VARIASI METODE CHEBYSHEV DENGAN ORDE KEKONVERGENAN OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT ABSTRAK

Transkripsi

1 VARIASI METODE CHEBYSHEV DENGAN ORDE KEKONVERGENAN OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Julia Murni 1, Sigit Sugiarto 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 893, Indonesia julia.murni@yahoo.com ABSTRACT This article discusses variants of Chebyshev s methods to solve a nonlinear equation. Analytically, it is shown that the methods are of four order. Numerical comparisons show that the proposed methods are better than Newton s method, Chebyshev s method, Chebyshev-Halley s method, and Jarratt s method in performance, in terms of succeeding in obtaining the root. Keywords: efficiency index, family of Chebyshev s method, nonlinear equation, order of convergence, variants of Chebyshev s method. ABSTRAK Artikel ini membahas variasi metode Chebyshev dengan orde kekonvergenan optimal untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode ini mempunyai kekonvergenan berorde empat. Perbandingan numerik dari beberapa metode iterasi seperti merode Newton, metode Chebyshev, metode Chebyshev-Halley, metode Jarat, famili metode Chebyshev, dan variasi metode Chebyshev, menunjukkan keunggulan metode yang dibahas dalam mendapatkan akar yang dicari. Kata kunci: indek efisiensi, metode famili Chebyshev, persamaan nonlinear, orde konvergensi, dan variasi metode Chebyshev. 1. PENDAHULUAN Persoalan matematika yang sering dijumpai adalah bagaimana menemukan akar dari persamaan nonlinear yang dinyatakan dengan fx = 0. 1 JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 5

2 Formula untuk mendapatkan penyelesaian persamaan 1 secara analitik terkadang tidak tersedia, sehingga digunakan metode numerik yang berbentuk metode iterasi untuk mendapatkan solusi aproksimasi. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear 1. Salah satunya adalah metode iterasi yang diperkenalkan oleh Hernandez [] merupakan metode Chebyshev-Halley, dengan bentuk iterasinya x n+1 = x n fx n f x n 1 + αf x n fx n αf x n f x n fx n. Metode pada persamaan mempunyai kekonvergenan orde tiga []. Untuk mendapatkan metode yang berorde lebih tinggi Ramandeep Behl dan V. Kanwar [1] menggunakan variasi metode Chebyshev untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, yang didiskusikan dalam artikel mereka yang berjudul Variants of Chebyshev s Method with Optimal Order of Convergence [1]. Metode yang dikemukakan Ramandeep Behl dan V. Kanwar inilah yang direview pada tulisan ini. Pada artikel ini di bagian dua membahas variasi metode Chebyshev dengan orde kekonvergenan optimal, kemudian dilanjutkan pada bagian tiga dibahas analisa kekonvergenan metode famili Chebyshev dan variasi metode Chebyshev, dan pada bagian empat melakukan uji komputasi.. VARIASI METODE CHEBYSHEV DENGAN ORDE KEKONVERGENAN OPTIMAL Pada bagian ini didiskusikan famili metode Chebyshev dan variasi metode Chebyshev..1 Famili Metode Chebyshev Penurunan metode famili Chebyshev dengan menggunakan ekspansi Taylor. Misalkan x akar dari persamaan 1 dan x = x 0 tebakan awal yang diketahui, dengan mengasumsikan x 1 = x 0 + h, h < 1. Dengan mengekspansi fungsi fx 1 di sekitar x 1 = x 0 menggunakan Teorema Taylor, dan mempertahankan Oh, maka fx 1 = fx 0 + f x 0 x 1 x 0 1! + f x 0 x 1 x 0. 3! Setelah melakukan penyederhanaan pada persamaan 3, diperoleh h = fx 0 f x 0 h f x 0 f x 0. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan yang telah dikembangkan oleh Schroder [] diperoleh fx 0 f x 0 x 1 = x 0 f x 0 αfx 0 f x 0, JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 53

3 dengan memisalkan fx 0 f x 0 x 1 x 0 = h = f x 0 αfx 0 f x 0. 5 Kemudian dengan mengaproksimasi h pada ruas kanan pada persamaan, dengan persamaan 5 setelah dilakukan penyederhanaan, diperoleh h = fx 0 f x 0 1 fx 0 f x 0 f x 0 f x 0 αfx 0 f x 0 Karena h = x 1 x 0 maka bentuk persamaan 6 menjadi. x 1 = x 0 fx 0 f x 0 1 fx 0 f x 0 f x 0 f x 0 αfx 0 f x 0. Lalu, rumus umum untuk aproksimasi berurutan dapat ditulis x n+1 = x n fx n f x n 1 fx n f x n f x n f x n αfx n f x n Persamaan 6 merupakan metode iterasi famili Chebyshev.. 6. Variasi Metode Chebyshev dengan Orde Kekonvergenan Optimal Diberikan iterasi metode berbentuk Newton dengan suatu parameter a R y n = x n a fx n f x n, 7 selanjutnya persamaan 6 dimodifikasi dengan metode famili Chebyshev yaitu mengganti f x n dengan f y n maka diperoleh x n+1 = x n fx n f x n 1 fx n f x n f y n f x n αfx n f y n Persamaan 8 adalah rumus iterasi dari variasi metode Chebyshev. 3. ANALISA KEKONVERGENAN. 8 Teorema 1 Orde Konvergensi Famili Metode Chebyshev Misalkan x I akar sederhana dari fungsi f : I R R yang terdiferensial secukupnya pada interval buka I. Jika x 0 cukup dekat ke akar x, maka orde kekonvergenan famili metode Chebyshev pada persamaan 6 berorde tiga untuk α = 1. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 5

4 Bukti: Perhatikan persamaan 6 misalkan e n = x n x, dengan x adalah akar dari fx = 0, dengan menggunakan Teorema Taylor untuk mengekspansi fx n dan f x n di sekitar x n = x, dengan mengabaikan suku yang memuat x n x j untuk j, dan fx = 0, f x 0, diperoleh fx n =fx + f x x n x + f x x n x 1!! + f 3 x x n x 3 + f x x n x + Oe 5 3!! n. Karena fx = 0 dan x n x = e n, maka diperoleh fx n = f x e n + f x f x! e n + f 3 x f x 3! e3 n + f x f x! e n + Oe 5 n, 9 atau fx n = f x e n + c e n + c 3 e 3 n + c e n + Oe 5 n, 10 dengan menyatakan c k = f k x f x k!. Jika f x n diekspansikan dengan Teorema Taylor disekitar x n = x, maka f x n =f x + f x x n x + f 3 x x n x + f x x n x 3 1!! 3! + Oe n. f x n =f x 1 + f x x n x + 3 f 3 x x n x f x 1! 3 f x! + f x x n x 3 + Oe f x 3! n. 11 Selanjutnya dengan melakukan penyederhanaan pada persamaan 11, diperoleh f x n =f x 1 + c e n + 3c 3 e n + c e 3 n + Oe n. 1 Selanjutnya dengan cara yang sama untuk f x n diekspansikan dengan Teorema Taylor di sekitar x n = x, sehingga diperoleh f x n = f x c + 6c 3 e n + 1c e n + Oe 5 n. 13 Kemudian persamaam 10 dibagi dengan persamaan 1 diperoleh fx n f x n = f x en + c e n + c 3 e 3 n + c e n + Oe 5 n f x c e n + 3c 3 e n + c e 3 n + Oe 5 n Dengan menggunakan formula deret geometri pada persamaan untuk melakukan penyederhanaan pada persamaan 1 dengan r = c e n + 3c 3 e n + c e 3 n, sehingga diperoleh fx n f x n = e n c e n + c c 3 e 3 n c 3 7c c 3 + 3c e n + Oe 5 n. 15 JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 55

5 Untuk menghitung fx n digunakan dari persamaan 10, diperoleh fxn = f x e n + c e 3 n + c 3 e n + c e n + Oe 5 n. 16 Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan 10, 1, 13, 15, dan persamaan 16 ke persamaan 6, setelah penyederhanaan diperoleh e n+1 = c αc c 3 e 3 n + Oe n. 17 Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap α R, persamaan 6 konvergen kubik. Dengan mengambil α = 1, maka diperoleh e n+1 = c 3 e 3 n + Oe n. 18 Dari definisi orde konvergensi [3, h.77] diperoleh famili metode Chebyshev memiliki kekonvergenan orde tiga, maka Teorema 1 terbukti. Metode famili Chebyshev memiliki kekonvergenan orde tiga, dengan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasi. Berdasarkan definisi indek efisiensinya [5, h.1] adalah = 1.. Teorema Orde Konvergensi Variasi Metode Chebyshev Misalkan x I akar sederhana dari fungsi f : I R R yang terdiferensialkan secukupnya pada interval buka I. Jika x 0 cukup dekat dengan ke akar x, maka orde kekonvergenan metode pada rumus 8 adalah empat jika α, a = 1, 1 3. Bukti: Misalkan e n = x n x sehingga x n = x + e n, dan s n = y n x, dengan mensubtitusikan persamaan 15 ke persamaan 7, diperoleh y n = x + e n a e n c e n + c c 3 e 3 n c 3 7c c 3 + 3c e n + Oe 5 n. 19 Dari pemisalan s n = y n x, maka diperoleh s n =1 ae n + ac e n ac c 3 e 3 n ac 3 + 7c c 3 3c e n + Oe 5 n. 0 Kemudian dihitung ekspansi Taylor fy n di sekitar y n = x sampai turunan kelima fy n =fx + f x y n x + f x y n x + f 3 x y n x 3 1!! 3! + f x y n x + Oe 5! n. 1 Dari pemisalan s n = y n x, dan fx = 0, lalu persamaan 1 menjadi fy n = f x s n + f x f x! s n + f 3 x f x 3! s3 n + f x f x! s n + Oe 5 n, atau fy n = f x s n + c s n + c 3 s 3 n + c s n + Oe 5 n, JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 56

6 dengan menyatakan c k = f k x f x k!. Selanjutnya dengan cara yang sama untuk f y n diekspansikan dengan Deret Taylor di sekitar y n = x, sehingga didapat f y n = f x c + 6c 3 s n + 1c s n + Oe 5 n. 3 Dengan mensubtitusikan persamaan 0 pada persamaan 3, maka diperoleh f y n = f x c + 6c 3 6a c 3 e n + 6a c c 3 + 1c + 1a c a c e n + ac c 1 a + 0c 5 + 1ac 3 c 60ac 5 1 a a e 3 n +ac 3 c 3 ac c ac 3 c 8ac c 8a c 3 c + 60a c c 10a c a 3 c c c 6 1 a 60a 0a 3 + a e n + Oe 5 n. Kemudian dengan menghitung fx n f x n f y n, dari persamaan 1, 16, dan, setelah penyederhanaan diperoleh fxn f x n f y n = f x c e n + 8c 6ac 3 + 6c 3 e 3 n +10c 3 18a c c 3 + 1a c ac + 3c c 3 + 1c e n + Oe 5 n. 5 Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 10, 1, dan persamaan, untuk menghitung, f x n + α fx n f y n αfxn f x n f y n, dengan notasi V 1 diperoleh V 1 = f x αc e n + 0α + α c e n α + 1αac 3 e n + 7c c 3 e 3 n + 16c 3 e 3 n + 31 α + 8α c 3 e 3 n α1 a + a c e 3 n + 8αa 88α α a + α c c 3 e 3 n + 96c α + α c α + 56α + 160αa 10αa + 0αa 3 c c α + 36α + 36α a 7α a + 60αac 3 156α 19αa + 7αa + 96α a 8α a 8α c c α + α c e n + Oe 5 n. 6 Selanjutnya dengan menghitung 1 fxn f x n f y n V 1 dari persamaan 5, dan persamaan 6, dan dengan penyederhanaan menggunakan deret geometri, JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 57

7 diperoleh fxn f x n f y n 1 V 1 = c e n + 6c 3 8c 6ac 3 + 8αc e 3 n +8αc c 3 38c c ac c 3 8αac c 3 + 6c 3 + α c 3 56αc 3 + 1c ac + 1a c e n + Oe 5 n. 7 Kemudian dengan mensubtitusi persamaan 15 dan persamaan 7, pada persamaan 8, dan setelah melakukan penyederhanaan diperoleh e n+1 = 1 αc 1 3ac 3 e 3 n + 8α 1α 9c α 15a + aαc c 3 3 1a + 6a c e n + Oe 5 n. 8 Dengan mengambil nilai α = 1 dan a = 1, maka diperoleh 3 e n+1 = c 3 c c c e n + Oe 5 n. 9 Dari definisi orde konvergensi [3, h.77] diperoleh variasi metode Chebyshev memiliki kekonvergenan orde empat, maka Teorema terbukti. Variasi metode Chebyshev memiliki kekonvergenan orde empat dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasi. Berdasarkan definisi indek efisiensinya [5, h.1] adalah UJI KOMPUTASI Berikut ini akan dilakukan uji komputasi untuk membandingkan banyak iterasi dari metode. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah: f 1 x = e x x, x = , f x = x 3 + x 10, x = , f 3 x = cosx x, x = , f x = x e x 3x +, x = , f 5 x = xe x sinx + 3 cosx + 5, x = , f 6 x = sin x x + 1, x = Dalam menentukan solusi numerik dari keenam persamaan nonlinear di atas, digunakan tebakan awal x 0 yang berbeda, karena tebakan awal berpengaruh terhadap keberhasilan dalam menghampiri akar dan juga terhadap jumlah iterasi yang dihasilkan. Hasil komputasi yang dilakukan dengan menggunakan metode Newton MN, metode Chebyshev MC, metode Chebyshev-Halley MCH, metode Jarat MJ, famili metode Chebyshev MFC, dan Variasi metode Chebyshev MVC. Perbandingan hasil komputasi keenam metode untuk keenam fungsi di atas menggunakan program komputer Maple 13. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 58

8 Tabel 1: Perbandingan Uji Komputasi untuk MN, MC, MCH, MJ, MFC, dan MVC Metode f 1 f f MN MC MCH MJ MFC MVC Tabel : Perbandingan Uji Komputasi untuk MN, MC, MCH, MJ, MFC, dan MVC Metode f f 5 f MN MC MCH MJ MFC MVC Pada Tabel 1 dan Tabel kolom pertama menyajikan metode, kolom kedua sampai kesembilan menyajikan jumlah iterasi dari fungsi berserta nilai tebakan awal. Pada fungsi pertama sampai fungsi yang ke empat dengan setiap tebakan awalnya dapat dilihat bahwa metode yang berorde empat lebih cepat dibandingkan metode yang berorde tiga dan dua dalam menghampiri nilai akar. Pada fungsi kelima dari Tabel terlihat bahwa ada metode yang gagal dalam menghampiri akar pada tebakan awal x 0 = 0.5 yaitu metode ChebyshevMC. Untuk fungsi yang keenam terdapat juga kegagalan metode dalam menghampiri akar pada tebakan awal x 0 = 0.5 yaitu metode ChebyshevMC dan metode Chebyshev-Halley MCH. Untuk setiap fungsi yang diberikan dengan tebakan awal yang berbeda famili metode Chebyshev FMC, dan Variasi metode Chebyshev VMC selalu berhasil menghampiri akar. Berdasarkan Orde konvergensi, dan Indek Efisiensi maka metode Chebyshev yang memiliki orde kekonvergenan tiga [6, h.88] dan indek efisiensinya adalah 1., metode Chebyshev-Halley memiliki orde kekonvergenan tiga [] dan indek efisiennya sama dengan 1., dan metode famili Chebyshev memiliki kekonvergenan orde tiga, dan indek efisiensinya adalah 1.. Sedangkan variasi metode Chebyshev memiliki kekonvergenan orde empat dan indek efisiensinya adalah terlihat bahwa metode variasi metode Chebyshev lebih optimal dibandingkan metode Chebyshev, metode Chebyshev-Halley dan metode famili Chebyshev. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 59

9 UCAPAN TERIMA KASIH Di ucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Behl, R & Kanwar, V Variants of Chebyshev s Method with Optimal Order of Convergence. Tamsui Oxford Journal of International and Mathematical Sciences, 9: [] Hernandez, M. A & Salanova, M. A A Family of Chebyshev-Halley Type Method. International Journal of Computer Mathematics, 7: [3] Mathews, J. H Numerical Methods for Mathematics Science and Engineering, nd Ed. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. [] Schroder, E On Infinitely Many Algorithms for Solving Equations. Terj. dari Uber Unendlich Viele Algorithmen Zur Auflosung der Gleichhungen, 11: , oleh Stewart, G.W, Departement of Computer Science, University of Maryland, College Park, TR 990. [5] Traub, J. F Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. [6] Wait, R The Numerical Solution of Algebraic Equations. John Wiley & Sons, Inc., Chicester. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 01 60