BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen, suatu variabel dependen, dan satu atau lebih turunan dari terhadap (K.A. Stroud. 2003). Contoh : Persamaan Diferensial Linear Secara umum persamaan diferensial linear orde koefisien konstan dituliskan sebagai: Di mana dan koefisien tergantung hanya pada variabel. Dengan kata lain, persamaan ini tidak tergantung pada atau pada turunan dari. Contoh persamaan diferensial linear

2 Persamaan Diferensial Orde Satu Bentuk standar dari persamaan diferensial orde satu dalam fungsi adalah Persamaan diferensial orde satu diklasifikasikan berdasarkan cara penyelesaiannya menjadi tiga macam: 1. Persamaan Diferensial Terpisah Bentuk umum persamaan diferensial terpisah Solusinya dicari dengan pengintegralan langsung terhadap 2. Persamaan Homogen Orde Satu Persamaan diferensial orde satu homogen ditulis dalam bentuk atau Persamaan homogen dapat diselesaikan dengan metode substitusi menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan mensubstitusikan dimana adalah fungsi dari. Sehingga Diferensialkan terhadap (dengan menggunakan aturan hasil kali)

3 7 Persamaan yang dihasilkan dalam variable dan dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel dan mengintegrasi pada kedua sisi persamaan yang terpisah, Contoh: Solusi Dengan mensubstitusi dalam persamaan diperoleh Sehingga persamaannya menjadi Dengan mensubstitusikan dalam persamaan yang terakhir diperoleh ( ) 3. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu Persamaan diferensial linear orde satu memiliki bentuk Dimana dan adalah fungsi dari (konstanta). Untuk menyelesaikan persamaan seperti ini, dikalikan kedua sisi dengan faktor integrasi yang berbentuk

4 8 Yang bergantung pada dan independen terhadap. sehingga dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi diperoleh Yang menghasikan persamaan eksak sehingga dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Prosedur selanjutnya untuk persamaan dapat ditulis Persamaan ini dapat diselesaikan dengan melakukan integrasi pada kedua sisi, dan kemudian menyelesaikannya untuk memperoleh persamaan untuk. Contoh solusi { } Persamaan Diferensial Orde Dua persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk (2.2) Dimana,, dan adalah koefisien konstanta. Dan adalah suatu fungsi yang diketahui. Persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk persamaan kuadrat sebagai.

5 9 Yang diperoleh dengan menuliskan Persamaan kuadrat disebut juga persamaan karakteristik. Berdasarkan akar akar dari persamaan kuadrat, penyelesaiannya dibedakan atas tiga tipe yaitu: 1. Akar akar Real yang Tidak Sama Apabila akar akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan berbeda dimana: Maka solusinya diperoleh dalam bentuk (2.3) Dimana dan adalah konstanta sembarang dan dan adalah akar akar persamaan kuadrat. 2. Akar akar Real yang Sama Apabila akar akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan sama dimana: Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk 3. Akar akar Kompleks Apabila akar akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk kompleks dimana: Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk (2.5)

6 Rangkaian Listrik Rangkaian listrik adalah suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling dihubungkan dengan cara cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan tertutup. Adapun komponen listrik terdiri dari tiga macam yaitu: 1. Resistor (R) yang berfungsi sebagai penghambat arus dalam rangkaian. 2. Induktor (L) dapat menyimpan energi dalam bentuk medan magnet. 3. Kapasitor (C) menyimpan energi dalam bentuk medan listrik Rangkaian Transien Dalam analisis transien terdapat tiga macam komponen listrik beserta sifatnya yang akan menimbulkan karakteristik baru dalam rangkaian. Resistor yang bersifat membuang energi dalam bentuk panas, induktor yang bersifat menyimpan arus bolakbalik atau alternating current (ac), dan kapasitor yang bersifat menyimpan tegangan searah atau direct current (dc), akan menimbulkan adanya sifat sementara (transien) dalam rangkaian. Dalam kondisi sementara ini, sebelum diterapkan sumber-sumber bebas dari luar, tanggapan rangkaian disebut dengan tanggapan sementara. Setelah lenyapnya tanggapan sementara, rangkaian dikatakan dalam keadaan mantap (steady state). Tanggapan yang diakibatkan oleh sumber-sumber bebas dari luar dinamakan dengan tanggapan paksa. Kombinasi dari tanggapan transien dengan tanggapan paksa merupakan tanggapan lengkap rangkaian Hukum Hukum Rangkaian listrik 1. Hukum Arus Kirchhoff (HAK) Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa jumlah aljabar dari arus arus yang memasuki setiap node/simpul rangkaian adalah nol (William H, 2005). Arus yang menuju node dinyatakan positif dan yang meninggalkan node dinyatakan negatif. Untuk memberi gambaran mengenai hukum arus Kirchhoff dengan gambar sebagai berikut:

7 11 Gambar 2.1 Simpul Arus Sederhana Berdasarkan hukum arus Kirchhoff pada rangkaian diperoleh persamaan Atau =0 2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) Hukum tegangan Kirchhoff menyatakan bahwa penjumlahan aljabar dari tegangan disekeliling suatu lintasan tertutup sama dengan nol (William H, 2005). 3. Hukum Ohm Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan V yang melewati suatu penghantar berbanding lurus degan arus I dari elemen rangkaian yang ditulis sebagai (Zainuddin Zukhri, 2007).

8 Elemen Resistor, Induktor, dan Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel 1. Resistor dalam Hubungan Seri dan Parallel Gambar 2. 2 Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor Gambar 2.3 Rangkaian Ekivalen Resistor Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor yang terlalu rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Kombinasi dari N buah resistor yang terhubung seri dapat disederhanakan dengan mengantikan N buah resistor dengan sebuah resistor ekivalen (R eq ). Resistansi ekivalen untuk N buah resistor yang terhubung seri adalah: (2.6)

9 13 Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor dalam hubungan paralel adalah. Yang dapat ditulis sebagai Untuk kasus dimana hanya terdapat dua buah resistor yang terhubung paralel. Persamaannya dapat di rumuskan sebagai: 2. Induktor dalam Hubungan Seri dan Paralel Kombinasi dari N buah induktor yang terhubung seri pada gambar dapat diganti denga sebuah rangkaian induktor ekivalen, dengan induktansi L eq untuk menggantikan kombinasi seri tersebut. Dengan menerapakan HTK (hukum tegangan Kirchhoof atau Kirchoof voltage law) pada rangkaian aslinya. Gambar 2.4 Rangkaian Kombinasi N Buah Induktor

10 14 Gambar 4.5 Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor untuk rangkaian ekivalen, KVL (kirchooff voltage law) menghasilkan Untuk kasus dua induktor yang terhubung paralel (2.8) 3. Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel Kombinasi dari N buah kapasitor yang terhubung seri membentuk kombinasi yang sama dengan konduktansi konduktansi atau resistor resistor paralel. Untuk kasus dua kapasitor yang terhubung seri. Persamaan yang diperoleh adalah

11 15 Untuk rangkaian N buah kapasitor yang terhubung paralel yaitu (2.10) Tanggapan Rangkaian RLC Seri Pada rangkaian listrik, terdapat 3 respon yang dikenal, yaitu respon alami yang kurang teredam (underdamped), teredam kritis (crititically damped), dan sangat teredam (overdamped), karena yang akan dibicarakan adalah arus, maka, respon yang dimaksud adalah respon arus. Secara matematis dalam ilmu rangkaian listrik dapat dijelaskan 3 respon ini. Suatu rangkaian listrik sederhana yang terdiri dari komponen aktif R, juga komponen pasif L dan C dirangkai secara seri pada gambar dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada gambar maka diperoleh persamaan arus, sebagai: Gambar 2.6 Rangkaian RCL Seri Persamaan derajat kedua diperoleh dengan mendiferensiasikan terhadap fungsi waktu sebagai:

12 16 Dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua dan pemisalan, maka ( ) Persamaan terakhir yang diperoleh dikenal sebagai persamaan karakteristik atau persamaan pelengkap (auxiliary). Karena persamaan ini adalah sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut memiliki dua buah pemecahan yang diidentifikasikan sebagai dan ( ) Dengan sebagai parameter frekuensi resonansi Dan sebagai parameter frekuensi neper atau koefisien redaman eksponensial Terdapat tiga kondisi yang di peroleh yaitu: Untuk merupakan kondisi teredam kritis bentuk umum tanggapan teredam kritis (crititially damped) adalah (2.11) Untuk merupakan kondisi kurang teredam (under damped) bentuk umum tanggapan kurang teredam adalah (2.12) Dengan sebagai bilangan radix Untuk merupakan kondisi teredam berlebih (over damped)

13 17 bentuk umum tanggapan teredam berlebih (2.13) konstanta didapat dengan menggunakan kondisi awal (initial condition) (Hayt dkk. 2005). 2.3 Integral Parsial Jika dan adalah fungsi dari, maka diketahui bahwa Dan dengan mengatur kembali suku sukunya, diperoleh Rumus sederhananya diperoleh (2.14) 2.4 Transformasi Laplace Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial kedalam bentuk persamaan aljabar, sehinnga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar. Jika adalah suatu pernyataan dalam yang terdefinisi untuk maka transformasi Laplace dari dinotasikan dengan { } atau didefenisikan sebagai: { } Dimana adalah suatu variabel yang nilai nilainya dipilih sedemikian rupa agar intrgral infinitnya konvergen. Pemusatan terjadi ketika limit

14 18 Eksis. Jika limit ini tidak eksis, integral tak wajar tersebut divergen dan memiliki transformasi laplace. tidak Transformasi Laplace Dari Turunan 1. Turunan Pertama { } Bukti: { } Dengan menggunakan integral parsial diperoleh { } [ ] [ ] ( ) { } (2.20)

15 19 2. Turunan Kedua { } Bukti: Dengan menggunakan integral parsial dan hasil dari turunan pertama diperoleh { } = [ ] = ( ) { } = [ ] { } = (2.21) Secara umum turunan ke adalah sebagai berikut: { } { } (2.22) Transformasi Laplace Invers Jika transformasi laplace suatu fungsi adalah, yaitu { }, maka disebut invers transformasi Laplace dari yang ditulis sebagai: { }. (2.23) Sifat sifat transformasi Laplace invers adalah sebagai berikut 1. Transformasi invers dari suatu jumlah atau selisih dari pernyataan adalah jumlah atau selisih dari masing masing transformasi invers itu sendiri. yang ditulis sebagai: { } { } { } 2. Transformasi invers dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi invers dari pernyataan tersebut, dengan kata lain: { } { } di mana adalah konstanta.

16 Transformasi Laplace dalam Ekpansi Pecahan Parsial Di dalam penggunaannya, transformasi Laplace sering kali melibatkan bentuk dengan banyak fraksi, di mana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Solusinya ialah dengan cara mengetahui bagaimana fraksi fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah dalam bentuk fraksi pecahan (parcial fraction). Jika dengan penyebut Maka, terdapat tiga penyelesaiannya. 1. Akar akar Real yang Tidak Sama Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk dan diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai (2.25) Dengan dan sebagai konstanta.

17 21 2. Akar akar Real yang Sama Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai Dengan,,, dan adalah konstanta yang belum diketahui nilainya. 3. Akar akar Kompleks Untuk setiap faktor dari P(s) dalam bentuk Maka, pecahan parsialnya dapat ditulis dalam bentuk 2.5 Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem) Masalah nilai awal untuk persamaan diferensial order ( ) yaitu menentukan solusi persamaan diferensial pada interval I yang memenuhi syarat awal di subset dari real di mana adalah konstanta yang diberikan (Baiduri, 2002).