Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic

Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg-111 edisi Juli 11 http://www.ee-cafe.org Alamat pos: Kanaakan D-3, Bandung, 4135. Fa: (6) () 534117 ii

Bab 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan fungsi besaran. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan = f () (1.1) Perhatikan bahwa penulisan = f () bukanlah berarti sama dengan f kali, melainkan untuk menatakan bahwa merupakan fungsi dari ang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah akan memiliki nilai jika kepada kita berikan suatu nilai. dan adalah peubah (variable) ang dibedakan menjadi peubah-takbebas () dan peubah-bebas (). Peubah-bebas adalah simbol dari suatu besaran ang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas memiliki nilai ang tergantung dari nilai ang dimiliki. Dilihat dari nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran ang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis L T = L (1+ λt ) dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebalikna, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturna makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalna, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturna. Walaupun nilai di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi. 1

1.. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Dalam kebanakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nata ang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a < < b Ini berarti bahwa bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, ang dapat kita gambarkan sebagi berikut: a b a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a < b ang kita gambarkan sebagai a b Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a b 1.3. Kurva, Kekontinuan, Simetri Kurva. Fungsi = f () dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari ke arah kiri sampai + ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu- atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

menggambarkan nilai-nilai pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah memiliki nilai ang berupa bilangan-nata. 3 Q[-,] 1-4 -3 - -1 1 3 4 III -1 IV R[-3,-3] II - -3 P[,1] S[3,-] -4 Gb.1.1. Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nata dapat dinatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1,, 3,...adalah bilangan-nata bulat; 1,586 adalah bilangan-nata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas, ang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilaina adalah 3,14159654. Selain sumbu- ditetapkan pula sumbu- ang tegak lurus pada sumbu-, memanjang ke arah ke bawah dan + arah ke atas, ang melewati titik referensi di sumbu- dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu- dengan sumbu- merupakan titik referensi ang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [,]. Pada sumbu- ditetapkan juga satuan skala seperti halna pada sumbu-, ang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nata di sumbu-. Besaran fisik ang dinatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu- tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-; misalna sumbu- menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu- menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu- dan sumbu-, selanjutna kita sebut bidang -, akan terbagi dalam 4 kuadran, aitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1. I 3

Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita natakan posisina sebagai K[ k, k ], dengan k dan k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu- dan di sumbu- dari titik K ang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalna, posisi empat titik ang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[,1], Q[-,], R[-3,-3] dan S[3,-]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nata akan berkaitan dengan satu titik di bidang -. Dengan cara inilah pasangan nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi = f() dapat divisualisasikan pada bidang -. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi di bidang -, dan kurva ini memiliki persamaan = f(), sesuai dengan pernataan fungsi ang divisualisasikanna. Contoh: sebuah fungsi =, 5 (1.) Setiap nilai akan menentukan satu nilai. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai dan akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. Tabel-1.1. -1 1 3 4 dst. -,5,5 1 1,5 dst. Fungsi =, 5 ang memiliki pasangan nilai dan seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [,] dan memiliki kemiringan tertentu (ang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah =, 5.,5 R 1,5 Q 1,5 P -,5-1 1 3 4 Gb.1.. Kurva dari fungsi =, 5 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Dengan contoh ini, relasi (1.) ang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan aitu persamaan dari kurva ang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai jika diketahui nilai, dan sebalikna kita juga dapat memperoleh nilai jika diketahui nilai. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi =, 5 membentuk kurva dengan persamaan =, 5 di bidang -. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-,5], Q[,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris. Kekontinuan. Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Sarat untuk terjadina fungsi ang kontinu dinatakan sebagai berikut: Suatu fungsi = f() ang terdefinisi di sekitar = c dikatakan kontinu di = c jika dipenuhi dua sarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di = c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) = f ( c) c ang kita baca limit f() untuk menuju c sama dengan f(c). Contoh: Kita lihat misalna fungsi = 1/. Pada = fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/ tidak dapat kita tentukan berapa nilaina; lim f ( ) tidak terdefinisi jika menuju nol. Kedua persaratan c kekontinuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinu di =. Hal ini berbeda dengan fungsi ang terdefinisikan di = (lihat selanjutna ulasan di Bab-3) sebagai = u( ), = 1 untuk = untuk < 5

ang bernilai untuk < dan bernilai 1 untuk. Perhatikan Gb.1.3. 1 = 1/ -1-5 5 1 = 1/ -1 Tak terdefinikan di =. 1 = u() Gb.1.3. Fungsi Terdefinisikan di = = 1/ dan =u() Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; b) jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. d) jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,]. Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. Kurva =,3 simetris terhadap sumbu-. Jika kita ganti nilai = dengan = -, nilai tidak berubah karena berpangkat genap. Kurva =,5 3 simetris terhadap titik-asal [,]. Di sini 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika diganti dan diganti. Kurva + = 9 simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. =,3 6 3 tidak berubah bila diganti tidak berubah jika dan diganti dengan dan -6-3 3 6-3 + = 9 =,5 3 tidak berubah jika diganti dan diganti dengan dan -6 dan dipertukarkan diganti dengan Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi ang memiliki simetri. 1.4. Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanakan dinatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas secara eksplisit dinatakan dalam, seperti = f (). Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai tidak diberikan secara eksplisit dalam. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit. = 1 + = = 1 + + = 8 (1.3) 7

Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat - dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh ang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat ang akar-akarna adalah ( = + + = 8 + + 8), 1 ± = 4( 8) Nilai 1 dan dapat dihitung untuk setiap ang masih memberikan nilai nata untuk. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai 4( 8) = ± (1.4) ang merupakan bentuk pernataan eksplisit = f (). Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.5. 8 4-4 - 4-4 Gb.1.5. Kurva -8 = ± 4( 8) 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 1). =,5. Pada fungsi ini setiap nilai hana memberikan satu nilai. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu- namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang. 8 6 4-1 1 3 4 Gb.1.6. Kurva =,5 ). = +. Pada fungsi ini, hana mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7. 1,6 1,,8,4,5 1 1,5 Gb.1.7. Kurva = + 9

3). =. Peubah tak-bebas hana mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhna kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva = +. Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana mengambil nilai baik positif maupun negatif., 1 1,5 -,4 -,8 4). = log1. -1, -1,6 Gb.1.8. Kurva = Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baikna kita mengingat kembali tentang logaritma. log 1 adalah logaritma dengan basis 1; log 1 a berarti berapakah 1 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi = log1 berarti 1 = 1 = log 1 1= ; = log 1 1= 3 ; 3 = log 1 =,313;...dst. Kurva fungsi = log1 terlihat pada Gb.1.9.,8,4 -,4 1 3 4 -,8 Gb.1.9. Kurva = log1 1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

5). = =. Fungsi ini berlaku untuk nilai negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa tidak hana sama dengan, melainkan ±. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.1. Gb.1.1. Kurva = = Fungsi Bernilai Banak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banak. 1). Fungsi = ±. Perhatikan bahwa ada dua nilai untuk setiap nilai. Sesungguhna bernilai ± dan bukan hana saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika hana mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh dan 3 pada fungsi bernilai tunggal. 1,5 1,5 -,5-1 4 3 1-4 -3 - -1 1 3 4,5 1 1,5,5 3-1,5 - Gb.1.11. Kurva = ± 11

). Fungsi 1 =. Fungsi ini bernilai banak; ada dua nilai untuk setiap nilai. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.1. 1 5-5 1 3-1 Gb.1.1. Kurva = 1/ = ± 1/ 1.6. Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Fungsi dengan banak peubah bebas tidak hana tergantung dari satu peubah bebas saja,, tetapi juga tergantung dari peubah bebas ang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas dan t dinatakan sebagai = f (, t) (1.5) Sesungguhna dalam peristiwa fisis banak fungsi ang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banak, misalna persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi () dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banak sebagai w= f (,, z, u, v) (1.6) untuk menatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas,, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banak juga mungkin bernilai banak, misalna 1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

ρ = + + z (1.7) Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hana meninjau nilai positif dari ρ dan kita natakan fungsi ang bernilai tunggal ini sebagai ρ =+ + + z (1.8) 1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinatakan sebagai P(,) maka dalam koordinat polar dinatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah = r sinθ ; = r cosθ ; r = + θ = tan 1 ( / ) Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13. rcosθ θ r Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar. P rsinθ 13

1.8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi = f () mungkin juga dituliskan sebagai = (t) = (t) (1.1) jika dan masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi ang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter. 1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hana akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hana pada bilangan nata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak dicakup oleh buku ini. Bahasan dari Bab- mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16 mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-17. 14 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Bab Fungsi Linier.1. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.1] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb..1. berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-, dalam rentang nilai dari sampai +. 5 = 4-5 5-4 = 3,5 Gb..1. Fungsi tetapan (konstan): = 4 dan = 3, 5... Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus Persamaan (.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus ang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-, dengan kurva seperti terlihat pada Gb..1. Kurva ang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu- adalah kurva ang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan terhadap perubahan, atau kita tuliskan "delta " kemiringan= m =, dibaca : (.) "delta " 15

Dalam hal garis lurus, rasio memberikan hasil ang sama di titik manapun kita menghitungna. Artina suatu garis lurus hana mempunai satu nilai kemiringan, aitu ang diberikan oleh m pada fungsi = m. Gb... berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus ang semuana melewati titik-asal [,] akan tetapi dengan kemiringan ang berbeda-beda. Garis = lebih miring dari =, 5, garis = lebih miring dari = dan jauh lebih miring dari =, 5, dan ketigana miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis ang ke-empat memiliki m negatif 1,5 dan ia miring ke bawah (menurun). 8 6 4-1 - 1 3 4-4 -6 = = -1,5 Gb... Empat contoh kurva garis lurus = m. Secara umum, persamaan garis lurus ang melalui titik-asal [,] adalah = m (.3) dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun)..3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis = =,5 Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [,] melainkan memotong sumbu- misalna di titik [,]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan. Setiap nilai pada garis ini untuk suatu nilai, sama dengan nilai pada garis ang melalui [,], aitu =, ditambah. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai = +. Perhatikan Gb..3. 16 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

1 8 6 4-4 Gb..3. Garis lurus melalui titik [,], kemiringan. Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu- di [,b] adalah ( b) = m (.4) b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu- positif (ke atas) ang berarti garis memotong sumbu- di atas titik [,]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu- negatif (ke bawah); ia memotong sumbu- di bawah titik [,]. Secara singkat, b pada (.4) menunjukkan pergeseran kurva sepanjang sumbu-. Kita lihat sekarang garis ang memiliki kemiringan dan memotong sumbu- di titik [a,], misalna di titik [1,]. Lihat Gb..4. Dibandingkan dengan garis ang melalui titik [,] aitu garis =, setiap nilai pada garis ini terjadi pada (1) pada garis = ; atau dengan kata lain nilai pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai pada garis = dengan (1). Contoh: =,8 pada garis ini terjadi pada = 1 dan hal ini terjadi pada = ( 1 1) pada kurva =. 8 = + = -1-1 3 4 6 = 4 =( 1) -1 1 3-1 1 1 4-4 Gb..4. Garis lurus melalui titik [1,]. 17

Secara umum persamaan garis ang melalui titik [a,] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan pada persamaan = m dengan (a). Persamaan garis ini adalah = m( a) (.5) Pada persamaan (.5), jika a positif garis = m tergeser ke arah sumbu- positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu- negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (.5) menunjukkan pergeseran kurva sejajar sumbu-. Pada contoh di atas, dengan tergeserna kurva ke arah kanan dan memotong sumbu- di titik [1,] ia memotong sumbu- di titik [,-]. Suatu garis ang titik perpotonganna dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringanna diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringanna adalah ( ) m= = = = 1 1 dan persamaan garis adalah = (.6) Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (.4), dengan memberikan m = dan b =. Secara umum, persamaan garis ang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,] dan [,b] adalah Contoh: 8 6 4-4 = m+ b -1 1 3 4 - b dengan m= (.7) a garis memotong sumbu di, dan memotong sumbu di 4 4 Persamaan garis: = + 4= + 4 18 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Bagaimanakah persamaan garis lurus ang tidak terlihat perpotonganna dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik ang ada pada garis tersebut. Lihat Gb..5. Pada Gb..5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, aitu ( 1) m= = (.8) ( 1 ) 8 6 4-4 [ 1, 1 ] [, ] -1 1 3 - Gb..5. Garis lurus melalui dua titik. Persamaan (.8) ini harus berlaku untuk semua garis ang melalui dua titik ang diketahui koordinatna. Jadi secara umum harus berlaku 1 m= (.9) 1 Dengan demikian maka persamaan garis ang memiliki kemiringan ini adalah 1 = m( 1 ) (.1) Persamaan (.1) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m ang diberikan oleh (.9), bergeser searah sumbu- sebesar 1 dan bergeser searah sumbu- sebesar 1. Contoh: Carilah persamaan garis ang melalui dua titik P(5,7) dan Q(1,). 19

P Q 7 Kemiringan garis ini adalah m = = = 1, 5 p Q 5 1 Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis ang melalui titik asal = 1, 5. Persamaan garis dengan kemiringan ini dan melalui titik P(5,7) adalah 7= 1,5( 5) = 1,5 6,5+ 7 = 1,5+,75 Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi = f () akan tergeser sejajar sumbu- sebesar 1 skala jika diganti dengan ( 1 ), dan tergeser sejajar sumbu- sebesar 1 skala jika diganti dengan ( 1 ) = f () menjadi = f ( 1) atau 1 = f ( ) (.11) Walaupun (.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung ang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutna. Contoh: 8 6 4-4 = -1-1 3 4 kurva semula + = (pergeseran searah sumbu-) atau = ( 1) (pergeseran +1 searah sumbu-) Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumna, aitu persamaan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(1,). Persamaan garis dengan kemiringan 1,5 dan melalui titik asal adalah = 1, 5. Garis ini Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

harus kita geser menjadi ( b) = 1,5( a) agar melalui titik P dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik ang diketahui, P(5,7) dan Q(1,). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan 7 b= 1,5(5 a) dan b= 1,5(1 a) Dari sini kita akan mendapatkan nilai a =,6 dan juga b =,75 sehingga persamaan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(1,) dapat diperoleh, aitu,75= 1, 5 atau = 1,5( +,6). Garis ini memotong sumbu- di +,75 dan memotong sumbu- di,6..4. Perpotongan Garis Dua garis lurus 1= a1 + b1 dan = a+ b berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi 1 = sehingga b b 1 P = a1 a P = a1p + b1 Contoh: a + 1P + b1 = ap b atau P = ap + b Titik potong dua garis 1= + 3 dan = 4 8 1 = + 3= 4 8 = 11 (.1) 11 P = = 5,5 ; P = + 3= 5,5+ 3= 14 atau P = 4 5,5 8= 14 Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5),. Perhatikan Gb..6. berikut ini. 1

3 1 1-1 -5 5 1-1 P Koordinat P memenuhi persamaan 1 maupun. - -3 Gb..6. Perpotongan dua garis. Jika kedua garis memiliki kemiringan ang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di. Contoh: Dua garis 1= 4+ 3 dan = 4 8 adalah sejajar..5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis m = tanθ (.13) dengan θ adalah sudut ang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu- atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb..7. 5 m=tanθ θ 5 5 Gb..7. Panjang per skala sama di sumbu- dan. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Sesungguhna formulasi (.13) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ ang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarna; jika pembagian tidak sama besar sudut θ ang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarna sehingga sudut θ sebenarna harus dihitung dari formula (.13) dan bukan dilihat dari grafik..6. Domain, Kekontinuan, Simetri Pada fungsi linier = m( a) + b, peubah akan selalu memiliki nilai, berapapun. Peubah bisa bernilai dari sampai +. Fungsi ini juga kontinu dalam rentang tersebut. Kurva fungsi = m simetris terhadap titik asal [,] karena fungsi ini tak berubah jika diganti dengan dan diganti dengan..7. Contoh-Contoh Fungsi Linier Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva ang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi ang biasa kita jumpai dalam praktik rekaasa. 1). Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan. F = ma ; a adalah percepatan Jika tidak ada gaa lain ang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai v ( t) = v + at v kecepatan gerak benda, v kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah v ( t) = at ) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V, dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar 3

Elektron ang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adana medan listrik sebesar anoda V E= l a= ee a adalah percepatan ang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah v k = at 3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa ang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang merupakan fungsi linier dari. dengan k adalah konstanta pegas. F = k 4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus ang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi V i = GV =, dengan G= 1 R R G adalah tetapan ang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.persamaan ini juga bisa dituliskan V = ir ang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinatakan dengan R= ρl A 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral ] l katoda

ρ disebut resistivitas bahan logam. Kerapatan arus dalam logam adalah atas kita peroleh j= i A = V RA 1 = ρ i j= dan dari persamaan di A V l = σe dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ adalah konduktivitas bahan logam. Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau dv gradien dari V ang kita tuliskan E=. Mengenai pengertian d gradien akan kita pelajari di Bab-9. 5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadina difusi, aitu penebaran materi menembus materi lain, adalah adana perbedaan materi masuk di a C a konsentrasi. Situasi ini analog dengan C peristiwa aliran muatan listrik di mana faktor pendorong a untuk terjadina aliran muatan adalah perbedaan tegangan. materi keluar di Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi ang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai dc J = D d D adalah koefisien difusi, dc/d adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C dan C bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick Pertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi. 5

Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hana berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menadari bahwa fungsi linier bukan hana sekedar pernataan suatu garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi ang banak dijumpai dalam praktik rekaasa. Soal-Soal 1. Tentukan persamaan garis-garis ang membentuk sisi segi-lima ang tergambar di bawah ini. 5 4 3 1-5 -4-3 - -1 1 3 4 5-1 5 3 - -3-4 -5 1 4. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer-1 di atas. 3. Carilah persamaan garis ang a) melalui titik asal (,) dan sejajar garis ; b) melalui titik asal (,) dan sejajar dengan garis 3. 4. Carilah persamaan garis ang melalui a) titik potong 1 dan titik potong 3 4 ; b) titik potong 3 4 dan titik potong 1 5 ; c) titik potong 1 dan titik potong 4 5. 5. Carilah persamaan garis ang a) melalui titik potong 1 5 dan sejajar dengan garis ; b) melalui titik potong 4 5 dan sejajar dengan garis 1. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Bab 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau ang lain. Artina waktu, temperatur, tekanan dan lainna itu menjadi peubah bebas,, sedangkan besaran fisis ang tergantung padana merupakan peubah tak bebas,. Pada umumna perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik. 3.1. Fungsi Anak Tangga Fungsi tetapan membentang pada nilai dari sampai +. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan ang muncul pada = dan membentang hana pada arah positif, kita memerlukan fungsi lain ang disebut fungsi anak tangga satuan ang didefinisikan bernilai nol untuk <, dan bernilai satu untuk dan dituliskan sebagai u (). Jadi u( ) = 1 untuk = untuk < (3.1) Jika suatu fungsi tetapan = k dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain ang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), aitu = ku() (3.) Fungsi anak tangga (3.) bernilai nol untuk <, dan bernilai k untuk. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi = 3,5u ( ) dan fungsi =,5u( ) ang bernilai nol untuk < dan bernilai 3,5 dan,5 untuk. 7

5 = 3,5 u() -5 5-4 =,5 u() Gb.3.1. Fungsi anak tangga. Fungsi anak tangga seperti (3.) dikatakan mulai muncul pada = dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga ang baru muncul pada = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinatakan dengan mengganti peubah dengan ( a). Dengan demikian maka fungsi anak tangga = ku( a) (3.3) merupakan fungsi ang mulai muncul pada = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu- dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-. Gb.3.. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini. 5 = 3,5 u(1) -5 1 5-4 Gb.3.. Kurva fungsi anak tangga tergeser. Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai ang terdefinisi di =. Oleh karena itu fungsi ini kontinu di =, berbeda dengan fungsi = 1/ ang tidak terdefinisi di = (telah disinggung di Bab-1). 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

3.. Fungsi Ramp Telah kita lihat bahwa fungsi = a berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [,], membentang dari = - sampai = +. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk <, ang dapat diperoleh dengan mengalikan a dengan fungsi anak tangga satuan u() (ang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk < ). Jadi persamaan fungsi ramp adalah = au() (3.4) Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan. Fungsi ramp tergeser adalah = a( g) u( g) (3.5) dengan g adalah pergeseranna. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagian 1 = a( g) adalah fungsi linier tergeser sedangkan = u( g) adalah fungsi anak tangga satuan ang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan 1= u( ), fungsi ramp = u( ), dan fungsi ramp tergeser 3= 1,5( ) u( ). 3.3. Pulsa 6 5 4 3 1 = u() 1 = u() -1 1 3 4 Gb.3.3. Ramp satuan 1 = u(), ramp = u(), ramp tergeser 3 = 1,5(-)u(-). 3 = 1,5(-)u(-) Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai 1 tertentu dan menghilang pada > 1. Bentuk pulsa ini dapat dinatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, ang memiliki amplitudo sama tetapi 9

berlawanan amplitudo dan berbeda pergeseranna. Persamaan umumna adalah = au( 1 ) au( ) (3.6) 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga ang pertama dan adalah pergeseran fungsi anak tangga ang ke-dua, dengan > 1. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah ang memberikan bentuk pulsa, ang muncul pada = 1 dan menghilang pada =. Selisih ( 1 ) disebut lebar pulsa lebar pulsa= 1 (3.7) Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo, ang muncul pada = 1 dan menghilang pada =, ang persamaanna adalah = u( 1) u( ) = { u( 1) u( ) } lebar pulsa 1 1 =u(-1) 1 + = u(-1)-u(-) -1 1 3 4-1 =-u(-) - Gb.3.4. Fungsi pulsa u(-1)-u(-) Apa anga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, aitu = { u( 1) u( ) }, adalah pulsa beramplitudo 1 ang muncul pada = 1 dan berakhir pada =. Secara umum pulsa beramplitudo A ang muncul pada = 1 dan berakhir pada = adalah = A{ u( 1 ) u( ) }; lebar pulsa ini adalah ( 1 ). Contoh lain: Pulsa ang muncul pada =, dengan lebar pulsa 3 = 4 u( ) u( 3). dan amplitudo 4, memiliki persamaan { } 3 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Fungsi pulsa memiliki nilai hana dalam selang tertentu aitu sebesar lebar pulsana, ( 1), dan di luar selang ini nilana nol. Oleh karena itu fungsi apapun ang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hana dalam selang di mana fungsi pulsana juga memiliki nilai. Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa perioda Gb.3.5. Deretan Pulsa. Peubah biasana adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol t off. Satu perioda T = t on + t off. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah ton rr pulsa = maks (3.8) T dengan maks adalah amplitudo pulsa. 3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa. Persamaan umumna adalah { ( ) u( )} = mu( ) A u 1 (3.9) dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis = ma { u ) u( )} ( 1 Perhatikan bahwa u ( ) = 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp 1= u( ) dengan fungsi pulsa = 1,5{ u( 1) u( 3) } ang hana memiliki nilai antara = 1 dan = 3. Perhatikan bahwa hasil kalina hana memiliki 31

nilai antara = 1 dan = 3, dengan kemiringan ang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp. 1 3 = 1 = 3 = u( ) 1,5{ u( 1) u( 3) } { u( 1) u( 3) } 8 6 4 3 = 1 1 =u() =1,5{u(-1)-u(-3)} -1 1 3 4 5 Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp 1 dan pulsa. Perkalian fungsi ramp 1 mu( ) = dengan pulsa = 1{ u( ) u( b) } membentuk fungsi gigi gergaji = ( m 1) { u( ) u( b) } ang muncul pada t = dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7). 1 8 1 =mu() 6 4 3 = 1 =m{u()-u(-b)} ={u()-u(-b)} b -1 1 3 4 5 Gb.3.7. Kurva gigi gergaji Seperti halna pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasana terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8. Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah rr gigi - gergaji = maks (3.1) 3 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

dengan maks adalah nilai puncak gigi gergaji. 6 4 1 3 4 5 Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik. 3.5. Gabungan Fungsi Ramp Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk = au( ) + b( 1) u( 1 ) + c( ) u( ) +... (3.11) Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, 1= u( ) dan = ( ) u( ) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari =, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi ang pertama pada saat mencapai =. 1 1 8 6 4 - -4-6 -8 1 =u() 3 = u() ()u() 1 3 4 5 = ()u() Gb.3.9. Gabungan ramp 1 dan ramp tergeser. Gb.3.1. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, 1= u( ) dan = 4( ) u( ). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan 33

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi ang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan 3 = 1 + akan menurun mulai dari =. 15 1 5-5 -1 1 =u() = 4()u() 3 = u() 4()u() 1 3 4 5 Gb.3.1. Gabungan ramp 1 dan ramp tergeser. Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa pulsa = u( 1) u( 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb.3.11. 15 1 5 5 1 3 4 5-5 -1 = 4(-)u(-) 3 = {u() 4(-)u(-)}{u(-1)-u(-3)} 1 =u() Gb.3.11. Kurva {u() 4u()}{u(-1)-u(-3)} Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.1. Gb.3.1. Gelombang segitiga. 34 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika ang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalna, kita jumpai dalam osciloscope. 3.6. Domain, Kekontinuan, Simetri Fungsi anak tangga satuan ang tergeser = u( a) hana mempunai nilai untuk a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi ang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hana memiliki nilai pada rentang a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinu. Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hana fungsi ang memiliki sumbu- sebagai sumbu simetri ang akan tetap simetris terhadap sumbu- apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan ang tergeser. 35

Soal-Soal Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai pada bentuk gelombang sinal dalam rangkaian listrik. 1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini : a) 1 : maks = 5, muncul pada =. b) : maks = 1, muncul pada = 1. c) 3 : maks = 5, muncul pada =.. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini. a). 4 = 1+ ; b). 5 = 1+ 3 ; c). 6 = 1+ + 3 3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada =. b). Amplitudo 1, lebar pulsa, muncul pada =1. c). Amplitudo 5, lebar pulsa 3, muncul pada =. 4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik ang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 1, lebar pulsa, perioda 5. 5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 1 dan perioda,5. 6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 5 perioda 1 3 4 5 6 3 perioda 5 1 3 4 5 6 5 36 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Referensi 1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963-1964. 3. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN 979-999-54-3,. 4. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book, 1. 5. Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material 1, e-book, 1. 37