PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL Suatu persamaan iferensial biasa ore n aalah persamaan bentuk : F n, ', '', ''',......, 0 Yang menatakan hubungan antara, fungsi () an turunanna ', '', ''',... sampai turunan ore n. Misalna : '' ' 6e 0 ( i ) ''' ' '' '' 0 ( ii ) Persamaan ( i ) berore ua tetapi eraja satu, seangkan persamaan ( ii ) berore tiga an bereraja ua, karena tampilna turunan ketiga alam pangkat ua. Persamaan iferensial tersebut biasa atau Orinar karena tiak aana turunan parsial. Persamaan iferensial ang memiliki turunan parsial tersebut persamaan iferensial parsial, misalna : M c ab t V V V a b t t cv Sejumlah besar masalah fisika an teknik harus itangani engan persamaan iferensial parsial. Dalam bab ini hana akan kita tinjau persamaan persamaan ang apat iselesaikan untuk turunan tertinggi an itulis alam bentuk : n F,, ', '',...... n PENYELESAIAN Dengan penelesaian khusu iartikan sebuah fungsi f a b, ang memiliki turunan sampai ore n alam interval tersebut, sehinga persamaan (4 ) terpenuhi jika an turunanna isubstusikan alam persamaan tersebut. Maka = e merupakan penelesaian khusus ari persamaan ( i ) seangkan = aalah penelesaian khusus persamaan ( ii ). Untuk kebanakan persamaan ifrensial itemukan bahwa semua penelesaian khusus apat icakup alam satu bentuk f c, c... engan c, c, c n aalah sebarang konstanta, c n PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan iferensial ang itinjau memiliki penelesaian khusus ang apat icakup alam bentuk : f c, c..., Dengan c, c, cn aalah sebarang konstanta. Misalna semua penelesaian ari persamaan ( i) iberikan oleh c e c e Penelesaian = e iperoleh jika c = 0 an c = 0. Jika iperoleh bentuk (4.) ang mencakup semua penelesaian isebut Penelesaian Umum. Untuk persamaan ang ibahas ini iketemukan bahwa jumlah konstanta sama engan ore n. Tampilna sebarang konstanta tiak mengejutkan karena konstanta senatiasa muncul karena integrasi suatu persamaan iferensial ang paling seerhana : c n ' F( ) menghasilk an F C Setelah integrasi, timbul satu konstanta sebarang c = C. Secara umum hal ini berlaku untuk persamaan engan ore tinggi. ' ' 0 menghasilk an 5 c c Setelah ua kali integrasi. Maka jelas bahwa integrasi turunan keua memberikan ua konstanta. PERSAMAAN ORDE SATU DERAJAD SATU Persamaan iferensial ore satu an eraja satu umuna iberikan alam bentuk : F, atau F, Jika ikalikan engan g (,) apat ituliskan alam bentuk M (,) + N (,) = 0 ang isebut Persamaan Diferensial Eksak Jika ipenuhi M N maka (4-4) aalah iferensial ari suatu fungsi z = f (,). i berarti (4-4) sama engan persamaan z = 0 ang mempunai penelesaian umum z = c atau f (,) = c. Uraian ini kita buktikan engan menemukan fungsi c = f (,). PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV
Dengan mengingat ketentuan bahwa M aan N iberikan an memenuhi apat iambil langkah : (i) tegrasikan M terhaap engan tetap. Hasilna : z M Q Dengan Q () aalah fungsi sebarang ari saja. (ii) Natakan A sebagai bea A N M M itukar. N N M M Tetapi M M sehingga M M A N M Akibatna 0 an A bebas ari M N Urutan iferensial apat Sekarang akan kita tentukan Q () sehingga Q ' A N M Setelah ini ilakukan, iperoleh : N M Q' z z Diperoleh : M, an M Q' N z z Sehingga M N z Tinggal menentukan Q ( ) (iii) untuk mencari Q (), integrasikan Q Q N M ' terhaap. Memasukan persamaan ini alam (4-5) memberikan z M N M c CONTOH : Tunjukan bahwa cos + ( sin ) = 0 aalah eksak. Jawab : M = cos an N = sin M N sin an sin. M Jelas N PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV
M. z cos cos cos, sin sin M cos z c aalah penelesaian umum. cos sin PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL VARIABEL TERPISAH Jika persamaan eksak M + N = 0 mempunai sifat bahwa M fungsi M N saja an N fungsi saja, maka 0. i aalah bentuk paling seerhana ari persamaan iferensial eksak, an ikatakan bahwa variable variabelna terpisah. Penelesaian umum apat itulis : M N c CONTOH () Selesaikan ' / k Jawab : atau 0 0 an c c, e c c an c Penelesaian berlaku untuk semua (,) kecuali = 0. () Selesaikan 0 ( ) Jawab : 6 6 e c 0 c PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN 0 an variabel - variabelna terpisah. maka 6c c c Fungsi f (,) isebut homogen engan eraja n alam variable variabelna jika PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 4
n, f, f. Persamaan M (,) + N (,) = 0 isebut homogen jika M (,) an (,) hohogen engan eraja sama. Untuk persamaan homogen ilakukan substitusi v v v. Dengan substitusi ini persamaan homogen ibah menjai bentuk variable variable terpisah an v. () Selesaikan ' Jawab: ' v, substitusi v v v v v v v v 0 v c c untuk 0 (4) Selesaikan = ( ) an 0 Jawab : Persamaan ini homogen erajat ua. Subsitusi = v vv v v v v v v v memberikan v c ( v c 0 ) c, an atau c v Jawab : Persamaan ini homogen erajat ua. Subsitusi = v (5) Selesaikan sin cos 0 sin v (v + v + v ) + v cos v ( v + v v ) = 0 sin v ( v + v ) + v cos v v = 0 sin v cosv v 0 vsin v Maka sin v sin v c an (v sin v ) = C menghasilkan C (6) Selesaikan 0 Jawab : Persamaan ini homogen erajat ua. Subsitusi = v PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 5
v v v v 4v v v v v v Maka v v v v v 0 v v 0 c' v C an ( ) C (7) Selesaikan 0 c' v 0 Jawab : Persamaan apat itulis + ( + ) + = 0 4 (8) Selesaikan e sin e cos 0 4 C Jawab : tegrasi ari e cos e sin 0 Memberikan : (9) Selesaikan + = e sin C Jawab : Bentuk memberikan segesti paa bentuk C atau Persamaan iatas (0) Selesaikan + = c ikalikan Jawab : Kombinasi + memberikan sugesti paa bentuk memberikan () Selesaikan + e 0 Persamaan iatas an C ikalikan Jawab : Dikalikan engan iperloeh + = e e an e e e e C PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 6
arc tan log f f f f f PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU Persamaan iferensial engan bentuk p Q Dengan P an Q aalah fungsi saja, isebut persamaan iferensial linear ore satu. Perlu iperhatikan bahwa turunan an variable tiak bebas hana tampil alam erajat satu. Persamaan ini memiliki factor integrasi S () = an kanan harus ikalikan S () kemuian i integrasikan. CONTOH () Selesaikan ' Jawab : P an S e e / e P Berarti ruas kiri Persamaan ikalikan S memberikan e / ' e / e / e / / / e e e / C e / C Maka ce / PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 7
() Selesaikan cot cosc Jawab : P ) cot an p cot ( sin S( ) e sin sin sin cot sin cose sin cos an sin C PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan iferensial ang tiak linear mungkin apat isusutkan alam bentuk linear engan mengaakan substitusi ang sesuai. Suatu persamaan ang cukup n penting ialah persamaan Bernoulli, berbentuk : P Q Dengan P an Q ialah fungsi ari saja an n sebarang bilangan bukan nol. Tranformasi ilakukan engan substitusi : z n an n Yang menghasilkan persamaan linear. CONTOH () Selesaikan an n. Substitusi z n Jawab: Persamaan ini berbentuk z memberikan menghasilkan Ditulis S e an z e kembali p z e e e e e z z, e n z P,engan P( ) an persamaaan iatas setelah ikalikan. memberikan Maka C karena z berarti p e atau z e z z e z n z e e engan Akhirna iperoleh c e c e PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 8