MAKALAH TURUNAN. Disusun oleh: Agusman Bahri A1C Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.Pd

Transkripsi

1 MAKALAH TURUNAN Disusun ole: Agusman Bari A1C Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.P PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI 2015

2 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan keairat Tuan Yang Maa Esa karena anya atas limpaan ramat an karunia-nya penulis apat menyelesaikan makala Turunan ini ingga selesai. Paa kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasi kepaa Ibu Dra. Irma Suryani, M.P selaku osen pengampu mata kulia Baasa Inonesia yang tela memberi araan an bimbingan kepaa penulis untuk menyusun makala ini. Penulis juga mengucapkan terimakasi kepaa teman-teman yang tela memberikan oa, motivasi, saran an kritik seingga makala ini apat terselesaikan. Penulis menyaari makala ini masi banyak kekurangan baik ari segi penulisan maupun materi penyampaiannya. Dengan menyaari al tersebut maka penulis mengarapkan kritik an saran yang membangun untuk perbaikan selanjutnya. Namun emikian, penulis berarap makala ini apat berguna an bermanfaat alam menamba wawasan an pengetauan bagi berbagai piak yang membutukan. Jambi, Mei 2015 Penulis ii

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...ii DAFTAR ISI...iii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masala Tujuan Penulisan Manfaat Penulisan...2 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Defenisi Turunan Aturan Pencarian Turunan Turunan Fungsi Konstanta Turunan Fungsi Ientitas Turunan Fungsi Pangkat Turunan Kelipatan Konstanta Turunan Penjumlaan an Selisi Turunan Hasil Kali an Hasil Bagi... 7 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Saran...11 DAFTAR PUSTAKA iii

4 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Secara umum Matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola ari struktur, perubaan, an ruang secara informal. Dan apat pula isebut sebagai ilmu tentang bilangan an angka. Matematika merupakan alat yang apat memperjelas an menyeeranakan suatu keaaan atau situasi melalui abstraksi, iealisasi, atau generalisasi untuk suatu stui ataupun pemecaan masala. Conto seerana alam keiupan seari-ari paa saat kita mau mengatur uang belanja bagi ibu ruma tangga, uang saku anak-anak, mengatur uang kiriman bagi anak kost, an lain-lain secara tiak langsung semuanya merupakan bagian ari Matematika, yang mana al itu membutukan suatu pemecaan masala. Ole karena itu, masala tersebut apat icari solusinya engan menggunakan ilmu Matematika, walaupun tiak ipungkiri bawa Matematika anya sebatas ilmu yang ipelajari untuk itu. Paaal jika itelaa lebi menalam, sebenarnya Matematika banyak sekali terapannya, yaitu: alam Fisika, Kimia, Biologi, juga alam biang ilmu sosial, an lain-lain. Kalkulus merupakan sala satu cabang ari ilmu Matematika yang mempelajari tentang al-al yang berubungan engan pencarian tingkat perubaan (pencarian ara/garis singgung paa suatu kurva) an pencarian area yang terletak i bawa kurva. Dan i alam Kallkulus teriri ari beberapa materi, iantaranya aala konsep Turunan (Derivatif). Turunan (erivatif) tiak lain merupakan asil ari suatu proses peniferensialan atau iferensiasi ari suatu fungsi. Jai, turunan erat sekali ubungannya engan iferensial. Jika kita ingin menentukan turunan ari suatu fungsi, maka yang perlu ilakukan aala melakukan peniferensialan fungsi tersebut. Dan asil yang iperole ari proses peniferensilan itu isebut turunan (erivatif). Diferensial membaas tentang tingkat perubaan suatu fungsi seubungan engan perubaan kecil alam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

5 1.2 Rumusan Masala Dari beberapa uraian i atas tulisan ini secara kusus akan membaas tentang. 1. Apaka yang imaksu engan turunan? 2. Notasi apa yang igunakan untuk menyatakan suatu turunan? 3. Bagaimana cara untuk menentukan turunan ari suatu fungsi? 4. Aturan-aturan apa saja yang terapat alam iferensiasi? 1.3 Tujuan Penulisan Dari rumusan masala i atas penulisan makala ini mempunyai tujuan sebagai berikut. 1. Mengetaui efenisi turunan. 2. Mengetaui macam-macam notasi yang apat igunakan untuk menyatakan turunan ari suatu fungsi. 3. Mengetaui cara menentukan turunan ari suatu fungsi. 4. Mengetaui Aturan-aturan yang igunakan alam iferensiasi. 1.4 Manfaat Penulisan Penulisan makala ini apat bermanfaat bagi pembaca sebagai referensi untuk mempelajari ilmu matematika tentang iferensial (turunan) yang merupakan sala satu materi ari suatu cabang ilmu matematika kalkulus. Bagi pelajar sekola menenga, materi turunan ini akan ipelajari paa kelas XI, jai makala ini juga apat bermanfaat bagi siswa sekola menenga sebagai baan acuan untuk pelajaran iferensial. 2

6 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Defenisi Turunan Konsep turunan sebagai bagian utama ari kalkulus ipikirkan paa saat yang bersamaan ole Sir Isaac Newton ( ), ali matematika an fisika bangsa Inggris an Gottfrie Wilelm Leibniz ( ), ali matematika bangsa Jerman. Turunan ( iferensial ) igunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masala alam geometri an mekanika. Menurut Stewart (2001: 146) turunan merupakan perkembangan ari kecepatan an kemiringan garis singgung, turunan apat igunakan untuk memecakan persoalan yang menyangkut laju perubaan an ampiran fungsi. Dari grafik i bawa ini, iketaui fungsi y = f(x) paa interval a < x < a +, seingga nilai fungsi beruba ari f(a) sampai engan f(a + ). Y f(a + ) f(a) f(a + ) f(a) y = f(x) a a + Gambar 2.1 Grafik fungsi f(x). X Perubaan rata-rata nilai fungsi f teraap x paa interval a < x < a + aala f(a+) f(a) (a+) a = f(a+) f(a). Jika nilai makin kecil maka f(a+) f() nilai lim isebut laju perubaan nilai fungsi f paa x = a. Limit ini isebut turunan atau erivatif fungsi f paa x = a. f(x+) f() lim isebut turunan fungsi f i x yang itulis engan notasi f (x), seingga kita perole rumus sebagai berikut:

7 f (x) 0 f(x + ) f(x) Menurut Purcell, kk. (2004: 111) jika limit memang aa, ikatakan bawa f teriferensiasikan i x. Pencarian turunan isebut iferensiasi; bagian kalkulus yang berubungan engan turunan isebut kalkulus iferensial. Conto 2.1 Jika f(x) = 13x 6. Tentukanla nilai f (4) Peneyelesaian f((4) f + ) f(4) (13((4) + ) 6) (13(4) 6) (4) 13(4) (4) + 6 = 13 = 13 Dalam pencarian nilai turunan suatu fungsi, kita akan selalu melibatkan penggunaan limit, sebagaimana ijelaskan ole Purcell, kk. (2004: 112) sebagai berikut. Pencarian turunan selalu melibatkan pengambilan limit suatu asil bagi engan pembilang an penyebut keuanya menuju nol. Tugas kita aala menyeeranakan asil bagi ini seingga apat mencoret faktor ari pembilang an penyebut, lalu kita apat mengitung limitnya engan cara subsitusi. Turunan ari suatu fungsi f(x) atau y teraap x apat inyatakan alam sala satu simbol berikut: Penjelasan y = f (x) = y x = x y = x f(x) = D y xy x 0 x Turunan arus isebutkan secara lengkap turunan y teraap x terlebi jika variabel bebas yang mungkin bukan anya x. Turunan apat ianggap sebagai iferensial variabel tak bebas ibagi iferensial variabel bebasnya. y isebut turunan atau errivative. y isebut iferensial ari y yang artinya perubaan kecil menekati nol ari y. 4

8 2.2 Aturan Pencarian Turunan Dalam pencarian nilai turunan ari suatu fungsi, terapat beberapa aturan yang tela ikembangkan untuk pencarian turunan tanpa menggunakan efenisi secara langsung. Rumus-rumus ini sangat menyeeranakan tugas peniferensialan Turunan Fungsi Konstanta Fungsi konstanta f(x) = c mempunyai grafik fungsi berupa garis menatar y = c, yang memiliki kemiringan 0, seingga kita arus mempunyai f (x) = 0. Bukti: f f(x + ) f(x) c c (x) 0 0 = 0 x (c) = 0 Conto x 7 = 0 x 25 = 0 x 27 = Turunan Fungsi Ientitas Bukti: Jika f(x) = x, maka f (x) = 1 f f(x + ) f(x) x + x (x) 0 1 = 1 x (x) = 1 Conto x 25x = 25 x = 25 1 = 25 x x 27x = 27 x = 27 1 = 27 x 5

9 2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat Jika f(x) = x n, engan n bilangan bulat positif, maka f (x) = nx n 1 Bukti: f (x) 0 f(x + ) f(x) (x+)n xn 0 xn + nxn 1 + [nxn 1 + [nx n 1 + n(n 1) 0 2 n(n 1) x n nx n x n 2 n(n 1) x n 2 + +nx n 2 + n 1 ] 2 x n nx n 2 + n 1 ] Di alam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai sebagai faktor, seingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila menekati nol. Jai x (x)n = nx n 1 Conto x x3 = 3x 3 1 = 3x 2 x x28 = 28x 28 1 = 3x Turunan Kelipatan Konstanta Turunan ari konstanta ikali fungsi aala sama engan konstanta ikali turunan fungsi tersebut, al ini sebagaimana ikatakan ole Stewart (2001: 168) bawa paa waktu fungsi baru ibentuk ari fungsi lama engan cara penambaan, pengurangan, perkalian atau pembagian, turunan apat iitung alam bentuk turunan fungsi yang lama. Kususnya rumus berikut yang mengatakan bawa turunan konstanta kali fungsi aala konstanta kali turunan fungsi tersebut Jika g(x) = cf(x), maka g (x) = cf (x). 6

10 Bukti: g g(x + ) g(x) cf(x + ) cf(x) (x) f(x + ) f(x) c [ ] = c lim = cf (x) 0 [ f(x + ) f(x) ] Untuk conto turunan kelipatan konstanta apat iliat paa conto Turunan Penjumlaan an Selisi Jika F(x) = f(x) ± g(x), maka F (x) = f (x) ± g (x), engan syarat f an g apat iiferensialkan (mempunyai turunan). Bukti: F F(x + ) F(x) [f(x + ) ± g(x + )] [f(x) ± g(x)] (x) f(x + ) f(x) [ ± g(x + ) g(x) ] f(x + ) f(x) g(x + ) g(x) ± lim = f (x) ± g (x) Conto x [12x2 + 3x 6] = x 12x2 + x 3x x 6 = 24x Turunan Hasil Kali an Hasil Bagi Turunan Hasil Kali Jika F(x) = f(x)g(x); f an g keuanya apat iiferensialkan maka F (x) = f(x)g (x) + g(x)f (x) Bukti: x cf(x) = c x f(x) x [f(x) + g(x)] = x f(x) + x g(x) F F(x + ) F(x) f(x + )g(x + ) f(x)g(x) (x) 7

11 Agar apat mengitung limit ini, kita akan memisakan fungsi f an g seperti paa bukti turunan penjumlaan. Kita apat mencapai pemisaan ini engan mengurangkan an menambakan suku f(x + )g(x) paa pembilang: F (x) 0 f(x + )g(x + ) f(x + )g(x) + f(x + )g(x) f(x)g(x) g(x + ) g(x) f(x + ) f(x) [f(x + ) + g(x) ] g(x + ) g(x) f(x + ) f(x) f(x + ) lim + lim g(x) lim 0 0 = f(x)g (x) + g(x)f (x) Conto Tentukanla turunan ari [x(27x + 2)] misal f(x) = x f (x) = 1, an g(x) = 27x + 2 g (x) = 27 x [f(x)g(x)] = f(x)g (x) + f (x)g(x) [x(27x + 2)] = x(27) + (27x + 2)(1) = 27x + 27x + 2 x [x(27x + 2)] = 54x + 2 x Turunan Hasil Bagi Jika F(x) = f(x) ; f an g keuanya apat iiferensialkan maka g(x) F (x) = g(x)f (x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Bukti: x [f(x)g(x)] = f(x) x g(x) + g(x) x f(x) f(x + ) F F(x + ) F(x) g(x + ) f(x) g(x) (x) 0 f(x + )g(x) g(x + )(f(x) g(x + ) g(x) Kita apat memisakan f an g alam ungkapan ini engan cara mengurangkan an menambakan suku f(x)g(x) paa pembilang: 8

12 F (x) 0 f(x + )g(x) f(x)g(x) + f(x)g(x) g(x + )(f(x) g(x + ) g(x) f(x + ) f(x) g(x + ) g(x) g(x) f(x) 0 g(x + )g(x) lim g(x)lim f(x + ) f(x) g(x + ) g(x) limf(x)lim 0 = 0 limg(x + )lim g(x) 0 = g(x)f (x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Conto (27x + 2) x x misal f(x) = 27x + 2 f (x) = 27 an g(x) = x g (x) = 1 x [f(x) g(x) ] = g(x)f (x) f(x)g (x) [g(x)] 2 (27x + 2) x(27) (27x + 2)(1) 27x 27x 2 = x x x 2 = x 2 (27x + 2) = 2 x x x 2 x [f(x) g(x) ] = g(x) x f(x) f(x) x g(x) [g(x)] 2 9

13 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan 1. Turunan merupakan limit ari perbaningan perubaan nilai y teraap perubaan nilai x imana perubaan nilai x menekati 0. Turunan ari suatu fungsi f paa x apat inyatakan alam bentuk rumus berikut: f (x) 0 f(x + ) f(x) 2. Dalam turunan terapat beberapa macam notasi penulisan untuk menyatakan turunan ari suatu fungsi yaitu sebagai berikut: y = f (x) = y x = x y = x f(x) = D y xy x 0 x 3. Turunan apat itentukan engan cara mengambil limit ari suatu asil bagi engan pembilang an penyebut keuanya menuju nol. Kita apat menyeeranakan asil bagi ini seemikian rupa seingga kita apat mencoret faktor pembilang an penyebut yang menekati nol, lalu kita apat mengitung limitnya engan cara subsitusi. 4. Dalam turunan terapat beberapa aturan turunan yang merupakan pengembangan ari penggunaan efenisi umum turunan seingga tiak lagi melibatkan penggunaan limit. Beberapa aturan-aturan turunan iantaranya aala sebagai berikut: Turunan Fungsi Konstanta Turunan Fungsi Ientitias Turunan Fungsi Pangkat x c = 0 x x = 1 x xn = nx n 1 Turunan Fungsi Kelipatan Konstanta x cf(x) = c x f(x)

14 Turunan Penjumlaan an Selisi x [f(x) ± g(x)] = x f(x) ± x g(x) Turunan Hasil Kali an Hasil Bagi Turunan asil kali Turunan asil bagi x [f(x) g(x)] = x f(x)g(x) + f(x) x g(x) x [f(x) g(x) ] = g(x) x f(x) f(x) x g(x) [g(x)] Saran Dalam penulisannya makala ini apat ijaikan sebagai referensi untuk mempelajari iferensial. Makala ini berisi tentang pengertian ifererensial an beberapa aturan turunan. Namun aturan-aturan turunan yang aa i alam makala ini belumla lengkap, aturan-aturan turunan yang terapat i alam makala ini anyala beberapa aturan asar yang irasa penting untuk ipelajari ole pembaca. Penulis menyaari bawa paa makala ini masi banyak terapat kekurangan ole karena itu penulis sangat mengarapkan kritik an saran ari pembaca seingga penulis apat memperbaiki kekurangan paa makala ini seingga apat bermanfaat baik bagi pembaca maupun bagi penulis seniri. 11

15 DAFTAR PUSTAKA Degeng, I.W Kalkulus Lanjut: Persamaan Diferensial & Aplikasinya. Jakarta: Graa Ilmu Purcell, E.J. kk Kalkulus Jili I, Eisi 8. Jakarta: Erlangga Soeyarto, Nugroo an Maryanto Matematika Untuk SMA an MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Peniikan Nasional Stewart, James Kalkulus Jili I, Eisi 4. Jakarta: Erlangga