F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN
|
|
- Siska Kurnia
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait antara variabel ang satu dengan variabel ang lain ditunjukkan oleh suatu fungsi. Penjelasan mengenai fungsi serta kegunaanna dalam ekonomi akan Anda jumpai di dalam modul ini. Modul ini dimulai dengan penjelasan mengenai sumbu koordinat dan cara-cara menggambar grafik dari suatu fungsi, meskipun Anda mungkin pernah mempelajari bagaimana mencari persamaan suatu garis lurus dari beberapa titik ang diketahui, dalam modul ini hal tersebut akan dibicarakan lagi sehingga Anda akan lebih memahami konsep ini. Karena seperti disebutkan di atas bahwa kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi ang saling pengaruh-mempengaruhi, dan proses saling pengaruhmempengaruhi ini dapat diselidiki dengan menggunakan fungsi, maka pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan ang sia-sia. Fungsi ang akan dibicarakan dalam modul ini dilandasi oleh teori himpunan ang terdapat dalam modul sebelumna. Penjabaran-penjabaran dari fungsi selanjutna akan dibahas dalam modul-modul berikutna. Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu untuk memahami fungsi linear beserta penggunaanna dalam ekonomi. Setelah selesai mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: a. mendiskripsikan dan mengidentifikasikan konstan, dan variabel. b. menggambar grafik suatu garis. c. mencari gradien suatu fungsi. d. mencari persamaan garis lurus.
2 3.2 Matematika Ekonomi 1 e. menentukan dua buah garis lurus apakah berimpit, sejajar, berpotongan atau saling tegak lurus. f. mencari koordinat titik potong dua garis lurus.
3 ESPA4112/MODUL Kegiatan Belajar 1 F u n g s i A. LETAK SUATU TITIK Suatu titik ang terletak di sebuah bidang datar dapat ditentukan letakna dengan menggunakan garis penolong ang disebut Sumbu Koordinat. Sumbu koordinat adalah garis lurus ang saling berpotongan tegak lurus. Garis ang horisontal biasana disebut sumbu x dan ang vertikal disebut sumbu. Dikatakan biasana, karena sumbu tersebut tidak harus dinamakan dengan x dan. Suatu Contoh misalna, dalam literatur ekonomi sumbu x sering dinamakan sumbu Q dan sumbu P untuk sumbu. Perpotonngan antara sumbu x dengan sumbu disebut titik origin atau titik asal atau titik nol. Disebut demikian karena jarak pada sumbu selalu dihitung mulai dari titik asal ini. Simbol untuk origin adalah O. + Kuadran II Kuadran I 0 x + Kuadran III Kuadran IV Diagram 3.1 Sumbu x ang ada di sebelah kanan 0 dan sumbu ang berada di atas 0 digunakan untuk nilai ang positif dari himpunan nilai x di sumbu x dan nilai di sumbu, sedangkan untuk himpunan nilai ang negatif digunakan sumbu x ang berada di sebelah kiri 0 dan sumbu ang berada di sebelah bawah 0. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian. Setiap bagian dinamakan kuadran. Masing-masing kuadran diberi nomor secara berurutan
4 3.4 Matematika Ekonomi 1 dimulai dari bidang sebelah atas kanan sebagai kuadran I, kemudian dengan arah menurut kebalikan arah putaran jarum jam ditentukan kuadran II, kuadran III dan IV (lihat gambar di atas). Jadi, suatu bidang datar dibagi oleh sumbu koordinat menjadi empat kuadran. Suatu titik, ang sebidang dengan sumbu koordinat, letakna ditentukan oleh suatu pasangan urut (x, ). Anggota pertamana dinamakan koordinat x atau absis dan anggota keduana dinamakan koordinat atau ordinat. Suatu titik (a,b) ang mana a > 0 dan b > 0 menunjukkan bahwa x = a dan = b. Titik ini dapat dilukiskan dengan bergeser dari origin a unit ke kanan dan b unit ke atas. Titikna ditentukan oleh perpotongan dua garis ang ditarik dari kedudukan ang baru karena pergeseran tadi dan sejajar dengan sumbu koordinat. Contoh 3.1: Titik (3,2) menunjukkan bahwa x = +3 dan = +2. Titik ini didapat dengan bergeser ke kanan 3 unit dari origin dan dibuat garis ang sejajar sumbu, kemudian dari origin bergeser 2 unit ke atas dan dibuat garis ang sejajar sumbu x. Maka diperoleh letak titik (3,2) pada kuadran I dan selanjutna titik ini dapat diberi nama, misalna titik A. Kuadran I 2 A(3,2) x O Diagram 3.2 Contoh 3.2: Titik (-2,4) menunjukkan bahwa x = -2, = +4, dan dapat diperoleh dengan bergeser dari origin 2 unit ke kiri (ke arah negatif) dan kemudian 4 unit ke atas. Maka diperoleh letak titik (-2,4) pada kuadran II dan misalna titik ini dinamakan titik B.
5 ESPA4112/MODUL B(-2,4) 4 Kuadran II x Diagram 3.3 Contoh 3.3: Titik (-4,-4) menunjukkan bahwa x = -4, = -4 dan gambarna seperti berikut ini: x Kuadran III 2 3 C(-4,-4) 4 Diagram 3.4 B. FUNGSI Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan urut dengan anggota-anggota pertama pasangan urut ang dinamakan wilaah (domain) dan anggota-anggota kedua pasangan urut ang dinamakan jangkau (range),
6 3.6 Matematika Ekonomi 1 dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut ang anggota pertamana sama. Ada 3 cara untuk menunjukkan suatu fungsi aitu: a. Cara daftar lajur b. Cara penulisan dengan lambang c. Cara grafik Contoh-Contoh untuk menunjukkan suatu fungsi dengan cara-cara tersebut di atas adalah sebagai berikut: Contoh 3.4: Fungsi ditunjukkan dengan cara daftar lajur. X Y Lajur pertama mengandung elemen-elemen pertama pasangan urut dan lajur kedua mengandung elemen kedua pasangan urut. Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut ang anggota pertamana sama. Anggota kedua pada himpunan pasangan urut bisa terjadi sama. Contoh 3.5: Fungsi ditunjukkan dengan cara lambang: a. = x 2-2x atau b. f(x) = x 2-2x atau c. f(x, ) ialah fungsi ang pasangan urutna (x, x 2-2x) atau d. {(x, ) = x 2-2x } Cara penulisan dengan lambang ang sering dipakai adalah cara a atau b, karena lebih singkat bila dibandingkan dengan cara ang lain.
7 ESPA4112/MODUL Contoh 3.6: Fungsi ditunjukkan dengan cara grafik. Misalkan fungsi ang akan dilihat grafikna adalah = x 2-2x. Agar supaa grafikna dapat dilukis, maka harus dibuat dahulu daftar lajurna kemudian menentukan letak titik-titikna menurut pasangan urutna. Grafik dari fungsi diperoleh dengan menghubungkan titik-titik tersebut. X Y 0 X (1, -1) Diagram 3.5 C. KONSTANTA DAN VARIABEL Suatu fungsi biasana terdiri dari konstanta dan variabel. Konstanta adalah jumlah ang nilaina tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstanta dapat dibedakan menjadi konstanta absolut dan konstanta parametrik atau parameter. Konstanta absolut, adalah jumlah ang nilaina tetap untuk segala macam masalah, misalna jumlah penduduk pada tahun tertentu untuk setiap
8 3.8 Matematika Ekonomi 1 masalah biasana dianggap sama. Jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1997 misalna sebanak 200 juta. Apabila kemudian ada ang membahas pendapatan perkapita negara Indonesia, atau kesehatan penduduk Indonesia pada tahun 1997, maka jumlah penduduk pada saat itu dianggap sebanak 200 juta orang. Konstanta parametrik atau parameter adalah jumlah ang mempunai nilai tetap pada suatu masalah akan tetapi dapat berubah pada masalah ang lain. Variabel adalah jumlah ang nilaina berubah-ubah pada suatu masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas adalah variabel ang nilaina menentukan nilai fungsi, atau himpunan ang anggotana adalah anggota pertama pasangan urut. Variabel tak bebas adalah variabel ang nilaina sama dengan nilai fungsi setelah variabel bebas ditentukan nilaina, atau himpunan ang anggotana adalah anggota kedua pasangan urut. Contoh 3.7: Pada persamaan garis lurus = a + bx, maka a dan b adalah konstanta, x adalah variabel bebas dan adalah variabel tak bebas. Contoh 3.8: Pada persamaan garis lurus x + = 1, angka 1 adalah konstanta absolut, a a b dan b adalah parameter, x dan adalah variabel. Dalam matematika murni, biasana huruf-huruf permulaan susunan alphabet seperti a, b, c, d, digunakan untuk lambang parameter, dan huruf-huruf akhir susunan alphabet seperti x,, z digunakan untuk lambang variabel. Akan tetapi pada matematika terapan banak pengecualian dari konvensi ini. Variabel seringkali diberi lambang huruf pertama dari namana. Contohna, p untuk harga (price), q untuk kuantitas (quantit), c untuk ongkos (cost), s untuk tabungan (saving) dan lain-lainna. Contoh 3.9: Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan D = 10-3P ; D dan P adalah variabel. D menunjukkan demand (permintaan) dan P menunjukkan price (harga).
9 ESPA4112/MODUL Agar lebih mudah memahami apa ang telah dibahas di atas, maka berikut ini diberikan contoh-contoh penggunaanna. Contoh 3.10: Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(1,6), B(-3,4), C(-4,-5), D(3,-6) B A x C D Diagram 3.6 Contoh 3.11: Gambarkan titik-titik (0,0); (1,1); (2,2) dan (3,3). Tunjukkan bahwa titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.
10 3.10 Matematika Ekonomi x Diagram 3.7 Bila titik-titik tersebut di hubungkan satu sama lain, ternata titik-titik terletak pada sebuah garis lurus. Contoh 3.12: Hitung jarak antara titik-titik A(0,2) dan B(-3,-2) A O x B C AC = 4, BC = 3 Diagram 3.8 ABC adalah segitiga siku-siku. Kemudian dengan dalil Phtagoras dapat dihitung:
11 ESPA4112/MODUL AB = AC + BC AB = AB = 25 AB = 5 Jadi AB = 5 Contoh 3.13: Hitung jarak antara titik-titik (1,1) dan (3,4) 4 B A C 0 x 1 2 Diagram 3.9 AC = 2, BC = 3 ABC adalah segitiga siku-siku. Dengan menggunakan dalil Phtagoras dapat dihitung: 2 2 AB = AC + BC AB = AB = 13 Contoh 3.14: Apabila diketahui = f(x) = 4 + x - x 2 berapakah f(0), f(-2), f(3), f(-1)? f(0) = 4 + (0) - (0) 2 = 4
12 3.12 Matematika Ekonomi 1 f(-2) = 4 + (-2) - (-2) 2 = = -2 f(3) = (3) 2 = = - 2 f(-1) = 4 + (-1) - (-1) 2 = = 2 Contoh 3.15: Apabila = f(x) = 3x /(x 2-1) a. Berapakah f(0), f(-3), f(4)? b. Apakah nilai x = 1 dan x = -1 boleh dimasukkan ke dalam fungsi? 1) f(0) = 3.0 /(0 2-1) = 0 f(-3) = 3.(-3)/(-3) 2-1) = -9/8 f(4) = 3.4 /(4 2-1) = 12/15 2) Nilai x = 1 dan x = -1 tidak boleh dimasukkan ke dalam fungsi karena f(x) nilaina menjadi tak tentu. Contoh 3.16: Apabila = ax 2 + bx + c, di mana a, b dan c adalah konstanta. Berapakah f(0), f(1), f(a), f(a+b)? f(0) = a.0 + b.0 + c = c f(1) = a b.1 + c = a + b + c f(a) = a.a 2 + b.a + c = a 3 + ab + c f(a + b) = a(a + b) 2 + b (a + b) + c = a (a 2 + 2ab + b 2 ) + ab + b 2 + c = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ab + b 2 + c
13 ESPA4112/MODUL Contoh 3.17: Gambarkan fungsi = 3-2x untuk jangkau x = -3 sampai x = 4. X
14 3.14 Matematika Ekonomi 1 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(4,3), B(3,-4), C(-3,-2), D(-4,2) 2) Gambarkan titik-titik (0,8), (2,4), (4,0) dan (6,-4)! Tunjukkan bahwa titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus. 3) Hitung jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3)! 4) Hitung jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1)! 5) Apabila f(x) = 9 - x 2, berapakah f(0), f(2), f(-2), f(3). Petunjuk Jawaban Latihan 1) 3 A(4,3) D(-4,2) O 3 4 x C(-3,-2) -4 B(3,-4)
15 ESPA4112/MODUL ) x ) AB = ) AC = 2 BC = 4 = 25 = AB = AC + BC = = = 20 = 2 5 5) f (x) = 9 - x 2 f (0) = 9 f (2) = 5 f (-2) = 5 f (3) = 0 RANGKUMAN Sumbu koordinat adalah dua garis lurus ang saling berpotongan tegak lurus. Perpotongan antara kedua sumbu tersebut dinamakan titik origin atau titik asal atau titik nol. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 kuadran.
16 3.16 Matematika Ekonomi 1 Suatu titik letakna ditentukan oleh koordinat X atau absis dan koordinat Y atau ordinat. Fungsi adalah himpunan pasangan urut dan dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut ang anggota pertamana sama. Fungsi dapat ditunjukkan dengan 3 cara aitu: cara daftar lajur, cara penulisan dengan lambang dan cara grafik. Konstan adalah jumlah ang nilaina tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstan dapat dibedakan menjadi konstan absolut dan parameter. Variabel adalah jumlah ang nilaina berubah-ubah pada suatu masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas. 1) Jarak antara titik A(2, 0) dan B(-1, 4) adalah. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2) Jarak antara titik P(0, 1) dan Q(5, 6) adalah. A. 2 5 B. 5 2 C. 5 D. 10 TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! 3) Jika diketahui f(x) = x 2 3x, maka besarna f(2) adalah. A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 4) Jika diketahui = f(x) = x x 2 + 5, maka besarna f(3) adalah. A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
17 ESPA4112/MODUL ) Jika diketahui = f(x) = x 3 3x, maka besarna f(-2) adalah. A. -1 B. -2 C. 2 D. 14 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian ang belum dikuasai.
18 3.18 Matematika Ekonomi 1 Kegiatan Belajar 2 Fungsi Linear A. FUNGSI LINEAR Bentuk umum dari fungsi linear adalah: ax + b + c = 0 Di mana a, b dan c adalah konstan dengan ketentuan bahwa a dan b bersama-sama tidak bernilai nol. Persamaan ini disebut linear dalam x dan sedangkan grafik persamaan ini merupakan sebuah garis lurus. Koordinat x dan dari setiap titik (x, ) ang terletak pada garis lurus, harus memenuhi persamaan garis tersebut. Garis lurus ang ditarik melalui titik-titik ang koordinat - koordinatna memenuhi persamaan disebut grafik persamaan atau lokus persamaan. Cara ang termudah untuk menggambar suatu grafik garis lurus ang diketahui persamaanna adalah dengan mencari penggal - penggal garis sumbu ang dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang penggal garis sumbu di ukur dari titik origin sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik ang ditentukan oleh pasangan = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu pula perpotongan garis lurus dengan sumbu merupakan suatu titik ang ditentukan oleh pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua titik potong tersebut digambar, maka garis lurus ang dicari adalah garis ang melalui kedua titik tersebut. Contoh 3.18: Gambarkan garis dengan persamaan 3x + 4 = 12 Langkah pertama adalah mencari titik potong garis dengan sumbu x dan sumbu. Titik potong dengan sumbu x diperoleh bila = 0. Untuk = 0, maka 3x = 12 atau x = 4. Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0). Titik potong dengan sumbu diperoleh bila x = 0 Untuk x = 0, maka 4 = 12 atau = 3. Jadi titik potong dengan sumbu adalah (0, 3). Kemudian kedua titik potong tersebut digambar dan dihubungkan dengan garis lurus.
19 ESPA4112/MODUL Garis lurus itu adalah garis ang persamaanna adalah 3x = 0 dan merupakan garis ang melalui titik (4, 0) dan (0, 3). 3 3x + 4 = x Diagram 3.11 B. CURAM Setiap garis lurus mempunai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan oleh curam (gradien) ang didefinisikan sebagai tangens dari sudut ang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Sudut ang dibentuk oleh garis di titik A dengan sumbu x misalna dinamakan sudut. Jika pada garis tersebut ditentukan sebuah titik sembarang B dan kemudian melalui B dibuat garis tegak lurus ke sumbu x dan memotong sumbu x di titik C, maka curam garis dapat didefinisikan sebagai: BC m = tg α = AC B A α C x Diagram 3.12
20 3.20 Matematika Ekonomi 1 Untuk sudut ang besarna lebih dari 90 0, maka m bernilai negatif, sehingga: m = tg α = BC - AC Untuk garis ang sejajar dengan sumbu x, curamna sama dengan nol atau: m = tg 0 = 0 C. BENTUK DUA TITIK Persamaan suatu garis lurus dapat ditentukan bila diketahui koordinat dua titik ang terletak pada garis tersebut atau apabila diketahui curam garisna dan sebuah titik ang terletak di garis tersebut. Ada beberapa rumus ang dapat digunakan untuk mencari persamaan suatu garis lurus. Rumus mana ang harus digunakan, tentuna tergantung pada masalah ang sedang dihadapi. Garis lurus mempunai sifat bahwa curam garisna adalah konstan. Curam dapat ditentukan dengan menggunakan dua titik ang terletak pada sebuah garis lurus. Misalna ada dua buah titik sembarang A (x 1, 1 ) dan B (x 2, 2 ) ang terletak di garis lurus. (lihat gambar berikut ini). 2 B 1 A D α C E 0 x 1 x 2 x Diagram 3.13
21 ESPA4112/MODUL Curam garis tersebut adalah : m = tg α akan tetapi dengan menggunakan ilmu ukur, dapat dibuktikan bahwa BC BD = EC AD Padahal BD = 2-1 dan AD = x 2 - x 1, sehingga: 2-1 m = tg α = x2- x1 Selanjutna bila diambil sebuah titik sembarang (x,) dan bersama titik (x 1, 1 ), digunakan lagi untuk mencari curam garis, maka besarna curam garis adalah - 1 m = tg α = x - x1 Karena sifat suatu garis lurus mempunai curam ang konstan, maka itu berarti dua curam ang dicari tadi besarna pasti sama. Jadi x - x = x2- x1 atau dapat ditulis : = (x - x1) x - x 2 1 Persamaan di atas, merupakan persamaan garis lurus ang melalui titik A(x 1, 1 ) dan titik B(x 2, 2 ). Contoh 3.19: Cari persamaan garis ang melalui titik (3,2) dan titik (4,5). Misalkan (x 1, 1 ) = (3,2) dan (x 2, 2 ) = (4,5)
22 3.22 Matematika Ekonomi = (x - x1) x2- x = (x - 3) = 3(x -3) = 3x atau = 3x -7 (persamaan ang dicari) Untuk membuktikan bahwa garis tersebut melalui titik (3, 2) dan (4, 5), maka masukkan (3,2) ke dalam = 3x -7 2 = 3(3)-7 2 = 2 (terbukti) Masukkan (4,5) ke dalam = 3x -7 5 = 3 (4) -7 5 = = 5 (terbukti). Karena terbukti melalui (3,2) dan (4,5), maka persamaan = 3x-7 adalah persamaan ang dicari. D. BENTUK PENGGAL GARIS Untuk kasus tertentu di mana titik (x 1, 1 ) merupakan penggal x ang ditunjukkan oleh (a,0) dan titik (x 2, 2 ) merupakan penggal ang ditunjukkan oleh (0,b), maka persamaan garisna diperoleh dengan memasukkan x 1 = a, 1 = 0 dan x 2 = 0, 2 = b ke dalam persamaan : = (x - x1) x2- x1 b = (x - a) 0 - a b = (x - a) -a bx ab = + -a a bx = + b -a
23 ESPA4112/MODUL Jika ke dua ruas dibagi dengan b, maka : -x = + 1 b a atau x + = 1 a b dan grafikna adalah sebagai berikut : b x a + = 1 b 0 a x Diagram 3.14 Contoh 3.20: Cari persamaan garis ang mempunai penggal (0,5) dan (-4,0). Untuk a = -4 dan b = 5, nilaina dimasukkan ke x + = 1 a b x + = Ruas kiri dan kanan persamaan dikalikan 20-5x + 4 = 20 atau 5x = 0 Jadi persamaan 5x = 0 adalah persamaan ang dicari.
24 3.24 Matematika Ekonomi 1 E. BENTUK CURAM - TITIK Bentuk ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis lurus ang diketahui curam garisna dan titik (x 1, 1 ) ang terletak di garis tersebut. Telah dibicarakan bahwa curam garis ditunjukkan oleh persamaan: 2-1 m = x2- x1 maka persamaan: = (x - x1) x - x 2 1 dapat ditulis sebagai : - 1 = m(x - x 1 ) Contoh 3.21: Cari persamaan garis ang melalui titik (2,5) dan mempunai curam 3. Nilai m = 3 dan (x 1, 1 ) = (2,5) dimasukkan ke dalam persamaan: - 1 = m (x - x 1 ) - 5 = 3 (x - 2) = 3x = 3x - 1 Jadi persamaan = 3x -1 adalah persamaan ang dicari. Rumus-rumus di atas tidak dapat digunakan untuk mencari persamaan garis ang vertikal, karena curam garis vertikal besarna tak terhingga. Garis vertikal ang melalui titik (x 1, 1 ) mempunai persamaan: x = x 1 Berbeda dengan garis vertikal, untuk garis horisontal rumus-rumus ang dituliskan tadi masih dapat digunakan. Garis horisontal ang melalui titik (x 1, 1 )mempunai persamaan: = 1
25 ESPA4112/MODUL x = x 1 (x 1, 1 ) = 1 (x 1, 1 ) 0 x 0 x Diagram 3.15a Diagram 3.15b F. GARIS SEJAJAR, TEGAK LURUS DAN BERPOTONGAN Dua garis lurus ang terletak di satu bidang kemungkinanna dapat saling berimpit, sejajar, tegak lurus dan berpotongan satu sama lain. Sifat 1: Dua garis lurus akan saling berimpit kalau persamaan garis ang satu merupakan kelipatan persamaan garis ang lain. Sifat 2: Dua garis akan sejajar bila curamna sama. Sifat 3: Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila curam garis ang satu merupakan kebalikan negatif dari curam garis ang lain, atau perkalian kedua curamna sama dengan - 1. Jadi garis = m 1 x + b 1 dan garis = m 2 x + b 2 akan berpotongan tegak lurus bila dipenuhi sarat 1 m1 = - m atau m 1.m 2 = -1. Dua garis ang berpotongan, koordinat titik 2 potongna harus memenuhi kedua persamaan garis lurus. Koordinat titik potong ini diperoleh dengan mengerjakan kedua persamaan secara serempak.
26 3.26 Matematika Ekonomi 1 Contoh 3.22: Perpotongan antara garis 3x-4+6=0 dan garis x-2-3=0 diperoleh dengan mengeliminir x aitu mengalikan persamaan ke dua dengan -3 dan menambahkan dengan persamaan pertama. 3x = 0 x 1 3x = 0 x = 0 x-3-3x = = 0 2 = - 15 = - 7,5 Substitusi = -7,5 ke dalam persamaan pertama 3x -4 (-7,5) + 6 = 0 3x = 0 x = - 36 x = - 12 Jadi titik potongna adalah (-12, -7,5). Untuk menguji kebenaranna, koordinat titik potong ini dimasukkan ke dalam persamaan-persamaan tersebut. Bila memenuhi persamaan, maka artina titik potong tersebut merupakan titik ang dicari. Persamaan 1: 3 ( -12) -4 (-7,5) + 6 = = 0 0 = 0 Persamaan 2: (-7,5) -3 = = 0 0 = 0 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dari titik-titik berikut ini, tentukan mana ang terletak di garis 2x+-9=0
27 ESPA4112/MODUL A. ((0,5),8) B. ( 4,1) C. (5,2) D. (3,3) E. (9,-9) 2) Gambarkan garis-garis berikut ini : A. 4x -3 = 12 B. = 25-2x 3) Tentukan persamaan garis ang melalui titik-titik A. (2, 1) dan (4, 5) B. (0, 0) dan (3, 4) C. (-2, 3) dan (2, -3) D. (-5, 2) dan (4, 1) E. (0, 8) dan (5, 0) 4) Tentukan persamaan garis ang melalui titik (4, 3) dan mempunai curam : A. m = -2 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 6 5) Tunjukkan hubungan (apakah berpotongan, berimpit atau sejajar) antara garis 3x = 0 dengan garis A. = 3 4 x - 2 B. 2x = 0 C. = 5-3x D. 6 = 8x ) Tentukan koordinat titik potong garis = 50-2x dengan: A. = 3x B. = 1 3 x + 15 C. x = 0 D. 2 + x = 160
28 3.28 Matematika Ekonomi 1 Petunjuk Jawaban Latihan 1) Garis 2x = 0 atau = 9-2x A. untuk x = 0,5 maka = 8. Jadi ((0,5),8) terletak pada garis B. untuk x = 4 maka = 1. Jadi (4,1) terletak pada garis C. untuk x = 5 maka = -1. Jadi (5,2) tidak terletak pada garis D. untuk x = 3 maka = 3. Jadi (3,3) terletak pada garis E. untuk x = 9 maka = -9. Jadi (9,-9) terletak pada garis 2) A. Garis 4x - 3 = 12 Untuk = 0, maka x = 3 x = 0, maka = x -4 B. Garis = 25-2x Untuk = 0, maka x = 12,5 x = 0, maka = ,5 x
29 ESPA4112/MODUL ) A. Y = 2x x = 0 atau = x 3 3 = x 2 x + 9 = 13 x + = 1 atau 8x + 5 = ) Jika diketahui = f(x) = x x 2 + 5, maka besarna f(3) adalah. A. = 11-2x B. = 3 C. = x - 1 D. = 6x ) Jika diketahui = f(x) = x 3 3x, maka besarna f(-2) adalah. A. -1 B. -2 C. 2 D. 14 RANGKUMAN Fungsi Linier mempunai bentuk umum: ax + b + c = 0 di mana a dan b secara bersama-sama tidak bernilai nol. Grafik dari fungsi linier merupakan garis lurus. Setiap garis lurus mempunai arah ang ditunjukkan oleh curam garis dan didefinisikan sebagai tangens dari sudut ang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Persamaan suatu garis lurus dapat dicari apabila diketahui koordinat dua titik ang berada di garis tersebut atau bila diketahui curam garisna dan sebuah titik. Persamaan garis ang melalui titik A(x 1, 1 ) dan titik B(x 2, 2 ) adalah: = (x- x1). Persamaan garis ang melalui A(a,0) dan B(0,b) x2- x1 adalah persamaan: x + =1. Persamaan garis lurus ang curamna m dan a b melalui titik (x 1, 1 ) adalah persamaan: - 1 = m (x - x 1 ).
30 3.30 Matematika Ekonomi 1 Dua buah garis lurus aitu = m 1 x + a dan = m 2 x + b akan: berimpit bila m 1 = m 2 dan a = b sejajar bila m 1 = m 2 berpotongan tegak lurus bila m 1. m 2 = -1 berpotongan bila m 1 m 2 TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! 1) Garis di samping ini persamaanna adalah. A x = 20 B. 5x + 4 = 20 5 C. 5x 4 = 20 D. 5x 4 = -20 O 4 x 2) Persamaan garis ang melalui titik (-4, 6) dan mempunai curam = adalah. A. x = 0 B. 3x 6 = 0 C. 3x + 14 = 0 D. x = ) Garis 2 5 = 1 x A. = 2x + 4 B. 2x = 0 C. 5 4x = 20 2 D. 5 = 2x + 3 akan berpotongan tegak lurus dengan garis. 4) Persamaan garis ang melalui titik (2, -5) dan sejajar dengan garis x + = 0 adalah A. 5 = 12x 49 B. 3 10x + 4 = 0
31 ESPA4112/MODUL C. x = 3 12 D. 12 5x + 1 = 0 5) Koordinat titik potong antara garis 5x = 0 dengan garis x= 1 adalah. 3 2 A. (3, -2) B. (-3, 2) C. (-2, 3) D. (2, 3) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian ang belum dikuasai.
32 3.32 Matematika Ekonomi 1 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) B 3) B 4) A 5) B Tes Formatif 2 1) B 2) D 3) C 4) A 5) D
33 ESPA4112/MODUL Daftar Pustaka Baldani, Jeffre, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical Economics, The Drden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductor Mathematical Analsis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc. Ho, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ra Rees and Thanasis Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesle Publisher Limited. Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesle Publishing Compan. Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analsis, Irwin McGraw-Hill Weber, Jean E., (1982). Mathematical Analsis: Business and Economic Applications, New York: Harper & Row. Kembali ke Daftar Isi
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciFungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciPenggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi
Modul 6 Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec F PENDAHULUAN ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami
Lebih terperinciPenggunaan Fungsi dalam Ekonomi
Modul 4 Penggunaan Fungsi dalam Ekonomi M PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec atematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika,
Lebih terperinciPenggunaan Turunan dalam Ekonomi
Modul 8 Penggunaan Turunan dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan
Lebih terperincimatematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s
K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciBab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus
Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperincix X dapat dipetakan ke setiap y Y. hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y Y. RELASI : F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:
RELASI DAN FUNGSI Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan setiap elemen Domain dengan setiap elemenrange ang membentuk pasangan bilangan berurut. Hubungan himpunan
Lebih terperinciRchmd: rls&fngs-smk2004 1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciUnit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan
Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4
BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciBab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Lebih terperinciBAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1
BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan
Lebih terperinciAB = AB = ( ) 2 + ( ) 2
Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER
MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Lebih terperinciPERSAMAAN LINEAR/GARIS LURUS
PERSAMAAN LINEAR/GARIS LURUS SILABI Fungsi linear Titik potong gradien dari garis lurus Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara
Lebih terperinciPengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam
Lebih terperinciBAB XVII. PROGRAM LINEAR
BAB XVII. PROGRAM LINEAR Bukti : + a + b a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN
Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciBAB III METODE PENELTIAN. Untuk mencapai tujuan penelitian, kita harus mendukung siswa dalam
BAB III METODE PENELTIAN Untuk mencapai tujuan penelitian, kita harus mendukung siswa dalam belajar dengan mengembangkan aktivitas belajar dan pembelajaran dalam kerangka teori pendidikan matematika realistik.
Lebih terperinciIII. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS A. Menggambar grafik garis lurus Langkah langkah mengambar grafik persamaan garis lurus sama dengan langkahlangkah membuat grafik pada sistim koordinat. Gambarlah grafik persamaan
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
Lebih terperinciA. Menentukan Letak Titik
Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR. Bukti : ax + by = a.b. Pengertian Program Linear : Gunakan persamaan 2 di atas :
PROGRAM LINEAR Bukti : + = a + b = a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Lebih terperinciPP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3..
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinci(2) Titik potong kurva dengan sumbu y, bila x = 0, diperoleh x = 0 y = mx + n y = m(0) + n y = n Jadi, titik potongnya dengan sumbu y, adalah (0, n) y
BAB 3 FUNGSI LINIER DAN PERSAMAAN GARIS LURUS 3.1 Pengantar Fungsi linier adalah bentuk fungsi yang paling sederhana. Banyak hubungan antara variable ekonomi, dalam jangka pendek dianggap linier. Pengetahuan
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciKEGIATAN BELAJAR SISWA
KEGIATAN BELAJAR SISWA Bidang studi : Matematika Satuan Pendidikan: SLTP Kelas: 3 (tiga) Caturwulan: 1 (satu) Pokok Bahasan: Transformasi Subpokok Bahasan: Refleksi Waktu: 150 Menit Endang Mulyana 2003
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut.
LINGKARAN Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut. r P Titik P disebut pusat, sedangkan Jarak P ke lingkaran dinamakan jari-jari.
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciBAB LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK PENDAHULUAN PENDAHULUAN
PENDAHULUAN BAB 1 LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK PENDAHULUAN inear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan
Lebih terperinciBAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN
STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan
Lebih terperinci1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciKUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8
KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 Dirangkum oleh Moch. Fatkoer Rohman Website: http://fatkoer.co.cc http://zonamatematika.co,cc Email: fatkoer@gmail.com 009 Evaluasi Bab 1 Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciMAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan
MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan i Kode MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan + = - 5 6 - - + = BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )
MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA
Lebih terperinci2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):
Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciSUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd
SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini. kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.
BAB I PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN
Lebih terperinciPedoman Penskoran Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa
Pedoman Penskoran Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa Aspek yang Diukur Mengevaluasi Mengidentifikasi Menghubungkan Respon Siswa terhadap Soal Skor Tidak menjawab atau memberikan jawaban yang salah.
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciAntiremed Kelas 11 Matematika
Antiremed Kelas 11 Matematika Persiapan UAS - Latihan Soal Doc. Name: K13AR11MATWJB0UAS doc. Version : 016-0 halaman 1 01. Nilai maksimum dari 0x + 8 untuk x dan y yang memenuhi x + y 0, x + y 8, 0 0 dan
Lebih terperinciE-learning matematika, GRATIS
1 Penusun Editor : Rifan Nadhifi, S.Si. ; Imam Indra Gunawan, S.Si. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI A. METODE TITIK POJOK
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 08 Sesi N MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Kita sudah belajar bagaimana menggambar daerah dari batas pertidaksamaan ang diketahui atau pun sebalikna. Suatu
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciLogaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
Lebih terperinciModul 10. Fungsi Trigonometri
Modul 10 Fungsi Trigonometri 10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A c a b 0 A Sudut adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproeksikan
Lebih terperinci