ESTIMASI TITIK BAYESIAN OBYEKTIF

Transkripsi

1 ESTIMASI TITIK BAYESIAN OBYEKTIF Adi Stiawa Program Studi Matmatika, Fakultas Sais da Matmatika Uivrsitas Krist Satya Wacaa Jl Dipogoro 52-6 Salatiga 57, Idosia Abstrak Estimasi titik Baysia mdasarka diri pada pmiliha prior da loss fuctio. Dalam stimasi titik Baysia obyktif dipilih prior Jffry da mgguaka itrisic discrpacy loss fuctio yag atiya aka mmpuyai pgaruh miimum dari data pada distribusi postrior. Estimator titik Baysia obyktif aka mmbrika stimasi ttag paramtr populasi yag haya didasarka pada aggapa distribusi populasi da data. Dalam makalah ii, dijlaska bagaimaa mtod Baysia obyktif diguaka utuk stimasi titik pada paramtr populasi yag brdistribusi Broulli. Kata kuci : distribusi prior, prior Jffry loss fuctio, distribusi postrior, discrpacy loss fuctio, stimasi titik Baysia obyktif. itrisic. Pdahulua Estimasi titik Baysia mdasarka diri pada pmiliha prior da loss fuctio. Dalam makalah ii aka dipaparka ttag stimasi titik Baysia obyktif aka mmbrika stimasi ttag paramtr populasi yag haya didasarka pada aggapa distribusi populasi da data. Pada dasar tori dibrika pjlasa ttag rfrc prior, rfrc postrior, dscrpacy itrisic, da istrisic statistic. Studi simulasi diguaka utuk mmbrika pjlasa dari dasar tori yag sudah dipaparka. 2. Dasar Tori Paradigma Baysia myataka bahwa hasil dari smbarag masalah ifrsi (distribusi postrior) mrupaka gabuga dari iformasi yag disdiaka olh data da iformasi prior rlva yag trsdia. Aka ttapi jika tidak ada iformasi prior yag trsdia maka sagat bralasa utuk mmilih fugsi prior yag tlatif uiformativ artiya distribusi prior yag mmbrika pgaruh miimum pada ifrsi postrior. Scara lbih formal, misalka bahwa mkaism probabilitas yag mmbagkitka data yag trsdia x diaggap sbagai p(x utuk suatu da kuatitas yag mjadi prhatia adalah fugsi yag brilai ral ( dari. Dga tapa mghilagka kumuma, misalka modl probabilitas yag diguaka brbtuk { p( x, } dga adalah paramtr uisac yag dipilih. Dalam hal ii diprluka utuk mgidtifikasi fugsi prior brsama (, yag aka mmpuyai pgaruh miimal pada distribusi postrior margial dga kuatitas yag mjadi prhatia yaitu ( x ) p( x, (, d shigga aka mmuhi istilah would lt th data spak for thmslvs. Brardo da Ruda (22) mgusulka utuk mgguaka rfrc prior sbagai prior

2 yag dapat mmbrika pgaruh miimal pada distribusi postrior. Dalam kasus dimsi satu, rfrc prior mrupaka prior Jffry. Dga mgguaka prior ii maka pylsaia masalah stimasi haya trgatug pada modl aggapa da data pgamata. Dga alasa ii maka stimasi titik yag mgguaka mtod ii diamaka sbagai stimasi titik Baysia obyktif (Brardo da Juarz, 23). Diskrpasi itrisik (itrísic discrpacy) (p, p 2 ) atara dua fugsi dsitas p (x) dga x X da p 2 (x) dga x X 2 didfiisika sbagai ( p, p2) mik ( p2( x) p ( x) ), K( p( x) p2( x) ) dga p ( x) K( p ( x) p2( x)) p( x) log dx. p ( x) X 2 Utuk dua kluarga fugsi dsitas M p( x ), x (, da M 2 p2( x ), x 2( ), dapat didfiisika diskrpasi itrisik ( M, M ) mi p ( x, p ( x ). 2 2, Diskrpasi itrisik diusulka sbagai fugsi krugia ( loss fuctio ) obyktif utuk stimasi titik. Misalka bahwa dskripsi yag ssuai dari tigkah laku probabilistik dari kuatitas radom x dibrika olh modl { p ( x,, x,, }. Diskrpasi itrisik atara p( x, da kluarga dsitas { p( x,, } adalah (, ; ) if (, ;, ) dga, ;, ) mi K(,,, K(,, ). ( Misalka { p( x,, x,, } adalah modl paramtrik yag dapat diguaka utuk mggambarka tigkah laku kuatitas radom x. Didfiisika itrisik statistik (itrisic statistic) sbagai d x) E [ x] (, ; ) (, x) d d ( dga (, ) adalah postrior rfrsi utuk paramtr dari modl x p( x, bila (, ; ) adalah paramtr yag mjadi prhatia. Itrisik statistik mrupaka ukura dari kkuata bukti mlawa pgguaa p( x, sbagai proxy utuk p ( x,. Proxy trbaik dicapai pada suatu ilai yag mghasilka krugia trkcil. Misalka { p( x,, x,, } adalah modl paramtrik yag ssuai utuk mggambarka tigkah laku probabilistik dari kuatitas radom x. Estimator itrisik (itrisic stimator) atau stimasi titik Baysia obyktif didfiisika sbagai yaitu paramtr yag mmiimalka statistik itrisik

3 ( x) arg mi d( x). (Juarz, 24). Mtod yag tlah dijlaska di atas dapat ditrapka pada data hasil sampl brikut ii. Misalka dimiliki data x = { x, x 2,..., x } yag trdiri dari pgamata Broulli yag salig bbas da trgatug pada shigga x x ( ) dga x = {, }. Mudah dibuktika bahwa Kullback-Liblr divrgc atara p( x 2) da p( x ) adalah K ) log[ / ] ( ) log[ ( ) /( )] ~ ( da diskrpasi itrisik atara p( x ) da p( x ) dapat diyataka sbagai K( ) (, ) (, ). K( ) yag lai Dalam hal ii prior Jffry adalah ( ) Bta, da rfrc postrior yag 2 2 brssuaia adalah ( x) Bta r, r da r x i. Slajutya 2 2 i diprolh itrisik statistik d(, x) (, ) Bta r, r d 2 2 da stimator titik Baysia obyktif adalah yag mmiimumka itrisik statistik yaitu ( x) arg mi d( x) (,) yag dga mudah dapat dittuka dga mgguaka itgrasi umrik satu dimsi (Brardo, 29). 3. Studi Simulasi da Pmbahasa Pada prsamaa () trlihat bahwa itrisik statistik dittuka olh da r shigga dalam studi simulasi ii diambil bbrapa ilai da r. Apabila diktahui da r maka stimator titik Baysia obyktif dapat dittuka dga mgguaka prsamaa (2). Tabl mmbrika hasil stimasi titik Baysia obyktif jika dibrika brturut-turut =, 5,, da statistik cukup utuk yaitu r. Trlihat bahwa utuk r = stimasi titik Baysia obyktif tidak mmbrika ilai ol da brarti hal ii kotras dga stimasi titik dga mtod MLE (maximum liklihood stimator) yag brilai ol. Hal ii dapat dijlaska bahwa jika kita mmpuyai sampl ukura orag misalya da bila tidak mmui adaya orag yag brpyakit trttu yag jarag dijumpai maka tidaklah brarti prvalsiya ol ttapi stimasi titik Baysia obyktif aka mmbrika stimasi sbsar,75. Utuk r yag lai, maki bsar ukura sampl maka stimasi titik yag diprolh maki dkat dga stimasi titik MLE. Di sampig itu, pada Gambar juga digambarka ilai statistik itrisik pada saat = da r = 2, 4, 6 da 8. Trlihat bahwa stimasi titik Baysia obyktif mmbrika ilai stimasi yag bralasa. ~

4 Tabl. Hasil stimasi titik Baysia obyktif utuk jika dibrika da r. r ,399,23,42,598,7727 r ,9,226,46,598,794 r ,75,24,44,599,797 r ,24,2,4,5999,7997 itrisic statistics itrisic statistics thta thta itrisic statistics 3 5 itrisic statistics thta thta Gambar. Grafik hubuga atara statistik itrisik pada itrval (,) utuk = da r masigmasig 2 (kiri atas), 4 (kaa atas), 6 (kiri bawah), 8 (kaa bawah). Simulasi Mot Carlo dilakuka dga cara mmbagkitka sampl ukura = dari distribusi Broulli dga probabilitas sukss yag dipilih yaitu,2 da kmudia dihitug stimasi titik paramtr dga mtod Baysia obyktif da apabila hal itu diulag sbayak B = 5 kali maka aka diprolh histogram dari hasil stimasi titik trsbut. Cara ii dapat juga dilakuka utuk = da paramtr yag diguaka utuk mmbagkitka adalah,4;,6 da,8. Histogram dari hasil-hasil trsbut diyataka pada Gambar 2. Hasil yag sama juga dapat dilihat pada Gambar 3 utuk = da yag diguaka utuk mmbagkitka adalah,2;,4;,6 da,8. Trlihat bahwa utuk mmbsar, rtag hasil stimasi cdrug mgcil.

5 thta =.2 thta = thta =.6 thta =.8 Gambar 2. Histogram dari stimasi titik dari sampl hasil simulasi bila diguaka = da =,2;,4;,6 da, thta =.2 thta = thta =.6 thta =.8 Gambar 3. Histogram dari stimasi titik dari sampl hasil simulasi bila diguaka = da =,2;,4;,6 da,8.

6 4. Ksimpula da Sara Dalam makalah ii tlah dijlaska ttag bagaimaa mgstimasi paramtr populasi brdasarka sampl bila diaggap bahwa populasi mgikuti distribusi trttu yag diktahui da haya trgatug pada paramtr yag tidak diktahui. Dga mgguaka mtod Baysia obyktif maka stimasi titik yag diprolh atiya haya didasarka pada aggapa distribusi populasi da data. Plitia ii dapat diprluas utuk distribusi aggapa yag lai maupu stimasi itrval dga mtod Baysia obyktif. 5. Daftar Pustaka [] Brardo, J. M. da M. A. Juarz, 23, Itrisic Estimatio, Baysia Statistics 7, Oxford : Uivrsity Prss. [2] Brardo, J. M. ad Ruda, R., 22, Baysia hypothsis tstig: A rfrc approach. Itratioal Statistical Rviw 7, [3] Brardo, J. M., 29, Statistics : Baysia Mthodology i Statistics, Comprhsiv Chmomtrics ( S. Brow, R. Taulr da R. Walczak ds) Oxford : Elsvir. [4] Juarz, M. A., 24, Objctiv Baysia Mthods for Estimatio ad Hypothsis Tstig, Valcia : Uivrsity of Valcia.