METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Ridho Alfarisy 1 ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Ridho Alfarisy 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ridhoalfarisy2010@gmail.com ABSTRACT This article discusses the Chebyshev-Halley method free from second derivative with one parameter, which is a modification of Chebyshev-Halley method with third order convergence. This method has a convergence of sixth order if the value of the parameter is one and of fifth order if the value of the parameter is other than one. For each iteration of this method, four function evaluations are needed, so that the efficiency index for the parameter is = Furthermore, the computational test shows that the discussed method is better than Newton method, Chebyshev method, Halley method, and Super Halley method in terms of the error produced in obtaining the estimated root. Keywords: Chebyshev-Halley method, Newton method, nonlinear equation, order of convergence. ABSTRAK Artikel ini membahas metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan satu parameter yang dimodifikasi dari metode Chebyshev-Halley dengan kekonvergenan orde tiga. Metode ini memiliki kekonvergenan orde enam jika nilai parameter diambil satu dan berorde lima jika nilai parameter diambil selain satu. Pada metode ini, evaluasi fungsi sebanyak empat kali dilakukan untuk setiap iterasinya, sehingga indeks efisiensi untuk parameter yang bernilai satu adalah = Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode yang didiskusikan lebih baik dari pada metode Newton, metode Chebyshev, metode Halley, dan metode Super Halley jika dilihat dari kesalahan metode dalam mendapatkan akar pendekatan. Kata kunci: metode Chebyshev-Halley, metode Newton, persamaan nonlinear, orde konvergensi. JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

2 1. PENDAHULUAN Persoalan matematika yang sering muncul adalah bagaimana menyelesaikan persamaan nonlinear dengan bentuk f(x) = 0. (1) Metode analitik tidak dapat menyelesaikan semua kasus dari persamaan (1), sehingga metode numerik menjadi alternatif. Metode numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1) adalah metode Newton dengan bentuk x n+1 = x n f(x n) f (x n ), f (x n ) 0, n = 0,1,2,, (2) yang memiliki kekonvergenan orde dua [1, h ]. Selain metode Newton, ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1), diantaranya metode Chebyshev [7, h.88], metode Halley [7, h.86] dan metode Super Halley [4]. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan satu parameter, dimodifikasi dari metode Chebyshev-Halley dengan kekonvergenan orde tiga [3] yang bentuk iterasinya diberikan oleh ( x n+1 = x n 1+ 1 ) L f (x n ) f(xn ), n = 0,1,2,, (3) 21 αl f (x n ) f (x n ) dengan L f (x n ) = f (x n)f(x n) (f (x n)) 2. Pembahasan ini terdapat pada artikel yang ditulis oleh Dingfang Li, Ping Liu dan Jisheng Kou [2] dengan judul An Improvement of Chebyshev-Halley Methods Free from Second Derivative. Kemudian dilanjutkan di bagian tiga membuktikan analisa kekonvergenan dan di bagian empat melakukan uji komputasi. 2. METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Pada bagian ini disajikan beberapa definisi dasar untuk pembahasan selanjutnya, kemudian dilanjutkan dengan proses terbentuknya metode iterasi baru. Definisi 1 (Orde Konvergensi) [5] Misalkanbarisanbilanganreal{x n } n=0 konvergenkex dan nyatakan e n = x n x untuk n 0. Jika terdapat konstanta positif p > 0, sehingga lim n x n+1 x (x n x ) p = C 0, maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke x dengan orde konvergensi p. Konstanta C disebut konstanta kesalahan asimtotik (asymptotic error constant ). JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

3 Definisi 2 (Persamaan Tingkat Kesalahan) [5] Apabila notasi e n = x n x merupakan notasi untuk nilai tingkat kesalahan pada iterasi ke-n, maka e n+1 = Ce p n +O(e p+1 n ) disebut sebagai persamaan tingkat kesalahan, dengan nilai p adalah orde konvergensinya. Secara komputasi, orde konvergensi dapat dihitung dengan menggunakan definisi dari COC (Computational Order of Convergence). Definisi 3 (COC) [8] Misalkan x adalah akar dari suatu persamaan nonlinear f(x) = 0, dan x n+1, x n, x n 1 adalah tiga iterasi berturut-turut yang cukup dekat ke akar x. Orde konvergensi secara komputasi COC dapat diaproksimasikan dengan rumus COC ln (x n+1 x )/(x n x ) ln (x n x )/(x n 1 x ). Definisi 4 (Indeks Efisiensi) [6, h. 12] Misalkan p adalah orde konvergensi dari suatu metode iterasi dan w adalah banyaknya fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasinya, maka indeks efisiensi dari metode adalah p 1 w. Metode Chebyshev-Halley Bebas Turunan Kedua dengan Parameter α Penurunan metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α dimulai dengan mengkombinasikan metode pada persamaan(3) dengan metode pada persamaan(2). Jikaz n merupakanmetodepadapersamaan(3), makauntuklangkah iterasi selanjutnya yaitu x n+1 dicari dengan metode pada persamaan (2) sehingga L f (x n ) = f (x n )f(x n ), (4) (f (x n )) ( 2 z n = x n 1+ 1 ) L f (x n ) f(xn ) 21 αl f (x n ) f (x n ), (5) x n+1 = z n f(z n) f (z n ). (6) Turunan kedua f (x n ) yang terdapat pada persamaan (5), dapat ditaksir dengan menggunakan ekspansi Taylor f(y n ) disekitar x n. Diekspansikan sampai orde dua dan mengabaikan orde yang lebih tinggi. Jika y n merupakan metode Newton dengan bentuk y n = x n f(x n) f (x n ), (7) maka setelah disederhanakan diperoleh f(y n ) 1 f (x n )(f(x n )) 2, (8) 2 (f (x n )) 2 JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

4 dari persamaan (8) dapat diperoleh bentuk dari turunan kedua f (x n ) yaitu f (x n ) 2f(y n)(f (x n )) 2 (f(x n )) 2. (9) Persamaan (9) disubtitusikan ke dalam persamaan (4), diperoleh approksimasi L f (x n ) 2f(y n) f(x n ). (10) Kemudian subtitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (5) diperoleh ( z n = x n 1+ f(y n ) f(x n ) 2αf(y n ) ) f(xn ), α R. (11) f (x n ) Selanjutnya, turunan pertama f (z n ) yang terdapat pada persamaan (6), dapat ditaksir dengan menggunakan ekspansi Taylor f (z n ) disekitar x n. Diekspansikan sampai orde pertama dan mengabaikan orde yang lebih tinggi sehingga f (z n ) f (x n )+f (x n )(z n x n ). (12) Subtitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (6) diperoleh x n+1 = z n f(z n )(f(x n )) 2, n = 0,1,2,. (13) f (x n )((f(x n )) 2 +2f(y n )f (x n )(z n x n )) Menggunakan persamaan (7), (11) dan (13) diperoleh metode iterasi tiga langkah baru yang merupakan bentuk dari metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α, yaitu y n = x n f(x n) ( f (x n ), ) f(y n ) f(xn ) z n = x n 1+ f(x n ) 2αf(y n ) f (x n ), α R, (14) f(z n )(f(x n )) 2 x n+1 = z n f (x n )((f(x n )) 2 +2f(y n )f (x n )(z n x n )), n = 0,1,2,. Berdasarkan nilai parameter α metode pada persamaan (14) memiliki keluarga yang berhubungan dengan metode iterasi lain, yaitu jika α = 0 maka disebut metode modifikasi Chebyshev, jika α = 0.5 maka disebut metode modifikasi Halley dan jika α = 1 maka disebut metode modifikasi Super Halley. Selanjutnya akan ditunjukkan orde konvergensi dari metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α. JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

5 3. ANALISA KEKONVERGENAN Teorema 5 Misalkan terdapat fungsi yang terdiferensial secukupnya f : D R R pada interval terbuka D dan mempunyai akar sederhana x D. Jika tebakan awal x 0 cukup dekat dengan akar x, maka metode pada persamaan (14) mempunyai kekonvergenan paling sedikit orde lima, jika α = 1 maka metode pada persamaan (14) mempunyai kekonvergenan orde enam. Bukti: Misalkanx adalahakarsederhanadaripersamaanf(x) = 0makaf(x ) = 0 dan f (x ) 0. Asumsikan e n = x n x, kemudian dengan mengekspansikan f(x n ) disekitar x sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh f(x n ) = f(x )+f (x ) (x n x ) +f (2) (x ) (x n x ) 2 +f (3) (x ) (x n x ) 3 1! 2! 3! +f (4) (x ) (x n x ) 4 +f (5) (x ) (x n x ) 5 +f (6) (x ) (x n x ) 6 4! 5! 6! +O(x n x ) 7. (15) Karena f(x ) = 0 dan e n = x n x, maka persamaan (15) menjadi ( f(x n ) = f (x ) e n + f(2) (x )e 2 n + f(3) (x )e 3 n + f(4) (x )e 4 n + f(5) (x )e 5 n 2!f (x ) 3!f (x ) 4!f (x ) 5!f (x ) ) + f(6) (x )e 6 n +O(e 7 6!f (x ) n), dengan c k = f(k) (x ), k = 2,3,, sehingga k!f (x ) f(x n ) =f (x )(c 1 e n +c 2 e 2 n +c 3 e 3 n +c 4 e 4 n +c 5 e 5 n +c 6 e 6 n +O(e 7 n)). (16) Selanjutnya dengan cara yang sama untuk nilai f (x n ) kembali dilakukan ekspansi Taylor dari f (x n ) disekitar x sehingga setelah disederhanakan diperoleh f (x n ) =f (x )(1+2c 2 e n +3c 3 e 2 n +4c 4 e 3 n +5c 5 e 4 n +6c 6 e 5 n +O(e 6 n)). (17) Kemudian dari persamaan (16) dan (17) diperoleh f(x n ) f (x n ) = (c 1e n +c 2 e 2 n +c 3 e 3 n +c 4 e 4 n +c 5 e 5 n +c 6 e 6 n +O(e 7 n)) (1+2c 2 e n +3c 3 e 2 n +4c 4 e 3 n +5c 5 e 4 n +6c 6 e 5 n +O(e 6 n)). (18) 1 Selanjutnya dengan menggunakan deret geometri 1+r = 1 r+r2 r 3 +, untuk r = 2c 2 e n +3c 3 e 2 n+4c 4 e 3 n+5c 5 e 4 n+6c 6 e 5 n+o(e 7 n), setelah disederhanakan diperoleh hasil dari persamaan (18) sebagai berikut f(x n ) f (x n ) = e n +c 2 e 2 n (2c 2 2 2c 3 )e 3 n ( 4c 3 2 3c 4 +7c 2 c 3 )e 4 n (10c 2 c 4 4c 5 +8c c c 2 2c 3 )e 5 n +( 5c 6 16c c 3 2c 3 +13c 2 c 5 33c 2 c c 3 c 4 28c 2 2c 4 )e 6 n +O(e 7 n). (19) JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

6 Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan (19) ke (7) diperoleh y n = x +c 2 e 2 n (2c 2 2 2c 3 )e 3 n ( 4c 3 2 3c 4 +7c 2 c 3 )e 4 n (10c 2 c 4 4c 5 +8c c c 2 2c 3 )e 5 n ( 5c 6 16c c 3 2c 3 +13c 2 c 5 33c 2 c c 3 c 4 28c 2 2c 4 )e 6 n +O(e 7 n). (20) Kemudian dengan menggunakan persamaan (20) dilakukan ekspansi Taylor dari f(y n ) disekitar x sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi f(y n ) = f (x )(c 2 e 2 n +(2c 3 2c 2 2)e 3 n +( 7c 2 c 3 +3c 4 +5c 3 2)e 4 n +(24c 2 2c 3 +4c 5 12c 4 2 6c c 2 c 4 )e 5 n +(5c 6 +28c c 2 c 5 +37c 2 c c 3 c 4 73c 3 2c 3 +34c 2 2c 4 )e 6 n +O(e 7 n)). (21) Selanjutnya dihitung (f(x n ) 2αf(y n )) menggunakan persamaan (16) dan (21) f(x n ) 2αf(y n ) = f (x )(e n +(c 2 2αc 2 )e 2 n +( 4αc 3 +4αc 2 2)e 3 n +(c 4 +14αc 2 c 3 10αc 3 2 6αc 4 )e 4 n +(c 5 +20αc 2 c 4 +24αc 4 2 8αc 5 +12αc αc 2 2c 3 )e 5 n +(146αc 3 2c 3 +34αc 3 c 4 +c 6 10αc 6 74αc 2 c αc αc 2 c 5 68αc 2 2c 4 )e 6 n +O(e 7 n)). (22) f(y Selanjutnya dihitung (1 + n) f(x n) 2αf(y n) ) dengan menggunakan persamaan (21) dan (22), kemudian dikalikan dengan persamaan (19) dan disederhanakan ( ) f(y n ) f(xn ) 1+ f(x n ) 2αf(y n ) f (x n ) = e n +( 2c αc 2 2)e 3 n +( 7c 2 c 3 +9c α 2 c αc αc 2 c 3 )e 4 n +(44c 2 2c 3 10c 2 c 4 30c αc α 2 c αc αc 2 c 4 76αc 2 2c 3 +8α 3 c α 2 c 2 2c 3 6c 2 3)e 5 n +( 258αc αc 3 c α 2 c c 3 2c 3 104α 3 c α 2 c 2 2c 4 296α 2 c 3 2c αc 3 2c 3 +48α 2 c 2 c αc 2 c α 4 c c 2 c 5 110αc 2 2c 4 +62c 2 2c 4 +70c 2 c α 3 c 3 2c 3 17c 3 c 4 +88c αc 2 c 5 )e 6 n +O(e 7 n). (23) Kemudian subtitusikan persamaan (23) ke (11), diperoleh z n = x ( 2c αc 2 2)e 3 n ( 7c 2 c 3 +9c α 2 c αc αc 2 c 3 )e 4 n (44c 2 2c 3 10c 2 c 4 30c αc α 2 c αc αc 2 c 4 76αc 2 2c 3 +8α 3 c α 2 c 2 2c 3 6c 2 3)e 5 n ( 258αc αc 3 c α 2 c c 3 2c 3 104α 3 c α 2 c 2 2c 4 296α 2 c 3 2c αc 3 2c 3 +48α 2 c 2 c αc 2 c α 4 c c 2 c 5 110αc 2 2c 4 +62c 2 2c 4 +70c 2 c α 3 c 3 2c 3 17c 3 c 4 +88c αc 2 c 5 )e 6 n +O(e 7 n). (24) JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

7 Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (24) dilakukan ekspansi Taylor dari f(z n ) disekitar x f(z n ) = f (x )(( 2αc c 2 2)e 3 n +( 4α 2 c αc c 2 c 3 8αc 2 c 3 9c 3 2)e 4 n +(10c 2 c 4 44c 2 2c 3 +30c c α 2 c 4 2 8αc αc α 2 c 2 2c 3 12αc 2 c 4 8α 3 c αc 2 2c 3 )e 5 n +( 244α 2 c α 3 c 3 2c αc αc 3 2c α 2 c 3 2c 3 84c αc 2 2c 4 62c 2 2c α 3 c αc 2 c α 4 c α 2 c 2 c α 2 c 2 2c 4 24αc 3 c 4 16αc 2 c 5 70c 2 c c 3 c c 3 2c 3 +13c 2 c 5 )e 6 n +O(e 7 n)). (25) Kemudian dihitung f (x n ) = 2f(yn)(f (x n)) 2 (f(x n)) 2 dengan menggunakan persamaan (16), (17) dan (21) sehingga f (x n ) = f (x )(2c 2 +4c 3 e n +(2c 2 c 3 )e 2 n +(4c c 5 4c 2 2c 3 +4c 2 c 4 )e 3 n +(14c 3 c 4 14c 2 c c 2 c 5 6c 2 2c 4 +10c 6 +8c 3 2c 3 )e 4 n +( 24c 3 c 5 +28c 2 2c c 2 c 6 20c 2 2c 5 12c c c 2 c 3 c 4 12c 4 2c 3 +8c 3 2c 4 )e 5 n +( 50c 3 2c c 2 2c 6 +4c 2 c c 4 c c 2 2c 3 c 4 20c 3 c 6 +16c 5 2c 3 42c 2 3c 4 10c 4 2c 4 +42c 2 c c 2 c 3 c 5 +34c 3 2c 5 )e 6 n +O(e 7 n)). (26) Selanjutnya dihitung ( (24), (25) dan (26) sehingga f(z n) f (x n)+f (x n)(z n x n) ) dengan menggunakan persamaan (17), f(z n ) f (x n )+f (x n )(z n x n ) = ( 2αc c 2 2)e 3 n +( 4α 2 c αc c 2 c 3 8αc 2 c 3 9c 3 2)e 4 n +( 42c 2 2c 3 +6c c 2 c 4 +30c αc 4 2 8α 3 c α 2 c α 2 c 2 2c 3 12αc 2 c 4 +74αc 2 2c 3 8αc 2 3)e 5 n +(13c 2 c αc α 3 c α 2 c αc 3 c 4 48α 2 c 2 c α 2 c 2 2c α 2 c 3 2c 3 440αc 3 2c αc 2 2c αc 2 c α 4 c c 3 c c 3 2c 3 58c 2 2c 4 63c 2 c α 3 c 3 2c 3 92c αc 2 c 5 )e 6 n +O(e 7 n). (27) Jika persamaan (24) dan (27) disubtitusikan ke dalam persamaan (13) diperoleh x n+1 = x +( 2c 2 2c 3 +2αc 2 2c 3 )e 5 n +(8αc 2 c 2 3 8αc αc 3 2c 3 +5c 3 2c 3 +4α 2 c 5 2 7c 2 c α 2 c 3 2c 3 +4αc 2 2c 4 4c 2 2c 4 +4c 5 2)e 6 n +O(e 7 n). (28) Karena e n+1 = x n+1 x maka e n+1 =( 2c 2 2c 3 +2αc 2 2c 3 )e 5 n +(8αc 2 c 2 3 8αc αc 3 2c 3 +5c 3 2c 3 +4α 2 c 5 2 7c 2 c α 2 c 3 2c 3 +4αc 2 2c 4 4c 2 2c 4 +4c 5 2)e 6 n +O(e 7 n). (29) Dari persamaan (29) diperoleh metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α memiliki kekonvergenan paling sedikit orde lima dan jika JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

8 α = 1 maka metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua mempunyai persamaan tingkat kesalahan dengan rumus e n+1 = (c 2 c 2 3 c 3 2c 3 )e 6 n +O(e 7 n). Berdasarkan Definisi 2 maka metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan α = 1 memiliki kekonvergenan orde enam. Karena pada setiap iterasinya metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan α = 1 melakukan evaluasi fungsi sebanyak 4 kali, sehingga berdasarkan Definisi 4 indeks efisiensi untuk α = 1 adalah = UJI KOMPUTASI Pada bagian ini, dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Newton (MN), metode Chebyshev (MC), metode Halley (MH), metode Super Halley (MSH), serta metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α yang terdiri dari metode modifikasi Chebyshev (MMC), metode modifikasi Halley (MMH) dan metode modifikasi Super Halley (MMSH). Di bawah ini adalah beberapa contoh fungsi dan nilai tebakan awal beserta akar yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut f 1 (x) = x 2 (2 x) 3 x 0 = 1.1 x = f 2 (x) = (x+2)e x 1 x 0 = 0.5 x = f 3 (x) = 10xe x2 1 x 0 = 1.8 x = f 4 (x) = sin 2 (x) x 2 +1 x 0 = 1.5 x = Dalam menemukan solusi numerik dari beberapa contoh fungsi di atas, digunakan program Maple13 dengan memakai 320 digit. Dalam menemukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya suatu program komputasi, yaitu jika total evaluasi fungsi periterasi (TNFE) lebih besar sama dengan 12. Angka 12 dipilih karena merupakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari banyaknya evaluasi fungsi metode-metode yang akan dibandingkan. Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MC, MH, MSH, MMC, MMH dan MMSH Metode n COC x n f(x n ) x n x f 1, x 0 = 1.1 MN e e 090 MC e e 124 MH e e 131 MSH e e 109 MMC e e 163 MMH e e 173 MMSH e e 319 JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

9 Metode n COC x n f(x n ) x n x f 2, x 0 = 0.5 MN e e 090 MC e e 107 MH e e 130 MSH e e 122 MMC e e 171 MMH e e 182 MMSH e e 320 f 3, x 0 = 1.8 MN e e 058 MC e e 061 MH e e 077 MSH e e 101 MMC e e 117 MMH e e 134 MMSH e e 240 f 4, x 0 = 1.5 MN e e 074 MC e e 084 MH e e 096 MSH e e 147 MMC e e 227 MMH e e 180 MMSH e e 290 Keterangan untuk Tabel 1 adalah, n menyatakan jumlah iterasi, x 0 menyatakan tebakan awal, COC menyatakan orde konvergensi dari metode secara komputasi, x n menyatakan akar dari fungsi, f(x n ) menyatakan nilai fungsi untuk pendekatan akar ke n dan x n x menyatakan kesalahan. Secara umum berdasarkan Tabel 1 semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari semua fungsi yang diberikan. Selanjutnya jika membandingkan nilai kesalahan dan nilai fungsi dari iterasi terakhir pada MC, MH dan MSH yang sama-sama memiliki kekonvergenan orde tiga, dapat dilihat pada Tabel 1 pada contoh f 1 bahwa MH unggul jika dibandingkan dengan MC, tetapi MC lebih unggul dibandingkan MSH. Pada contoh f 2 MH unggul jika dibandingkan dengan MSH, tetapi MSH unggul dibandingkan MC. Selanjutnya pada contoh f 3 dapat dilihat bahwa MSH unggul jika dibandingkan dengan MH tetapi MH unggul dibandingkanmc.kemudianpadacontohf 4 MSHungguljikadibandingkandengan MH, tetapi MH unggul dibandingkan MC. Secara keseluruhan MC, MH dan MSH unggul jika sama-sama dibandingkan dengan MN yang memiliki kekonvergenan lebih kecil yaitu kekonvergenan orde dua. JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari

10 Kemudian jika membandingkan MMH dan MMC yang sama-sama memiliki kekonvergenan orde lima, dapat dilihat bahwa pada contoh f 1, f 2 dan f 3 MMH memberikan nilai kesalahan dan nilai fungsi yang lebih kecil jika dibandingkan dengan MMC, tetapi MMC juga memberikan nilai kesalahan dan nilai fungsi yang lebih kecil jika dibandingkan dengan MMH, dapat dilihat pada contoh f 4. Tetapi, secara keseluruhan MMC dan MMH lebih unggul jika dibandingkan dengan MN, MC, MH dan MSH. Secara keseluruhan dari semua fungsi MMSH unggul jika dibandingkan dengan MN, MC, MH, MSH, MMC dan MMH, jika dilihat dari kecilnya nilai kesalahan dan nilai fungsi yang dihasilkan oleh MMSH pada iterasi terakhirnya. Hal itu terjadi karena MMSH memiliki kekonvergenan yang paling tinggi yaitu kekonvergenan orde enam. UCAPAN TERIMA KASIH Ungkapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs. Rolan Pane, M.Si. dan Bapak Supriadi Putra, M.Si. yang telah meluangkan waktu, pikiran dan tenaga dalam memberikan bimbingan, petunjuk dan pengarahan kepada penulis dalam menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K.E Elementary Numerical Analysis, 2 nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [2] Dingfang, L., Ping, L. & Jisheng, K An Improvement of Chebyshev- Halley Methods Free from Second Derivative. Applied Mathematics and Computation, 235: [3] Gutierrez, J.M. & Hernandez, M.A A Family of Chebyshev-Halley Type Methods in Banach Spaces. Bulletin Aust. Math. Soc, 55: [4] Gutierrez, J.M.& Hernandez, M.A An Acceleration of Newton s Method: Super Halley Method. Applied Mathematics Computation, 117: [5] Sharma, J. R. & Guha. R.K Some Modified Newtons Methods with Fourth-Order Convergence. Advance in Science Research, 2: [6] Traub, J.F Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. [7] Wait, R The Numerical Solution of Algebraic Equation. John Wiley & Sons, Inc., Chicester. [8] Weerakoon, S. & Fernando, T.G.I A Variant of Newtons Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13: JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari