BAB II DASAR TEORI Perkembangan zaman telah membuat hubungan manusa semakn kompleks. Interaks antar kelompok-kelompok yang mempunya kepentngan berbeda kemudan melahrkan konflk untuk mempertahankan kepentngan masngmasng. Untuk penyelesaan masalah n dperlukan sebuah kajan mendalam yang melbatkan berbaga aspek kelmuan. Dalam perkembangannya, konflk sosal yang terjad bsa juga ddekat dengan pendekatan matemats. Untuk melhat sebuah fenomena yang melbatkan banyak varabel dan terjad secara berulang-ulang, dperlukan suatu pendekatan pemodelan yang dnamakan sstem dnamk. Salah satu teor sstem dnamk yang cocok untuk memodelkan konflk sosal adalah theory of moves yang merupakan salah satu pengembangan dar classc games theory. 2.1 Defns Game Theory Games theory secara kelmuan berakar dar hasl kerja von Neumann dan Morgensten (von Neumann and Morgensten, 1944). Games theory merupakan salah satu fokus lmu matematka dalam strateg pengamblan keputusan pada nteraks sosal. Teor n menggambarkan stuas dmana dua atau lebh orang (dsebut peman) masng-masng akan memlh dua atau lebh tndakan yang dsebut strateg. Kemungknan dar output yang dhaslkan bergantung kepada plhan yang dbuat oleh semua peman. 5
2.1.1 Games Strategs Games strategs adalah model untuk menghaslkan keputusan dmana terdr dar N peman, salah satu peman memlh aksnya. Plhan aks peman hanya boleh dlakukan satu kal dan tdak bsa dubah lag setelah tu. Defns : Games Strategs adalah N ( ),( π ) dmana N adalah jumlah peman,, A A adalah hmpunan berhngga dar aks yang dambl oleh peman, dan π adalah plhan yang dngnkan oleh peman. Dalam pembahasannya plhan yang dngnkan akan dgant dengan fungs payoff u : A R. Setap peman akan memaksmalkan nla payoff-nya. Sehngga games strategs akan d defnskan dengan: N ( A ),( u ), 2.1.2 Pareto Optmal Outcome a A dar game N ( A ),( u ), adalah Pareto Optmal jka tdak terdapat outcomes lannya b A yang membuat setap peman setdaknya sama baknya dengan peman lan yang lebh bak. Defns : Outcome a adalah Pareto Optmal jka tdak ada outcome b sehngga u ( a) u ( b) dan u ( a) u ( b) j N j j j N j < j 2.2 Teor utltas (utlty theory) 2 Pemodelan dalam games theory basanya dpresentaskan dalam bentuk matrks payoff. Dar n dapat dlhat konflk kepentngan antar masng-masng peman yang terlbat. Masng-masng peman kta asumskan sudah mempunya target dan kengnan dalam menyelesakan suatu konflk kepentngan. Kemudan kta 2 Parsons,S. dan Wooldrdge, M. (22, An Introducton to Game Theory and Decson Theory. Dalam Parsons, S. Gmytrasewcz, P. dan Wooldrge, M.,edtor, Game Theory and Decson Theory n Agent-Based Systems,hal 5-6. Kluwer Academc Publsher. 6
asumskan terdapat hmpunan Ω = ω, ω,,...} dar outcomes yang dngnkan oleh peman sebelumnya. { 1 2 ω3 Kta akan memformulaskan kengnan-kengnan peman yang terlbat dalam games ke dalam suatu fungs yang dnamakan fungs utltas (utlty functon), yang memetakan setap outcome ke dalam suatu blangan real. Secara matematka dapat dformulaskan sebaga berkut u : Ω R Besar dan keclnya blangan real yang dgunakan tergantung kepada seberapa besar pengaruh kejadan terhadap hasl yang dngnkan oleh masng-masng peman. Sebaga contoh jka ω dan ω', keduanya merupakan hasl yang mungkn dalam Ω, dan u ( ω) u ( ω' ) maka outcome ω lebh dngnkan oleh peman ke dar pada outcome ω '. Kta dapat juga menulskannya dalam notas: ω φ ω' Sebaga penyederhanaan notas dar u ( ω) u ( ω') 2.3 Theory of Moves (TOM) Theory of moves merupakan pengembangan dar classc games theory, dmana pada teor n dkembangkan model dnamk. Seorang peman dalam theory of moves mempunya pengetahuan dalam menentukan strateg awal dan menentukan langkah selanjutnya secara berurutan atau plhan strateg yang lannya. Theory of Moves (TOM) lebh spesfk dgunakan untuk memodelkan konflk antara dua peman yang terlbat dalam permanan. TOM dmodelkan dengan formulas dasar berupa matrks payoff 2x2, dmana setap peman mempunya nformas lengkap mengena kedua matrks payoff dan pengatahuan tentang profl 7
strateg awal. Kerangka kerja TOM membuat peman dapat melakukan perubahan dalam penentuan langkah ke depan. Penentuan n bukan hanya plhan langkah yang harus segera djalankan, tetap juga antspas langkah selanjutnya dar langkah tersebut. Bahkan peman dapat mempredks dua langkah ke depan yang akan djalankan. Untuk menjalankan konsep n, ada beberapa aturan spesfk, yatu: 3 1. Permanan dmula dar output yang dngnkan, yatu state awal, yang merupakan ttk potong antara bars dan kolom dar matrk 2x2. 2. Salah satu peman secara sephak bsa mengubah strategnya, dengan demkan state awal berubah ke state baru, pada bars atau kolom yang sama dengan state awal. Peman n dsebut peman 1 (P1). 3. Peman 2 (P2) dapat merespon perubahan dar strateg peman pertama, dengan begtu permanan bergerak ke state baru. 4. Respon yang bergant-gant n akan berlanjut sampa kedua peman (P1 atau P2) yang mendapat glran melangkah tdak merubah strategnya. Dmana kejadan n merupakan output dar permanan. 5. Peman tdak akan bergerak dar state awal jka dalam langkahnya:. Menuju state dengan nla payoff lebh kecl. permanan kembal ke state awal (membuat state awal sebaga output) 6. Jka dalam plhan rasonal seorang peman bsa tdak bergerak dan peman lannya memutuskan bergerak, maka peman yang bergerak lebh dutamakan, sehngga outcome akan dtentukan olehnya. Untuk menghaslkan keputusan, setap peman akan melhat tga langkah ke depan dengan metode backward nducton untuk memutuskan strateg mana yang palng menguntungkan. Keputusan yang dhaslkan dalam permanan dsebut dengan 3 Arjta Ghosh, Sandp Sen, Theory of Moves Learners: Toward Non-Myopc Equlbra. AAMAS 5 Utrectht,Neteherland.25 8
state equlbrum. Dalam pendekatan n bsa saja ddapat Non Myopc Equlbrum. Model yang basa dpaka dalam TOM adalah chcken model. Bentuk chcken n dhaslkan dar pemodelan konflk rudal nuklr antara Un Sovet (Rusa) dengan Amerka d Kuba pada tahun 1962. Matrk payoff yang dhaslkan adalah: Gambar 1 Matrks uban mssle crss dalam bentuk hcken 2.4 Backward Inducton Untuk menentukan strateg pengamblan keputusan dalam TOM dgunakan backward nducton. Backward nducton adalah proses teras untuk menyelesakan sequental games. Pada langkah pertama, salah satu peman menentukan strateg optmal dar peman yang bergerak terakhr dalam game, dan pergerakan dar peman yang bergerak berkutnya dtentukan dar aks yang dlakukan oleh peman terakhr. Proses berlanjut sampa semua peman sudah menentukan semua pergerakannya. 2.5 Learnng TOM Players Dalam realta konflk, setap peman tdak selalu mempunya nformas lengkap tentang strateg lawan. Untuk kasus sepert n, maka dkembangkan learnng 9
TOM. Tujuan yang ngn dcapa dengan learnng TOM adalah menduga plhan yang dambl oleh lawan dar games yang berulang dengan state awal yang dambl secara acak. Untuk memudahkan learnng, maka harus dtentukan perkraan peluang bersyarat pergerakan lawan dar state awal permanan dmula dan peman yang memula permanan pertama kal. Dalam hal n, peluang bersyarat sangat pentng karena pergerakan lawan dar suatu state sangat bergantung kepada sejauh mana permanan akan berlanjut. Untuk menghtung peluang bersyarat dar masng-masng pergerakan peman maka dapat dlakukan sebaga berkut: Msal, matrk payoff 2x2 suatu permanan sebaga berkut : Gambar 2 Matrk dasar bersama plhan state masng-masng Msalkan suatu urutan permanan sebaga berkut: R R S S1 S2 S3 S P, c P, c 1 P, c 2 P, c, c, c, P1 dan P2 adalah peluang bersyarat dar pergerakan untuk peman R pada state S1, peman pada state S2 dan peman R pada state S3 secara berurutan terlhat bahwa state awal adalah S dan peman yang memula permanan (untuk mempermudah presentas maka ndeks atas tdak akan dsertakan). Dalam 1
urutan permanan datas, untuk memutuskan strateg permanan maka peman akan melhat ke depan P dan P 2, peluang peman R dar frekuens bergerak dan tdak bergeraknya peman R dar masng-masng state dengan state awal S. Dan bergantung pada P 2, peman bsa menghtung peluangnya sendr (P 1 ). Perhtungan Peluang Tujuan dar perhtungan peluang n adalah untuk menghtung peluang bergeraknya pada state S, P (S). Dalam proses backward nducton, harus dhtung terlebh dahulu peluang pada state S2, P (S2), yatu sebaga berkut: 4 Asumskan untuk setap, Q = 1 P dan U x (y) adalah payoff dar permanan yang ddapat oleh peman x d state y P ( S2) Jka U ( S) bergerak dar S3 ke S, hasl dar permanan berupa cycle} Jka U ( S3) ( S2) ( S2) maka P ( S2) + = P.{ duntungkan maka P ( S2) + = Q berhent d S3, permanan berhent d S3} 2 2.{ duntungkan jka R jka R Karena TOM tdak membolehkan terjadnya cycle, dan P P1 P2 adalah peluang terjadnya cycle, maka proses untuk menghtung P (S) adalah sebaga berkut: P ( S) Jka U ( S3) permanan berhent pada S3} jka U ( S2) permanan berhent d S2} jka U ( S1) ( S) ( S) ( S) permanan berhent d S1} maka P ( S) + = P maka P ( S) + = Q P Q.{ duntungkan jka maka P ( S) + = P Q.{ duntungkan jka 1 1 2 { duntungkan jka 4 bd 11
Untuk mendapatkan hasl dar permanan maka setelah peluang dhtung, permanan dlaksanakan dengan peluang seorang peman melakukan pergerakan dar state dmana da berada. Iteras akan berhent ketka peman tdak bergerak atau jka cycle terbentuk. atatan jka bergerak dar S, R harus menghtung P R (S1) berdasarkan estmas dar P,c 1, dan keputusannya akan bergerak atau tdak d S3. Atau, jka R memutuskan untuk bergerak ke S1, maka dapat dhtung kembal dengan perhtungan sebelumnya dar P 1, untuk memlh pergerakannya d S2. Konfergens menuju NMEs: Apabla prosedur backward nducto n dgabung dengan cara pengamblan keputusan datas, maka cycles akan terelmnas. Untuk melhat hal n, catat bahwa dalam skenaro datas, keputusan R pada state 3 adalah determnstk, karena hanya akan berubah jka dan hanya jka U R ( S) R ( S3). Pada awalnya, belum yakn dengan keputusan d atas dan mengasumskan P2 sebesar.5. Pengamatan terhadap keputusan R kembal dulang pada state 3, estmas terhadap P2 akan konvergen ke 1 atau. Keadaan n, pada glrannya akan menuju ke P1 konvergen ke 1 atau, bergantung kepada nla utlty yang ddapat pada state S2, S3, S. Konds terkn bsa dreflekskan dar permanan selanjutnya oleh setap peman, dmana dalam setap glrannya, memberkan kesempatan kepada peman lannya untuk membuat estmas yang akurat dar plhan relatve mereka. Karena learnng berdasar pada backward nducton, plhan determnstk yang akurat dgunakan untuk memperbaru estmas yang sebelumnya menghaslkan nla yang buruk. Setap kal permanan dulang, peluang akan kecl atau besar untuk menghaslkan gerakan yang past berdasarkan plhan aktual. Hasl yang d dapat, peman akan konvergen pada NMEs. 12