BAB I PENDAHULUAN. Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB I PENDAHULUAN. Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas"

Suharto Kurnia
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika asar II merupakan matakuliah lanjutan ari matematika asar I yang telah ipelajari paa semester sebelumnya. Matematika asar II juga merupakan matakuliah pengantar bagi beberapa jurusan yang akan mempelajari mengenai matematika terapan misalnya Fakultas Teknik. Jika awalnya ari matematika asar mahasiswa sulit untuk memahaminya maka paa matematika terapan mahasiswa juga akan mengalami kesulitan. Proses perkuliahan i kampus sangatlah minim, karena waktu yang tiak cukup an banyak mahasiswa yang malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat i tuntut untuk memiliki keterampilan ialam mempelajari seniri semua materi yang ipelajari. Dengan ikungnya sistem perkuliahan SCL maka mahasiswa sangat ituntut aktif alam perkuliahan maupun aktif mencari bahan materi yang akan i pelajari. Makalah ini merupakan salah satu syarat ialam mengikuti atau melakuakan iskusi alam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhaap bahan kuliah menjai maksimal. B. Tujuan 1. Menjelaskan pengunaan aturan rantai; 2. Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit; 3. Menjelaskan penyelesaian iferensial total. C. Manfaat 1. Mahasiswa apat memahami penyelesaian turunan engan aturan rantai baik itu a variabel maupun banyak variabel; 2. Mahasiswa apat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit a variabel atau lebih; 3. Mahasiswa apat memahami penyelesaian iferensian total a variabel atau lebih. 1

2 BAB II PEMBAHASAN A. Aturan Rantai Aturan rantai merupakan suatu aturan yang igunakan untuk mencari Turunan fungsi komposisi. 1. Aturan rantai a variabel Misalkan u aalah fungsi a peubah ari x an y yang teriferensial, iefinisikan melalui persamaan u= f(x,y), x= F(r,s) an y= G(r,s) serta turunan turunan parsial /r, /s, /r, /r semuanya aa, maka u aalah fungsi ari r an s maka iperoleh rumus aturan rantai yaitu: = r = s + r s + r s Diketahui u= x 2 + y 2 ; x= re s ; an y= re s Maka tentukanlah:,,,,,, r s r s r = 2x = 2y, an s r = es r = e-s s = res s = - re-s = r + r r =( 2x)(es ) + (2y)( e -s ) = 2xe s + 2ye -s = s s + s =(2x)( res )+ (2y)( - re -s ) = 2x re s - 2y re -s = r (2xe s - 2ye - s ) 2

3 2. Aturan rantai tiga variabel Jika x=x(t), y=y(t), an z=z(t) fungsi yang ifferensiabel i t, an w=f(x, iferensiabel i titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) ifferensiabel i t, an w t x Jika iketahui U= 3x 2 + 5y 2 + 2z 2 engan x= 3s 2 + 2t, y= 4s- 2t 3, z= 2s 2 3s 2 Maka tentukanlah s = 6x t y t = 10y z z t an t z = 4z = 6s = 4 z = 4s = 2 s s s t t = 6t 2 z t = 6t t = s = s + s + z = 6x 6s + 10y 4 + 4z 4s z s = 36xs + 40y + 16zs = s4 9x + 4z + 40y t + t + z z t = 6x y ( 6t 2 ) + (4Z)(-6t) = 8x 60yt 2 24zt = 8x 10yt + 4z 6t 3. Aturan rantai n variabel Misalkan u aalah fungsi teriferensian ari n peubah x 1, x 2, x n ; seangkan masing masing peubah x 1 aalah fungsi ari m peubah y 1, y 2,.. y m. Jika semua turunan parsial i j (i = 1,2, K, n; j = 1,2, K, m) aa, maka u aalah fungsi ari y 1, y 2,.. y m. jai apat kita peroleh rumus berikut: = n n 1 2 = n n 2. 3

4 m = 1 1 m m + + n n m B. Turunan Parsial Fungsi Implisit 1. Turunan fungsi implisit a variabel Hasil ini igunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Anaikan F(x,y)=0, imana y fungsi implisit ari x, sehingga bisa icari F x F y asalkan F 0 Diketahui x 3 + y 2 x- 3= 0 tentukan..! (x3 + y 2 x- 3)= 0 3x 2 + 2xy + y2 = 0 2xy = - 3x2 - y 2 =(- 3x2 - y 2 ) / 2xy = - (3x2 + y 2 )/2xy 2. Turunan fungsi implisit tiga variabel Jika F(x,=0 fungsi implisit, fungsi a variabel x an y F + F = 0 atau seemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y alam omain fungsi, maka z Fx x F Tentukan z z z Fy y F an z ari fungsi implisit xy z2 + 2xyz = 0 z ifferensiabel 4

5 a. (xy z2 + 2xy = 0 Y+ 2yz c. (xy z z2 + 2xy = o = 2xy 2z z b. (xy z2 + 2xy = 0 = x + 2xz Jai z = y+2yz 2xy 2z z an = x+2xz 2xy 2z Misalkan f(x, = x 3 e y+z ysin (x-=0 maka tentukan z (x3 e y+z ysin (x-)= 0 = 3x 2 e y+z ycos (x- z (x3 e y+z ysin (x-)= 0 z = x 3 e y+z + ycos (x- Jai z = (3x2 e y+z ycos (x-)/ x 3 e y+z + ycos (x- 3. Turunan fungsi implisit empat variabel Jika F(x,=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y an z iferensiabel seemikian hingga w=f(x,, untuk setiap x,y an z alam omain fungsi, maka Fx x F Tentukan w, w w, an ari fungsi implisit z 2x2 w + 3y 2 z + zwyx + w 2 = 0 w Fy y F w Fz z F w 5

6 (2x2 w + 3y 2 z + zwyx + w 2 )= o = 4xw + zwy (2x2 w + 3y 2 z + zwyx + w 2 ) = o = 6yz + zwx z (2x2 w + 3y 2 z + zwyx + w 2 )= 0 = z 3y2 + wyx w (2x2 w + 3y 2 z + zwyx + w 2 )= 0 = w 2x2 + zyx +2w Jai: w = (4xw + zwy) / 2x2 + zyx +2w w = (6yz + zwx)/ 2x2 + zyx +2w w z = - ( 3y2 + wyx)/2x 2 + zyx +2w C. Diferensial Total 1. Diferensial total a variabel Misalkan z= f(x,y), engan f suatu fungsi yang tereferensial, an anaikan an isebut iferensial ari x an y. iferensial ari peubah tak bebas z isebut juga iferensial total ari f an itulis f(x,y), maka apat iefenisikan sebagai berikut: z = f x, y = fx x, y + fy x, y 1). Misalkan z = x 2 y 2 + x 3 +y 3 x maka tentukanlah iferensial totalnya. Jawab z = f x, y = fx x, y + fy x, y = (2xy 2 + 3x 2 + y 3 ) + (2x 2 y +3y 2 x) - ½ (x + Y) 2). Tentukan iferensial total untuk z= e z = f x, y = fx x, y + fy x, y = ( - ½ e ½ (x + y ) ) + (-1/2 e -1/2( x + y ) ) 6

7 2. Diferensia total tiga variabel Misalkan fungsi w = f(x, aalah fungsi tiga peubah, maka iferensia total ari f inyatakan alam bentuk w = w x w w + + y z z 1). Carilah iferensial total ari w= 2x 2 y + y 2 x z +xz 2 w = w x w w + + y z z = (4xy +y 2 z +z 2 ) + (2x 2 + 2yx + (y 2 x + 2 x z 2). Suatu balok mempunyai panjang 20 cm engan kesalahan pengukuran 0,01 cm, lebar 15 cm engan kesalahan pengukuran 0,02 cm an tinggi 10 cm engan kesalahan pengukuran 0,01 cm. tentukanlah nilai penekatan kesalahan pengukuran terbesar ari volume balok serta tentukan kesalahan relatifnya alam persentase! Misalkan panjang balok = x, lebar = an tinggi = maka volume balok = x y z. nilai kesalahan sesungguhnya aalah V atau V sebagai nilai penekatan untuk V. Jai V = V x V V + + y z z = yz + xz + xy z Diketahui x = 0,01, y = 0,02 an z = 0,01 jai kesalahan pengukuran paa panjang balok = 0,01 lebar = 0,02 an tinggi =0,01. Jai V = yz + xz + xy z = , , ,01 = 1, = 8,5 cm Jai V 8,5 cm 3 artinya kesalahan terbesar yang mungkin terjai paa pengukuran volume balok aalah 8,5 cm 3. Kemuian iketahui: V = xyz = = 3000 cm 3 Jai kesalahan relative ari pengukuran volume balok aalah 7

8 V 8,5 100% = 100% = 0,0028 x 100% = 0,28% V Diferensial total n variable Jika z = f( x 1, x 2,. x n ) maka z = f x f x f x n n Jika f(x 1, x 2,. x n ) = c maka f = 0, catatan x 1, x 2,. x n bukan merupakan variabel inepenent. 8

9 A. Kesimpulan 1. Aturan rantai Aturan rantai a variabel = + r r r = s s + s Aturan rantai tiga variabel w z t x t y t z t Aturan rantai n variabel = n BAB III PENUTUP n 1 2 = n n 2. m = 1 1 m m + + n n m 2. Turunan Parsial Fungsi Implisit D. Turunan fungsi implisit a variable E. Turunan fungsi implisit tiga variable F. Turunan fungsi implisit empat variable Fx x Fw 3.Diferensial total F x F y z Fx x F Fy y F w z z Fy y F Fz z F w z Diferensial total a variabel Diferensia total tiga variabel z = f x, y = fx x, y + fy x, y w = w x w w + + y z z 9

10 Diferensial total n variable z = f x f x f x n n B. Saran Saran ari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan kembali asar asar materi yang aa alam makalah ini, karena masih banyak mahasiswa yang belum memahami asar asar yang mestinya iketahui sebelum mempelajari makalah ini. Sehingga sulit buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang aa alam makalah ini. Saran buat teman teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak belajar seniri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tiak akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga i saat proses perkuliahan berlangsung kiranya teman teman memperhatikan engan sungguh sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal. 10

11 DAFTAR PUSTAKA Team osen matematika Matematika asar II. Makassar: Unhas

dokumen-dokumen yang mirip

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Salah satu metoe yang cukup penting alam matematika aalah turunan (iferensial). Sejalan engan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak igunakan untuk biang-biang rekayasa