5. Aplikasi Turunan
5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi. Ada Tiga jenis asimtot ungsi, yakni (i) Asimtot Tegak Garis = c disebut asimtot tegak dari y = () jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = () jika (iii) Asimtot Miring Garis y = a + b disebut asimtot miring jika c ( ) ( ) b ( ) a dan ( ) a b INF8 Kalkulus Dasar
Asimtot tegak a a =a asimtot tegak Dalam kasus dan a a ( ) ( ) =a asimtot tegak Dalam kasus dan a a ( ) ( ) INF8 Kalkulus Dasar 3
y= b Garis y = b asimtot datar karena ( ) Asimtot datar mungkin dipotong oleh graik ungsi untuk hingga Tapi, jika untuk menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh Graik ungsi(tidak dipotong lagi) b INF8 Kalkulus Dasar 4
y=() y a b Garis y = a + b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu ungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring INF8 Kalkulus Dasar 5
Contoh Tentukan semua asimtot dari Jawab : (i) Asimtot tegak : =, karena 4 dan ( ) 4 4 (ii) Asimtot datar : ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ( 4 ) ) Maka asimtot datar tidak ada INF8 Kalkulus Dasar 6
INF8 Kalkulus Dasar 7 a. 4 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 (iii) Asimtot miring 0 4 ) ( 4 4 a b ) ( Asimtot miring y = 4
Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari ungsi berikut :. ( ). ( ) 3 3. ( ) 4. ( ) 3 5. ( ) INF8 Kalkulus Dasar 8
C. Kemonotonan Fungsi Deinisi 5. Fungsi () dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk, I, ( ) ( ) I Fungsi () monoton naik pada selang I INF8 Kalkulus Dasar 9
monoton turun pada interval I jika untuk, I, ( ) ( ) I Fungsi monoton turun pada selang I INF8 Kalkulus Dasar 0
Teorema 5. : Andaikan dierensiabel di selang I, maka Fungsi () monoton naik pada I jika '( ) 0 Fungsi () monoton turun pada I jika '( ) 0 I I Contoh Tentukan selang kemonotonan dari ( ) Jawab : ( )( ) ( 4) '( ) 4 ( ) ( ) ( 4) ( ) 6 4 ( ) 4 4 () monoton naik pada +++++++ ------------ --------- 0 4 (,0) dan (4, ) () monoton turun pada (0,) dan (,4). ++++++ INF8 Kalkulus Dasar
D. Ekstrim Fungsi Deinisi 5.3 Misalkan () kontinu pada selang I yang memuat c, maksimum (c) disebut nilai global dari pada I jika min imum ( c) ( c) ( ) ( ) I (c) disebut nilai maksimum min imum buka yang memuat c sehingga lokal dari pada I jika terdapat selang ( c) ( c) ( ) ( ) untuk setiap pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum ungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah deinisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim ungsi disebut titik kritis. INF8 Kalkulus Dasar
Ma lokal Min lokal Ma global Min global Ma lokal Min lokal a b c d e Nilai ekstrim ungsi pada selang I=[a,] INF8 Kalkulus Dasar 3
Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner ( yaitu = c dimana '( c) 0 ), secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,(c)) Titik singulir ( = c dimana '( c) tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada graik di titik (c,(c)) INF8 Kalkulus Dasar 4
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika '( ) '( ) ( c, c ) (c) 0 0 ( c, c) '( ) '( ) 0 0 pada dan pada Maka (c) merupakan nilai maksimum lokal minimum c (c) c (c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik ( >0) dan disebelah kanan c monoton turun ( <0) (c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun ( <0) dan disebelah kanan c monoton naik ( >0) INF8 Kalkulus Dasar 5
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal ''( c) 0 Misalkan '( c) 0. Jika,maka (c) merupakan maksimum ''( c) 0 nilai lokal minimum Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari ( ) Jawab: ( 4) '( ) ( ) +++++++ ------------ --------- ++++++ 0 4 Dengan menggunakan uji turunan pertama : 4 di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai ( 0) ( 4) 6 INF8 Kalkulus Dasar 6
INF8 Kalkulus Dasar 7 Soal Latihan 6 30 5 ) ( 3 4 5 3 3 ) ( ) ( ) ( ) ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim ungsi berikut :.. 3. 4.
E. Kecekungan Fungsi y y Graik ungsi cekung keatas Graik ungsi cekung kebawah Fungsi () dikatakan cekung ke atas pada interval I bila '( ) naik pada interval I, dan () dikatakan cekung kebawah pada interval I bila '( ) pada interval I. turun Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan. Jika "( ) 0, I, maka cekung ke atas pada I.. Jika, maka cekung ke bawah pada I. "( ) 0, I INF8 Kalkulus Dasar 8
contoh Tentukan selang kecekungan dari Jawab : 4 '( ) ( ) ''( ) ( ( 4)( ) )(( 8 ( 8 ( ( ) 4 4)( ) ( 3 )( ) ) 4 8 4) ( ( ) 4)) 8 3 ( ) 4 Graik cekung keatas pada (, ) dan cekung kebawah pada selang (,) INF8 Kalkulus Dasar 9
F. Titik belok Deinisi 5.4 Misal () kontinu di = b. Maka (b,(b)) disebut titik belok dari kurva () jika : terjadi perubahan kecekungan di = b, yaitu di sebelah kiri dari =b, ungsi cekung ke atas dan di sebelah kanan dari =b ungsi cekung ke bawah atau sebaliknya = b adalah absis titik belok, jika "( b) 0 atau "( b) tidak ada. INF8 Kalkulus Dasar 0
(c) (c) c c (c,(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas INF8 Kalkulus Dasar
(c) c c (c,(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena tidak terdeinisi di c INF8 Kalkulus Dasar
Tentukan titik belok (jika ada) dari. ( ) 3 '( ) 6, ''( ) ------------- merupakan titik belok 4. ( ) 0 +++++++ Di = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan (0)= - maka (0,-) ''( ) +++++++ 0 +++++++ Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan INF8 Kalkulus Dasar 3
3. ( ) 4 ''( ) 8 3 ( ) -------------- +++++++ Walaupun di =, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena ungsi () tidak terdeinisi di = INF8 Kalkulus Dasar 4
INF8 Kalkulus Dasar 5 Soal Latihan 6 30 5 ) ( 3 4 5 3 3 ) ( ) ( ) ( ) ( Tentukan selang kecekungan dan titik belok ungsi berikut :.. 3. 4. 3 / ) ( 5.
Contoh: Diketahui ( ) 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim ungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan graik () a. Fungsi () monoton naik pada selang (,0), (4, ) monoton turun pada selang (0,) dan (,4). di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai ( 0) di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai ( 4) b. Graik cekung keatas pada (, ) dan cekung kebawah pada selang (,), tidak ada titik belok c. Asimtot tegak =, asimtot miring y =, tidak ada asimtot datar 6 INF8 Kalkulus Dasar 6
d. Graik () ++++++ ----- ----- ++++++ ' --------------------- 0 4 +++++++++++ ' ' 6 y= - 4 INF8 Kalkulus Dasar 7
Soal Latihan A. Gambarkan graik ungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim ungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot. ( ). ( ) 3. ( ) 4 4 3 3 4. ( ) 5. ) 4 ( INF8 Kalkulus Dasar 8
B. Misalkan suatu ungsi kontinu dan (-3)=(0)=. Jika graik y '( ) seperti gambar berikut : a. Tentukan selang kemonotonan ungsi b. Tentukan selang kecekungan ungsi c. Sketsa graik ungsi (). INF8 Kalkulus Dasar 9
5. Menghitung it ungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it :. Aturan L Hôpital untuk bentuk 0, 0 0 Andaikan () = g() = 0. Jika 0, 0., '( ) g'( ) L,, atau Maka ( ) g( ) '( ) g '( ) INF8 Kalkulus Dasar 30
Contoh Hitung cos 0 bentuk (0/0) Jawab cos sin 4 cos 0 0 0 Ctt : aturan L hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi. Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan () = g() =. Jika maka ( ) g( ) ' ( ) g' ( ) '( ) g'( ) L,, atau INF8 Kalkulus Dasar 3
Contoh Hitung 3 5 Jawab 3 5 3 3 (bentuk ) Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu it dapat dihitung dengan menggunakan dalil L Hopital Contoh Hitung Jawab 3 ( 3) ( ( ) ( 3) ( ) 3 3 INF8 Kalkulus Dasar 3 )
INF8 Kalkulus Dasar 33 Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setelah dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) ( 3
3. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk 0 atau 0 Contoh : Hitung 0 csc Jawab : 0 csc 0sin 0cos 0 INF8 Kalkulus Dasar 34
4. Bentuk - Misalkan ()= g() =. Untuk menghitung [ () - g() ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ ()- g() ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung csc 0 cot Jawab : cos cos csc cot sin sin 0 0 sin 0 sin 0 cos 0 INF8 Kalkulus Dasar 35
Soal Latihan Hitung it berikut ( bila ada ). sin 0 cos 6. 3 3. 3. 4. csc 0 5 5. cot cos 0 INF8 Kalkulus Dasar 36
5.4 Teorema Nilai Rata-rata Teorema 5.8 Misalkan kontinu pada [a,b] dan dierensiabel pada (a,b), maka terdapat paling sedikit satu atau c ( a, b) '( c) ( b) b ( a) ( b) ( a) '( c)( b a). a 5.5 Masalah maksimum minimum lainnya Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan ungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi ungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum INF8 Kalkulus Dasar 37
Contoh:. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 00 cm agar luasnya maksimum jawab Misal panjang y, lebar y Luas= L = y, karena + y = 00 y = 50 - Sehingga Luas = L() = (50-) 50, 0 50 L' ( ) 50 = 5 Karena maka di = 5 terjadi maks lokal. L' '(5) 0 Karena L(0) = 0, L(5) = 65, L(50) = 0 agar luas maks haruslah = 5 dan y = 5 INF8 Kalkulus Dasar 38
. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 4 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum. 4-45- Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang, sehingga V() = (45-) (4-) 3 V( ) 4 38 080, 0 V'( ) ( 3 90) ( 8)( 5) Sehingga diperoleh titik stasioner = 8 dan = 5 45-4- INF8 Kalkulus Dasar 39
V ''( ) Sehingga V' '(8) 4 76 56 0 di =8 terjadi min lokal V ''(5) 56 0 di = 5 terjadi maks lokal Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika = 5 dan = 0, = (batas D) V(0) = 0 V()= 0 V(5) =450 Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 4 cm tinggi 5 cm INF8 Kalkulus Dasar 40
Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentuk ungsi implisit, seperti contoh berikut Contoh Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z Menara kontrol z 3 km y Diketahui dz dt 5000 Saat z = 5000 INF8 Kalkulus Dasar 4
Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh y 9 z Pada saat z = 5 y = 4 Dengan menggunakan turunan ungsi implisit didapatkan dy y z dt dz dt Jika data y = 4, z = 5, dan dz 5000 dt Kecepatan vertikal roket = dy dt 5 4.5000 disubstitusikan diperoleh 650 km/jam INF8 Kalkulus Dasar 4
Soal Latihan. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 00 dan hasil kalinya minimum cm. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 000 dan kelilingnya minimum 3. Tentukan titik pada garis 6 + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,) 4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu serta dua titik sudutnya di atas sumbu serta terletak pada parabola y 8 5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r INF8 Kalkulus Dasar 43
6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin. INF8 Kalkulus Dasar 44