BAB 2 SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN

Transkripsi

1 BAB SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN Dalam sais da rkayasa, kita srigkali harus mcari akar solusi dari prsamaa f 0. Jika f mrupaka fugsi poliomial liar atau kuadratis, solusi ksakya mudah utuk didapatka kara rumusya sudah trsdia. Aka ttapi, prsamaa aljabar laiya, trutama prsamaa fugsi trasd, rumus utuk mdapatka solusiya jarag trsdia. Jadi, apa yag dapat kita lakuka utuk mmcahka prsoala trsbut? Pada bab ii, kita aka mmplajari mtod-mtod utuk mtuka akar prsamaa scara umrik, di ataraya adalah mtod bisksi, mtod rgula falsi, mtod itrasi titik ttap, Nwto-Raphso, da mtod tali busur.. Mtod Bisksi Mtod bisksi bagi dua diawali dga mggambarka grafik f, dga asumsi sbagai fugsi kotiu, sprti diprlihatka pada Gambar.. Akar ral dari f = 0 adalah titik prpotoga kurva dga sumbu, sbut 0. Slajutya, ambil slag [a, b], dga 0 brada di dalamya. Scara matmatis, akar aka trdapat di dalam slag [a, b] jika fa da fb brlawaa tada atau dga kata lai y f a f b 0 Algoritma mtod bisksi sbagai brikut. Pilih a da b. Hitug a b Hitug f. Jika f = 0, brhti da akarya diprolh 0 =. 4 Hitug galat b a. Jika f a f 0, pilih a + = a da b + =. Jika f a f 0, pilih a + = da b + = b. 6 Ulagi s.d. higga diprolh < galat yag diigika. 0 a b Gambar. Jumlah itrasi yag diprluka utuk mjami hampira yag diprolh mmiliki galat kurag dari dittuka mgguaka prsamaa b a l. l

2 CONTOH Ttuka akar ral dari = 0 dga akurasi 0, Pylsaia Skts grafik f=. Trlihat bahwa kurva mmotog sumbu- atara da. Tahap : Ambil a = da b =. a b Tahap :, Tahap : f f,,,, b a Tahap 4: 0, Tahap : f a f maka f a f, 9,7 0 Kara f a f 0, pilih a = a = da b = =,. Ulagi Tahap s.d. trus-mrus shigga diprolh ilai 0 dga galat yag diigika. Dalam hal ii, jumlah itrasi yag diprluka adalah b a l l 0,000000,. l l Dga dmikia, jumlah itrasi miimum yag diprluka adalah 4. Hasil prhitugaya diprlihatka pada Tabl -. Tabl - Itrasi utuk mdapatka akar ral dari prsamaa = 0 dga galat 0,00000 mgguaka mtod bisksi. a b fa f fa f E E E-06

3 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08.08E E E E E E E E E-4 Dari tabl di atas, stlah itrasi k-4, diprolh 0 =, dga galat = 0, < 0, Galat rlatif hampiraya adalah rh 0 00% 0, , % 0,000006%. Mtod Rgula Falsi Ptua akar prsamaa mgguaka mtod rgula falsi dilakuka dga marik garis atara dua titik, yaitu a, fa da b, fb di skitar lokasi akar, sprti diilustrasika pada Gambar.. Prpotoga atara garis ii dga sumbu- mrupaka taksira akar posisi palsu yag aka diprbaiki. y b, fb a a, fa b Gambar. Mtod rgula falsi. Algoritma mtod rgula falsi sbagai brikut. Pilih a da b da cari fa da fb. Hitug Hitug f. Jika f = 0, slsai. 4 Hitug galat f a f b f b b f a f a

4 Jika f a f 0, pilih a + = a da b + =. Jika f a f 0, pilih a + = da b + = b. 6 Ulagi s.d. higga diprolh < galat yag diigika. CONTOH Ttuka akar ral dari = 0 dga akurasi 0,00000 mgguaka mtod rgula falsi. Pylsaia Ambil f. Guaka algoritma mtod rgula falsi. Hasilya diprlihatka pada Tabl -. Tabl - Itrasi utuk mdapatka akar ral dari prsamaa = 0 dga galat 0,00000 mgguaka mtod rgula falsi. a b fa fb f fa f E E E E-0.976E E E E E-09.68E E E-06.96E E E E E-.9764E E E E E E E E-.098E E E E E-08 Dari tabl di atas, stlah itrasi k-, diprolh 0 =, dga galat = 0, < 0, Galat rlatif hampiraya adalah rh 0 00% 0, , % 0,000007%

5 . Mtod Itrasi Titik Ttap Mtod itrasi titik ttap mrupaka mtod sdrhaa kara prosdur itrasiya yag mudah. Hal prtama yag kita lakuka ktika mgguaka mtod ii adalah mmbtuk prsamaa = g dari prsamaa asalya, yaki f = 0. Algoritmaya sbagai brikut.. Btuk prsamaa g dari f = 0.. Taksir ilai awal, misal = a.. Hitug g. 4. Hitug. Lakuka tahapa di atas scara brulag higga dipuhi < galat yag diigika. CONTOH Ttuka akar ral dari 4 = 0 mgguaka mtod itrasi titik ttap dga galat kurag dari 0,00. Pylsaia Prsamaa 4 = 0 dapat dibtuk mjadi sbagai brikut Kita aka coba guaka tiap-tiap prsamaa di atas. 4 Ambil ilai awal: =. Hasil itrasiya sprti diprlihatka pada Tabl -. Tabl - Hampira akar ral dari 4 = 0 dga mtod itrasi titik ttap. Itrasi k Jadi, akar ral prsamaa 4 = 0 adalah = 4,99989 dga galat 0,00097 < 0,00.

6 4 Ambil ilai awal: =. Hasil itrasiya sprti diprlihatka pada Tabl -4. Tabl -4 Hampira akar ral dari 4 = 0 dga mtod itrasi titik ttap. Itrasi k Jadi, akar ral prsamaa 4 = 0 adalah =. 4 Ambil ilai awal: =. Hasil itrasiya sprti diprlihatka pada Tabl -. Tabl - Hampira akar ral dari 4 = 0 dga mtod itrasi titik ttap. Itrasi k E-0 Jadi, akar ral prsamaa 4 = 0 adalah =. Pmiliha = g da ilai awal mtuka kovrgsi akar yag dihasilka. Bahka, bisa jadi kita tidak mdapatka hasil kara itrasiya divrg ilaiya trus mmbsar..4 Mtod Nwto-Raphso Dibadigka dga mtod lai, utuk mdapatka akar prsamaa, mtod Nwto-Raphso mrupaka mtod yag palig cpat kovrgsiya. Olh kara itu, mtod ii palig bayak diguaka dalam sais da rkayasa. Utuk mdapatka mtod ii, tijau grafik y = f sprti diprlihatka pada Gambar.. Misalya f trdifrsialka maka grafik f mmiliki garis siggug pada stiap titik. Jika mrupaka hampira pada akar sjatiya, hampira yag lbih baik dari itu,, mrupaka titik

7 potog garig siggug pada titik, f dga sumbu-. Dga mgguaka hampira, hampira yag lbih baik lagi,, aka diprolh. Dmikia strusya shigga hampira yag mdkati ilai sjatiya, atau dga kata lai galatya lbih kcil dari yag disyaratka, aka diprolh. y, f 0 Prsamaa garis siggug pada grafik f di titik, f adalah y f f ' da titik potogya dga sumbu- y = 0 adalah Catata: f 0. Algoritma mtod Nwto-Raphso sbagai brikut. Pilih f f ' Hitug + f f ' Hitug galat 4 Ulagi da sampai diprolh < galat yag diigika. CONTOH Guaka mtod Nwto-Raphso utuk mdapatka akar ral dari = 0 higga tujuh dsimal. Pylsaia f maka f ' shigga diprolh f f ' Pilih =,. Hasil itrasiya diprlihatka pada Tabl -6 brikut. Tabl -6 Hampira akar ral dari = 0 dga mtod itrasi titik ttap.

8 Itrasi k -,,0 0,0,79 0,007 4, ,0008, Mtod Tali Busur Mtod Nwto sagat baik, ttapi mghitug turua fugsiya kadag-kadag sulit. Kadaa ii mdorog pada gagasa utuk mggatika turua f olh hasil bagi slisih sbagai brikut. f ' f f Jika hasil ii dimasukka pada rumus mtod Nwto, diprolh Mtod ii disbut mtod tali busur scat. f. f f