Vol. 9. No. 1, 011 Jural Sais, Tekologi da Idustri METODE ITERASI BARU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Supriadi Putra 1, Ria Kuriawati 1 Laboratorium Matematika Terapa Jurusa Matematika Program Studi S1 Matematika, Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pgetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawidya Pekabaru (89 sputra@uri.ac.id ABSTRAK Kita aka mdiskusika sebuah metode iterasi baru utuk myelesaika persamaa oliear satu variabel. Tulisa yag sama telah dilakuka sebelumya oleh Eskadari, H. World Academy of Scice, Egieerig ad Techology 44, 196-199 (008. Aka tetapi disii aka dibuktika orde kekoverga dari metode yag belum dilakuka oleh Eskadari. Perbadiga komputasi dari beberapa metode yag dibahas aka diberika dga memperhatika jumlah iterasi, da COC (Computatioal Order of Covergce atau perhituga orde kovergsi secara komputasi. Kata Kuci: Metode Hybrid, Metode Newto, Metode Iterasi Baru. ABSTRACT We discuss a ew iteratio method to solve a oliear equatio of oe variable. The same work has be doe by Eskadari, H. World Academy of Scice, Egieerig ad Techology 44, 196-199 (008. Here we prove the order of covergce of the method that is ot performed by Eskadari. Compariso amog the discussed methods is also giv by cosiderig umber of iteratio ad COC (Computatioal Order of Covergce. Key Words: Hybrid method, Newto s method, New iteratio method. PENDAHULUAN Mtuka akar dari suatu persamaa oliear satu variabel, f ( x 0, (1 adalah topik yag selalu dibahas dalam mata kuliah metode umerik, kara masalah ii mcul dari berbagai masalah sais yag memerluka pyelesaia secara matematik. Metode aalitik yag tersedia dalam myelesaika masalah oliear ii sagat terbatas kemampuaya, maka peliti mgembagka metode aproksimasi. Metode Newto adalah metode yag sagat popular utuk mgaproksimasi akar persamaa oliear (1. Dalam perapaya metode ii memerluka satu tebaka awal, kataka x 0, da iterasiya diyataka oleh f ( 1, 0,1,, ( x Metode ii msyaratka bahwa x0 0, agar metode dapat diterapka da koverg secara kuadratik (Cote, 1980; Weerakoo, 000. Ide pgembaga metode Newto ii adalah pgguaa garis lurus yag myiggug kurva f (x pada titik (, f (, 0,1,, Btuk ii tidak lai merupaka ekspasi Taylor orde pertama dari f (x pada x, 0,1,, Dga ide yag sama peliti lai telah mgembagka metode iterasi yag dituruka melalui eksapasi Taylor sampai dga orde kedua da ketiga. Melalui ekspasi Taylor orde dua, Halley (Eskadari, 008 da Traub (Traub, 1964 mgembagka metode iterasi Euler, Halley da Chebyshev. Iterasi yag dimaksud berturut-turut adalah sebagai berikut, 46
Vol. 9. No. 1, 011 Jural Sais, Tekologi da Idustri f ( 1, ( ' f ( x 1 1 L( x f ( 1 ' L( f ( (4 1 f ( 1 1 L( ' f ( (5 dimaa '' f ( f ( L(. ' f ( Ketiga metode di atas telah dibuktika memiliki orde kekoverga kubik. Selajutya Nasr Al-Di dalam (Nasr, 008 mgembagka metode Hybrid yag diperoleh melalui ekspasi Taylor orde ketiga. Btuk formula iterasiya adalah B B 4AC x 1 (6 A dga A x, B 6, da C 6 f ( 6 BAHAN DAN METODE Pada pelitia ii dilakuka kajia ulag terhadap pekerjaa yag terlebih dahulu telah dilakuka oleh Eskadari (Eskadari, 008. Dalam tulisaya, Eskadari belum melakuka pembuktia aalisa kekoverga dari metode yag dikemukakaya. Utuk itu pulis melakuka aalisa ii dga mgguaka defiisi tigkat kesalaha (Bartle, 000. Defiisi 1 Asumsika bahwa suatu barisa { x } koverg ke da misalka e x utuk 0,1,,. Jika terdapat dua buah kostata A 0 da p 0 maka 1 1 lim lim A, p p x p merupaka orde kekoverga dari barisa { x } da A disebut asimtot error. Setelah aalisa kekoverga dilakuka secara aalitis, selajutya melalui uji komputasi (mgguaka software Maple 1 aka dibadigka hasil yag diberika oleh masig-masig metode iterasi. Jumlah iterasi da ilai COC (perhituga orde kekoverga secara komputasi pada setiap cotoh persamaa oliear yag diguaka aka dijadika acua pembadig. Nilai COC diperoleh melalui defiisi berikut. Defiisi Misalka adalah akar dari f( x 0 da adaika 1,, 1 adalah tiga hasil iterasi berturut-turut yag cukup dekat ke akar. Maka, orde kovergsi secara komputasi (COC dapat diaproksimasi dga rumus l ( 1 /( COC :. l ( x /( x 1 HASIL DAN PEMBAHSAN Metode Iterasi Baru Seperti halya metode Hybrid, metode iterasi baru yag dikemukaka oleh Eskadari (Eskadari, 008 diperoleh dari ekspasi Taylor orde ketiga. Btuk iterasiya adalah D 1 (1 (7 dimaa D (1 f ( da adalah suatu parameter, dga 0 1 da 1. Utuk 0, maka persamaa (7 mjadi f ( 1 (8 Persamaa (7 da (8 memberika dua ilai yag mugki utuk x 1, tergatug pada tada yag diberika. Tada yag dipilih disesuaika dga tada, sehigga ilai dari pembilag semaki kecil. Akhirya persamaa (7 ditulis dalam btuk sig( D 1 (9 (1 Persamaa (9 ii merupaka metode iterasi baru utuk myelesaika persamaa oliear satu variabel. 47
Vol. 9. No. 1, 011 Jural Sais, Tekologi da Idustri Aalisa Kekoverga Teorema 1 Misalka I adalah akar sederhaa dari fugsi f : I R. Misalka f, f ', f '', f ''' kf ( x f ''( (4kC x 4kC e 1kC e O( e (17 (iv Jika persamaa (17 dibagi dga da f kotiu pada iterval I. Jika x 0 persamaa (15 kemudia disederhaaka cukup dekat ke maka metode iterasi pada dga mgguaka idtitas persamaa (9 mempuyai orde 1 1 kekoverga kuadratik utuk 0 1 x x x O( x 1 x da kubik utuk 0. dga mgambil sampai suku x, diperoleh btuk Bukti: kf ( x Misalka adalah akar dari fugsi 4kCe f ( x 0, maka f ( 0. Asumsika 0, 0 da e x. (1kC 1kC O(. Dga melakuka ekspasi Taylor utuk f ( x disekitar x, maka Dga mgguaka idtitas 1 f ( O(. (10 1 1 1! (1 x 1 x x x, 8 16 Selajutya dga memfaktorka da dga mgambil sampai suku x, dari persamaa (10, maka diperoleh 1 ( ( '( O e kf ( x ''( f x f (11 maka hasil dari 1 f! '( f utuk myederhaaka otasi misalka setelah disederhaaka da dimisalka ( j 1 f ( dga A adalah C j utuk j,, j! A 1 kc (18 sehigga persamaa (11 mjadi (6kC k C 6kC O( f ( e C O(. Misalka B adalah hasil perkalia (1 dari Dga cara yag sama masig-masig persamaa (1 dga persamaa (18, utuk da f '' x diperoleh maka aka diperoleh btuk B (1 (C kc 1 C O(, (1 da (C k C kc 6kC O( C O( (14 (19 Persamaa (1 dikuragka dga Kemudia persamaa (1 dikuadratka, persamaa (19, kemudia hasilya dibagi sehigga diperoleh dga kc da dimisalka dga ( 1 4C (4C 6C O( (15 C, C Dga mgalika persamaa (1 dga C C kc O( C. (0 persamaa (14 diperoleh f ( Dga mgalika persamaa (14 dga (16 k, selajutya hasilya dibagi dga C (C 6C O( kc, da dimisalka dga D, Misalka k ( 1, maka hasil perkalia C 6C4 k dga persamaa (16 adalah D 1 O(. (1 C C Kemudia dga membagi persamaa (0 da (1, setelah disederhaaka diperoleh 48
Vol. 9. No. 1, 011 Jural Sais, Tekologi da Idustri C ( kc C O(. D ( Selajutya persamaa ( disubstitusika ke persamaa (7, sehigga diperoleh 1 ( kc C O(.( Kara x 1 e 1, maka persamaa ( mjadi 1 ( kc C O(. (4 Dga mguragka kedua ruas persamaa (4 dga, sehigga diperoleh 1 ( kc C O(. (5 Persamaa (5 merupaka persamaa tigkat kesalaha dari metode iterasi baru. Berdasarka Defiisi 1, maka orde kekoverga dari metode iterasi baru adalah kuadratik. Kara k ( 1, maka utuk 0 orde kekoverga metode iterasi baru mjadi kubik. Cotoh Komputasi Pada bagia ii diberika tiga persamaa oliear yag juga biasa diguaka oleh peliti lai dalam melakuka uji komputasi. Uji komputasi melibatka : Metode Newto (yag diperoleh melalui ekspasi Taylor orde satu, Metode Euler, Halley, Chebyshev (yag diperoleh melalui ekspasi Taylor orde dua, Metode Hybrid da Metode Iterasi Baru (yag diperoleh melalui ekspasi Taylor orde tiga. Selai itu, simulasi ii juga aka melihat jumlah iterasi yag dibutuhka metode sampai mdapatka akar aproksimasi da COC (Computatioal Order of Covergce atau perhituga orde kovergsi secara komputasi dari ketiga metode yag diaproksimasi. Tiga persamaa oliear yag aka diguaka yaitu: 1. Polyomial f ( x x 4x 10, dga 1.650014140968. Poliomial da eksposial x f ( x x e x, Dga 0.575085498608. Poliomial da trigoometri f ( x x cos x, dga 0.8411054. Hasil dari uji komputasi terhadap ketiga persamaa oliear di atas diberika pada tabel berikut. Tabel 1. Perbadiga Komputasi metode Newto, Euler, Halley, Chebyshev, Hybrid da metode Iterasi Baru No x 0 Metode COC f ( x 1 1 Newto 5.00.6651e-1.1697640e-11 Euler.00 4.64705e-7 1.6677549e-09 Halley.11 1.50197e-19.6986499e-07 1.0 Chebyshev 4.01.995954e-41 1.68459e-14 Hybrid 5.00.7077e-7.01570e-14 Baru ( 0.00 4.64705e-7 1.6677549e-09 1. Baru ( 0. 1 4.00 4.698100e-1 5.86655e-11 Newto 5.00.040551e-18 5.004980e-10 Euler.0.49574e-0.95681e-07 Halley 4.8 8.907717e-17.107504e-06.0 Chebyshev 4.99 6.18487e-41.0748899e-14 Hybrid 5.00 6.705185e-.5471568e-1 Baru ( 0.0.49574e-0.95681e-07 Baru ( 0. 1 4.00 9.9814e-19 7.851597e-10 Newto 4.00 6.44765e- 1.511991e-11. 1.0 Euler.9 5.96958e-17 6.51751018e-06 Halley.1 1.06946e-17.88687e-06 Chebyshev.5 1.860e-18.17517e-06 49
Vol. 9. No. 1, 011 Jural Sais, Tekologi da Idustri. 1.5 1.0.0 Hybrid 4.00 5.455e-6 4.799877e-1 Baru ( 0.9 5.96958e-17 6.51751018e-06 Baru ( 0. 1 4 1.99 6.14990e-4 9.098e-1 Newto 5 1.91.85904e-4.84545989e-17 Euler 4.98.7444e-6.47914e-1 Halley 4.97 8.806550e-4 1.68947859e-14 Chebyshev 4.96 7.697541e-48.7195859e-16 Hybrid 4.00.455967e-4.9887e-1 Baru ( 0 4.98.7444e-6.47914e-1 Baru ( 0. 1 4 1.98 4.1741e-0 7.6870747e-10 Newto 4.00 6.100657e-17 6.7484069e-09 Euler.0 4.60586e-7 1.5158698e-1 Halley.94 1.40891e-7 1.1751176e-09 Chebyshev.90 1.81888e-4 9.44669e-09 Hybrid 4.00.6684e-19 5.14744799e-10 Baru ( 0.0 4.60586e-7 1.5158698e-1 Baru ( 0. 1 4.00 1.10855e-6.088861e-1 Newto 6.00.54661e-8 1.786886e-14 Euler 4.01 6.0069e-46 1.701979e-15 Halley 4.96.04548e-1 6.4084974e-11 Chebyshev 4.9 1.5040e-6.1100666e-09 Hybrid 5.00 1.05517e-17.479455e-09 Baru ( 0 4.01 6.0069e-46 1.701979e-15 Baru ( 0. 1 5.00.06517e-8.7769195e-14 KESIMPULAN DAN SARAN Dari hasil komputasi yag telah dilakuka, secara umum metode iterasi baru utuk 0 sebadig dga metode Newto da metode Hybrid kara ketigaya mghasilka jumlah iterasi yag hampir sama utuk setiap fugsi. Tetapi utuk metode iterasi baru dga ilai 0, iterasi yag diperluka utuk memperoleh akar hampira sebadig dga metode Euler, Halley da Chebyshev. Selajutya utuk orde kovergsi dari ketiga metode yag dihitug secara komputasi (COC, dapat dilihat bahwa metode iterasi baru dga ilai 0 memiliki COC yag sama dga hasil yag diberika oleh metode Euler, Halley da Chebyshev. Sedagka metode Newto, metode Hybrid da metode iterasi baru dga ilai laiya memiliki COC. Hal ii mujukka bahwa orde kovergsi dari metode iterasi baru utuk 0 adalah kubik. Hasil yag palig marik adalah teryata metode iterasi baru utuk ilai 0 memberika perhituga yag persis sama dga metode Euler. Hal ii berarti bahwa metode iterasi baru utuk kasus khusus 0 tidak lai merupaka metode Euler seperti yag diberika oleh persamaa (. UCAPAN TERIMA KASIH Disampaika kepada Bapak Dr. Imra, M. M.Sc yag telah memberika koreksi yag sagat berarti terhadap aalisa kekoverga metode iterasi baru yag dibahas. DAFTAR PUSTAKA Nasr,A.I. 008. A New Hybrid Iteratio Method for Solvig Algebraic Equatios. Applied Mathematics ad Computatio 195, 77-774. Bartle, R.G. & Sherbert D.R. 000. Itoductio to Real Aalysis, Third Editio. Joh Wiley ad Sos, New York. Cote,S.D. 1980. Elemtary Numerical Aalysis, Third Editio. McGraw- Hill Book Compay, U.S.A. Eskadari, H. 008. A New Numerical Solvig Method for Equatios of Oe 50
Vol. 9. No. 1, 011 Jural Sais, Tekologi da Idustri Variable. World Academy of Scice, Egieerig ad Techology 44, 196-199. Halley, E. 1964. A ew exact ad easy method of fidig the roots of equatios gerally, ad that without ay previous reductio, Phil.Roy. Soc. Lodo 18 16-145. Mathew, J.H. 1987. Numerical Method for Mathematical, Scice, ad Egieer. Prtice-Hall Iterasioal, U.S.A. Melma, A. 1997. Geometry ad covergce of Euler s ad Halley s Methods, SIAM Rev. 9 (4 78-75. Traub, J.F. 1964. Iterative Methods for Solutio of Equatios, Prtice-Hall, Eglewood Cliffs, New Jersey. Weerakoo, S & Ferado, T.G.I. 000. A variat of Newto s Method with Accelerated Third-Order Covergce. Applied Mathematics Letters. 1: 87 9. 51