METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN KONVERGENSI KUBIK. Resdianti Marny 1 ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN KONVERGENSI KUBIK Resdianti Marny 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (893), Indonesia aptkeluarga.resi@gmail.com ABSTRACT This article discusses Generalized Simpson-Newton method to solve nonlinear equations. The method is derived by replacing the coefficients of Simpson-Newton method with four parameters in which the sum of parameters in the denominator of Simpson-Newton method is the same as the parameter in the numerator of Simpson-Newton method. Analytically, it is shown that the method is of order three. Numerical experiments show that the proposed method can be used as an alternative for known iterative methods in solving nonlinear equations. Keywords: Iterative method, Newton method, nonlinear equation, third order convergence, generalized Simpson-Newton method. ABSTRAK Artikel ini membahas generalisasi metode Simpson-Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini diperoleh dengan mengganti koefisien pembilang dan penyebut pada metode Simpson-Newton dan mensyaratkan jumlah koefisien-koefisien pada penyebut sama dengan koefisien pada pembilang. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode Generalisasi Simpson-Newton mempunyai kekonvergenan orde tiga. Selanjutnya dari uji komputasi dan perbandingan dengan metode iterasi sekelas yang dikenal terlihat bahwa metode iterasi yang didiskusikan dapat dijadikan alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Kata kunci: Metode iterasi, metode Newton, persamaan nonlinear, konvergensi orde ketiga, metode generalisasi Simpson-Newton. Repositori FMIPA 1

2 1. PENDAHULUAN Menyelesaikan persamaan nonlinear yang berbentuk f(x) = 0 merupakan permasalahan yang paling penting dalam analisa numerik. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan nonlinear, salah satunya adalah metode Newton [4, h. 67] dengan bentuk iterasi x n+1 = x n f(x n) f (x n ), f (x n ) 0, n = 0,1,,, (1) dan memiliki kekonvergenan berorde dua [1, h. 71]. Selain metode Newton, terdapat metode-metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, diantaranya metode Newton Titik Tengah, metode Newton Aritmatik, dan metode Simpson-Newton yang sama-sama memiliki orde konvergensi kubik [8, 9, 5]. Pada artikel ini dibahas metode Generalisasi Simpson-Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode ini merupakan modifikasi metode Newton menjadi metode Simpson-Newton dengan bentuk persamaan x n+1 = x n 6f(x n ) f (x n )+4f ( xn +y n ),n = 0,1,... () +f (y n ) Pembahasan ini berdasarkan pada artikel yang ditulis oleh Jayakumar [6] yang berjudul Generalized Simpson-Newton s Method for Solving Nonlinear Equations with Cubic Convergence. Kemudian dilanjutkan di bagian dua membuktikan analisa kekonvergenan, bagian tiga kasus khusus dan di bagian terakhir melakukan uji komputasi.. METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN KONVERGENSI KUBIK Metode Generalisasi Simpson-Newton diperoleh dengan mengganti koefisien pada persamaan (), dengan parameter m 1,m,m 3 dan m = m 1 + m + m 3. Maka diperoleh bentuk iterasi y n = x n f(x n) f (x n ). (3) x n+1 = x n mf(x n ) m 1 f (x n )+m f ( xn +y n ). (4) +m 3 f (y n ) Repositori FMIPA

3 Teorema 1 (Orde Konvergensi) Misalkan α D, adalah sebuah akar sederhana dari sebuah fungsi terdiferensial secukupnya f : D R R untuk interval buka D. Jika x 0 cukup dekat ke α maka metode Generalisasi Simpson-Newton persamaan (3) dan (4) memiliki orde konvergensi kubik, untuk m = m 1 +m. Bukti: Misalkan α adalah sebuah akar sederhana dari persamaan f(x) = 0 maka f(α) = 0 dan f (α) 0. Asumsikan e n = x n α, kemudian dengan menggunakan ekspansi Taylor dari f(x n ) disekitar x n = α sampai orde tiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh f(x n ) = f(α)+ (x α) 1! f (α)+ (x α)! f (α)+ (x α)3 f (α)+o(e 4 3! n). (5) Karena f(α) = 0 dan e n = x n α maka persamaan (5) menjadi ( f(x n ) = f (α) e n + 1 f (α)e n + 1 ) f (α)e 3 n +O(e 4! f (α) 3! f (α) n). (6) Dengan menyatakan C k = f(k) (α) k!f (α) maka persamaan (6) menjadi f(x n ) = f (α)(e n +C e n +C 3 e 3 3 +O(e 4 n)). (7) Selanjutnya dengan cara yang sama ekspansi Taylor dari f (x n ) disekitar x n = α setelah disederhanakan menjadi f (x n ) = f (α)(1+c e n +3C 3 e n +O(e 3 n)). (8) Kemudian dari persamaan (7) dan (8) diperoleh f(x n ) f (x n ) = (e n +C e n +C 3 e 3 3 +O(e 4 n)) 1+C e n +3C 3 e n +O(e 3 n). (9) Selanjutnya pandang kembali bentuk persamaan (9), dengan menggunakan deret 1 geometri 1+r = 1 r+r r 3 untukr = C e n +3e n+o(e 3 n),setelahdisederhanakan persamaan (9) menjadi f(x n ) f (x n ) = e n C e n +( C 3 +C )e 3 n +O(e 4 n). (10) Selanjutnya dihitung y n dengan menggunakan persamaan (10) sehingga diperoleh y n = α+c e n (C 3 +C )e 3 n +O(e 4 n). (11) Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) dilakukan ekspansi Taylor dari f(y n ) disekitar y n = α setelah disederhanakan diperoleh f(y n ) = f (α)(c e n (C C 3 )e 3 n)+o(e 4 n). (1) Repositori FMIPA 3

4 Selanjutnya dengan cara yang sama ekspansi Taylor dari f (y n ) disekitar y n = α, disederhanakan lagi maka diperoleh f (y n ) = f (α)(1+c e n +(4C C 3 4C 3 )e 3 n +O(e 4 n)). (13) Selanjutnya dihitung y n +x n (6) maka diperoleh dengan menggunakan persamaan (11) dan persamaan y n +x n = α+ 1 e n + 1 C e n + 1 ( C 3 +C)e 3 n +O(e 4 n). (14) Kemudian diekspansi f yn +x n dengan ekspansi Taylor disekitar y n +x n = α sampai orde tiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh ( f yn +x n = f 3C3 (α) 1+C e n + 4 +C e n ( 7 + C C ) ) C 4 C 3 e 3 n +O(e 4 n). (15) Selanjutnya dihitung m 1 f (x n ) dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh m 1 f (x n ) = f (α)(m 1 +m 1 C e n +3m 1 C 3 e n). (16) Kemudian dihitung m f yn +x n dengan menggunakan persamaan (15) diperoleh ( m f yn +x n = f 3m C 3 (α) m +m C e n + +m C e n 4 ( 7m C C m ) ) C 4 m C 3 e 3 n +O(e 4 n). (17) Selanjutnya dihitung m 3 f (y n ) dengan menggunakan persamaan (13) lalu diperoleh m 3 f (y n ) =f (α)(m 3 +m 3 Ce n +(4m 3 C C 3 4m 3 C)e 3 3 n +O(e 4 n)). (18) Kemudian dihitung m 1 f (x n ) + m f yn +x n + m 3 f (y n ) dengan menggunakan persamaan (16), (17) dan (18) dan mengingat m = m 1 +m +m 3 sehingga diperoleh m 1 f (x n )+m f yn +x n +m 3 f (y n ) ( = f (α) m+(m C +m 1 C )e n ( + 3m 1 C 3 +m C + 3m ) 3C 3 +m 3 C e n 4 ( 7m C C m 3 C C 3 4m 3 C 3 + m ) ) C 4 m C 3 e 3 n. (19) Repositori FMIPA 4

5 Selanjutnya dihitung mf(x n ) dengan menggunakan persamaan (6) sehingga mf(x n ) = f (α)(me n +mc e n +mc 3 e 3 3 +O(e 4 n)). (0) mf(x n ) Kemudian dihitung dengan menggunakan yn +x m 1 f (x n )+m f n +m 3 f (y n ) persamaan(19) dan(0) serta menggunakan deret geometri, sehingga setelah disederhanakan diperoleh mf(x n ) yn +x m 1 f (x n )+m f n +m 3 f (y n ) ( m1 C = e n + m +C m ) ( C e n + 3m C 3 m 4m m C m + 4m Cm 1 m 3C m m + 4m 1C 3m 1C 3 m m m ) 1C m + m C +C m 3 e 3 n. (1) Selanjutnya dengan mensubsitusikan dengan persamaan (1) ke persamaan (4) dan mengingat e n+1 = x n+1 α maka diperoleh ( m1 C e n+1 = m C + m ) ( C e 3m C 3 n + m 4m + m C m 4m Cm 1 m + m 3C m 4m 1C m + 3m 1C 3 m + m 1C m m C m C 3 ) e 3 n. () Jika m = m 1 +m disubtitusikan ke dalam persamaan () dari definisi orde kekonvergenan [9] maka metode Generalisasi Simpson-Newton memiliki orde konvergensi kubik. 3. BEBERAPA KASUS KHUSUS Pada bagian ini dibahas kasus khusus dari metode Generalisasi Simpson-Newton yang terdapat pada metode iterasi berorde tiga pada persamaan (4). Kasus 1. Jika diambil m 1 = m = m 3 = 1 dan m = 3 maka diperoleh metode Generalisasi Simpson-Newton 1 (GSN 1) dengan bentuk persamaan x n+1 = x n 3f(x) f (x)+f ( xn +y n ). (3) +f (y n ) Kasus. Jika diambil m 1 +m +m 3 = m 1 +m dan m 3 = m 1 maka diperoleh metode Generalisasi Simpson-Newton (GSN ) dengan bentuk persamaan x n+1 = x n (m 1 +m )f(x n. (4) xn +y m 1 f (x n )+m f n +m 1 f (y n ) Repositori FMIPA 5

6 4. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini, dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Newton (MN), metode Newton Titik Tengah (MNTT), metode Newton Aritmatik (MNA), metode Simpson-Newton (MSN), metode Generalisasi Simpson-Newton 1 (GSN 1) dan metode Generalisasi Simpson-Newton (GSN ). Di bawah ini adalah beberapa contoh fungsi dan dua nilai tebakan awal yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut. f 1 (x) = e x +x 0 x 0 = 10.0 dan x 0 = 5.0 f (x) = x 3 x x 0 = 1.5 dan x 0 = 3.0 f 3 (x) = x e x 3x+ x 0 = 3.0 dan x 0 = 5.0 f 4 (x) = xe x 1 x 0 = 3.0 dan x 0 = 4.5 f 5 (x) = x 3 10 x 0 = 3.0 dan x 0 =.0. Dalam menenemukan solusi numerik dari beberapa contoh fungsi di atas, digunakan program Maple 13, dengan menggunakan toleransi dan tebakan awal yang sama untuk masing-masing fungsi yang telah diberikan. Selain itu, dalam menemukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk setiap metode yang dibandingkan, yaitu jika memenuhi salah satu dari kriteria x n+1 x n tol, f(x n+1 ) tol dan jika maksimum iterasi dilebihi. Hasil perbandingan komputasi dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MNTT, MNA, MSN, GSN 1, dan GSN f i x 0 Metode n COC x n x n α MN e 0 MNTT e 39 MNA e MSN e 31 GSN e 4 GSN e 7 f 1 MN e 0 MNTT e 40 MNA e MSN e 38 GSN e 35 GSN e 36 Repositori FMIPA 6

7 f i x 0 Metode n COC x n x n α MN e 17 MNTT e 43 MNA e MSN e 4 GSN e 41 GSN e 41 f MN e 0 MNTT e 40 MNA e MSN e 38 GSN e 37 GSN e 37 MN e 6 MNTT e 5 MNA e MSN e 37 GSN e 1 GSN e 4 f 3 MN e 8 MNTT e 3 MNA e MSN e 0 GSN e 41 GSN e 16 MN e 15 MNTT e 17 MNA e MSN e 41 GSN e 38 GSN e 38 f 4 MN e 17 MNTT e 41 MNA e MSN e 35 GSN e 30 GSN e 3 Repositori FMIPA 7

8 f i x 0 Metode n COC x n x n α MN e 17 MNTT e 40 MNA e MSN e 40 GSN e 40 GSN e 40 f 5 MN e 18 MNTT e MNA e 5.0 MSN e 30 GSN e 37 GSN e 19 Keterangan untuk Tabel adalah, f i menyatakan fungsi ke-i, x 0 menyatakan tebakan awal, n menyatakan jumlah iterasi, COC menyatakan orde konvergensi dari metode secara komputasi, x n menyatakan akar dari fungsi, x n α menyatakan kesalahan. Berdasarkan Tabel jumlah iterasi dari metode Newton (MN), metode Newton Titik Tengah (MNTT), metode Newton Aritmatik (MNA), metode Simpson- Newton (MSN), dan metode iterasi yang baru metode Generalisasi Simpson-Newton 1 (GSN 1), juga metode Generalisasi Simpson-Newton (GSN ) tidak terlihat perbedaan yang signifikan. Hal ini terjadi karena orde kekonvergenan dari masingmasing metode hampir sama, yaitu metode Newton (MN) memiliki orde konvergensi kuadratik sedangkan metode Newton Titik Tengah (MNTT), metode Newton Aritmatik (MNA), metode Simpson-Newton (MSN), metode Generalisasi Simpson Newton 1 (GSN 1), dan metode Generalisasi Simpson-Newton (GSN ) memiliki orde konvergensi kubik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setidaknya metode Generalisasi Simpson-Newton memiliki hasil yang sama dengan metode pembanding lainnya. Oleh karena itu metode baru ini dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. selaku Pembimbing 1 dan Drs. Aziskhan, M.Si selaku Pembimbing yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K.E Elementary Numerical Analysis, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [] Bartle, R.G. & Sherbert, R.D Introduction to Real Analysis, 4 th Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. Repositori FMIPA 8

9 [3] Burden, R.L. & Faires, J. D Numerical Analysis, 9 th Ed. Brooks Cole, Boston, Massachusetts. [4] Faires, J.D. 011 Numerical Analysis, 9 nd Ed. Brooks/Cole, Belmont. [5] Hasanov, V.I., Ivanov. I.G. & Nedjibov,G. 00. A new Modification of newton s Method. Applied Mathematics and Engineering, 7: [6] Jayakumar, J Generalized Simpson-Newton s Method for Solving Nonlinear Equations with Cubic Convergence. IOSR Journal of Mathematics, 7: [7] Mathews, J. H. & Fink, K. D Numerical Methods Using MATLAB, 3 nd Ed. Prentice Hall, New Jersey. [8] Ozban, A.Y Some new Variants of Newton s method. Applied Mathematics Letters, 17: [9] Weerakoon, S. & Fernando, T.G.I A Variant of Newton s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13: Repositori FMIPA 9