! " #" # $# % " "& " # ' ( ) #

! "#"# $#%""&"#'#

"*# *" " " #,#" " "# * # ""- # # "! " #" # $#%""&"# '# #" &# '&$'# # "'/0& " # #'"# ## # # #"""--* # #* #"* "'# #* 0 # # ***0" #""# ** #""# " #,#"##' ##' #*"#"#"'#"" #"#" ## # # "*### " " '# "" # ## # ## ** "#'* #* #'**" ### ## ##,"# # #%"# #'" ##'** * " " #" "# #"" "##"*"# #' # ## #'"# #"#" ## * # # # '# #"*"#" # ##" '#* # *%""#""-*#' #, " ##" #'#,#" #""* #" "#'# *#' *""-### ##, " #'"# '# "" ## " # '# $# **###""#'## # *# #" ### " ""# *#*" # # '# * #" 45 *"#"$#%""&"# '# # 0 #" #'*- "*#' ## # *"#'# #&# #" ##"#** ###*## * #"" #" 6#7 i

00 " #,#"0 0 " #,#"8## 8# 0 #'"#" #,#"! 0 ## " # 9 "" #0 ##&,"#!#"8#0 : " 07 : " ; 8## < # '#&""< <0 #< < 97 " # " 0 ' # #9, *#" 5 ####- #; 9# #8" #< 0 9# #987 9# #94 $ % $$ 0 9 "# *"8###" #< 8## 5 #7 8#5 ###&,"#&#"#0 " #4': 8## ##&,"#&#"#<! # %& ' 0 9# #984 7 " ;0 *! *' 0 *,*>##; %,!#"?*; %,";; #@#";; 9 " "@#;; ";< ii

& /*0 & %A BC /* /, #'"# # 0AB; /* /, penelesaian sin untuk 0 < /* /, #'"# # 0A7 /*0 & %A# C A /* & %A #' ##' /* & % C A#' ##' /* 9# #" "#< /* 9# # 7 /* 9# #! /*0 9# #"!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 7 iii

# $$ % % " # %%&%$ % " # $'%$ % % " # $$ $ % " Persamaan Diferensial Persamaan diferensial differential equation adalah persamaan ang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifna terhadap variabel-variabel bebas Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial: d e sin d, " ' cos, u u u, t d d 4 Persamaan diferensial disingkat PD dibagi dalam dua kelas aitu biasa dan parsial Persamaan diferensial biasa ordinar differential equation adalah suatu persamaan diferensial ang melibatkan hana satu variabel bebas Jika diambil sebagai suatu fungsi satu variabel, dengan dinamakan variabel bebas dan dinamakan variabel tak bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa disingkat PDB dapat dinatakan dalam bentuk n F,,,,, Jelas bahwa persamaan,, dan 4 adalah PDB, sedangkan adalah tidak Sebenarna, adalah suatu persamaan diferensial parsial partial differential equation Persamaan diferensial parsial disingkat PDP adalah suatu persaman diferensial ang melibatkan dua atau lebih variabel bebas Tingkat order dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi ang muncul dalam persamaan diferensial Sebagai contoh: d d a 6 0 adalah PDB tingkat, d d b t sin[ t] adalah PDB tingkat, c a adalah PDB tingkat, d t t adalah PDB tingkat,

u u e adalah PDP tingkat, u u u f adalah PDP tingkat t Dari persamaan di atas mudah dilihat mana ang merupakan variabel bebas atau variabel tak bebas Sebagai contoh, pada a variabel tak bebasna aitu, pada b variabel tak bebasna dalam t ang dinatakan secara eksplisit Pada c dan d dipilih variabel bebasna adalah sembarang tetapi biasana dianggap dan t Persamaan diferensial parsial e mempunai variabel tak bebas u u,, sedangkan pada f variabel tak bebasna aitu u u,, t Seringkali dinotasikan derivatif parsial dengan subscript tulisan di bawah garis, seperti kasus e dapat ditulis menjadi u u dan untuk f menjadi u tt u u Derajat degree dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari suku derivatif tertinggi ang muncul dalam persamaan diferensial Sebagai contoh: a d d adalah PDB tingkat dua berderajat satu d d b 4 adalah PDB tingkat dua berderajat tiga u u u c adalah PDP tingkat dua berderajat dua Selanjutna pada buku ini hana akan dibahas mengenai persamaan diferensial biasa Kata-kata persamaan diferensial diartikan sebagai persamaan diferensial biasa kecuali keadaanna diperjelas bahwa ang dimaksud adalah persamaan diferensial parsial Suatu persamaan diferensial dengan sarat tambahan pada fungsi ang tidak diketahui dan derivatif-derivatifna, semua diberikan pada nilai ang sama untuk variabel bebas, merupakan suatu masalah nilai awal initial-value problem Sarat tambahan tersebut dinamakan sarat awal initial conditions Jika sarat tambahan diberikan pada lebih dari satu nilai variabel bebas, dinamakan masalah nilai batas boundar-value problem dan saratna dinamakan sarat batas Sebagai contoh, masalah e ;, adalah masalah nilai awal, sebab dua sarat tambahan diberikan pada π Masalah e ; 0, adalah suatu masalah sarat batas, sebab dua sarat tambahan diberikan pada nilai ang berbeda aitu dan, & #% Suatu persamaan diferensial adalah linear dalam himpunan satu atau lebih variabelvariabel tak bebas jika hana jika setiap suku persamaan ang memuat variabel-variabel tersebut atau derivatif-derivatifna adalah berderajat satu Suatu persamaan diferensial ang tidak linear dalam beberapa variabel tak bebas dikatakan tidak linear dalam variabel tersebut Suatu persamaan diferensial ang tidak linear dalam himpunan semua variabel tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear Sebagai contoh:

Persamaan Diferensial Linearitas 4 cos Linear, biasa, dan tingkat 4 cos Tidak linear karena memuat u v u v sin u t d d sin t dt dt Linear dalam v tetapi tidak linear dalam u karena memuat sinu Jadi, persamaan adalah tidak linear Linear dalam setiap variabel tak bebas dan, tetapi tidak linear dalam himpunan {, } Jadi, persamaan adalah tidak linear," -#& # Persamaan diferensial tingkat dan secara umum dapat dituliskan seperti F,,, 5a F,,,, 5b dengan notasi ang jelas untuk persamaan tingkat tinggi, sehingga persamaan seringkalidiasumsikan dapat diselesaikan untuk derivatif tertinggi dan dituliskan f,, 6a f,, 6b 0 Suatu fungsi terdiferensial φ adalah penelesaian dari 5 pada interval J jika F, φ, φ, J Biasana suatu persamaan tingkat satu mempunai suatu keluarga penelesaian φ, c ang tergantung pada parameter tunggal c Suatu persamaan tingkat dua biasana mempunai dua parameter dalam keluarga penelesaianna, misalna φ, c, c Parameter-parameter tersebut adalah seperti konstanta-konstanta integrasi Selanjutna, suatu persamaan diferensial dikatakan berbentuk diferensial jika dituliskan sebagai M, d N, d 7 Suatu fungsi terdiferensial φ adalah penelesaian dari 8 jika substitusi ϕ, d ϕ d ke 7 membentuk identitas Suatu fungsi terdiferensial ψ adalah suatu penelesaian dari 8 jika substitusi ψ, d ψ d ke 7 membentuk identitas / Pada persamaan-persamaan berikut ini, klasifikasikan sebagai persamaan diferensial biasa PDB atau persamaan diferensial parsial PDP, berikan tingkatna Jika persamaan tersebut adalah PDB, natakan variabel bebas dan tak bebasna, dan juga natakan apakah persamaan itu linear atau tidak linear 4 t t t t t 4 d d

4 5 dr tan cos d r θ θ 6 sin t dθ dt 7 t d t sin t e 8 dt t d d dp 9 5 9 cost 0 ap b p dt dt dt u u t t 4 t 4 t d 5 d 0 Buktikan bahwa sebuah atau beberapa fungsi ang diberikan adalah suatu penelesaian dari persamaan ang diberikan 6 ; e, 7 9 5 ; e 8 4 8 ; ln 9 6 ; e cos 0 5 4 sin ; cos sin 6

# %&" # $$ %" # '%'*'%&" # &*&%&", Suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu derajat satu adalah suatu persamaan ang memuat satu variabel bebas, biasana dinamakan, satu variabel tak bebas, d biasana dinamakan, dan derivatif Suatu persamaan diferensial tingkat satu derajat d satu dapat diambil dalam bentuk d d, f dengan f, adalah kontinu di dan Seringkali persamaan dituliskan dalam bentuk lain seperti M, d N, d Gambar : Keluarga kurva f k Suatu persamaan diferensial memberikan informasi tentang fungsi tak diketahui Penelesaian umum general solution dari suatu persamaan diferensial tingkat satu 5

6 adalah keluarga dari semua fungsi ang memenuhi persamaan Setiap fungsi dalam keluarga tersebut adalah suatu penelesaian khusus particular solution dari persamaan diferensial Dalam beberapa kasus, keluarga fungsi-fungsi akan tergantung oleh suatu konstanta k, dan grafik dari fungsi tersebut akan berbentuk suatu keluarga dari kurvakurva pada bidang XY tetapi tidak saling bersentuhan satu dengan ang lainna, seperti pada Gambar Selanjutna akan dibicarakan beberapa bentuk persamaan diferensial biasa tingkat satu derajat satu beserta metode elementer untuk menelesaikanna, 0 Suatu persamaan diferensial terpisahkan separable differential equation adalah suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu ang secara aljabar dapat direduksi ke suatu bentuk diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel Sebagai contoh aitu fd gd, dengan penelesaianna tentu saja adalah f d g d k Persamaan diferensial adalah terpisahkan jika dapat dituliskan ke bentuk d P Q, d sedangkan jika persamaan diferensial diberikan dalam bentuk, maka persamaan diferensial ini dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan ke bentuk fgd Fgd 4 Suatu penelesaian umum untuk persamaan dapat ditemukan dengan lebih dahulu mengalikanna dengan d, selanjutna dibagi dengan Q dan diintegralkan: d P d k Q 5 Untuk persamaan 4, penelesaian dapat ditemukan dengan lebih dahulu membagina dengan hasil kali F G untuk memisahkan variabel dan selanjutna diintegralkan: f g d d k 6 F G Perlu dicatat bahwa bentuk 5 dan 6 sebenarna dapat dibawa ke bentuk ang sama menjadi M d N d k Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menelesaikan suatu persamaan diferensial terpisahkan ang diberikan dalam bentuk : Langkah Persamaan dituliskan dalam bentuk untuk menentukan Q, dan diselesaikan persamaan Q untuk memperoleh penelesaian konstan dari PD Langkah Digunakan beberapa operasi aljabar untuk memisahkan variabel dan selanjutna diintegralkan Jika mungkin, diselesaikan untuk sebagai fungsi dari Penelesaian ini biasana tergantung pada suatu konstanta k Langkah Dituliskan penelesaian umum untuk PD ang diperoleh pada langkah dan dengan memperhatikan apakah penelesaian konstan dapat diperoleh dari penelesaian pada Langkah

7 Langkah 4 Jika suatu nilai awal 0 0 diberikan, digunakan sarat tersebut untuk menemukan konstanta k dan penelesaian khusus dari masalah nilai awal Perlu dicatat bahwa mungkin penelesaian khususna adalah penelesaian konstan pada Langkah Untuk kasus Q dan Q 0 harus dilakukan secara terpisah pada langkah dan, sebab pembagian oleh Q pada langkah tidak dapat dilakukan untuk Q,, Selesaikan masalah nilai awal d, 5 d -#, Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diambil Q dan diselesaikan, diperoleh adalah penelesaian konstan untuk PD Langkah Memisahkan variabel dan mengintegralkan kedua sisi d k d ln k e Langkah Langkah 4 k ce, dengan c e jika > 0, dan c e jika < 0 Karena penelesaian konstan bisa diperoleh dari penelesaian pada Langkah dengan mengambil c, maka penelesaian umum untuk persamaan diferensial adalah: 5 ce Jadi, penelesaian khusus untuk PD: ce Disubstitusikan untuk dan 5 untuk pada penelesaian umum: c 5e 5e e 5e Grafik dari penelesaian khusus ditunjukkan pada Gambar k Gambar : Grafik penelesaian untuk 5,, Tentukan penelesaian umum untuk persamaan diferensial d sin d Selanjutna tentukan penelesaian khususna jika 0

8 -#, Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diambil Q dan diselesaikan, diperoleh adalah penelesaian konstan untuk PD Langkah d sin d d sin d k Langkah Langkah 4 cos k cos k Penelesaian umum untuk persamaan diferensial adalah: atau cos k, karena tidak bisa diperoleh dari penelesaian kedua Penelesaian konstan tidak memenuhi sarat awal Karena itu cos0 k 0 k k Jadi, penelesaian khusus untuk PD: cos, ang diilustrasikan pada Gambar Ini didefinisikan hana untuk π < < π dan menuju untuk mendekati π Gambar : Grafik penelesaian sin untuk 0,," Tentukan penelesaian khusus untuk d, d -#, Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diambil Q dan diselesaikan, diperoleh and Langkah Persamaan ditulis kembali menjadi d d Menggunakan teknik integrasi fungsi rasional, diperoleh ln k ln Langkah Penelesaian untuk persamaan diferensial adalah ± ln ln k

9 Gambar 4: Grafik penelesaian untuk Langkah 4 Disubstitusikan dan ke penelesaian Langkah, diperoleh k ln Penelesaian ang diberikan dalam bentuk implisit dituliskan kembali dalam bentuk eksplisit aitu dengan grafikna dinatakan pada Gambar 4,,$ Gerak suatu benda jatuh dalam suatu media penahan dinatakan dengan dv g bv dt ketika daa tahanna sebanding dengan kecepatan v Tentukan kecepatan setiap saat dengan persaratan v 0 -#, Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diselesaikan Qv g bv, diperoleh penelesaian konstan g v t b dv dv Langkah dt dt k g bv g bv ln g bv t k ln g bv b t k b Langkah b t k b t k bv e v g e g b Penelesaian konstan tidak bisa diperoleh dari penelesaian pada Langkah untuk suatu nilai k, maka penelesaian umum untuk persamaan diferensial adalah: g v t b b t k g e b

0 Langkah 4 Karena penelesaian konstan tidak memenuhi sarat awal, disubstitusi t dan v ke penelesaian pada Langkah, diperoleh g e bk bk g e e bk g b bk lng k ln g b Jadi persamaan kecepatan dari benda jatuh dinatakan dengan g bt v t e b,,! Selesaikan persamaan-persamaan diferensial di bawah ini dengan memisahkan variabel-variabel d a d d b d -#, a Karena tidak ada sehingga, maka tidak ada suatu penelesaian konstan untuk PD Selanjutna dicari penelesaian tak konstan Persamaan diferensial ditulis kembali menjadi b d d dan selanjutna diselesaikan sebagai berikut: d d d d 6k Seperti pada soal bagian a, persamaan tidak mempunai penelesaian konstan Selanjutna persamaan dapat ditulis kembali menjadi d d dan diselesaikan sebagai berikut: d d ln k ln k dengan k 6k,,' Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut ini: a d d b d d -#, a Persamaan dibagi oleh menjadi d d Menggunakan teknik integrasi fungsi rasional, diperoleh k

b d d ln ln{ } k ln k ln k [ln k k ] k k [k k ] Persamaan dibagi oleh menjadi d d, dan diintegralkan sebagai berikut: d d k arctan arctan arctank [arctank k ] Dengan memisalkan arctan α, arctan β, arctank γ tanα, tanβ, tanγ k, diperoleh tan tan α β γ tanα β tanγ tan γ tan tan k k k Untuk menghindari kesalahan, penelesaian umum dapat diperiksa dengan diferensiasi Sebagai contoh, penelesaian untuk Contoh dapat diperiksa sebagai berikut d d cos cos sin cos sin sin /, Pada soal 40, tentukan penelesaian umum untuk persamaan diferensial sin e e 4 5 6 7 e 8 cos 9 tan 0 sin, 0 4 8

5 sin p dt t cos p dp 6 7 4 4 8 9 t 5t t 0 e d d d 9 dt b d a d 4 d d 5 d d 6 d d d d 7 d d 8 9 d d 0 cos d d d d e dr re d 4 4 4 e dr re d 0 4 4 d e d 5 sinh d cosh d 6 cos d sin d 7 sin d cos d 8 sin sin d cos cos d 9 sinh cos d cosh sin d 40 sin sinh d coscosh d Pada soal 4 60, selesaikan masalah nilai awal 4, 4, 0 ln 4, 44, 0 d 45, 46 e 4 sin, 4 d 47 e, 0 48, 49 4 d 9d, 50 d d, 4 8 5 d e 5 d, 0 5, 0 54, 0 56 55 57 4, 0, 0 d t t, 0 dt, 58 d d 59 d d,,5 60 cos cos d sin sin d,,5,5, 7

," %0 Suatu fungsi F, adalah fungsi homogen berderajat n dalam dan jika Fλ, λ λ n F, untuk setiap parameter λ Sebagai contoh: a F, adalah fungsi homogen berderajat 0 u v b G u, v adalah fungsi homogen berderajat u uv v u c H u, v adalah fungsi homogen berderajat u v Persamaan dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi homogen jika M, dan N, adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n Lebih lanjut, jika persamaan tersebut dibawa ke bentuk, maka persamaan dapat dituliskan kembali menjadi d d M, M N, n N n,, f 7 Perlu dicatat bahwa ruas kanan tidak berubah apabila secara bersamaan diganti dengan a dan diganti dengan a Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menelesaikan persamaan tersebut: Langkah Dimisalkan u untuk 0, atau ekuivalen dengan u, d du dan derivatifna u atau d ud du d d Langkah Disubstitusikan persamaan pada Langkah ke persamaan diferensial dan dikelompokkan dalam dua suku diferensial d dan du sehingga akan diperoleh persamaan diferensial terpisahkan Langkah Diselesaikan persamaan diferensial terpisahkan Langkah 4 Disubstitusikan u ke persamaan ang diperoleh pada Langkah sebagai penelesaian untuk PD awal,", Selesaikan persamaan diferensial d d -#, M, Mλ, λ λ M,, N, Nλ, λ λ N, Oleh karena itu persamaan awal adalah persamaan diferensial dengan koefisien fungsi homogen, dan diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Langkah Dimisalkan u, 0, dengan diferensialna d ud du Disubstitusikan persamaan dan d ke persamaan awal: u d uu d du u d u du u d du [PD Terpisahkan] u

4 Langkah Langkah 4 PD terpisahkan diselesaikan sebagai berikut: u d du k u ln ln u ln k [ln k k ] k u Disubstitusikan u, diperoleh penelesaian untuk PD awal: k Biasana jika N, lebih sederhana daripada M,, maka akan lebih disukai untuk menggunakan substitusi u Sebalikna, jika M, lebih sederhana daripada N,, digunakan substitusi w dengan 0,", Selesaikan persamaan diferensial d d -#, Langkah Dimisalkan w, 0, dengan d w d dw Langkah Disubstitusikan persamaan dan d ke PD awal, diperoleh wd dw w w d Langkah Langkah 4 dw w d dw d [karena 0] w PD pada Langkah diselesaikan sebagai berikut: dw d k w ln w w ln ln k [ln k k ] Disubstitusikan w k w w, diperoleh penelesaian untuk PD awal: k,"," Selesaikan persamaan diferensial -#, Persamaan dapat dituliskan kembali menjadi

5 Langkah Langkah Langkah Langkah 4 d d Dimisalkan u untuk 0, dengan derivatifna d du u d d Disubstitusikan persamaan pada Langkah ke PD di atas: du du u u d u u du d u d u u Diselesaikan PD terpisahkan pada Langkah, diperoleh k ln u ln ln k u Penelesaian umum untuk PD awal aitu k Secara khusus, terdapat suatu persamaan diferensial tak terpisahkan ang merupakan modifikasi dari persamaan 7, aitu d g h 8 d Dengan menggunakan substitusi ang sama akan diperoleh du g u h d ang juga terpisahkan: h du d g u,",$ Selesaikan persamaan diferensial cos -#, Langkah Dimisalkan u untuk 0, dengan derivatifna d du u Diambil g dan h cos d d Langkah Langkah Disubstitusikan persamaan pada Langkah ke PD awal: du cos udu cos d d u Diselesaikan PD terpisahkan pada Langkah, diperoleh u sin k u ± sin k

6 Langkah 4 Disubstitusikan u ke persamaan pada Langkah, diperoleh penelesaian umum untuk PD awal aitu k ± sin /," Pada soal, tentukan penelesaian umum untuk persamaan diferensial ang diberikan 5 4 6 7 8 9 0 4 cos sec 4 5 tan 7 6 d d d 8 4 d d 9 sin 0 d dt t t 5 e 4 d dt t 4t Pada soal, selesaikan masalah nilai awal d 4, 4, 0,5 d 5 4, 4 6, 0 7 9 d t, 8, dt t d, 0, d, 6, 4 4,$ % Pada persamaan, jika M, dan N, adalah fungsi linear dalam dan, maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi linear Dengan kata lain, persamaan ini mempunai bentuk:

7 a b cd p q rd 9 dengan a, b, c, p, q, r R Berikut ini diperhatikan dua kasus beserta langkah penelesaianna: a b Kasus atau p q ka b untuk suatu k R p q Langkah Dimisalkan a b u, dengan diferensialna aitu du ad d b Langkah Disubstitusikan persamaan pada Langkah ke PD awal untuk memperoleh PD terpisahkan dalam dan u Langkah Diselesaikan PD terpisahkan Langkah 4 Disubstitusikan u a b ke penelesaian pada Langkah untuk memperoleh penelesaian PD awal a b Kasus atau p q ka b untuk setiap k R p q Langkah Dimisalkan u dan v dengan dan berturutturut adalah nilai dan ang merupakan penelesaian dari sistem persamaan linear a b c p q r Langkah Disubstitusikan persamaan dan pada Langkah beserta diferensialna, d du dan d dv, ke PD awal, untuk memperoleh PD koefisien fungsi homogen dalam u dan v Langkah Diselesaikan PD ang diperoleh dari Langkah Langkah 4 Disubstitusikan u dan v untuk memperoleh penelesaian PD awal,$, Selesaikan persamaan diferensial 9 d 6 9 d -#, Karena 6, PD diselesaikan dengan langkah-langkah seperti berikut: Langkah d du Dimisalkan u dengan d Langkah Disubstitusikan persamaan pada Langkah ke PD awal, diperoleh d du u 9 d u 9 0 u d u 9 Langkah du u 9 d du u Diselesaikan PD terpisahkan sebagai berikut: d u 9 u du k 6 du k u u 6lnu k [PD terpisahkan]

8 Langkah 4 Disubstitusikan u, diperoleh penelesaian umum untuk PD awal aitu 6ln k,$, Selesaikan persamaan diferensial 7 7 d 7 d -#, Karena 7 k 7 untuk sebarang k R, maka PD diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Sistem persamaan linear 7 7 7 mempunai penelesaian dan Karena itu dimisalkan u dan v dengan diferensialna d du dan d dv Langkah Disubstitusikan persamaan dan serta diferensialna di Langkah ke PD awal, diperoleh 7 u v du u 7v dv ang merupakan PD dengan koefisien fungsi homogen Langkah Diselesaikan PD pada Langkah sebagai berikut: Dimisalkan v tu, untuk t tu dan u 0, dengan dv tdu udt Selanjutna disubstitusikan ke PD, diperoleh 7 u tu du u 7tu tdu udt Langkah 4 t du u tdt 7u 7 7 7t du dt u t 7 u du 7t dt t 5 7 ln u ln [ t t ] k 7 ln u v v 5 ln u u ln 5 v v 7 ln u k u u 7 5 ln u v v k u u Disubstitusikan u dan v, diperoleh penelesaian umum untuk PD awal aitu k 5 k [ln k k] /,$ Pada soal 9, tentukan penelesaian umum dari persamaan diferensial ang diberikan 4 5 5 4 4 9

9 5 4 6 5 7 9 6 6 8 9 5 0,! Suatu persamaan diferensial berbentuk dinamakan persamaan diferensial eksak eact differential equation jika hana jika terdapat suatu fungsi f sehingga f M dan f N dalam keseluruhan suatu daerah Jadi, dipunai d f d f atau [ ] 0, f d Penelesaianna aitu k f, dengan k adalah konstanta sebarang Meskipun beberapa persamaan eksak mudah untuk dikenal dan diselesaikan, umumna tidak mungkin untuk mengatakan dengan pendugaan apakah suatu persamaan diferensial tingkat satu ang diberikan adalah eksak atau tidak Berikut ini adalah kriteria sederhana untuk keeksakan,!, Jika f M, dan f N, adalah kontinu, maka persamaan diferensial adalah eksak jika hana jika N M, Jika persamaan diferensial adalah eksak, maka terdapat suatu fungsi diferensial, f sehingga [ ] 0, f d Dipunai f M, dan f N, sebagai suatu sarat keeksakan Sebagai tambahan, jika M dan N terdiferensial, maka N f f M dengan derivatif parsial campuran dari f ada dan kontinu Karena itu, M dan N ada, kontinu, dan sama Untuk membuktikan kebalikan dari teorema, diasumsikan bahwa N M Karena itu terdapat fungsi f sehingga M f dan N f

0 Diambil pertama kali intergral M, terhadap, dan tergantung Diperkenalkan variabel t ang memberikan pernataan f, M t, dt c 0 0 Bukti akan lengkap jika dapat ditentukan c dan f N, Berdasarkan 0, diperoleh f M t, dt c' M t, dt c' 0 0 N t, dt c' 0 t N, N 0, c' f Jadi akan sama dengan N,, seperti ang diminta, jika c ' N 0,, ang berarti M Telah ditunjukkan bahwa jika Bukti lengkap c N 0, t dt 0 N, maka M t, dt f, N 0, t dt 0 Dengan menggunakan hipotesis ang sama, kita dapat membuktikan sarat cukup dari teorema di atas dengan pertama kali mengintegralkan N, terhadap, dan tergantung Dengan cara ini kita temukan fungsi g ang dinatakan oleh M t, dt 0 g, 0 N, t dt 0 Berikut ini akibat ang memberikan dua cara menuliskan penelesaian,!, Jika persamaan diferensial M, d N, d adalah eksak, maka untuk, dan sebarang titik,, 0 0 atau 0 M t, dt N 0, t dt 0 0 f, k M t, 0 dt N, t dt 4 0 0 g, k adalah suatu penelesaian umum untuk persamaan diferensial Berikut ini langkah-langkah untuk menelesaikan PD eksak berbentuk Langkah Dituliskan fungsi diferensial f f M dan N

Langkah Diselesaikan f, M, d k, f, N, d k Langkah Dibandingkan kedua persamaan pada Langkah untuk menentukan k dan k sehingga diperoleh f, Langkah 4 Penelesaian umum untuk PD adalah f, k Untuk Langkah dan Langkah dapat dilakukan dengan cara lain seperti ang ditunjukkan pada bukti sarat cukup dari Teorema 5,!, Tunjukkan bahwa diferensial-diferensial berikut adalah eksak dan selesaikan persamaan diferensial ang berkorespondensi: a 9 d 4 d b e sin sin d e cos cos d -#, a Untuk persamaan ini, M M, 9 N N, 4, karena itu PD adalah eksak dan diselesaikan sebagai berikut: Langkah Fungsi diferensialna aitu f 9 f dan 4 Langkah f, 9 d k Langkah Langkah 4 4 d k f, Dengan membandingkan kedua persamaan di atas, diperoleh k dan k, karena itu f, Penelesaian umum untuk PD adalah k M b M, e sin sin e cos sin, N, e cos cos N e cos sin, karena itu PD adalah eksak Langkah Fungsi diferensialna aitu f f e sin sin dan e cos cos d Langkah f, e sin sin

Langkah Langkah 4 f, e sin cos k f e cos cos k f Dengan membandingkan persamaan pada Langkah dan, diperoleh k 0 atau k konstanta Karena itu, dipunai f, e sin cos k Penelesaian umum PD adalah e sin cos k /,! Pada soal, tentukan penelesaian umum untuk PD ang diberikan 4 d d cot d csc d 4 d d 4 5 e d e d 4 6 e d e d 7 cos 4 d sin d 8 e d e d d d 9 0 e e d d cos ln e cos d sin d 4 d d 5 e d d d d e 4 e 7 sin cos d d d d 6 cos sin d d 8 cos cos 9 0 0 sin e d cos e d e d e e d 0 d 6 0 d cos cos sin sin Pada soal 4 0, tentukan penelesaian khusus untuk PD ang diberikan 4 e d e d cos sin, 0 π 5 tan 5 d sec d, 4 6 d d 7 d [ ln ] d, 4, 4 π d d

8 d d e, 0 4 9 sin d cos d, 0 π 0 cos d sin d, 0,' M N Jika suatu persamaan diferensial berbentuk mempunai sifat maka persamaanna dinamakan persamaan diferensial tak eksak Seringkali, suatu persamaan diferensial tak eksak dapat diubah ke persamaan diferensial eksak dengan mengalikan keseluruhan persamaan dengan suatu faktor ang tepat, ang disebut faktor pengintegralan integrating factor Pengamatan berikut seringkali membantu dalam menemukan faktor pengintegralan: Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi d d d, dicoba fungsi sebagai suatu pengali Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi d d d, dicoba fungsi sebagai suatu pengali Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi d d, dicoba atau sebagai suatu pengali Jika tidak, dicoba atau atau fungsi dari pernataan tersebut, sebagai suatu faktor integral, dengan mengingat: d d d ln, d d d tan Teorema berikut menunjukkan kemungkinan lain untuk menemukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial tak eksak bentuk,', M N a Jika adalah suatu fungsi dari saja, katakan f, maka N ep f d adalah suatu faktor pengintegralan N M b Jika adalah suatu fungsi saja, katakan g, maka M ep g d adalah suatu faktor pengintegralan, a Berdasarkan hipotesis, jika p adalah faktor pengintegralan ang tergantung pada variabel saja, maka

4 b p M, d p N, d adalah diferensial eksak Dari Teorema 5, dipunai sarat perlu M N d p pm pn p p N d Akhirna, diperoleh d p M N p p f d N ang mempuai suatu penelesaian umum Analog f p ep d Diberikan langkah-langkah untuk menelesaikan PD tak eksak bentuk : Langkah Dihitung M N M dan N Langkah Terdapat dua kasus M N Kasus : Dihitung N Jika pernataan ini adalah fungsi saja, maka dipilih faktor pengintegralan M N p ep d N N M Kasus : Dihitung M Jika pernataan ini adalah fungsi saja, maka dipilih faktor pengintegralan N M q ep d M Langkah Persamaan awal dikalikan dengan faktor pengintegralan dan diselesaikan persamaan baru eksak seperti pada subbab sebelumna,', Tentukan faktor pengintegralan dari persamaan di bawah ini dan selesaikan persamaan ang berkorespondensi -#, Langkah d d M, N, N M, M N Langkah Karena merupakan fungsi saja, maka faktor N pengintegralanna adalah Langkah d e p ep Persamaan awal dikalikan dengan p dan diselesaikan e d e d

5 Diambil fungsi diferensialna adalah f, dengan f i e f ii e Persamaan ii diintegralkan terhadap kemudian diderivatifkan terhadap : f, e k f e e k' iii e k' Dibandingkan persamaan i dan iii, diperoleh k ' atau dengan kata lain k konstanta Oleh karena itu, penelesaian umum untuk PD aitu e k /,' Pada soal 5, tentukan faktor pengintegralan ang merupakan suatu fungsi atau saja dan gunakan untuk mencari penelesaian persamaan diferensial d d d 6 d d d 4 5 d d 5 5 d d 6 d tan d 7 d d 8 d d 9 d d 0 d d cos 4 d sind d d e d e d 4 4 d d 5 d d Pada soal 6 9, gunakan faktor pengintegralan ang diberikan untuk mencari penelesaian umum persamaan diferensial 6 4 d 4d, p, 7 5 d d, p, 8 5 d 4 d, p, 9 d d, p, 0 Tunjukkan bahwa persamaan diferensial a bd b ad adalah eksak hana jika a b Jika a b, tunjukkan bahwa m n adalah faktor pengintegralan dengan b a m a b dan n a b a b

6,* Berdasarkan definisi, suatu persamaan diferensial tingkat satu dikatakan linear dalam jika tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi nonlinear lainna dari atau Dipunai bentuk ang paling umum aitu d F G H 5 d atau muncul dalam bentuk ang lebih biasa seperti d P Q 6 d Jika P, maka persamaan dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, atau jika Q, maka persamaan adalah terpisahkan,*, Persamaan 6 mempunai sebagai suatu faktor pengintegralan, P ep d d, maka persamaan dapat dituliskan dalam bentuk d P d P d e Q e d ang mempunai penelesaian P d P d e Q e d k 7 Jadi, dipunai langkah-langkah untuk menelesaikan suatu persamaan 6 Jika persamaan 6 dikalikan dengan ep P Prosedur berikut ini seringkali membantu dalam mencari penelesaian persamaan 6: Langkah Dihitung faktor pengintegralan Langkah Sisi kanan persamaan ang diberikan dikalikan dengan faktor tersebut dan sisi kiri dituliskan sebagai derivatif dari kali faktor pengintegralan Langkah Dintegralkan dan diselesaikan persamaan untuk,*, Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode faktor pengintegralan: d d a a b tan sec d d -#, d a a Persamaan ditulis kembali menjadi d a a Langkah Faktor pengintegralanna adalah ep d Langkah Persamaan dapat direduksi menjadi

7 Langkah a d d a a a a k a a d d a a k a a b Langkah Faktor integralna adalah ep tan d sec Langkah Langkah Persamaan direduksi menjadi d sec tan sec sec d d sec sec d Penelesaian umum untuk PD awal aitu sec tan k atau sin k cos /,* Selesaikan persamaan diferensial menggunakan metode faktor pengintegralan, > 0 4, > 0 e e 6 5 7 cos sin, 8 sec tan, π < < π 9 tan, 0 sin cos e π < < π d e 4 d e e, > 0 d d 4 d 5 6 cot cos d d sin 7 cos t 8 dt t 9 e 0 4 d cos d Selesaikan masalah nilai awal berikut ini tan sin, 0 4, 5 t 4t t 4t, 0 π < < π, -0,, ##

8 Suatu persamaan diferensial Bernoulli mempunai bentuk d n P Q 8 d Secara jelas, untuk n atau maka persamaan adalah linear; sedangkan untuk nilai lainna maka persamaan adalah tidak linear Langkah Langkah Langkah-langkah untuk menelesaikan persamaan Bernoulli: Diperkenalkan variabel tak bebas n n z dengan z n n Persamaan 7 dikalikan dengan n, diperoleh n n n P n Q Menggunakan persamaan di Langkah akan didapatkan z n P z n Q 9 Langkah Berdasarkan rumus 7, diperoleh penelesaian untuk 9, aitu n P d n P d z e n Q e d k Langkah 4 Penelesaian umum dari persamaan 8 dapat dicari dengan mensubstitusikan n untuk z Jika n > 0, maka persamaan 8 juga mempunai penelesaian,, Selesaikan persamaan Bernoulli d d -#, Persamaan ditulis kembali menjadi d d Langkah Langkah Langkah Langkah 4 Dimisalkan n z dengan derivatifna d z d d z d d d d d Persamaan diferensial dikalikan dengan n, kemudian disubstitusikan z dan z akan didapatkan d z z d Penelesaian untuk persamaan di atas aitu d d z e e d k ln ln e e d k Disubstitusikan aitu n k z, diperoleh penelesaian umum untuk PD awal k

9,, 44 Persamaan diferensial Riccati mempunai bentuk d P Q R 0 d Secara jelas, jika R, maka persamaan menjadi persamaan Bernoulli Jika R 0, penelesaian umum dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diambil satu penelesaian khusus u biasana sudah diketahui, dan karena itu dipunai du P u Q u R d Langkah Disubstitusikan u dengan derivatifna z d d du d z u d d z d z d ke persamaan Riccati, diperoleh du d z P u Q u R d z d z z u P u Q u R z z z u P u P P Q u Q R z z z u P u Q u R P P Q z z z Karena, persamaan disederhanakan menjadi d z u z P P Q d z z z d z uzp P zq d Diperoleh persamaan diferensial tingkat satu z: d z up Q z P d Langkah Persamaan diselesaikan untuk z menggunakan rumus 7 Langkah 4 Disubstitusikan penelesaian z ke u untuk memperoleh z penelesaian umum PD awal,, Selesaikan persamaan Riccati d d dengan adalah penelesaian khususna -#, Langkah Dipunai suatu penelesaian khusus u

0 Langkah Langkah Langkah 4 Dimisalkan Karena itu persamaan Riccati direduksi menjadi z d z d z z z d d Penelesaian untuk persamaan di langkah aitu: d d z e e d k e e k ke Penelesaian umum untuk PD awal aitu ke /, Pada soal 0, tentukan penelesaian untuk persamaan diferensial Bernoulli ang diberikan 5 7 9 4 6 4 8 a 0 5 4 5 7 e 6 8 9 0 Pada soal, gunakan penelesaian khusus ang diberikan untuk menentukan penelesaian umum persamaan diferensial Riccati,, 4 d cos sin, sin d cos e

/ Pada soal 4, selesaikan persamaan diferensial tingkat satu dengan suatu metode ang cocok 4 4 d d d d 4 5 e d d 6 cos 7 8 d d 9 sin d d 0 d d d 4 d sin d d 4 d d 5 5 5 e 6 cos 7 e 8 d e d 9 0 d d cos cos e d e d d d e e 4 d d 4 Pada soal 5 0, tentukan penelesaian khusus untuk persamaan diferensial ang memenuhi sarat batas ang diberikan 5 cos, 0 5 6 e, e 7 sec sec, 0 4 8, 9, 0 tan sec cos, 0

" # & # 5 #** "# ", -# ",, Diketahui keluarga kurva pada bidang XY ang dinatakan oleh persamaan F,, k dengan k parameter Kurva ang memotong tegak lurus kurva-kurva tersebut dinamakan traektori ortogonal dari kurva F ",, Diberikan keluarga kurva m dan k ang disajikan pada satu sistem koordinat kartesius seperti Gambar di bawah ini Gambar : Keluarga kurva m dan k Terlihat bahwa suatu garis berpotongan dengan suatu lingkaran Garis arah antara lingkaran pada titik potong dan garis adalah saling tegak lurus atau ortogonal, karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal di titik potongna Dengan kata lain garis lurus m adalah traektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut Sebalikna dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan traektori ortogonal dari garis m

Langkah-langkah menentukan traektori ortogonal untuk keluarga kurva F,, k : Langkah Ditentukan persamaan diferensial untuk keluarga kurva, aitu f,, k Langkah Disubstitusikan k F, untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi F,, k berbentuk d f, d Langkah Dituliskan persamaan diferensial ang berkaitan untuk keluarga ortogonal, aitu d d f, Langkah 4 Diselesaikan persamaan diferensial baru Penelesaianna adalah keluarga traektori ortogonal ",, Tentukan keluarga traektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini a c b c -#, a Langkah Persamaan diferensial untuk keluarga kurva c aitu d c d Langkah Disubstitusikan c untuk memperoleh persamaan diferensial implisit: d d Langkah Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal aitu d d Langkah 4 Diselesaikan persamaan diferensial baru terpisahkan: d d d d k k k Jadi, persamaan traektori ortogonal untuk keluarga kurva c adalah k b Langkah Persamaan diferensial untuk keluarga kurva c: d c d Langkah Disubstitusikan c, diperoleh d d

4 Langkah Langkah 4 Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal aitu d d Diambil variabel baru u, maka dipunai d du u d d Karena itu, diperoleh du u du u u u d u d u Penelesaian konstanna aitu u u ang memberikan hasil u Penelesaian tak konstan dicari sebagai berikut: u du d u u Dengan metode integrasi fungsi rasional, dipunai u du d ln u ln u ln ln k u u u k u dengan k 0 Dengan mensubstitusikan kembali u, diperoleh persamaan traektori ortogonal untuk keluarga kurva c: k Gambar : Keluarga kurva c dan traektori ortogonalna

5 Gambar : Keluarga kurva c dan traektori ortogonalna ", #0% Beberapa bahan radioaktif mengalami disintegrasi ang berbanding lurus dengan banakna bahan ang ada pada saat itu Sebagai contoh, jika X adalah bahan radioaktif dan Nt adalah banakna bahan pada saat t, maka laju perubahan Nt terhadap waktu t adalah dn t kn t dt dengan k adalah konstanta positif k > 0 Dimisalkan N0 N 0 adalah banakna bahan mula-mula dari X, maka diperoleh N t N ep kt 0 Jelas bahwa dalam menentukan Nt diperlukan lebih dulu untuk mencari konstanta k ",, Diketahui bahwa setengah dari banak semula inti radioaktif mengalami disintegrasi dalam suatu periode 500 tahun a Berapa persen inti radioaktif semula akan tersisa setelah 4500 tahun? b Setelah berapa tahun hana sepersepuluh dari banak semula ang tersisa? -#, Diketahui bahwa untuk t 500 dipunai N N 0, karena itu Jadi a 500 N 0 N0e k k500 k500 e ln e ln 500 k ln ln k 500 t N 500 N N 0 ep t ln 500 0 Sesaat setelah 4500 tahun, dipunai 4500 500 N0 N N 0 Jadi, sesaat setelah 4500 tahun maka inti radioaktif akan menjadi,5% dari semula 8

6 N 0 b Jika N, maka t t ln0 N 0 N0 0 500 ln0 ln t 500 498, 89 500 ln Jadi, inti radioaktif akan menjadi sepersepuluh dari semula sesaat setelah 498,89 tahun "," & 0# Diandaikan Pt adalah banakna individu pada suatu populasi ang mempunai laju kelahiran dan kematian konstan berturut-turut β dan δ Dinamika suatu populasi dapat digambarkan oleh persamaan diferensial dp t kp t dt dengan k β δ ",", Pada suatu kultur bakteri tertentu, banakna bakteri mengalami kenaikan enam kali lipat dalam 0 jam Berapa lama akan diperoleh populasi menjadi dua kali lipatna -#, Dimisalkan Pt adalah banakna bakteri pada saat t, maka dp kp dt Dinotasikan P 0 adalah banak bakteri pada saat t, maka P P0 ep kt Karena P0 6P 0, maka dipunai ln6 6P 0 P 0 ep0k k 0 Karena itu ln6 t P t P0 ep 0 Selanjutna untuk Pt P 0, maka dipunai ln6 P t 0ln dan karena itu t ln6 P 0 0 ep 0 ",", Diandaikan bahwa ketika danau diisi dengan ikan, laju kelahiran dan kematian berturut-turut β dan δ berbanding terbalik dengan P a Tunjukkan bahwa kt P t P b Jika P 0 0 dan setelah 6 bulan terdapat 69 ikan di dalam danau, maka berapakah banakna ikan dalam danau tersebut setelah tahun? -#, a Waktu diukur dalam bulan Karena β dan δ berbanding terbalik dengan P maka terdapat k dan k sehingga 0

7 b k k dan P P Dari persamaan diperoleh dp k P dt dengan k k k Persamaan ini mempunai penelesaian umum P t kt C Jika P0 P 0, maka dari persamaan ini diperoleh P t kt P Karena itu 0 kt P t P 4 Jika P 0 0 dan P6 69, maka dari persamaan 4 diperoleh 0 69 k k Karena itu P 6 56 0 ",$ & %6 Berdasarkan hukum pendinginan Newton, laju perubahan waktu dari temperatur Tt untuk suatu benda ang diletakkan pada suatu media bertemperatur konstan A adalah sebanding dengan A T Ini berarti bahwa dt k A T dt dengan k adalah konstanta positif ",$, Suatu tempat berisi susu mentega dengan temperatur awal 5 C didinginkan dengan pengaturan temperatur pada 0 C Diandaikan bahwa temperatur susu mentega mengalami penurunan sampai 5 C setelah 0 menit Kapan akan menjadi 5 C? -#, Dicatat bahwa A, T0 5, T0 5 Dinotasikan t adalah waktu ketika Tt 5 Berdasarkan hukum pendinginan Newton dt kt dt Penelesaian umum untuk persamaan ini adalah Tt Cep kt Berdasarkan sarat awal T0 5, dipunai C 5 dan Tt 5ep kt Berikutna dicari konstanta k Karena T0 5 5ep 0k maka dipunai k untuk temperatur adalah ln 5 T t 5ep t 0 Selanjutna dapat dicari t : ln 5 0 ln5 T t 5 5ep t t 60 0 ln 5 ln 5 0 Rumus

8 ",! %0 Rangkaian listrik paling sederhana adalah rangkaian seri Dalam rangkaian ini dipunai satu sumber tegangan listrik gaa elektromotif seperti generator, aki atau batere, dan sebuah resistor, ang memanfaatkan energi, misalna lampu listrik Gambar 4 Sumber I Resistor Sakelar Gambar 4: Rangkaian listrik sederhana Kalau sakelar ditutup, arus I akan mengalir melalui resistor, dan ini akan menebabkan turunna tegangan, sehingga mengakibatkan terjadina perbedaan tegangan antara kedua ujung resistor Percobaan menunjukkan berlakuna hukum berikut: Selisih tegangan E R antara kedua ujung resistor sebanding dengan kuat arus I E R RI 5 Konstanta kesebandingan R disebut tahanan resistor Kuat arus I diukur dalam ampere, tahanan R dalam ohm, dan tegangan E R dalam volt Dua elemen penting lainna dalam rangkaian ang lebih rumit adalah induktor dan kapasitor Percobaan telah menghasilkan hukum berikut: Selisih tegangan E L antara kedua ujung induktor sebanding dengan laju perubahan kuat arus I terhadap waktu di E L L 6 dt Konstanta kesebandingan L disebut induktansi dan diukur dalam henr; waktu t diukur dalam detik Selisih tegangan E C antara kedua ujung kapasitor sebanding dengan muatan listrik Q dalam kapasitor E C Q 7 C Konstanta C disebut kapasitansi dan diukur dalam farad; muatan Q diukur dalam coulomb Karena I t maka t EC I t dt 8 C t0 Arus It dalam suatu rangkaian dapat ditentukan melalui penelesaian persamaanpersamaan ang diperoleh dari penerapan hukum tegangan Kirchoff: Jumlah semua selisih tegangan dalam suatu rangkaian tertutup adalah nol, atau selisih tegangan antara kedua ujung rangkaian sama dengan jumlah selisih tegangan di tempat lain dalam rangkaian tersebut dq dt

9 ",!, R Et L Gambar 5: Rangkaian RL Untuk rangkaian RL dalam Gambar 5 dan berdasarkan hukum tegangan Kirchoff serta 5 dan 6, diperoleh: di L RI Et 9 dt Kasus A Jika Et E 0 konstanta, maka dari 9 diperoleh PD: di R E0 I dt L L PD diselesaikan dengan faktor integral aitu: R It dt R dt e L E e L dt k L 0 E 0 R ke Rt L 0 Suku ang terakhir mendekati nol jika t menuju tak hingga, sehingga It mendekati E nilai batas 0 Setelah waktu ang cukup lama, I praktis akan menjadi konstan pada R nilai ang tidak tergantung pada k, jadi tidak tergantung pada sarat awal ang mungkin telah diberikan Penelesaian khusus untuk sarat awal I0 adalah E R 0 t It e L R dengan R L disebut konstanta waktu induktif Kasus B Jika E t E0 sint, maka dari 9 diperoleh PD: di R E0 I sint dt L L PD diselesaikan dengan faktor integral aitu: R dt R dt I t e L E0 sin t e L dt k L dan dengan integrasi parsial diperoleh penelesaian umum: Rt E I t ke L 0 R sint L cost R L Suatu sistem listrik atau dinamis dikatakan berada dalam keadaan stabil stead state jika peubah-peubah ang menjelaskan perilakuna merupakan fungsi periodik dari waktu atau konstan, sedangkan sistem dikatakan dalam keadaan peralihan transient state atau keadaan tidak stabil jika sistem tidak dalam keadaan stabil Peubah ang

40 menggambarkan keadaan itu masing-masing disebut fungsi keadaan stabil dan fungsi peralihan E Pada Kasus A, fungsi 0 merupakan fungsi keadaan stabil atau penelesaian R keadaan stabil untuk 9, sedangkan dalam Kasus B penelesaian keadaan stabilna adalah suku terakhir dalam persamaan ",!, Pada rangkaian RL, jika diketahui R ohm, L henr, Et sin5t volt I0 6 ampere, maka menggunakan rumus, diperoleh t It ke 0 sin 5t 50cos5t 50 Selanjutna menggunakan sarat awal, diperoleh Jadi ",!, 6 k 0 50 50 506 0 50 50 k 506 50 t It e sin 5t 50cos5t R Et C Gambar 6: Rangkaian RC Dengan mengaplikasikan hukum tegangan Kirchoff dan 5, 7 pada rangkaian RC dalam Gambar 6, diperoleh persamaan di de R I dt C dt ang mempunai penelesaian umum t t de I t e RC e RC dt k R dt de Kasus A Jika E konstanta, maka, dan menjadi dt I t k e 4 dengan RC disebut konstanta waktu kapasitif untuk rangkaian tersebut Kasus B Jika E t E0 sint, maka de E0 cost dt Selanjutna disubstitusikan ke dan dengan integrasi parsial diperoleh: t RC

4 t E C It ke RC 0 cost RC sint 5 RC Suku ang pertama akan terus turun dengan naikna t, sedangkan suku kedua menggambarkan arus keadaan stabil ",!, Diketahui rangkaian RC dengan R ohm, C farad, dan E t 6sint volt 6 Arus It pada rangkaian dihitung menggunakan rumus 5, aitu It ke t cost sint Jika diketahui I0, maka k dan It e t cost sint /" Pada soal 4, carilah traektori ortogonal untuk kurva ang diberikan Selanjutna gambarkan grafik sebagian kurva dan traektorina C C k C 4 C 5 C 6 ln C 7 C 8 C 9 Ce 0 C C C C 4 C C 5 Diambil Qt sebagai banakna substansi suatu radioaktif pada waktu t Diamati secara eksperimental dengan alat pengukur banakna radiasi Geiger Counter bahwa laju pada saat suatu sampel meluruh adalah berbanding lurus dengan banakna substansi saat itu Diandaikan bahwa substansi awalna adalah 00 gram dan setelah 7 hari ang tertinggal hana 50 gram Tentukan Q sebagai fungsi dari t 6 Diambil Qt sebagai banakna substansi suatu radioaktif pada waktu t Diamati secara eksperimental dengan alat pengukur banakna radiasi Geiger Counter bahwa laju pada saat suatu sampel meluruh adalah berbanding lurus dengan banakna substansi saat itu Diandaikan bahwa sejumlah tertentu ditempatkan dalam suatu container dan setelah 0 tahun banakna telah berkurang 0,0% Berapa persen dari jumlah aslina ang akan tersisa setelah 5 tahun

4 7 Waktu paruh aktif Cobalt adalah 5,7 tahun Diandaikan bahwa suatu kecelakaan nuklir pada suatu daerah tertentu mempunai tingkat radiasi Cobalt 00 kali tingkat ang dapat diterima untuk habitat manusia Berapa lama daerah tersebut dapat didiami? 8 Suatu zat radioaktif meluruh secara eksponensial Banakna zat dalam suatu 0,05t sampel adalah P t 40e mg setelah t tahun Tentukan waktu paruhna 9 Radioaktif Carbon-4 meluruh secara eksponensial Waktu paruh Carbon-4 adalah 570 tahun Radioaktif tersebut terkumpul dalam tanaman ketika mereka bertumbuh, dan meluruh setelah tanaman mati Suatu sampel tulang terdiri 0% dari jumlah Carbon-4 asli Berapakah umur sampel tersebut? 0 Dalam kehidupan sel terdapat suatu bahan reaksi Y ang mempunai reaksi kimia Y Y Y dengan Y hilang secara cepat Diambil t adalah banakna bahan reaksi d kimia Y pada saat t, dan diketahui bahwa 0, dengan dalam miligram dan dt t dalam menit Ketika percobaan dimulai pada saat t, suatu sistem terdiri 0 miligram Y Natakan banakna setelah waktu t Suatu koloni bakteri bertumbuh secara eksponensial Diambil Pt sebagai ukuran populasi ang diukur dalam miligram Diandaikan pada saat t jam populasina adalah 0 mg, ketika t jam populasina adalah 6 mg a Natakan populasi untuk setiap saat b Perkirakan populasina ketika t 5 jam Suatu koloni bakteri bertumbuh secara eksponensial Diambil Pt sebagai ukuran populasi ang diukur dalam miligram Diandaikan pada saat t jam populasina adalah 0 mg, daan menjadi dua kali lipatna ketika t,5 jam a Natakan populasi untuk setiap saat b Perkirakan populasina ketika t 6 jam Suatu populasi serangga dalam suatu daerah meningkat pada laju ang sebanding dengan populasina pada saat itu Dengan meniadakan faktor luar, populasi berkembang tiga kali lipat dalam waktu dua minggu Pada suatu hari terdapat migrasi 5 serangga ke daerah tersebut dan 6 dimakan oleh populasi burung lokal dan 7 meninggal karena alam Jika mula-mula terdapat 00 serangga dalam daerah itu, apakah populasi akan bertahan? Jika tidak, kapan mereka semua akan mati? 4 Suatu obat X sedang diatur melalui urat nadi sebanak 6 mg per jam Ginjal memindahkan obat atau racun dari aliran darah dengan laju 0% dari jumlah ang diberikan ketika waktu t ang diukur dalam jam Ketika perawatan dimulai pada waktu t, badan tidak berisi obat X a Tentukan banakna obat dalam darah pada saat t b Tingkat kandungan dari obat terjadi ketika darah terdiri paling sedikit 5 mg Kapan tingkat kandungan terjadi pertama kali? 5 Diandaikan bahwa temperatur suatu cangkir kopi mengikuti hukum pendinginan Newton Jika kopi mempunai temperatur 00 F ketika baru saja dituangkan, dan menit sesudahna telah dingin sampai 90 F dalam suatu ruang pada 70 F, tentukan kapan kopi mencapai temperatur 50 F 6 Diandaikan bahwa suatu maat ditemukan dalam suatu ruang hotel pada tengah malam ang bertemperatur 80 F Suhu ruangan tetap pada 60 F Dua jam kemudian temperatur maat turun sampai 75 F Tentukan waktu kematian

4 7 Untuk rangkaian RL pada Gambar 5, tentukan arus It jika diketahui R 0 ohm, L,5 henr, E 0 volt, dan I0 8 Tentukan persamaan untuk arus It dalam rangkaian RL pada Gambar 5 jika I0 0, E 0 volt, R 550 ohm, dan L 4 henr Kapan arus mencapai 90% dari nilai batasna? 9 Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 5 jika R ohm, L henr, dan Et volt untuk 0 t detik, Et untuk t > detik, dengan sarat awal I0,5 ampere 0 Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 5 jika R ohm, L henr, dan Et 6 volt untuk 0 t 0 detik, Et untuk t > 0 detik, dengan sarat awal I0 6 ampere Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 5 jika R ohm, Et 4 volt, Lt 00 t henr untuk 0 t 00 detik, Lt untuk t > 00 detik, dengan sarat awal I0 ampere Tentukan kuat arus It dalam rangkaian RC pada Gambar 6 jika R 0 ohm, C 0,0 farad, dan Et sin4t volt, dengan sarat awal I0 ampere Tentukan kuat arus It dalam rangkaian RC pada Gambar 6 jika E 0 volt, C 0,5 farad, dan R berubah-ubah menurut rumus R 00 t ohm pada 0 t 00 detik, R pada t > 00 detik, dengan sarat awal I0 ampere Untuk soal 4 8, carilah penelesaian keadaan stabil untuk 5 jika R 50 ohm, C 0,04 farad, dan Et sama dengan 4 5 5 5sint 6 0cos4t 7 00cost 5sint 00cos4t 5sin4t 8 50 e t 0sinπt

$ % # %%" # % %%" # $'' %, " # % %" # %!*- " # % % $ " Pada umumna persamaan tingkat dua atau tingkat tinggi lebih sulit untuk diselesaikan daripada persamaan tingkat satu, dengan demikian akan dikonsentrasikan terutama pada kasus paling sederhana dari persamaan linear dengan koefisien-koefisien konstan Pertama kali akan diperlihatkan dua kasus tak linear ang khusus $, %%, & -4#%& & 7#, Diberikan persamaan diferensial tingkat dua dalam bentuk F, dengan F, adalah fungsi kontinu Untuk menelesaikan persamaan diferensial jenis tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diambil z, dengan z z, maka dipunai z Langkah PD direduksi ke persamaan diferensial tingkat satu menjadi z F, z dan diselesaikan untuk z Langkah Disubstitusikan kembali z dan diselesaikan untuk Penelesaian akhir akan mempunai dua konstanta sebarang, katakan k dan k Pada umumna hal ini adalah merupakan kasus dari semua persamaan tingkat dua Dengan dua konstanta sebarang maka diperlukan dua sarat untuk mendapatkan suatu penelesaian tunggal Terdapat dua jenis sarat: Sarat awal: 0 a dan 0 b, ang menetapkan suatu nilai dan kemiringan fungsi di suatu titik tunggal Sarat batas: a dan b, ang menetapkan suatu nilai untuk setiap dua titik berbeda 44

!" 45 $,, Selesaikan masalah nilai batas untuk, dan -#, Langkah Diambil z, maka dipunai z Langkah Persamaan awal direduksi dan diselesaikan: dz d z z lnz ln k z k z Langkah k k ln k Langkah 4 Karena dan, maka k dan k ln k k ln ln Jadi ln $,," Selesaikan persamaan -#, Langkah Diambil z, maka dipunai z Langkah Persamaan awal direduksi dan diselesaikan: z z z z z Langkah ep d k k d d arctan ln ln k k ep dd k, & -4#%& & 7##, Diberikan persamaan diferensial tingkat dua dalam bentuk F, F, adalah fungsi kontinu Untuk menelesaikan persamaan diferensial dengan jenis tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah Diambil p, dengan p p, maka dipunai d p d p d d p p 4 d d d d

!" 46 Langkah Persamaan diferensial direduksi ke tingkat satu menjadi dp p F, p 5 d dan diselesaikan untuk p Langkah Disubstitusikan kembali p dan diselesaikan untuk $,,$ Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan reduksi tingkat: -#, dp Langkah Diambil p, maka dipunai p d Langkah Persamaan awal direduksi dan diselesaikan: p dp p d dp p d i p, atau Langkah dp k ii dp d p d d Disubstitusikan p, diperoleh d i k, atau d d d ii k d k tan k k k k tan k kk Jadi penelesaian umum untuk PD aitu k k tan k k4 dengan k k dan k 4 k k $,,! Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan reduksi tingkat: e -#, dp Langkah Diambil p dan dipunai p d Langkah Persamaan awal direduksi dan diselesaikan: dp dp p e p p d e p d i p, atau

!" 47 Langkah dp ii e p d Disubstitusikan i k, atau d ii d e dp e d p d p, diperoleh d e k d d k Jadi penelesaian umum untuk PD aitu k e k 4 p e k e k 4 k k $,,' Selesaikan persamaan diferensial -#, dp Langkah Diambil p dan dipunai p d Langkah Persamaan awal direduksi dan diselesaikan: p dp p d dp p p d i p, atau dp dp e ii p d d p p k d Langkah Disubstitusikan p, diperoleh d i k, atau d e ii k e d kd e k k d k k ln Jadi penelesaian umum untuk PD aitu k k ln /$, Untuk soal 6, selesaikan persamaan diferensial dengan reduksi tingkat 4 5 6 tanh k 7 8