Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 2 Darpublic

2 BB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f, dengan satuan Hertz (1 Hz = 1 siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T maka 1 f = (7.1) T Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T ), adalah 2π ω = 2πf = (7.2) T Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) dituliskan sebagai 2πt y = cosωt= cos (7.3) T Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi sinus y = sin(x) atau fungsi cosinus cos(x) dengan x sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan fungsi cosinus cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 7-1

3 Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.2. π 2πt y = cos ωt = sinωt= sin 2 (7.4) T y T t - Gb.7.1. Fungsi cosinus y 2πt y = cosωt= cos T T t - Gb.7.2. Fungsi sinus 2πt π y = sinωt= sin = cos ωt T 2 Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah cosω 2πt ( t T ) = cos s s T T 2πT 7-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

4 y T T s t - Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran adalah T s. Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama. Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3) yang dapat pula kita tuliskan cos ω cos ( t ) T s ( ωt ω ) Pada penulisan terakhir ini, ωt s mempunyai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutnya 2πTs ϕ =ωts = (7.5) T disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan ( ω ϕ) T s cos t (7.6) 7-3

5 Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus Kombinasi Fungsi Sinus. Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. tau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f, dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf. Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang menyusunnya. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f. Frekuensi f kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T = 1/f. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f o ), harmonisa ketiga (3f ), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyai frekuensi nf Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya. Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen tersebut. 7-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

6 4 y y t t -4 y = 3 cos 2f t -4 y = cos 2f t y t cos 2πft 2cos(2π(2 f) t) y = 1+ 3cos 2π ft 2cos(2π(2 f) t+ π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan dengan persamaan ( 2πf t) + 15sin( 2π(2 f ) t) 7,5 cos( 2 (4 f ) t) 1+ 3 cos π Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena y(t) = cos(2πft) = jika f =. Komponen sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada. Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 7-5

7 di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, yaitu y = cos( 2πft+ ϕ). Dengan menggunakan kesamaan sin( 2πft ) = cos(2πft π / 2) dan cos( 2πft ) = cos(2πft+ π) persamaan fungsi di atas dapat kita tulis y = 1+ 3 cos(2πft) + 15 cos(2π2 ft π / 2) + 7,5cos(2π4 ft+ π) Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi f 2 f 4 f mplitudo ,5 Sudut fasa π/2 π Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu :, f, 2f, dan 4f. mplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 1, 3, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f, 2f dan 4f berturut turut adalah, π/2, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b). 7-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

8 4 mplitudo Frekuensi [ f ] Gb.7.5.a. Spektrum mplitudo 2π Sudut Fasa π/ π/2 2π Frekuensi [ f ] Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu. Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut : cos(2πf t π / 2) + cos(2π3 ft π / 2) 3 + cos(2π5 ft π / 2) + cos(2π7 ft π / 2) Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. 7-7

9 Frekuensi: f 2f 3f 4f 5f.. nf mplitudo: /3 /5.. /n Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2.. -π/2 Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisanya. a) b) c) d) e) Gb.7.1. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21. Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk yang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 7-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

10 frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2% dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width). 7-9

11 Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum 1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini dalam format cosinus cos( x xs ) : a). mplitudo 1, puncak pertama terjadi pada x =, frekuensi siklus 1 siklus/skala. b). mplitudo 1, puncak pertama terjadi pada x =,2, frekuensi siklus 1 siklus/skala. c). mplitudo 1, pergeseran sudut fasa o, frekuensi sudut 1 rad/skala. d). mplitudo 1, pergeseran sudut fasa +3 o, frekuensi sudut 1 rad/skala. 2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini 4+ 5sin 2π2t 2cos 2π4t+,2sin 2π8t Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, tentukan lebar pita fungsi ini. 3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. o 3cos(2π1t 6 ) - 2sin2π2t+ cos2π8t 4. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. 1 cos1t+ 2cos3t + cos5t +.2 cos15t+,2 cos 5t 5. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. 1+ 1cos 2π5t + 3cos 2π1t + 2cos 2π15t+,2cos 2π2t 7-1 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral