METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI Lely Jusnita 1

Transkripsi

1 METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI 1 + Lely Jusnita 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (893), Indonesia Lelyjusnita@yahoo.com ABSTRACT We discuss the modification of Newton s method, which is a Predictor and Corrector method, to solve a nonlinear equation. Using a series based on the equation error of the method, we show that the order of convergence of the method is 1 + and for each iteration, it requires two function evaluations, so the efficiency index of the method is.414. To see the advantages of the proposed method, we compare the method with some known iterative methods using four test functions by varying an initial guess. Keywords: Newton s method, nonlinear equation, root finding, iterative methods. ABSTRAK Artikel ini membahas modifikasi metode Newton yang berprinsip Predictor dan Corrector untuk memperoleh akar hampiran persamaan nonlinear. Melalui pendekatan deret ditunjukkan bahwa metode ini mempunyai orde konvergensi 1+, dan untuk setiap iterasinya memerlukan dua perhitungan fungsi, sehingga indeks efisiensinya adalah.414. Selanjutnya untuk melihat keunggulan metode dilakukan uji komputasi menggunakan beberapa fungsi uji dengan menvariasikan tebakan awal. Kata kunci: Metode Newton, persamaan nonlinear, akar sederhana, metode iterasi. 1. PENDAHULUAN Menemukan akar dari suatu persamaan nonlinear f(x) = 0, (1) adalah salah satu topik yang dibahas dalam mata kuliah metode numerik. Metode numerik yang populer digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1) adalah Metode Newton dengan bentuk iterasi x k+1 = x k f(x k), k = 0, 1,,, f (x k ) JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

2 dengan f (x k ) 0. Metode ini merupakan metode iterasi yang memiliki orde konvergensi kuadratik apabila nilai tebakan awal x 0 diberikan cukup dekat dengan akar [1, h.60] [5, h.11]. Indeks efisiensi dapat dihitung dengan menggunakan rumus P 1 w dimana P adalah orde konvergensi dan w adalah banyaknya fungsi yang di evaluasi pada setiap iterasinya [5, h. 1]. Dengan demikian, indeks efisiensi metode Newton adalah [5]. Dalam perkembangannya metode Newton banyak mengalami modifikasi yang bertujuan untuk meningkatkan orde konvergensi dan mempercepat iterasi dalam menemukan akar, diantaranya adalah artikel yang ditulis Mc.Dougnall dan Simon J.Wotherspoon [3] yang berjudul A Simple modification of Newton s method to achieve convergence of order 1 +. Artikel inilah yang direview pada tulisan ini. Adapun struktur penulisan artikel ini adalah di bagian dua dibahas modifikasi metode Newton yang diturunkan berdasarkan taksiran garis singgung, kemudian di bagian tiga dilakukan analisa kekonvergenan metode yang didiskusikan. Selanjutnya dilakukan uji komputasi menggunakan program Maple 13 untuk melihat keunggulan metode yang didiskusikan.. METODE MODIFIKASI NEWTON Misalkan akar dari persamaan nonlinear f(x) = 0 adalah r, dan fungsi f dapat didiferensialkan sehingga grafik y = f(x) mempunyai garis singgung disetiap titik (x k, f(x k )). Misalkan x 0 adalah nilai awal untuk mendekati r, maka dapat ditarik sebuah garis singgung L 1 melalui titik (x 0, f(x 0 )) dengan kemiringan f (x 0 ), yang persamaannya diberikan oleh ( ) y f(x 0 ) = f x0 + x 0 (x x 0 ), ( ) dengan x 0 = x 0 sehingga f (x 0 ) = f x0 + x 0. Pada saat garis singgung L 1 memotong sumbu x maka y = 0, dan titik potong dengan sumbu x ini disebut x 1 sehingga diperoleh x 1 = x 0 f(x 0 ) f ( x0 + x 0 ). () Dalam menentukan nilai akar hampiran kedua, terlebih dahulu ditentukan titik x 1. Titik x 1 diperoleh dengan menarik persamaan garis melalui titik (x 1, f(x 1 )), dengan kemiringan f ( x 0+x 0 ) yang sama dengan kemiringan garis singgung pada titik x 1, sehingga diperoleh y f(x 1 ) = f ( x0 + x 0 ) (x x 1 ), JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

3 persamaan garis memotong sumbu x maka y = 0, dan titik potong dengan sumbu x ini disebut x 1 sehingga diperoleh Untuk iterasi k 1 diperoleh x 1 = x 1 x k = x k x k+1 = x k f(x 1 ) f ( x0 + x 0 f(x k ) f ( xk 1 + x k 1 f(x k ) f ( xk + x k ). (3) ), (4) ). (5) Persamaan () (5) merupakan bentuk iterasi dua langkah dari Metode Modifikasi Newton (MMN) yang berbentuk Predictor-Corrector, persamaan (4) merupakan Predictor dan persamaan (5) merupakan Corrector. 3. ANALISA KEKONVERGENAN Sebelum menemukan analisis kekonvergenan dari Metode Modifikasi Newton [MMN], terlebih dahulu berikan definisi persamaan tingkat kesalahan. Definisi 1 (Persamaan Tingkat Kesalahan) [4] Misalkan barisan bilangan real {x k } k=0 konvergen ke r dan nyatakan e k = x k r merupakan notasi untuk kesalahan pada iterasi ke-k, maka relasi e k+1 = Ce p k + O(ep+1 k ), (6) disebut sebagai persamaan tingkat kesalahan dari suatu metode iterasi, dengan nilai p menunjukkan orde konvergensinya. Teorema Misalkan f, f, dan f kontinu untuk semua x disekitar r dan x 0 adalah nilai tebakan awal yang cukup dekat dengan r, maka metode iterasi pada persamaan() (5) memiliki orde konvergensi 1 +. Bukti Misalkan r adalah akar pada persamaan nonlinear f(x) = 0 maka f(r) = 0, dan f (r) 0. Dengan menggunakan Teorema Taylor [, h.184], ekspansikan f(x k ) dimana x k = r diperoleh f(x k ) = f(r) + f (r)(x k r) + f (r) (x k r) + O(x k r) 3.! JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

4 Karena f(r) = 0 maka diperoleh atau Misalkan f(x k ) = f (r)e k + f (r) e k + O(e 3! k), ( f(x k ) = f (r) e k + f ) (r)!f (r) e k + O(e 3 k). (7) C = 1 f (r)! f (r), maka persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk f(x k ) = f (r) ( e k + C e k + O(e 3 k) ). Misalkan e k = x k r, dan e k = x k r. Maka dari persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh berturut-turut e k = e k f (r)(e k + C e k + O(e3 k ( )) (8) 1 ( f ek 1 + e k 1 + r)), dan e k+1 = e k f (r)(e k + C e k + O(e3 k )) f ( 1 (e k + e k + r) ). (9) Untuk k = 0, ditetapkan e 0 = e 0, dan dari persamaan () didapat e 1 = e 0 f (r)(e 0 + C e 0 + O(e 3 0)). (10) f (x 0 ) Dengan mengekspansikan f (x 0 ) disekita x 0 = r menggunakan Teorema Taylor [, h.184], maka diperoleh f (x 0 ) = f (r)(1 + C e 0 + 4C + O(e 3 0)). (11) JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

5 Sehingga persamaan (10) menjadi Misalkan e 1 = e 0 (e 0 + C e 0 + O(e 3 0)) (1 + C e 0 + 4C + O(e 3 0)). (1) s = C e 0 + 4C + O(e 3 0), maka dengan menggunakan identitas geometri diperoleh s = 1 C e 0 + 4C + O(e 3 0). (13) Jadi dengan menggunakan persamaan (13) maka persamaan (1) menjadi e 1 = C e 0 + O(e 3 0). Selanjutnya untuk k = 1 dengan menggunakan persamaan (8) maka diperoleh e 1 = e 1 f (r)(e 1 + C e 1 + O(e 3 1)). (14) f (x 0 ) Dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh Misalkan e 1 = e 1 (e 1 + C e 1 + O(e 3 1)) 1 + C e 0 + 4C + O(e 3 0). (15) s = C e 0 + 4C + O(e 3 0). Maka dengan menggunakan identitas geometri diperoleh s = 1 C e 0 + 4C + O(e 3 0). (16) Menggunakan persamaan (16) maka persamaan (15) menjadi e 1 = C e O(e 3 1). Dengan cara yang sama sebagaimana mendapatkan e 1 diperoleh dan e = C 4 e O(e 3 1). Proses yang sama dapat dilakukan untuk memperoleh e = C 6 e O(e 3 ), e 3 = C 11 e O(e 3 ). JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

6 e 0 = e 0 e 1 = C e 0 e 1 = C e 3 0 e = C 4 e 5 0 e = C 6 e 7 0 e 3 = C 11 e 1 0 e 3 = 3 C 16 e 17 0 e 4 = 5 C 8 e 9 0 e 4 = 7 C 40 e 41 0 e 5 = 1 C 69 e 70 0 e 5 = 17 C 98 e 99 0 e 6 = 9 C 168 e e 6 = 41 C 38 e 39 0 e 7 = 70 C 407 e e 7 = 99 C 576 e Jika dilakukan proses di atas untuk beberapa nilai k yang lebih besar, maka akan diperoleh hubungan persamaan tingkat kesalahan yang terjadi sebagai berikut Bila diperhatikan barisan pangkat dari e k dan e k atas berturut-turut adalah pada pasangan langkah di, 5, 1, 9, 70, 169, 408,..., (17) dan 3, 7, 17, 41, 99, 39, 577,.... (18) Bila diperhatikan persamaan (17) dan (18), suku suku pada barisannya dapat diperoleh dari persamaan rekursif N i = N i 1 + N i. (19) Mengingat rasio yang dihasilkan, R, pada persamaan (19) sama, yaitu N i N i 1 = N i 1 N i = R, maka dengan membagi persamaan (19) dengan N i 1 dapat dilihat bahwa R adalah solusi dari R = + R 1, JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

7 yaitu R 1, = 1 ±, dan karena nilai R positif maka diperoleh R = 1 +. Hasil yang sama juga diperoleh dari barisan rasio pangkat e k dan e k yaitu berturut-turut adalah dan.5,.41,.4167,.4138,.4143,.414,.414,..., (0).33,.4,.411,.4146,.414,.414,.414,.... (1) Terlihat bahwa barisan rasio pada persamaan (0) dan (1) konvergen ke.414 atau 1+. Jadi, dapat disimpulkan bahwa Metode Modifikasi Newton (MMN) dapat menyelesaikan persamaan nonlinear f(x) = 0 mempunyai orde konvergensi 1 +. Metode Modifikasi Newton memerlukan dua kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, maka indeks efisiensi Metode Modifikasi Newton adalah (1 + 1 ) KOMPUTASI NUMERIK Pada bagian ini, akan dilakukan komputasi numerik untuk melihat kecepatan dari kekonvergenan Metode Modifikasi Newton (MMN), yang dibandingkan dengan metode Newton (MN), metode Wang (WG) [6], dan metode Weerakoon (WF) [7]. Perbandingan dilakukan dengan menggunakan pemrograman Maple 13. Komputer yang digunakan adalah prosesor Intel Core i3. Fungsi yang digunakan dalam melakukan komputasi numerik adalah 1. f 1 (x) = sin x x + 1. f (x) = x e x 3x + 3. f 3 (x) = xe x sin x + 3 cos x f 4 (x) = e x +7x 30 1 Dalam menentukan solusi numerik dari keempat fungsi di atas diperlukan tebakan awal x 0, toleransi = 1.0e-7, dan untuk metode Wang memerlukan β = 3 4. Dalam menentukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian program komputasi yang sama pada setiap metode, yaitu x k+1 x k < toleransi dan f(x k ) < toleransi. Hasil dari Komputasi Numerik untuk keempat fungsi di atas ditunjukkan pada Tabel 1. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

8 Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk Metode Newton, Wang, Weerakoon, dan Metode Modifikasi Newton No.fungsi x 0 Metode k k f f(x k ) x k x k 1 x k MN e e WG e e-31 WF e e-30 MMN e e-47 f 1 (x) f (x) MN e e-44 WG e-4.1e-81 WF e e-61 MMN e e-54 MN e-89.8e-45 WG e-137.9e-46 WF e e-36 MMN e e-60 MN e e-50 WG e-17.7e-4 WF e e-35 MMN e e-44 MN 6 1.9e e-8 WG e e-5 WF e e-34 MMN e e-44 MN e e-5 WG e e-34 WF e e-50 MMN e-1 1.6e JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

9 No.fungsi x 0 Metode k k f f(x k ) x k x k 1 x k MN e e WG e e-41 WF e e-34 MMN 6 1.3e e-33 f 3 (x).0 MN e e WG e e WF 7 1.0e e MMN e-155.4e-65 MN e e WG e e-3 WF e e-5 MMN e-86 1.e-36 MN e e-8 3. WG e-5.e-76 WF e e-6 MMN 8 16.e e-37 MN e e-48 f 4 (x) 3.5 WG e e-38 WF e-1 3.9e MMN e e-57 MN e e WG e e-45 WF e-16 1.e-73 MMN e e-38 Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa Metode Modifikasi Newton (MMN) memberikan iterasi yang lebih sedikit dari metode Newton (MN), namun metode Wang (WG) dan Weerakoon (WF) jauh lebih sedikit dibanding dari pada Metode Modifikasi Newton (MMN) dikarenakan metode Wang (WG) dan Weerakoon (WF) memiliki orde konvergensi yang lebih tinggi. Dalam hal ini, kelebihan Metode Modifikasi Newton (MMN) adalah hanya memerlukan dua kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya dan memiliki indeks efisiensi yang lebih besar yaitu, (1 + ) UCAPAN TERIMA KASIH Ungkapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si selaku pembimbing I dan Bapak Zulkarnain, M.Si selaku pembimbing II yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan, dorongan dan kesabaran dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

10 DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K. E Elementary Numerical Analysis, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [] Bartle, R. G. & Shebert. R. D Introduction to Real Analysis, 3 rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] McDougnall, T. J. & Wotherspoon, S. J A Simple Modification of Newton s method to Achieve Convergence of order 1 +. Applied Mathematics. 9. pp [4] Sharma, J. R., Guha. R. K. & Sharma. R Some Modified Newton s Methods with Fourth-Order Convergence. Advance in Science Research.. pp [5] Traub, J. F Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. [6] Wang, P A third Order Family of Newton-Like Iteration Methods for Solving Nonlinear Equations. Numerical Mathematics and Stochastics. 3. pp [7] Weerakoon, S. & Fernando. T. G. I A Variant of Newton s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters. 13. pp JOM FMIPA Volume No. 1 Februari