4 Trasformasi Z Matri : Dfiisi Trasformasi Darah Kovrgsi (Rgio of Covrgc) Diagram Pol Zro Sifat Trasformasi Trasformasi dalam Btu Poliomial Rasioal Fugsi Sistm atau Fugsi Trasfr H() dari Sistm Liir Tida Brubah trhadap Watu Fugsi Sistm utu Sistm yag Diyataa dalam Prsamaa Prbdaa Kofisi Kosta Liir Ivrs Trasformasi Rspo Frusi utu Fugsi Sistm Rasioal Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
4 Trasformasi Z 4. Dfiisi Trasformasi Trasformasi darisiyal disrit x() didfiisia X() x() - - dimaa r ω, adalah variablompls Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
4. Darah Kovrgsi (ROC) Nilai yag mybaba X() ovrg didfiisia pada darah di bidag yag disbut darah ovrgsi, rgio of covrgc (ROC). ROC didfiisia dalam brupa darah pada bidag yag dibatasi olh ligara. Im{} a R{} ROC > a bidag Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 3
Trasformasi dapat diaggap sbagai Trasformasi Fourir Watu Disrit (TFWD) dari x r,. X ( ) x x r Bila ROC mcaup ligara satua ( ), x( ) mmpuyai TFWD (fiit rgy squc) Im{} R{} ROC mcaup lig. satua TFWD bidag Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 4
Sifat-sifat ROC ROC dari X() adalah darah yag dibatasi ligara pada bidag yag brpusat pada titi ol. Trasformasi Fourir dari x() adalah ovrg ia da haya ia ROC dari x() mcaup ligara satua. Pada ROC tida bolh trdapat pol. Bila x() adalah drt dga paag trbatas maa ROC adalah sluruh bidag,dga mugia pgcualia pada = atau =. Bila x() adalah drt sisi aa yaitu drta yag brilai ol utu <N <, ROC adalah darah dibagia luar dari pol trluar X() higga (mugia) mcaup =. Bila x() adalah drt sisi iri yaitu drta yag brilai ol utu >N >-, ROC adalah darah dibagia dalam dari pol trdalam X() higga (mugia) mcaup =. Bila x() adalah drta dua sisi maa ROC aa brbtu cici yag dibatasi olh pol trluar da trdalam da tida mgadug satu pu pol pada darah ovrgsiya. Darah ovrgsi harus mrupaa darah yag trhubug. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 5
Cotoh drta sisi aa x X ( ) a u a a - - 3 4 aa ovrg utu a - < shigga ROC adalah > a a < fiit rgy squc a > (divrgt squc, ifiit rgy, TFWD tida ada ttapi TZ ada yaitu > a (ROC) Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 6
Cotoh drta sisi iri (ati causal) x a u X a u -5-4 -3 - - 3 4 a a aa ovrg utu a - < a a a a a a a a a shigga ROC adalah < a Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 7
Cotoh drta : bidag Im a ROC > a x() = a u() drta sisi aa R ROC < a x() = -a u(--) drta sisi iri X() a ( a < ) Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 8
Misal X ( ), da a a a a ROC tida dispsifiasia maa mugia drta-drta x() adalah... - a u(--) atau a u() -a u(--) atau a u() Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 9
X() a a ROC: > a ad > a x() = a u() + a u() Im Im R a < a Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
X ( ) a a ROC: < a ad < a x() = -a u(--) - a u(--) Im Im R a < a Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
X() a a ROC: > a ad < a x() = a u() - a u(--) Im Im a < a R Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
X() a a ROC: < a ad > a x() = -a u(--) + a u() Im a < a R Tida ada ROC Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 3
Drta sposial dua sisi x a, - a u a u ROC > a ROC < a Im Tida ada ovrlap pada ROC, TZ tida ada (tida ovrg utu ilai brapapu) a R Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 4
4.3 Diagram Pol Zro Pol diotasia dga x da ro dga o pada bidag ompls : Im{} pol - pol p (mrupaa pasaga o o o o ougat ompls bila g() riil) R{} Zro-ro bidag Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 5
Prmuaa Bidag Kompls G(): fugsi ompls dari variabl ompls Bidag prpotoga atara prmuaa G() da silidr ( = = w ) adalah G( w ) yaitu TFWD Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 6
Bidag Z da TFWD Uwrappig prmuaa silidr da diprolh TFWD Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 7
4.4 Sifat Trasformasi 4.4. Liir Bila x X ( ) x, Rx- Rx y Y( ) y, Ry- Ry maa : ax by X ( ) ax by ax by ax ( ) by( ) max Rx-, Ry- mi Rx, Ry Cotoh: x u y u 3 3 3 maa x y 3 Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 8
Cotoh: x cos. u. u. u. u. u X cos. u cos cos x u u u si... X si si. u cos Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 9
4.4. Prgsra Drta Bila x X ( ) x, Rx- Rx x X Rx- Rx maa : ( ) Buti : x x = x X ( ) Darah ovrgsi xda x sama dga mugia pgcualia di = atau = Cotoh: x 3 3 4. 3.. 3 4 Rx- Rx x 3. 3. < x 3 3 4 5 6. 3 3. 4. 5 6 x 4 4 3 3 4. 3 3.. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
4.4.3 Pralia dga drta sposial Bila x X ( ) Rx- Rx maa : a. x a. x = x. a Cotoh: a x X a a Rx- a Rx cos cos. u cos a cos a cos. u a a cos a si si. u cos a si a si. u a a cos a Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
4.4.4 Pmbalia watu Bila x X ( ) Rx- Rx maa : x a. x = x. = x. Cotoh: x X R R u x maa u 4.4.5 Turua dalam awasa x Bila x X ( ) Rx- Rx dx ( ) d maa : x = x. = - -.. x. - -. TZ. x d d dx ( ) shigga : x Rx Rx d a Cotoh: a u a maa a u a a a Bila a maa u maa u Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
4.4.6 Pumlaha Kovolusi Bila x X ( ) R - da x R y x h x h H ( ) Rh- Rh Y( ) x h = x h. l = h l. x. h l. l X ( ). H ( ) x l l maa : x h X ( ). H ( ) Darah ovrgsiya adalah itrssi atara Rx- Rx da Rh- Rh Cotoh : Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 3
4.4.7 Pralia dua drta x w Bila y. da x X ( ) Rx- Rx w W ( ) Rw- Rw ( ) -. =. Y x w X v v dv. w. C - = X v w.. v dv X vw v v dv Rx-Rw- R R x w v C C Jadi : y x. w Y ( ) X vw v dv Rx-Rw- Rx Rw v C C adalah litasa trtutup yag mligari titi da litasa trlta dalam darah ovrg utu dua X v da W v v Atau : y w. x Y ( ) W v X v dv Rx-Rw- RxRw C C adalah litasa trtutup yag mligari titi da litasa trlta dalam darah ovrg utu dua W v da X v Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 4
Bila v da maa Y ( ) X. W. d adalah ovolusi priodi Bila x da w drta ompls, maa itgral ovolusi ompls : y x. w Y ( ) X vw v dv Rx- Rw- RxRw v C Cotoh : x a u X a a w b u W b b y w. x Y ( ) X W vv dv Rx- Rw- Rx Rw v C / y ab a u Y ( ) v dv dv a. v b. v v / a v b. C C C adalah litasa trtutup yag mligari titi da litasa trlta dalam darah ovrg utu dua W v da X. v Pol trlta di v b da v,darah ovrgsi X adalah a,maa darah ovrgsi X adalah a, a v v shigga v pol diluar litasa itgrasi C. Dga torma rsidu Cauchy utu mghitug Y a / a Y( ) b / a ab ab Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 5
4.4.8 Torma Parsval Bila x da x drta ompls da x X( ) Rx - Rx x W ( ) Rx - Rx * maa x x X v X v dv v =- C Litasa itgrasi harus brada di dalam darah ovrgsi X da X. Bila X da X ovrg di ligara satua, dipilih v,maa x * x X( ). X ( ) d =- - Bila x = = maa = x x x X v X v dv v - C C adalah litasa trtutup di dalam darah ovrgsi X. Bila v maa x = X ( ) d - - Rx- Rx Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 6
4.4.9 Torma Nilai Awal Bila x drta ausal: x X ( ) x x x x... maa: x lim X ( ) 4.4. Torma Nilai Ahir Bila x X ( ) da smua pol X ( )brada di dalam ligara satua maa: lim x lim X Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 7
4.4. Pasaga Trasformasi All u u u u m m utu sluruh harga cuali utu m atau utu m Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 8
Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 9 r r cos r si r u si r r r cos r cos r u cos r cos si u si cos cos u cos u u 4.4. Pasaga Trasformasi
4.5 Trasformasi Z dalam btu poliomial rasioal Poliomial rasioal dari H() : H Y b b b b X a a a a ( M) M M M ( N) N N N Trasformasi Z dalam btu rasioal yag difatora H adalah aar-aar pmbilag dari H() H()= adalah ro dari H() p adalah aar-aar pybut dari H() H()= p adalah pol dari H() b b M M M N N N p p Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 3
4.6 Fugsi Sistm atau Fugsi Trasfr H() dari Sistm Liir Tida Brubah trhadap watu x() Sistm LTI h[] y()=x()*h() X() H( ) H ( ) Y( ) X( ) N N h Y() = X() H() Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 3
4.7 Fugsi Sistm utu Sistm yag Diyataa dalam Prsamaa Prbdaa Kofisi Kosta Liir N a y b x a Y( ) a Y( ) a Y( )... a Y( ) b X ( ) b X ( )... b X ( ) H() M N M N M Y() b b b... b X ( ) a a... a M M N N Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 3
Cotoh: Filtr FIR yag diralisasia scara o rursif M y x, h sistm ii atau h... M ( )... Rspo impuls h M M h H Filtr FIR yag diralisasia scara rursif y y x x M Y() Y() X ( ) X ( ) H( ) - M Y ( ) X( ) - M - h u u M Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 33
4.8 Kausalitas da Stabilitas Sistm Liir Tida Brubah Trhadap Sistm LTI Kausal Sistm LTI adalah ausal ia: h ROC trasformasi Z dari sistm LTI ausal adalah bagia luar dari ligara brari-ari r Sistm LTI Stabil ROC trasformasi dari drta - r yag mybaba h r h Shigga bila ROC mcaup ligara satua yaitu adalah harga-harga (absolutly summabl)., maa Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 34
Sistm LTI Kausal 4.8 Kausalitas Sistm da LTI Stabilitas adalah ausal ia: Sistm Liir Tida Brubah Trhadap h ROC trasformasi Z dari sistm LTI ausal adalah bagia luar dari ligara brari-ari r Sistm LTI Stabil ROC trasformasi dari drta r yag mybaba h r h, artiya sistm LTI trsbut aa stabil. - adalah harga-harga (absolutly summabl). Shigga bila ROC mcaup ligara satua yaitu, maa h Sistm LTI Kausal aa stabil ia da haya ia sluruh pol H( ) trlta didalam ligara satua. Darah ovrgsi sistm LTI yag ausal da stabil adalah r da r. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 35
4.9 Trasformasi Ivrs Ada 3 pdata utu mghitug trasformasi ivrs : Trasformasi ivrs Powr sris i (log divisio) Frasi pcaha parsial Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 36
4.9. Trasformasi Ivrs Trasformasi dari x X ( ) x Kdua sisi prsamaa diatas dialia dga fator litasa trtutup dalam ROC X,shigga diprolh X. d.= x. d da diitgrasia pada C C dimaa C adalah litasa trtutup yag brputar brlawaa arah arum am dalam ROC X. X. d.= x. d. C C Dga mgguaa torma itgral Cauchy,, d = C, maa prsamaa sblumya dapat ditulisa C X. d.= x x X. d C Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 37
Torma itgral Cauchy Bila C adalah litasa trtutup da f ' ada pada litasa C atau di dalam C, Utu f f, di dalam C d =, di luar C C pol yag sama yag trdapat dalam C, f ' dga turua ord, da f yag tida mmpuyai pol dalam C, maa d f f, di dalam C d =! d C, di luar C Bila trdapat pol da f tida mmpuyai pol dalam C,maa f d = lim... i C i i f... Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 38
Cotoh Ttua trasformasi ivrs utu X( ) briut X, a a Solusi Utu. x d. d a, a a C C Utu x. d. d a a a a a a C C x d. d. d a a d a a a a C C x, x a u Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 39
4.9. Powr sris i (log divisio) X () x X() diyataa dalam btu X() = a + b - + c -... Umumya X() adalah drta sisi aa da brbtu poliomial rasioal Jia X() brbtu poomial rasioal, spasi dilaua dga pmbagia cara paag (log divisio). X P () Q () Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 4
4.9. Powr sris i (log divisio) Cotoh : H.5.5 (a) ROC: (b) ROC:.5 Solusi (a)kara ROC adalah bagia luar ligara,maa Espasi drt dalam btu,,...dst. x ausal. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 4
.5.75.875 3....5.5.5.5.5.5.5.5.75 3.75.75 3.75.65 3,.5,.75,.875,... x.875 3 (b) Kara ROC adalah bagia dalam ligara,maa x Espasi drt dalam btu,,...dst. 6 3 4 4....5.5 3 3 3 9 6 3...4,6,,, x 7 6 3 ati ausal. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 4
4.9.3 Espasi Pcaha Parsial Poliomial rasioal X( ) X N b b b b D a a a a ( M) M M M ( N) N N N Fugsi rasioal diatas diataa propr ia a da M N. Fugsi rasioal impropr M N dapat ditulisa sbagai pumlaha poliomial da fugsi rasioal propr. N N ( MN) N X c c cmn D D Espasi pcaha parsial dilaua pada fugsi rasioal propr. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 43
4.9.3. Pol yag brbda Utu poliomial rasioal X ( ) dga N pol yag brbda maa btu spasiya madi X A A A3 AN... p p p p 3 Nilai ofisi A,..., A dittua sbagai briut A N p X.4. p N,,..., N Cotoh Ttua spasi pcaha parsial dari X X briut X A A.6..6. X A.6.75, A.75.6...6.6 Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 44
4.9.3. Pol yag sama Utu poliomial rasioal X ( ) dga l pol yag sama yaitu p,maa spasi pcaha parsial madi A A Al... p p p Nilai ofisi A A l dittua sbagai briut l d! d l l l X( ) p,,..., l p l Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 45
4.9.3. Pol yag sama 3 4... X () a x Z X a - ( ) ( ( )), a u a a a a 3 4 a u a! 3! u a 3 u...! a u Tabl Ivrs Trasformasi utu Mtoda Espasi Pcaha Parsial Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 46
Cotoh Ttua ivrs trasformasi dari X Solusi 3 4, X A A A A 3 4 3 3 4 4 l d l X ( ) A p,,..., N l l! d A d 3 8 3 3! d 4 p 3! d 3 4 3 4 4 8 6 8 d A -, A =6, A = -8 3 3 4 4 8 6 / 8 4 u X x 4 Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 47
4. Rspo Frusi utu Fugsi Sistm Rasioal Fugsi rspo frusi mmbria iformasi ttag aratristi filtr diital LTI dalam domai frusi. Dga fugsi ompls variabl frusi, raliasasi da maipulasi filtr diital aa sulit. Aa ttapi dga mgguaa trasformasi dari rspo impuls sistm LTI, yag disbut fugsi sistm/fugsi trasfr (H()), dimaa poliomial diyataa dalam -, da utu sistm dga rspo impuls ral, ofisi dari poliomial fugsi sistm ya uga aa ral. Hal ii aa mmudaha dalam sitsa da ralisasi filtr diital. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 48
( )... M Y b b b b H( ) M X( ) a a... a N N Poliomial pmbilag da pybut difatora : H ( ) b M N p Kara TFWD adalah valuasi pada bid- dimaa maa H H b M N p b ( N M ) M N p Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 49
Edisi Smstr I 7 / 8 EYH ( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M N M N M N M N M N H b p H b p V p U V H b U H b N M
Rspo Frusi Fugsi Sistm Rasioal p x Im () A :Uit circl L B C R() CA AL CL BL p AL CB BL CL Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 5
Rspo Frusi Fugsi Sistm Rasioal (la) p x Im () U () ( ) V () ( ) R() - p U V ( ) ( ) ( ) ( ) Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 5
Rspo Frusi Fugsi Sistm Rasioal : ro & pol pada ligara satua p x Im () U () ( ) p V () ( ) R() Pada saat Pada saat p,v,u ( ) shigga H( ( ) shigga H( ) ) Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 53
Cotoh : Rspo Frusi Fugsi Sistm Rasioal pol Im () H().8.8 U () x.8 ( ) pol=.8 R() p U.8 Pada saat p ( ) miimum H( LPF ; )masimum H( H( ) ( ) ta ).8.8.64.6 cos si cos.8 Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 54
Cotoh : Rspo Frusi Fugsi Sistm Rasioal pol Im () H().8.8 p U U ().88 x -.8 Pada saat p HPF ( ) miimum ( ) 8 H( ; )masimum H( H( ) ( ) ta.8 si cos.8.64.6 cos Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 55 ).8 Pol = -.8 R()
Igat! Im () U( 3 ) U( 4 ) x U( ) U( ) R() ( ) p U( ) U( ) aa brharga miimum pada saat frusi p Pada gambar U( ) miimum pada saat Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 56
Mis : H( ).8 H ( ) ( ).8 da p.8 V( ) - p U( ) H N ( ) miimum pada saat masimum. Pada cotoh diatas p. M V ( ) V ( ) U( ) U( ) U ( ) U p H H bila V ( ),hal ii dapat tradi apabila ro trlta pada ligara satua pada frusi yag sama dga frusi ro ( ) pada bidag. Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 57
Im() Low pass filtr X R () = H( ) mas Im() High pass filtr X R () = H( ) mas Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 58
Cotoh Soal. Filtr bad pass dga frusi masimum pada = /, rspo frusiya ol pada = da =. Rspo magitud pada frusi = 4/9 adalah /. Kofisi H() adalah bilaga riil. Ttua fugsi trasfr/fugsi sistm H(). Jawab Sistm las harus mmpuyai pol pada p = r / da p =r -/ Sistm las harus mmpuyai ro pada = da = - Im() X X R () Edisi Smstr I 7 / 8 EYH
Edisi Smstr I 7 / 8 EYH 6 4 4 4 4 9 / 4 / / 4.5.5.7 r.88r r.94 9 / cos 8 r r 9 / 8 cos 9 / cos 8 r r 9 / cos 8 9 / cos 8 r r 9 / 8 cos ) H( 9 4 ) H( r r ) H( ) H( cos r r cos ) ( si r cos si cos r si cos si cos r r ) ( r.7 H().7.7 H() 3 -.7 r - r - r maa pada Jia ara - r maa masimum pada H r H r r H()