Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK

Transkripsi

1 Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan salah satu metode aitu metode integrasi ganda dan metode fungsi singularitas dalam analisis dan penentuan defleksi suatu balok. SUB-OKOK BAHASAN: METODE INTEGRASI-GANDA endahuluan Di bab 8 telah dinatakan bahwa beban lateral ang dikenakan pada balok tidak hana menebabkan kenaikan tegangan tekuk dan tegangan geser internal pada batang, tetapi juga menebabkan batang mengalami defleksi pada arah tegaklurus sumbu longitudinalna. Tegangan-tegangan ini telah diuji di bab 8 dan akan didiskusikan lagi di bab ini, khususna untuk menjabarkan metode perhitungan defleksi. Definisi defleksi pada balok Deformasi pada balok secara sangat mudah dapat dijelaskan berdasarkan defleksi balok dari posisina sebelum mengalami pembebanan. Defleksi diukur dari permukaan netral awal ke posisi netral setelah terjadi deformasi. Konfigurasi ang diasumsikan dengan deformasi permukaan netral dikenal sebagai kurva elastis dari balok. Gambar 9-1 memperlihatkan balok pada posisi awal sebelum terjadi deformasi dan Gb. 9- adalah balok dalam konfigurasi terdeformasi ang diasumsikan akibat aksi pembebanan. O Gb. 9-1 Gb. 9- Jarak perpindahan didefinisikan sebagai defleksi balok. Dalam penerapan, kadang kita harus menentukan defleksi pada setiap nilai disepanjang balok. Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan ang sering disebut persamaan defleksi kurva (atau kurva elastis) dari balok. entingna defleksi balok Disamping faktor tegangan, spesifikasi untuk rancangbangun 56

2 balok sering ditentukan oleh adana defleksi. Konsekuensina, disamping perhitungan tentang tegangan-tegangan seperti dijelaskan dalam bab 8, perancang juga harus mampu menentukan defleksi. Sebagai contoh, dalam banak kode bangunan defleksi maksimum ang diperkenankan dari suatu batang tidak boleh melebihi 1/00 panjang balok. Dengan demikian, balok ang dirancang dengan baik tidak hana mampu mendukung beban ang akan diterimana tetapi juga harus mampu mengatasi terjadina defleksi sampai batas tertentu. Metode-metode penentuan defleksi balok Banak metode ang tersedia untuk menentukan defleksi balok. Metode-metode ang umum digunakan antara lain adalah: (1) Metode integrasi-ganda, () Metode fungsi singularitas dan () Metode energi elastis Hana metode pertama dan kedua ang akan diuraikan dalam bab ini. erlu dicatat bahwa kesemua metode tersebut hana bisa diterapkan jika seluruh porsi balok bekerja dalam rentang elastis. Metode integrasi-ganda ersamaan diferensial kurva defleksi balok tertekuk adalah EI M (9.1) dimana dan adalah koordinat-koordinat seperti ditunjukkan pada Gb. 9.. Disini, adalah defleksi balok. ersamaan ini akan dijabarkan dalam contoh 1. Dalam persamaan ini E menatakan modulus elastisitas balok dan I menatakan momen inersia penampang melintang balok terhadap sumbu netral ang melalui centroid penampang melintang. M menatakan momen tekuk pada jarak dari salah satu ujung balok. Nilaina telah didefinisikan di bab 6 sebagai jumlah aljabar momen-momen gaa luar terhadap salah satu sisi bagian pada jarak dari ujungbatang. Biasana M akan mertupakan fungsi dan perlu mengintegrasikan persamaan (9.1) dua kali untuk memperoleh persamaan aljabar ang menatakan defleksi sebagai fungsi. ersamaan (9.1) adalah persamaan diferensial dasar ang menentukan defleksi elastis seluruh balok tanpa memandang tipe pembebananna. rosedur integrasi Metode integrasi-ganda untuk menghitung defleksi balok hana berisi integrasi persamaan (9.1). Integrasi pertama menghasilkan kemiringan (slope) d/ pada sembarang titik pada balok dan integrasi kedua memberikan defleksi pada setiap nilai. Momen tekuk M harus dinatakan sebagai fungsi koordinat sebelum persamaanna bisa diintegralkan. Untuk kasus ang akan dipelajari disini integrasina 57

3 adalah sangat sederhana. Karena persamaan diferensial (9.1) merupakan order kedua, solusina harus mengandung dua konstanta integral. Kedua konstanta ini harus dievaluasi dari kondisi ang diketahui terhadap slope maupun defleksi pada titik tertentu dalam balok. Misalna, pada kasus balok gantung (cantilever) konstanta-konstantana dapat ditentukan dari kondisi dimana tidak terjadi perubahan slope dan juga kondisi tanpa perubahan defleksi pada, aitu pada ujung balok. Sering, dua atau lebih persamaan diperlukan untuk menjabarkan momen tekuk pada berbagai daerah disepanjang balok. Ini telah ditegaskan di bab 6. ada kasus demikian, persamaan (9.1) harus ditulis untuk setiap daerah pada balok dan integrasi persamaan menghasilkan dua konstanta integral untuk masing-masing daerah. Konstanta-konstanta ini kemudian harus ditentukan sedemikian sehingga memenuhi untuk keseluruhan batas kondisi untuk slope dan deformasina (Lihat contoh ). Konvensi tanda Konvensi tanda untuk momen tekuk ang telah digunakan di bab 6 akan dipertahankan disini. Kuantitas E dan I ang muncul dalam persamaan (9.1) adalah positip. Jadi, dari persamaan ini, jika M adalah positip untuk nilai tertentu, maka d / juga positip. Berdasarkan konvensi tanda untuk momen tekuk diatas, maka penting untuk diperhatikan bahwa koordinat disepanjang balok adalah positip kekanan dan defleksi adalah positip naik. Dengan tanda aljabar ini integrasi persamaan (9.1) dapat dilakukan untuk menghasilkan defleksi sebagai fungsi, dengan pengertian bahwa defleksi keatas adalah positip dan defleksi kebawah adalah negatip. Asumsi dan pembatasan ada penjabaran persamaan (9.1) diasumsikan bahwa defleksi ang disebabkan oleh aksi gesekan adalah dapat diabaikan, dibandingkan dengan ang disebabkan oleh aksi tekukan. Juga, diasumsikan bahwa defleksi ang terjadi adalah relatif kecil dibandingkan dengan dimensi penampang melintang balok, dan seluruh porsi balok beraksi dalam batas elastis. Contoh 1. Tentukan persamaan diferensial untuk kurva defleksi suatu balok ang dibebani dengan gaa melintang. Dari bab 8, kita mempunai hubungan EI M ada pernataan ini, M adalah momen tekuk ang bekerja pada penampang melintang balok, ρ jari-jari kurva terhadap permukaan netral balok, E modulus elastisitas, dan I momen 58

4 penampang melintang terhadap sumbu netral ang melalui centroid penampang. Biasana nilai E dan I adalah konstan disepanjang balok, tetapi M dan ρ merupakan fungsi. ersamaan diatas dapat kita tulis dalam bentuk 1 M EI dimana ruas kiri mewakili kurva permukaan netral dari balok. Karena M bervariasi disepanjang balok, kurva defleksi akan berupa kurva variabel. Misalkan garis tebal pada gambar dibawah merupakan permukaan netral terdeformasi dari balok. Awalna sumbu balok adalah berimpit dengan sumbu. Defleksi adalah positip kearah atas; sehingga untuk kurva pada gambar dibawah, seluruh defleksi adalah negatip. O ρ ernataan untuk kurva pada sembarang titik disepanjang balok ang terdeformasi telah tersedia dari kalkulus diferensial. Formula kurva adalah 1 / 1 ( d / ) / ada pernataan ini, d/ mewakili kemiringan atau slope kurva pada sembarang titik; dan untuk defleksi balok ang sangat kecil nilaina dan juga nilai kuadratna sangat kecil sehingga biasana dapat diabaikan. Asumsi ini membuat pernataan untuk kurva menjadi lebih sederhana, aitu 1 Dengan demikian untuk defleksi ang kecil persamaan kurva menjadi d / =M/EI atau EI M Ini merupakan persamaan diferensial untuk kurva defleksi dari balok ang dibebani gaa melintang. Sesuai dengan penemuna, persamaan ini juga disebut persamaan Euler-Bernouli untuk balok tekuk. Contoh. Tentukan defleksi pada sembarang titik pada balok gantung (cantilever) ang dikenai gaa tunggal terkonsentrasi, seperti gambar dibawah. L L Disini diogunakan sistem koordinat -, dimana sumbu- berimpit dengan posisi balok sebelum tertekuk. Balok tertekuk diperlihatkan dengan garis tebal. ertama perlu ditentukan rekasi-reaksi ang diterima oleh dinding pendukung, dan dari statika diperoleh gaa reaksi vertikal dan momen L. Momen tekuk pada sembarang penampang melintang pada jarak dari dinding diberikan dengan jumlah momen-momen kedua reaksi ini terhadap sumbu penampang. Terbukti bahwa gaa keatas menghasilkan momen positip, dan kopel L jika beraksi sendiri akan menghasilkan kurva balok seperti gambar sebelah kanan. Berdasarkan konvensi tanda, ini menunjukkan tekukan negatip. Dengan demikian momen tekuk M pada bagian adalah M L ersamaan diferensial untuk balok tertekuk adalah L 59

5 EI M dimana E menunjukkan modulus elastisitas bahan dan I menunjukkan momen inersia penampang melintang terhadap sumbu netral. Substitusi kedua persamaan diatas diperoleh EI L Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan d EI L C1 ang juga berarti persamaan untuk slope, dimana C 1 adalah konstanta integral. Konstanta ini dapat dievaluasi dengan menggunakan kondisi dimana slope d/ dari balok pada dinding adalah nol karena balok dijepit secara tetap disini. Dengan demikian ( d / ) 0 0. ersamaan hasil integrasi pertama adalah benar untuk semua nilai dan, dan jika kondisi = 0 disubstitusikan kita dapatkan 0 = C 1 atau C 1=0. Integrasi kedua menghasilkan EI L C 6 dimana C adalah konstanta kedua integrasi. Lagi, kondisi pada dinding pendukung akan menentukan konstanta ini. ada =0, defleksi adalah nol karena balok dijepit secara kaku. Dengan mensubstitusikan () =0=0 kedalam persamaan diatas, kita peroleh 0 = C atau C =0. Dari kedua persamaan kita peroleh C 1 = C = 0 memberikan slope d/ dan defleksi pada titik. Defleksi adalah maksimum pada ujung kanan balok ( = L), dibawah pembebanan. L EIma dimana nilai negatip menunjukkan bahwa pada titik ini kurva defleksi terletak dibawah sumbu-. Jika hana diiunginkan besaran defleksi maksimum pada = L, biasana dinatakan dengan ma dan kita peroleh L ma EI Contoh. Tentukan persamaan kurva defleksi untuk balok menggantung ang dibebani oleh dua gaa ang sama seperti diilustrasikan pada gambar dibawah. a L 1 L a Momen tekuk pada daerah batang gantung sebelah kiri adalah M untuk 0 a dan persamaan diferensial untuk batang tekuk pada daerah tersebut adalah EI untuk 0 a (1) Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan d EI C () 1 Tidak ada ang bisa diketahui untuk slope d/ di daerah ini. Secara khusus, perlu ditekankan bahwa tidak ada justifikasi untuk mengasumsikan bahwa slope pada sendi ( = a) adalah nol. Kita mungkin menatakan slope disini dengan notasi 60

6 d a EI C1 a () Integrasi selanjutna menghasilkan EI C1 C (4) Karena balok menggantung pada pendukung (sendi), maka diketahui bahwa defleksi adalah nol. Dengan demikian () =a=0. Dengan mesubstitusikan = 0 ketika = a di (4), kita peroleh a 0 C1a C (5) 6 Momen tekuk pada daerah tengah balok diantara pendukung (sendi dan engsel) adalah M = -a dan persamaan diferensialna adalah EI a untuk 0 ( L a) (6) Integrasi persamaan diatas menghasilkan d EI a C (7) Karena pembebanan adalah simetris dapat dibuktikan bahwa slope d/ harus nol pada bagian tengan balok. Jadi (d/) =L/=0. Substitusi nilai ini ke persamaan (7) kita peroleh L 0 a C atau al C (8) Juga dari persamaan (7) dapat dikatakan bahwa slope balok pada pendukung sebelah kiri, = a, dapat diberikan dengan substitusi = a kedalam persamaan ini, dan menghasilkan d EI a al (9) a Tetapi slope d/ ang diberikan dari pernataan ini harus sama dengan ang diberikan oleh persamaan (), karena tekukan batang pada titik ini harus mempunai slope ang sama, tidak pandang persamaan mana ang digunakan. Dengan cara ang sama, untuk ruas kanan (persamaan () dan (9)) kita peroleh a al C1 a (10) atau a al C1 (11) Substitusi nilai C 1 kedalam pers. (5) kita peroleh 0 a a a L 6 C (1) atau a a L C Integrasi selanjutna dari persamaan (7) menghasilkan al EI a ( ) C (1) 4 Lagi, defleksi pada pendukung sebelah kiri, = a, adalah nol. Meskipun kondisi ang sama telah digunakan untuk memperoleh persamaan (5) pada saat ini kondisi ini akan digunakan untuk menentukan konstanta C 4 dalam persamaan (1). Dengan substitusi nilai () =a=0 kedalam persamaan (1), kita peroleh 0 a a L 4 C atau a a L C4 (14) Selanjutna diperlukan untuk memanfaatkan empat kondisi berkaitan dengan slope dan defleksi guna menentukan keempat konstanta tersebut. Kondisi-kondisi tersebut adalah (a) Jika = a, = 0 untuk porsi balok menggantung (b) Jika = a, = 0 untuk porsi tengah (central) balok (c) Jika = L/, d/ = 0 untuk porsi tengah balok (d) Jika = a, slope d/ adalah sama untuk kurva defleksi pada sebelah sisi pendukung. Akhirna, persamaan balok tekuk dapat ditulis dalam bentuk 61

7 a al a a L EI 6 untuk 0 a (15) a al a a L EI untuk 0 ( L a) (16) Karena pembebananna simetris maka tidak perlu untuk menulis persamaan untuk balok terdeformasi pada bagian sebelah kanan. 6