PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN

Transkripsi

1 PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan n saya menyatakan bahwa tess dengan judul Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Rsko Klask dengan Menggunakan Transformas Laplace adalah karya saya dengan arahan dar koms pembmbng dan belum dajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tngg manapun. Sumber nformas yang berasal atau dkutp dar karya yang dterbtkan maupun tdak dterbtkan dar penuls lan telah dsebutkan dalam teks dan dcantumkan dalam Daftar Pustaka d bagan akhr tess. Bogor, Jun 2008 Amruddn

3 ABSTRACT AMIRUDDIN. Determnaton of Survval Probabltes n the Classcal Rsk Model Usng Laplace Transform. Under drecton of I GUSTI PUTU PURNABA and EFFENDI SYAHRIL. The purpose of ths thess s to show that, for the classcal rsk model, explct solutons for survval probablty n a fnte tme horzon can be obtaned through the nverson of double Laplace transform of the dstrbuton of tme to run. To do ths, the probablty of ultmate non-run functon as developed by Gerber and Shu (1998) s beng consdered. Two methods used n ths research are Laplace transform and analytc nverson. In analytc nverson, algebrac manpulatons and Laplace complex nverson formula are appled. The Laplace complex nverson uses resdue theorem and Laurent seres expanson for complex functons. At the end some numercal results usng Mathematca software are presented. The numercal results show that the ncrease n survval probablty value s caused by the ncrease n ntal captal or premum ncome, and the correspondng decrease s caused by the ncrease n tme. Keywords: classcal rsk model, double Laplace transform, tme to run, run probablty.

4 RINGKASAN AMIRUDDIN. Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Rsko Klask dengan Menggunakan Transformas Laplace. Dbmbng oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan EFFENDI SYAHRIL. Dalam perusahaan asurans, model rsko klask adalah model untuk menentukan akumulas kekayaan perusahaan pada suatu waktu tertentu (t), yang ( ) dtuls sebaga U ( t ) u ct N t X, t 0 dan U (0) u. Peubah u adalah. 1 modal awal, c adalah rata-rata prem yang masuk per satuan waktu, X adalah besar klam ke- dan N( t) adalah banyaknya klam yang terjad dalam nterval waktu [0,t]. X dengan = 1, 2, 3,..., N( t) adalah varabel acak sebanyak N( t) yang dasumskan salng bebas dan X juga bebas terhadap N( t). Dengan mengasumskan bahwa { N( t), t 0} adalah proses Posson dengan laju, maka N ( t) 1 X, t 0, adalah proses Posson majemuk, sehngga U ( t) proses stokastk. merupakan Suatu perusahaan asurans dnyatakan jatuh atau bangrut jka U ( t ) 0. Peluang jatuh adalah fungs dalam u dan t, dnotaskan sebaga ( u, t), dan peluang bertahan dnotaskan sebaga ( u, t), sehngga ( u, t) 1 ( u, t). Jka X mengkut suatu sebaran tertentu, maka solus eksplst dar ( u, t) dapat dtentukan. Tujuan peneltan n adalah menentukan fungs sebaran peluang bertahan ( ( u, t ) ) dengan asums X menyebar eksponensal, Erlang(2) dan eksponensal campuran. Dar masng-masng solus dtentukan contoh perhtungannya dengan menggunakan software Mathematca. Langkah awal dalam penentuan fungs sebaran peluang bertahan dalam model rsko klask adalah menentukan fungs Laplace dar fungs kepekatan peluang pada peubah acak yang menyebar eksponensal, Erlang(2) dan eksponensal campuran. Langkah berkutnya, ddefnskan suatu fungs peluang bertahan ( ( u, t ) ) dan suatu fungs dalam u ( ( u ) ). Dar kedua fungs tersebut dtentukan fungs transformas Laplacenya, yatu ˆ( s, ) dan ˆ( s) fungs Laplace dar fungs kepekatan peluang. yang d dalamnya memuat Langkah akhr, dengan ekspans deret Maclaurn dan formula nvers kompleks, fungs ˆ( s, ) dubah menjad fungs ( u, t). Fungs terakhr adalah fungs sebaran peluang bertahan dalam model rsko klask Peneltan n menunjukkan bahwa, fungs sebaran peluang bertahan dalam model rsko klask dapat dtentukan melalu transformas Laplace dan nvers Laplace. Ekspans deret Maclaurn dan formula nvers kompleks dgunakan pada analss nvers Laplace.

5 Untuk mengetahu perlaku dar masng-masng fungs sebaran, dlakukan beberapa perhtungan numerk dengan menggunakan software Mathematca. Hasl akhr menunjukkan bahwa nla peluang bertahan akan nak jka modal awal dan prem dperbesar dan akan turun jka nterval waktu dperpanjang. Dengan hasl n, nla peluang bertahan suatu perusahaan asurans untuk beberapa waktu (t) ke depan dapat dtentukan dan dapat datur dengan menentukan modal awal (u) dan besar prem (c). Kata kunc: model rsko klask, transformas Laplace ganda, waktu jatuh dan peluang jatuh.

6 Hak cpta mlk IPB, tahun 2008 Hak cpta dlndung Undang-undang 1 Dlarang mengutp sebagan atau seluruh karya tuls n tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a Pengutpan hanya untuk kepentngan penddkan, peneltan, penulsan karya lmah, penyusunan laporan, penulsan krtk atau tnjauan suatu masalah. b Pengutpan tdak merugkan kepentngan yang wajar IPB. 2 Dlarang mengumumkan dan memperbanyak sebagan atau seluruh karya tuls dalam bentuk apapun tanpa zn IPB.

7 PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN Tess sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magster Sans pada Departemen Matematka SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

8 Judul Tess : Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Rsko Klask dengan Menggunakan Transformas Laplace Nama : Amruddn NIM : G Dsetuju Koms Pembmbng Dr. Ir. I Gust Putu Purnaba, DEA. Ketua Drs. Effend Syahrl, Grad. Dpl. Sc. Anggota Dketahu Ketua Program Stud Matematka Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahan, MS. Prof. Dr. Ir. Kharl A. Notodputro, MS. Tanggal Lulus: Tanggal Ujan: 9 Jul 2008

9 Penguj Luar Koms pada Ujan Tess : Dr. Ir. Endar H. Nugrahan, MS.

10 PRAKATA Puj syukur penuls panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunanya sehngga tess n berhasl dselesakan. Tema yang dplh dalam peneltan yang dlaksanakan sejak bulan Januar 2008 n alah peluang bertahan dalam model rsko klask dengan judul Solus Eksplst Pada Peluang Bertahan Dalam Model Rsko Klask. Terma kash penuls ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gust Putu Purnaba, DEA. dan Bapak Drs. Effend Syahrl, Grad. Dpl. Sc. selaku dosen pembmbng yang telah banyak member saran. Dsampng tu penuls sampakan ucapan terma kash kepada Departemen Agama Republk Indonesa yang telah memberkan beasswa untuk stud. Ucapan terma kash juga dsampakan kepada ster, anak dan seluruh keluarga, atas doa dan dukungannya. Semoga karya lmah n bermanfaat. Bogor, Jun 2008 Amruddn