Defiisi kekovergea deret Deret tak-higga a k k1 mempuyai jumlah S jika barisa jumlah parsial S koverge ke S. koverge da Teorema kedivergea deret Deret tak-higga ak koverge maka lima 0 k1 k k lima 0 Jika maka deret diverge. k k a k k1 12
Beberapa Deret yag populer Deret geometri: k1 k1 2 3 ar a ar ar ar... dega a 0 2 2 S rs a ar ar ar r a ar ar ar a ar, S a ar 1 r, r < 1 deret koverge S= lim S r 1 deret diverge a 1 r 13
1 1 1 1 Deret Harmoik: 1...... k 2 3 k1 1 1 1 S 1... 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1... 2 2 2 S= lim S deret diverge 14
Deret Kolaps/Telescopig Deret k1 a k b k a yag tiap sukuya dapat dibetuk mejadi S k b k1 ( b k1 k, k=1,2,3, sehigga b 1) b k 1 b Kekovergea deret tergatug pada lim S 15
Deret p: Uji Itegral: k1 1 1 1 1 1 p 2 p 3 p 4 p k Jika f fugsi kotiu, positif da tak aik pada selag [1, ) da adaika a k f ( k) utuk semua bilaga positif k maka k1 a k koverge jika haya jika 1 f ( x) dx koverge p > 1 deret koverge, p 1 deret diverge 16
Sifat-sifat deret koverge Jika da b keduaya koverge da c a k k1 k 1 adalah kostata, maka da k ca da ( a b ) koverge k k k k1 k1 1. ca c a, k k1 k1 2. ( a b ) a b. Sifat deret diverge k 1 k k k k k 1 k 1 k 1 Jika a diverge da c 0 maka ca diverge. k k k 1 k 17
UJI KEKONVERGENAN DERET 1. a merupaka deret terkeal: 1.Deret Geometrik: r < 1 koverge, r > 1 diverge 2. Deret Harmoik: diverge 3. Deret yag Megecil (collapsig series) 4. Deret-p: p > 1 koverge, p 1 diverge S a 1 r 18
2. Uji suku ke- utuk divergesi Jika lim a 0 atau tidak ada maka diverge. 3. Jika a deret positif 1. Uji jumlah terbatas 2. Uji Itegral 3. Membadigka dega deret lai yag terkeal - Uji Perbadiga Biasa - Uji Perbadiga Limit 4. Membadigka suku-suku sediri - Uji Rasio 19
4. Deret Bergati Tada 5. Membadigka dega a 1. Kovergesi Mutlak: Jika a koverge maka a 2. Uji Rasio Mutlak 3. Kovergesi bersyarat 6. Susu Ulag a koverge tapi a diverge koverge 20
Membadigka dega deret lai yag terkeal (sudah diketahui kekovergeaya) Uji Perbadiga Biasa: Adaika 0 a b, utuk N, 1. Jika b koverge maka a koverge 2. Jika a diverge maka b diverge 21
Uji Perbadiga Limit: Adaika a b 0, >0, da a lim b L 1. Jika 0 < L < maka a da b sama-sama koverge atau diverge. 2. Jika L=0 da b koverge maka a koverge 22
Membadigka suku-suku sediri Uji Rasio: Jika a adalah deret positif da a lim a 1 1. Jika ρ < 1 maka deret koverge. 2. Jika ρ > 1 atau ρ = maka deret diverge. 3. Jika ρ = 1 maka tidak ada kesimpula (harus cari uji lai) Guaka uji ii jika a melibatka!, r atau 23
Uji deret bergati tada: Misalka adalah deret bergati tada dega Jika lim a 0 a a a a... 1 2 3 4 1 0. maka deret tersebut koverge. a a Cotoh: tujukka deret koverge ( 1) 1 1 2 2 24
Uji Rasio Mutlak: Jika u adalah deret dega suku-suku takol da lim u 1 u 1. Jika ρ < 1 maka deret koverge mutlak. 2. Jika ρ > 1 atau ρ = maka deret diverge. 3. Jika ρ = 1 maka tidak ada kesimpula (harus cari uji lai) 25
DERET PANGKAT Deret fugsi u( x) Cotoh: si( x) si x si 2x si 3x 2 1 4 9 Pertayaa petig: 1. Utuk x yag bagaimaa deret aka koverge? 2. Pada fugsi yag bagaimaakah deret tersebut aka koverge? Atau berapa S(x) dari deret? Deret Pagkat: 1 a x a a x a x a x... 2 3 0 1 2 3 26
Himpua kevergesi: Himpua x dimaa sebuah deret pagkat aka koverge. Himpua kovergesi utuk deret pagkat berupa salah satu dari 3 jeis selag berikut: (1). Titik tuggal x = 0 ax (2). Selag (-R,R) dega/tapa 2 titik ujug selag (harus dicek di titik ujug selag) (3). Seluruh garis bilaga Real. Jari-jari kekovergea: (1) 0 (2) R (3) 27
Cotoh: x ( 1)2 0 1. Tetuka himpua kekovergea ya. 2. Tetuka jari-jari kekovergeaya. 28
Deret Pagkat: 1 a ( x a) a a ( x a) a ( x a) a ( x a)... Himpua kovergesiya berupa salah satu dari 3 jeis selag berikut: (1). Titik tuggal x = a 2 3 0 1 2 3 (2). Selag (a-r,a+r) dega/tapa 2 titik ujug selag (harus dicek di titik ujug selag) (3). Seluruh garis bilaga Real. 29
Pediferesiala da pegitegrala pada deret pagkat Misal S(x) adalah jumlah deret pagkat pada selag I S( x) a a x a x a x... 2 3 0 1 2 3 Jika x berada dalam selag I, maka 0 1 2 1 2 3 1. S '( x) D a x a 2a x 3 a x... x a x 1 30
x 2. S( t) dt a t dt a x a x a x a x... 0 0 0 0 x a x 1 1 1 2 1 3 1 4 0 2 1 3 2 4 3 Mafaat: - Medapatka deret baru dari deret pagkat yag ada - Melakuka hampira ilai dari fugsi di suatu titik. Cotoh: x x x 3 5 7 3 5 7 1 ta x x... Dari maa? 31
ta Igat: 1 x x 0 1 1 t 2 dt Dari deret geometri terhadap x, dimaa: k1 Gati x dega k1 2 3 1 x 1 x x x... 1 x 1 1 t 1 1 t 2 2 0 0 2 t sehigga 2 4 6 1 t t t... x x x x 3 5 7 3 5 7 1 ta x x... S 2 4 6 1 t t t... dt a 1 r x 32
Cotoh: Tetuka deret pagkat dari x 1 1. f ( x) e 1 x x 2. f ( x) l(1 e ) 33
DERET TAYLOR DAN DERET MACLAUREN Deret pagkat yag terkeal adalah Deret Taylor da Deret Maclauri. Deret Taylor adalah deret pagkat dalam x-a dega koefesieya adalah koefesie poliom Taylor. f ( x) Jika f memeuhi c0 c1( x a) c2( x a) c3( x a) utuk semua x di sekitar a, maka. c 2 f ( ) ( a)! 3... 34
Kekovergea deret Taylor: Deret Taylor: f ( a) f '( a)( x (3) f ( a) ( x a) 3! f ''( a) a) ( x 2! 3... a) meggambarka fugsi f sebearya pada selag (a-r,a+r) jika lim R ( x) 0 ( 1) dega f ( c) 1 R( x) ( x a) ( 1)! 2 (suku sisa) di maa c titik atara x da a. 35
Deret Maclauri yag petig: 1 1 x x x... 1 x 1. 2 3 2. 3. 2 3 4 x x x l(1 x) x... 2 3 4 x x x 3 5 7 3 5 7 1 ta x x... 4. 2 3 4 e x 1 x x x x... 2! 3! 4! 36
5. 6. 7. 8. 9. 3 5 7 x x x si x x... 3! 5! 7! 2 4 5 x x x cos x 1... 2! 4! 5! 3 5 7 x x x sih x x... 3! 5! 7! 2 4 5 x x x cosh x 1... 2! 4! 5! p p p p 1 2 3 2 3 (1 x) 1 x x x... 37