Bab 7 Persamaan Differensial Non-homogen

Transkripsi

1 Bab 7 Persamaan Differensial Non-homogen Persamaan Differensial Orde- Non Homogen Bentuk hukum : d y dy + p( ) + Q( ) y R( ) (*) Dimana, P(), Q(), dan R() dapat juga berwujud suatu leoust Solusinya : y y h + y k Dengan ; y h solusi homogen, dicari dengan mengambil R() 0 y k solusi khusus, dicari dengan mengambil bentuk y k R() dan kemudian disubstitusi pada (*) (metoda koefisien tak tentu ) Ringkasan metoda koef tak tentu guna mencari y k No Bentuk R() yk yang diambil b mo X mo + b mo - X mo b X + b o B m X m + B m - X m B X + B o ; m mo b Cos β + c Sin β B Cos β + C Sin β 3 Sec 4 be α, α riil atau imajiner V () Cos X + V () Sin X V dan V solusinya homogennya Be α, [asal solusi homogen tidak mengandung faktor e α ] Bila mempunyai faktor e α, coba bentuk (A+B) e α, (A+B+C ) e α.. 5 Bentuk lain / kombinasi Coba dengan trial & error 6 b cos β ( b sin β ) A cos β + B sin β 7 a A +B+C 7.

2 Contoh () : Cari solusi umum Jawab : Solusi homogen Solusi khusus, misal Jadi Solusi Umumnya Contoh () : Cari solusi umum Jawab : Solusi homogen Solusi khusus, misal 7.

3 Jadi Solusi Umumnya Persamaan Differensial Orde- Homogen d y dy Bentuk Umum a + b + cy 0 a, b dan c konstanta, persamaan ini dapat juga ditulis sebagai : ad y + bdy + cy ( ad + bd + c) y 0 d d D, D Untuk mencari solusi lakukan sebagai berikut. Cari akar persamaan karakteristik dengan rumus "abc" b ± b 4ac ad + bd + c 0 D a. Solusi Umum D D c e + c e, bila D D y α α ce + ce, bila D D α 3. Gunakan rumus Euler, bila akar karakteristik imajiner ± iα e cos α ± isinα Contoh : d y dy. p.d : + 3 4y 0, cari solusinya persamaan karakteristik 3 ± D + 3D 4 0 D ± D D y c e 3 ( + 4) c e 3 ( 4)

4 atau y e ce + ce d y dy. Cari solusi p.d + y 0 Persamaan karakteristik D D + 0 ( D ) 0 D D y c e + c e ( c + c ) Solusinya : d y dy 3. Cari solusi p.d + + 5y 0 ± 4 0 Persamaan karakteristik : D + D D i i D i, D i y e c e + c e + [ ] e 4. Cari solusi persamaan diferensial jawab : Solusi umum : Solusi khusus : 5. Cari solusi persamaan diferensial jawab : Solusi umum : Solusi khusus : 7.4

5 Jadi solusi persamaan differensial tersebut adalah; Contoh Penggunaan Persamaan Differensial Massa jatuh bebas dengan hambatan udara dv m mg - bv m-massa total b-koefisien gesek udara v- kecepatan g-percepatan gravitasi Volume air yang keluar dapat ditentukan apabila debit k, diketahui dh k h h-tinggi air dari dasar bejana k-debit air Rangkaian RL di L RI E + I-arus listrik R-resistor L-induktor S-switch E-tegangan motor listrik 7.5

6 Pursuit Problem Menentukan titik cegat, bila arus air, kecepatan kapal diketahui, dinyatakan dengan konstanta a; dy y d a y a-konstanta yang bergantung pada arus air kecepatan angin, kecepatan kapal dan lain-lain Jembatan gantung yang berosilasi dalam arah vertikal; d y k + y k-konstanta Beban bermassa m, disangga oleh pegas dengan konstanta k, bergerak dalam arah vertikal. Gesekan dengan udara diabaikan; d y + ky 0 m d I di I de L + R + C I-arus listrik R-resistor L-induktor S-switch E-tegangan motor listrik Bandul yang berayun-ayun, hambatan udara diabaikan d θ l gsinθ 0 l-panjang lengan g-percepatan gravitasi 7.6

7 Percobaan Galileo, tentang adanya gaya gravitasi dari Bumi d y g. Rangkaian Listrik Dari Hukum Kirchoff. [ E ( + ) + ] E R E L di L + RI E(t) di R + I L E L Solusi: R R E L L Ie e. + c L. Getaran Harmonik Tanpa gesekan w d y ky g d y + B y 0 Dengan gesekan w d y dy ky q g d y dy + E + B y 0 gk B w gq E, w gk B w 7.7

8 g - persepatan grafitasi k - konstanta pegas w - berat beban Syarat batas t 0, y ' 0, y y0 q - koefisien gesekan R C Circuit RLC R [Ohm], L [Henry], C [Farad], I [Ampere] Tegangan yang terjadi L. Melewati. Melewati t) 3. Melewati Hukum Kirchoff Jika Turunkan terhadap t Atau Forced Oscillations Resonance F 3 Spring (k) Jika Maka F Analogy contoh () dan () diragakan dalam table berikut Body P(t) 7.8

9 F Electrical System Inductance (L) Resistance (R) Rec. of Capacitance Mechanical System Mass (M) Damping Constant (C) Spring Modulus (k) Deriv. of electromotive force Driving Force Current Displacement (y(t)) Soal Latihan (Serahkan minggu depan) Soal untuk latihan gunakan metoda koefisien tak tentu untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut :. y'' 9 y [. 3. y'' + y' 6 y y'' y' y + + [ 4. y'' + y' y ce + ce ] 9 y c + c e ] ( ) y'' 5 y' + 6 y e [ y ce + ce + e ] 6. y'' + 6 y' + 9 y e y'' 4 y' 3y e [ y'' + y' + y 3e 3 3 y ce + ce + e ] 9. y'' y' y Sin [ 0. y'' + 4 y' Cos. y'' + 9y Sin3. y'' + y' 3+ e 3 y ce + ce Sin+ Cos] y'' 5 y' + 6 y e tapi dengan syarat bila 0, y, y' 0 y e e + e 3 7.9