SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Ita Rahmadayan 1, Syamsudhuha 2, Asmara Karma 2 1 Mahasswa Program Stud S1 Matematka 2 Dosen Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Rau Kampus Bnawdya Pekanbaru 28293, Indonesa ta.rahmadayan22@gmal.com ABSTRACT Ths artcle dscusses the solutons of systems of partal dfferental equatons usng the homotopy perturbaton method and Adoman decomposton method. A numercal example shows that the soluton of the partal dfferental equaton obtaned by the homotopy perturbaton method s better than those of Adoman decomposton method n terms of the speed to approach the exact soluton. Keywords: system of partal dfferental equaton, homotopy perturbaton method, Adoman decomposton method. ABSTRAK Kata kunc: sstem persamaan dferensal parsal, metode perturbas homotop, metode dekomposs Adoman. 1. PENDAHULUAN Artkel n membahas solus dar sstem persamaan dferensal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman. Contoh numerk yang dberkan menunjukkan solus dar sstem persamaan dferensal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop memberkan hasl yang lebh cepat mendekat solus eksak dbandngkan menggunakan metode dekomposs Adoman. Dalam kehdupan sehar-har banyak dtemu permasalahan yang berhubungan dengan matematka, msalnya dalam bdang sans dan teknk. Permasalahanpermasalahan n basanya berhubungan dengan sstem persamaan dferensal parsal. Sstem persamaan dferensal parsal merupakan gabungan dar beberapa persamaan dferensal parsal. Adapun bentuk umum dar sstem persamaan dferensal parsal dapat dtuls sebaga berkut A u g t =, = 1, 2, 3,, n, 1 Repostory FMIPA 1
Saat n banyak metode-metode numerk yang telah dkembangkan yang dgunakan untuk memberkan solus terbak dar sstem persamaan dferensal parsal, dantaranya metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman. Solus dar sstem persamaan dferensal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman cukup sederhana, serta memberkan solus pendekatan yang bak. Artkel n merupakan revew dar artkel [3] yang dtuls oleh Jafar Bazar dan Fereshteh Goldoust berjudul HPM and ADM for Partal Dfferental Equaton. Pembahasan dmula d bagan dua dengan menjelaskan solus dar persamaan dferesal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman. Selanjutnya dbagan tga dbahas tentang solus dar sstem persamaan dferesal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman, kemudan d bagan empat dberkan contoh numerk yang komputasnya dperoleh dengan menggunakan MAPLE 13. 2. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Pada bagan n dbahas solus persamaan dferensal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman. 2.1 Metode Perturbas Homotop Persamaan dferensal parsal secara umum dapat dtuls dalam bentuk berkut [4] terhadap syarat batas Au gt =, t Ω, 2 B u, u =, n dengan A adalah operator dferensal umum, u adalah fungs yang akan dtentukan, gt adalah fungs yang dketahu bergantung pada t, B adalah operator batas dan Ω adalah doman. Secara umum operator A dapat dpsahkan menjad dua bagan yatu L dan N. L adalah operator lnear dan N adalah operator nonlnear. Sehngga persamaan 2 dapat dtuls sebaga berkut Lu Nu gt =. Kemudan daplkaskan teknk homotop pada persamaan 2. Pada teknk homotop ddefnskan fungs real Ut, p : Ω [, 1] R dengan p [, 1] memenuh bentuk homotop berkut HU, p = 1 plu Lu pau gt. t Ω, 3 Repostory FMIPA 2
dengan p adalah parameter homotop dan u adalah tebakan awal solus dar persamaan 2 yang memenuh nla awal. Parameter yang dgunakan pada teknk homotop adalah p : p 1 yang dsebut parameter kecl, sehngga dapat dlanjutkan dengan teknk perturbas yang mengasumskan bahwa solus dar persamaan 3 dalam deret pangkat berkut U = U pu 1 p 2 U 2. Jka p = 1, maka dperoleh solus pendekatan dar persamaan 3 sebaga berkut ū = lm ū = p 1 U U j. j= 2.2 Metode Dekomposs Adoman Metode dekomposs Adoman mengurakan bagan operator A dar persamaan dferensal parsal menjad tga bagan yatu L, R dan N, dengan L adalah operator lnear yang mempunya nvers, R adalah operator lnear lannya dan N adalah bentuk nonlnear. Sehngga persamaan dferensal parsal dapat dtuls sebaga berkut [1, h. 7] atau dapat juga dtuls dalam bentuk Lu Ru Nu gt =, Lu = gt Ru Nu. 4 Kemudan dengan menerapkan L 1 pada persamaan 4 dperoleh L 1 Lu =L 1 gt L 1 Ru L 1 Nu, u =u L 1 gt L 1 Ru L 1 Nu. 5 dengan u merupakan nla awal dar persamaan dferensal parsal yang dberkan. Selanjutnya jka pada persamaan 5 dasumskan sebaga berkut sehngga persamaan 5 menjad sebaga berkut u = u L 1 gt, 6 u = u t L 1 Ru L 1 Nu. Metode dekomposs Adoman mengasumskan solus u berbentuk u = u j, 7 j= Repostory FMIPA 3
sedangkan suku nonlnear N u dnyatakan dalam suatu polnomal khusus yatu Nu = D j, 8 D j dsebut polnomal Adoman yang ddefnskan sebaga D j = 1 d j j! dλ N λ k u j k, j. Substtus persamaan 7 dan 8 ke persamaan 5, sehngga dperoleh j= k= j= λ= u j = u L 1 R u j L 1 Berdasarkan persamaan 9 dperoleh relas rekursf sebaga berkut j= j= D j. 9 u j1 = L 1 Ru j L 1 D j, j =, 1, 2,. 1 3. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Pada bagan n dbahas solus sstem persamaan dferensal parsal dengan menggunakan metode perturbas homotop dan metode dekomposs Adoman. 3.1 Solus Sstem Persamaan Dferensal Parsal Menggunakan Metode Perturbas Homotop Perhatkan sstem persamaan dferensal parsal berkut dengan nla awal u 1 u 2... N 1 = g 1 t, u 2 u 1... N 2 = g 2 t, u 3 u 2... N 3 = g 3 t, u 2... u 1 N n = g n t, u 1 x 1, x 2,..., x n1, = f 1 x 1, x 2,..., x n1, u 2 x 1, x 2,..., x n1, = f 2 x 1, x 2,..., x n1, u 3 x 1, x 2,..., x n1, = f 3 x 1, x 2,..., x n1, u n x 1, x 2,..., x n1, = f n x 1, x 2,..., x n1. 11 12 Repostory FMIPA 4
Aplkaskan teknk homotop 3 pada masng-masng persamaan dferensal parsal dar sstem 11, dperoleh 1 p U 1 u 1, p U 1 U 2... U n N 1 g 1 t =, 1 p U 2 u 2, p U 2 U 1... U n N 2 g 2 t =, 1 p U 3 u 3, p U 3 U 2... U n N 3 g 3 t =, 13 1 p U n, p U n U 2... U 1 N n g n t =. Kemudan dlanjutkan menggunakan teknk perturbas, dalam teknk perturbas solus pendekatan dar sstem persamaan dferensal parsal dasumskan dalam bentuk deret pangkat p sebaga berkut U 1 = U 1, pu 1,1 p 2 U 1,2..., U 2 = U 2, pu 2,1 p 2 U 2,2..., U 3 = U 3, pu 3,1 p 2 U 3,2..., U n = U n, pu n,1 p 2 U n,2.... 14 Selanjutnya substtuskan 14 ke 13, kemudan kelompokkan koefsen p j berdasarkan pangkat p yang sama dengan j =, 1, 2, yang dapat dtuls dalam bentuk berkut a 1, a 1,1 p a 1,2 p 2 a 1,j p j =, a 2, a 2,1 p a 2,2 p 2 a 2,j p j =, a 3, a 3,1 p a 3,2 p 2 a 3,j p j =, a n, a n,1 p a n,2 p 2 a n,j p j =, 15 dengan a, = U, a 1,1 = U 1,1 a 2,1 = U 2,1 u, u 1, u 2,, = 1, 2,, n, =1 U 1, U 1, =2 M 1, g 1 t, U 1, M 2, g 2 t, 16 Repostory FMIPA 5
dan a,1 = U,1 a 1,j = U 1,j a 2,j = U 2,j a,j = U,j u, 2 k=1 U k1, x k U 1, 1 U 1, M, g t, = 3, 4,, n, =1 U 1,j1 M 1,j1, j = 2, 3,, U 1,j1 2 k=1 =2 U k1,j1 x k U 1,j1 M 2,j1, j = 3, 4,, U 1,j1 1 U 1,j1 M,j1 = 3, 4,, n. j = 2, 3,. M,j adalah koefsen dar p j pada operator nonlnear dar persamaan dferensal parsal ke- dengan = 1, 2, 3,, j =, 1, 2,. Secara umum persamaan 15 juga dapat dtuls sebaga berkut a,j p j =. = 1, 2,, n. 18 j= Ruas kanan pada persamaan 15 adalah polnom dalam p dengan koefsen nol sehngga persamaan 18 dperoleh 17 a,j =, = 1, 2, 3,, n dan j =, 1, 2,. 19 Berdasarkan persamaan 19, 16 dan persamaan 17 dperoleh U, U 1,1 U 2,1 U,1 U 1,j U 2,j U,j u, u 1, u 2, u, =1 =, =1 U 1, 2 k=1 U 1, M 1, g 1 t =, =2 U 1, M 2, g 2 t =, U k1, x k U 1, 1 U 1,j1 M 1,j1 =, U 1,j1 2 k=1 U k1,j1 x k U 1,j1 M 2,j1 =, U 1,j1 1 U 1, M, g t =, U 1,j1 M,j1 =. Repostory FMIPA 6 2
Selanjutnya dengan memlh tebakan awal u, untuk setap persamaan dferensal parsal ke- berdasarkan nla awal 12 dan mengntegralkan persamaan 2, dperoleh U, = u,, = 1, 2,, n, U, = f x 1, x 2,..., x n1, = 1, 2,, n, t U 1,1 = U 2,1 = U,1 = U 1,j = =1 U 1, 2 k=1 n1 U 2,j = U,j = U 1, =1 U 1,j1 2 k=1 =2 M 1, g 1 t U 1, U k1, U 1, x k 1 U 1,j1 =2 U k1,j1 x k M 1,j1, M 2, g 2 t U 1,j1 M 2,j1 U 1, U 1,j1 1, M, g 2 t, = 3, 4,, n,, j = 2, 3,,, j = 2, 3,, U 1, M,j1. = 3, 4,, n. Sehngga solus pendekatan dar sstem persamaan 11 menggunakan metode perturbas homotop dengan p = 1, yatu ū = lm U, p 1 ū = U,j, = 1, 2, 3,..., n. j= 3.1 Solus Sstem Persamaan Dferensal Parsal Menggunakan Metode Dekomposs Adoman Adapun proses penyelesaan untuk sstem persamaan dferensal parsal 11 dengan menggunakan metode dekomposs Adoman sebaga berkut. Aplkaskan persamaan 5 pada masng-masng persamaan dferensal parsal dar sstem persamaan 11 dengan nla awal 12 sehngga dperoleh u 1 = f 1 x 1,..., x n1 u 2 = f 2 x 1,..., x n1 t t t g 1 t N 1, g 2 t N 2, u2... u1... Repostory FMIPA 7 21
u 3 = f 3 x 1,..., x n1 u n = f n x 1,..., x n1 t t g 3 t N 3, g n t N n. u2... u2... u 1 Selanjutnya asumskan solus dar sstem persamaan 11 sebaga berkut u = u,j, = 1, 2,, n, 22 j= dengan N = D,j, = 1, 2,, n. 23 j= Kemudan substtuskan 22 dan 23 ke setap persamaan 21, sehngga dperoleh solus dar sstem persamaan dferensal parsal adalah sebaga berkut u 1,j = f 1 x 1,..., x n1 j= u 2,j = f 2 x 1,..., x n1 j= u 3,j = f 3 x 1,..., x n1 j= u n,j = f n x 1,..., x n1 j= j= j= g 1 t D 1,j, g 2 t D 2,j, g 3 t D 3,j, j= g n t D n,j. j= u2... u1... u2... u2... u 1 24 Repostory FMIPA 8
Selanjutnya berdasarkan persamaan 6 dasumskan u, dar sstem persamaan 24 sebaga berkut u, = f x 1,, x n1 g t, = 1, 2,, n, sehngga dperoleh relas rekursf dar sstem persamaan 24 sebaga berkut u 1,j1 u 2,j1 u 3,j1 u n,j1 = = = = u2,j u1,j u2,j...,j...,j...,j j= j= u2,j... u 1,j D 1,j. j. D 2,j. j, D 3,j. j, j= D n,j. j. j= 4. CONTOH NUMERIK Pada bagan n dberkan contoh sstem persamaan dferensal parsal yang akan dselesakan dengan metode dekomposs Adoman dan metode perturbas homotop. Selesakan sstem persamaan dferensal parsal berkut dengan metode dekomposs Adoman dan metode perturbas homotop. u v w = 3/2 1/2e 2x, x x v u w dengan nla awal w x u x x v x = 3/2 1/2e 2x, = 2, 25 ux, = e x, vx, = e x, wx, = 1/2e x e x, 26 solus eksak dar persamaan 25 dan nla awal 26, adalah u = e x t, v = e x t, w = 1/2e x e x t. Repostory FMIPA 9
Penyelesaan dengan Metode Dekomposs Adoman. Berdasarkan persamaan 26 dketahu f 1 x = ux, = e x, f 2 x = vx, = e x, f 3 x = wx, = 1/2e x e x. Ubah sstem persamaan 25 ke bentuk Adoman dengan mengaplkaskan persamaan 9 pada masng-masng persamaan dferensal parsal dar sstem persamaan 25, yatu u j =e x 3/2 1/2e 2x D j u,..., u j, j= v j =e x j= w j =1/2e x e x j= 3/2 1/2e 2x 2 j= j= D j v,..., v j, j= D j w,..., w j. Kemudan dengan mengaplkaskan persamaan 6 pada masng-masng persamaan dferensal parsal dar sstem persamaan 25 yang telah dubah ke bentuk Adoman, dperoleh sebaga berkut u = f 1 x g 1 x, = e x 3/2t 1/2te 2x, v = f 2 x g 2 x, = e x 3/2t 1/2te 2x, w = f 3 x g 3 x, = 1/2e x 1/2e x 2t. Adapun untuk suku yang berkutnya aplkaskan persamaan 1 pada masngmasng persamaan dferensal parsal dar sstem persamaan 25 sehngga dperoleh relas rekursf berkut u 1 = v 1 = w 1 = Du, = 1/4t 2 e 3x 1/4t 2 e x 1/2t 1/2te 2x, Dv, = 1/4t 2 e 3x 1/4t 2 e x 1/2te x 1/2t, Dw, = t 1/3t 3 1/2t 2 e 3x 1/2t 2 e 3x, Repostory FMIPA 1
u 2 = v 2 = w 2 = Du 1, = 3/8t 4 e 5x 3/8t 4 e x 1/24t 3 1/6t 3 e 2x 5/8t 3 e 4x 1/2t 3 e 2x 1/4t 2 e 3x 1/4t 2 e x, Dv 1, = 3/8t 4 e x 3/8t 4 e 5x 5/8t 3 e 4x 1/6t 3 e 2x 1/24t 3 1/2t 3 e 2x 1/4t 2 e x 1/4t 2 e 3x, Dw 1, = 3/16t 4 e 5x 1/16t 4 e 3x 1/16t 4 e 3x 3/16t 4 e 5x 1/2t 3 1/4t 3 e 2x 1/4t 3 e 2x 1/2t 2 e 3x 1/2t 2 e 3x, Jad, solus pendekatan dar sstem persamaan 25 dengan menggunakan metode dekomposs Adoman yatu u = u u 1 u 2, = e x 3/2t 1/2te 2x 1/4t 2 e 3x 1/4t 2 e x 1/2t 1/2te 2x 3/8t 4 e 5x 3/8t 4 e x 1/24t 3 1/6t 3 e 2x 5/8t 3 e 4x 1/2t 3 e 2x 1/4t 2 e 3x 1/4t 2 e x, v = v v 1 v 2, = e x 3/2t 1/2te 2x 1/4t 2 e 3x 1/4t 2 e x 1/2te x 3/8t 4 e x 3/8t 4 e 5x 5/8t 3 e 4x 1/6t 3 e 2x 1/24t 3 1/2t 3 e 2x 1/2t 1/4t 2 e x 1/4t 2 e 3x, w = w w 1 w 2, = 1/2e x 1/2e x 2t t 1/3t 3 1/2t 2 e 3x 1/2t 2 e 3x 3/16t 4 e 5x 1/16t 4 e 3x 1/16t 4 e 3x 3/16t 4 e 5x 1/2t 3 1/4t 3 e 2x 1/4t 3 e 2x 1/2t 2 e 3x 1/2t 2 e 3x. Penyelesaan dengan Metode Perturbas Homotop. Adapun proses penyelesaan sstem persamaan 25 sebaga berkut. Ubah sstem persamaan 25 ke bentuk homotop, menjad U 1 p u U p V x W x 3/2 1/2e2x =, V 1 p v V p U x W x 3/2 1/2e2x =, W 1 p w V p U x V x 3/2 1/2e2x =. Repostory FMIPA 11
Asumskan solus dar sstem persamaan 25 sebaga berkut U = U pu 1 p 2 U 2 p 3 U 3..., V = V pv 1 p 2 V 2 p 3 V 3..., W = W pw 1 p 2 W 2 p 3 W 3.... 27 Substtuskan asums solus 27 ke sstem persamaan 25 yang telah dubah ke bentuk homotop, kemudan kelompokkan koefsen p berdasarkan pangkat p yang sama. Selanjutnya dengan memlh tebakan awal berdasarkan nla awal, dan mengntegralkan kelompok koefsen p dengan pangkat p yang sama terhadap t dperoleh U = e x, V = e x, W = 1/2e x e x. U 1 = t, V 1 = t, W 1 = t, U 2 =, V 2 =, W 2 =, Sehngga solus sstem persamaan dferensal parsal dar sstem persamaan 25 dengan metode perturbas homotop dperoleh sebaga berkut ū = U U 1 U 2 U 3, ū = e x t, v = V V 1 V 2 V 3, v = e x t, w = W W 1 W 2 W 3, w = 1/2e x e x t. Berkut penyelesaan jumlah deret dar solus pendekatan sstem persamaan 25 dengan metode perturbas homotop dan dekomposs Adoman menggunakan MAPLE 13. x t u HP M n=1 u ADM n=5 ErorHP M ErorADM -.52 -.888.96134966.96135351.385e-7 -.325 -.888.8792224498.87922268.232e-6 -.888 -.888.826228561.826229148.58e-6 -.98 -.888.817848938.8178495454.6416e-6 x t v HP M n=1 v ADM n = 5 ErorHP M ErorADM -.52 -.888.916413543.916413539.391e-7 -.325 -.888.944233893.944233635.258e-6 -.888 -.888 1.46262 1.461258.84e-6 -.98 -.888 1.14162785 1.14161877.98e-6 Repostory FMIPA 12
x t w HP M n = 1 w ADM n = 5 ErorHP M ErorADM -.52 -.888.91121352.9112115321.19879e-5 -.325 -.888.911728171.9117261388.2322e-5 -.888 -.888.915145312.9151429697.23423e-5 -.98 -.888.9165844.91634219.24221e-5 Dar contoh yang telah dkerjakan terlhat bahwa metode perturbas homotop memberkan solus pendekatan yang lebh cepat mendekat solus eksak dbandngkan menggunakan metode dekomposs Adoman. DAFTAR PUSTAKA [1] Adoman, G. 1994. Solvng Fronter Problem of Physcs: The Decomposton Method. Khuwer Academc Press, Dordrecht. [2] Adoman, G. 1988. Revew of the Decomposton Method n Appled Mathematcs. J. Math. Anal, Apply. 135:51-544. [3] Bazar, J. & F. Goldoust., 213. HPM and ADM for Partal Dfferental Equatons. Internatonal Journal of Appled Mathematcal Research. 22:31-316. [4] He, J.H. 1999. Homotopy Perturbaton Technque. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng. 178:257-262. Repostory FMIPA 13