Sistem Persamaan Linier FTI-UY

Transkripsi

1 BAB V Sistem Persamaan Linier

2 Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banak masalah matematika terapan adalah menelesaikan suatu sistem persamaan linear. Representasi Sistem Persamaan Linear Sistem n persamaan linear dengan n variabel dapat dinatakan sebagai berikut: Dimana 1, 2,..., n variabel tak diketahui, a ij, b i, i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. ibl

3 PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru ang mempunai penelesaian sama (ekuivalen) )tetapi t idalam bentuk ang lebih sederhana.

4 Contoh : Selesaikan SPL berikut Penelesaian permasalah di atas : Substitusi Eliminasi Grafik Determinan

5 TIGA OPERASI STANDAR PENYELESAIAN SPL 1. Mengalikan suatu persamaan Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainna. Menukar posisi dua baris sebarang. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainna. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksna diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

6 CONTOH DIKETAHUI (i) (ii) (iii) kalikan pers (i) dengan (-2) 2), kemu- dian tambahkan ke pers (ii). kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). kalikan pers (i) dengan (-3), kemudian tambahkan ke pers (iii). kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii). kalikan pers (ii) kalikan baris (ii) dengan (1/2). dengan (1/2).

7 kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii) dengan (1/2). kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii). kalikan pers (iii) dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2). kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1) 1), lalu tambahkan ke brs (i).

8 kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii) kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii) Diperoleh 1, 2, 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksna. Metoda ini disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.

9 Eliminasi gauss Prosedur penelesaian dari metoda ini i adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga g sedemikian sehingga salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hana mengandung satu bilangan tak diketahui, dan setiap persamaan berikutna hana terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru

10 Metode Gauss Jordan Metode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss Matriks di rubah menjadi segitiga bawah dan atas (matriks identitas) Variabel persamaan bisa langsung dibaca

11 Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut ini: Dalam bentuk bentuk matriks :

12 ,668 2, ,4188 2,

13 ,7932 1, ,

14 Metode Gauss Seidel Metode ini menerapkan terkaan-terkaan awal dan kemudian diiterasi untuk memperoleh taksiran-taksiran ang diperhalus dari penelesaianna Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut ini:

15 prosedur : Nilai ang belum diketahui dianggap nol Hasil dari perhitungan digunakan untuk perhitungan selanjutna. Iterasi i pertama Dengan menganggap bahwa dan adalah nol, maka dapat dihitung: 7,85,1,2 3 7,85 3 2,61667

16 Nilai ini dengan anggapan nilai adalah nol dan adalah hasil ang barus saja dididapat, kemudian disubtitusikan ke persamaan berikut : 19,3,1 7,3 19,3,1(2,61667) 7 2,7945 Nilai dan nilai, disubtitusikan untuk mencari nilai 71,4,3,2 71,4,3(2,61667) 1 1 7,56,2(2,7945)

17 Iterasi ke Iterasi ke-2 3,2(7,56) 2,7945),1( 7,85 3,2,1,85 7 2,9956,3(7,56),1(2,9956) 19,3,3,1,3 19 2, ) ( ) ( 7 1 2,49962),2(,3(2,9956) 71,4 1,2,3,4 71 7,29 1 1

18 Iterasi ke Iterasi ke-3 3,2(7,29) 2,49963),1( 7,85 3,2,1,85 7 3,32,3(7,29),1(3,32) 19,3,3,1,3 19 2, ,3(7,29),1(3,32) 19,3 7,3,1 19,3 1 2,49999),2(,3(3,32) 71,4 1,2,3,4 71 6,

19 Iterasi ke Iterasi ke-4 3,2(6,99999) 2,499999),1( 7,85 3,2,1,85 7 3,3(6,99999),1(3) 19,3,3,1,3 19 2,5 7,3(6,99999),1(3) 19,3 7,3,1 19,3 1 2,5),2(,3(3) 71,4 1,2,3,

20

21 Subtitusi Mundur dan Subtitusi Maju Pandang SPL dengan matriks koefisisen berupa matriks segitiga atas berikut : a111 a a1nn b1 a a2nn b2... annn Algoritma Subtitusi Mundur n b n / a nn Untuk k n 1,... 1 bn k n b a k j k 1 a kk kj j

22 Jika kita menelesaikanna secara maju, algoritma ang berhubungan disebut subtitusi maju SPL na berbentuk a 1n n b 1 a 2n-1 n-1 a 2n n b 2 a n1 1 a n a nn n b n Algoritma Subtitusi Maju n b 1 / a 11 Untuk k 23 2, 3,... n k b k k 1 j 1 a kk a kj j