Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic

2 Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg- edisi Juli Alamat pos: Kanaakan D-3, Bandung, 435. Fa: (6) () 5347 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

3 BAB 6 Fungsi Trigonometri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. = sinθ; = cosθ sinθ cosθ 3 = tanθ= ; 4 = cotθ= cosθ sinθ 5 = secθ= ; 6 = cscθ=. cosθ sinθ (6.) Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan, aitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artina sudut θ makin besar jika jarijari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. O θ - [,] -θ Q r P - P Gb.6.. Lingkaran berjari-jari. 3

4 Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP =, maka PQ sin θ= = PQ (6.) r PQ = pada waktu θ = o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = pada waktu θ = 9 o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = pada waktu θ = 8 o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = pada waktu θ = 7 o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = pada waktu θ = 36 o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ = 7 o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh sin o sin 7 = ; o = ; sin 9 o = ; sin 36 sin8 = = ; Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r =, maka 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral o OQ cos θ= = OQ r o (6.3) OQ = pada waktu θ =, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = pada waktu θ = π/. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = pada waktu θ =,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = pada waktu θ = π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Secara singkat cos o cos 7 = ; o = ; cos9 o = ; cos36 o cos8 = o = ; Pada Gb.6., jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ + OQ = OP =, maka Dari Gb.6.. dapat kita peroleh juga sin ( θ ) + cos ( θ) = (6.4.a)

5 P Q PQ sin( θ) = = = sinθ r r OQ cos( θ) = = cosθ r (6.4.b) (6.4.c) Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara dan +. Fungsi Tangent. PQ tan θ = (6.4.d) OQ P Q PQ tan( θ) = = = tanθ (6.4.e) OQ OQ Nilai tanθ akan menjadi jika θ = o, dan akan menuju + jika θ menuju 9 o karena pada waktu itu PQ juga dan tan( θ) akan menuju pada waktu θ menuju 9 o. Jadi tanθ bernilai antara sampai +. Nilai tanθ = bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan( θ) = jika θ = 45 o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5. Fungsi Cotangent. OQ cot θ = (6.4.f) PQ OQ OQ cot( θ) = = = cotθ (6.4.g) P Q PQ Nilai cotθ akan menuju + jika θ menuju o karena PQ akan menuju walau OQ menuju ; cotθ = jika θ = 9 o karena OQ =. Sebalikna cotθ akan menuju jika θ menuju karena P Q akan menuju ; cotθ = jika θ = 9 o karena P Q menuju. Lihat pula kurva Gb

6 Fungsi Secan dan Cosecan r secθ = = (6.4.h) cosθ OQ r cscθ = = (6.4.i) sinθ PQ Nilai secθ menuju jika θ menuju 9 o karena OQ menuju dan secθ = pada waktu θ = o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ =. Sementara itu cscθ akan menuju jika θ menuju karena sinθ menuju. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-relasi ang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.., aitu cosα sinα cosβ β sinα sinα sinβ α cosα sinβ β - [,] cosα cosβ - Gb.6.. Relasi-relasi sin( α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ cos( α+β) = cosαcosβ sinαsinβ (6.5) Karena sin( β) = sinβ dan cos( β) = cosβ maka kita peroleh pula sin( α β) = sinαcosβ cosαsinβ cos( α β) = cosαcosβ+ sinαsinβ (6.6) 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

7 6.. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat - r θ s Bilangan-nata dengan desimal ang tidak terbatas, π, digunakan untuk menatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan θ= s, s= rθ (6.7) r Jika θ = 36 o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = πr. Jadi jumlah radian dalam sudut 36 o adalah π. Dengan demikian maka ukuran sudut θ = 8 o adalah π rad. θ = 9 o adalah,5π rad. θ = adalah ( /8) rad. dst. 3 o π Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita gambarkan pada sistem koordinat -, ang kita ketahui bahwa sumbu- adalah sumbu bilangan-nata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus = sin() (6.8) terlihat pada Gb.6.3. ang dibuat untuk nilai dari π sampai +π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = π/ atau θ = 9 o, mencapai nilai nol pada = π atau θ = 8 o, mencapai minimum (arah negatif) pada =,5π atau θ = 7 o, kembali nol pada = π atau θ = 36 o ; inilah satu perioda. π,5,5 π π π -,5 - -,5 Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. 7

8 Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus = cos() (6.9) terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = atau θ = o, mencapai nilai nol pada = π/ atau θ = 9 o, mencapai minimum (arah negatif) pada = π atau θ = 8 o, kembali nol pada =,5π atau θ = 7 o, dan ke nilai maksimum + lagi setelah satu perioda, π. π,5,5 -,5 Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar π, dengan nilai maksimum dan minimum ang sama aitu + dan. Perbedaan antara keduana terlihat, aitu sin( ) = sin( ) sedangkan cos( ) = cos( ) (6.) Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [,], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu- dan disebut memiliki simetri genap. Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus ang tergeser sejajar sumbu- sebesar π/. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita natakan dalam cosinus = sin( ) = cos( π / ) (6.) Fungsi Tangent. Selanjutna kita lihat fungsi - perioda π π -,5 sin( ) = tan( ) = (6.) cos( ) 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

9 Karena cos() = pada = +π/ dan π/, maka tan() bernilai tak hingga pada = +π/ dan π/. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.5. Kurva =tan() Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. cos( ) = cot( ) = = (6.3) sin( ) tan( ) Karena sin() = pada =, maka cot() bernilai tak hingga pada =. Lihat Gb ,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.6. Kurva = cot () 9

10 Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus. = sec( ) = (6.4.a) cos( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec() bernilai pada = karena pada nilai itu cos() juga bernilai. Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. = csc( ) = (6.4.b) sin( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc() bernilai pada = kara pada nilai ini sin() bernilai. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - (a) = sec() ,5π -π -,5π -,5π π,5π - (b) = csc() -3 Gb.6.7. Kurva = sec() dan = csc() Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

11 Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut: = sin ; = 3sin ; = cos3 ; = 3cos(+ π / 4) ; = tan( / 3) 6.3. Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan = sin(), maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai = arcsin atau = sin (6.5) Perhatikan bahwa sin bukan berarti /sin, melainkan inversi sinus ang bisa kita baca sebagai: adalah sudut ang sinusna sama dengan. Karena fungsi sinus adalah periodik dari sampai + maka fungsi = sin tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai ; kita hana meninjau fungsi sinus inversi pada π π. Dengan pembatasan ini maka kita hana terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin. Jadi nilai utama = sin terletak pada π π sin. Kurva fungsi = sin ang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. Perhatikanlah bahwa pada =, = sin = karena pada = sin() = =. Pada =, = sin = π/ karena sin() = sin(π/) = =. Contoh: = sin () =,5π ; = sin ( ) =,5π sin π = (,5) = ; 6 sin π = (,5) = 6

12 π π -,5π,5π π π - -,5,5 -,5π -,5π a) b) Gb.6.8. Kurva = sin Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu- pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu- kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang π π, aitu rentang di mana kita membatasi nilai pada fungsi sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi. Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan π = cos = sin (6.6) Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β= π/ α dan sin α = cosβ. Oleh karena itu jika sin α = maka cos β= sehingga cos = β=π / α=π / sin Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

13 Karena dengan pembatasan π π pada fungsi sinus inversi memberikan π π sin maka nilai-nilai utama dari cos akan terletak pada cos π. Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama. Perhatikan bahwa jika sumbu- digambar vertikal sedang sumbu- digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang π. - π π,75π,5π π,5π a) b) Gb.6.9. Kurva = cos Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah - -,5,5 = tan (6.7) π dengan nilai utama π < tan < Untuk fungsi ini, nilai =±(π / ) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai tersebut. Gb.6..a. memperlihatkan kurva = tan lengkap sedangkan Gb.6..b. dibatasi pada nilai,5π< <. 5π. 3

14 ,5π π,5π ,5π -π,5π,5π ,5π -,5π a) b) Gb.6.. Kurva = tan Jika kita mempertukarkan posisi sumbu- dan sumbu- pada Gb.6..b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. aitu kurva fungsi tangent, dalam rentang π π < tan < Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi. Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan π = cot = tan (6.8) dengan nilai utama < cot < π dan π tidak masuk dalam pembatasan karena pada nilai tersebut menjadi tak hingga. Hubungan (6.8) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β=π/ α dan tan α= cotβ. Oleh karena itu jika tan α= maka cot β= sehingga cot = β=π -,5π / α=π / tan Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

15 π,5π Gb.6.. Kurva = cot Pertukaran posisi sumbu- dan sumbu- Gb.6.. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6. Fungsi Secan Inversi. Selanjutna kita memperoleh fungsi secan inversi = sec = cos (6.9) dengan nilai utama π sec π.,75π,5π, Gb.6.. Kurva = sec Fungsi Cosecan Inversi. csc = sin (6.) dengan nilai utama π π csc 5

16 Pertukaran posisi sumbu- dan sumbu- pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversina.,5π,5π ,5π -,5π Gb.6.. Kurva = csc Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. ). Dari fungsi = sin, aitu sudut ang sinus-na adalah dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan seperti terlihat di bawah ini. Dari gambar ini selain fungsi dapat peroleh cos =, = sin dan sin =, kita =, dst. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral tan ). Dari fungsi cosinus inversi = cos dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

17 Selain cos = dari gambar ini kita dapatkan sin =, tan =, dst. 3). Dari fungsi = tan, kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini. Selain tan =, kita peroleh sin =, + + cos =, dst + 4). Dari fungsi = sec kita gambarkan Dari gambar ini kita peroleh tan =, sin =, dst. 7

18 Soal-Soal: ) Dari fungsi = cot tentukan sin dan cos ) Dari fungsi = csc tentukan tan dan cos 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

19 BAB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatna dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus ang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f, dengan satuan Hertz ( Hz = siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T maka f = (7.) T Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumna, kita menggunakan jumlah radian untuk menatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T ), adalah π ω = πf = (7.) T Suatu fungsi cosinus ang memiliki amplitudo (nilai puncak) A dituliskan sebagai πt = Acosωt= Acos (7.3) T Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan ang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menatakan fungsi sinus = sin() atau fungsi cosinus = cos() dengan sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menatakan fungsi cosinus = cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah ang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 9

20 Gb.7.. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.. π πt = Acos ωt = Asinωt= Asin (7.4) T A T t -A Gb.7.. Fungsi cosinus πt = Acosωt= Acos T A T t -A Gb.7.. Fungsi sinus πt π = Asinωt= Asin = Acos ωt T Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah = Acosω πt ( t T ) = Acos s s T T πt Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

21 A T T s t -A Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran adalah T s. Pada Gb.7.. pergeseran adalah π/ ang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, aitu dengan menuliskanna dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran ang terjadi aitu ang ditunjukkan oleh posisi puncak ang pertama. Untuk selanjutna, peristiwa-peristiwa ang berubah secara sinusoidal kita natakan dengan menggunakan fungsi cosinus, ang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3) ang dapat pula kita tuliskan = Acos ω = Acos ( t ) T s ( ωt ω ) Pada penulisan terakhir ini, ωt s mempunai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutna πts ϕ =ωts = (7.5) T disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan ( ω ϕ) T s = cos t (7.6)

22 Jika ϕ = π/ maka kita mempunai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/ pada fungsi cosinus. 7.. Kombinasi Fungsi Sinus. Dalam tinjauan selanjutna, jika disebut fungsi sinus, ang dimaksudkan adalah fungsi sinus ang dinatakan dalam bentuk normal, aitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain ang bukan sinus, dapat dinatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, ang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi ang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen ang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f, dan harmonisa ang memiliki frekuensi harmonisa nf. Sebalikna dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus ang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa ang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus ang menusunna. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi ang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f. Frekuensi f kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah ang menentukan perioda T = /f. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (f o ), harmonisa ketiga (3f ), dan seterusna, ang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunai frekuensi nf Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalna. Bagaimana penebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen tersebut. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

23 t -4 = 3 cos f t -5 5 t -4 = + 3 cos f t t - 4 = + 3cos πft cos(π( f) t) = + 3cos π ft cos(π( f) t+ π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi ang dinatakan dengan persamaan ( πf t) + 5sin( π( f ) t) 7,5 cos( (4 f ) t) = + 3 cos π Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena (t) = A cos(πft) = A jika f =. Komponen sinus ang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah ang mempunai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke- dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada. Fungsi ini dinatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk ang sama aitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 3

24 di depan bahwa bentuk normal pernataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, aitu = Acos( πft+ ϕ). Dengan menggunakan kesamaan sin( πft ) = cos(πft π / ) dan cos( πft ) = cos(πft+ π) persamaan fungsi di atas dapat kita tulis = + 3 cos(πft) + 5 cos(π ft π / ) + 7,5cos(π4 ft+ π) Dalam pernataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi f f 4 f Amplitudo 3 5 7,5 Sudut fasa π/ π Fungsi ang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernataan suatu sinal (dalam rangkaian listrik misalna). Tabel ini menunjukkan apa ang disebut sebagai spektrum dari sinal ang diwakilina. Suatu spektrum sinal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinal ang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, aitu :, f, f, dan 4f. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut adalah, 3, 5, dan 7,5 satuan (volt misalna, jika ia adalah sinal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus ang berfrekuensi f, f dan 4f berturut turut adalah, π/, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik aitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik ang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik ang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b). 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

25 4 Amplitudo Frekuensi [ f ] Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo π Sudut Fasa π/ π/ π Frekuensi [ f ] Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan sarat tertentu. Fungsi persegi misalna, ang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut : A = Acos(πf t π / ) + cos(π3 ft π / ) 3 A A + cos(π5 ft π / ) + cos(π7 ft π / ) Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunai sudut fasa sama besar aitu π/; amplitudona menurun dengan meningkatna frekuensi dengan faktor /n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. 5

26 Frekuensi: f f 3f 4f 5f.. nf Amplitudo: A A/3 A/5.. A/n Sudut Fasa: - -π/ - -π/ - -π/.. -π/ Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisana. a) b) c) d) e) Gb.7.. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan ang dilakukan sampai pada harmonisa ke-. Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarna kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi ang memberikan bentuk fungsi ang kita anggap cukup memuaskan artina cukup dekat dengan bentuk ang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudona. Hal ini tidak hana berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

27 frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap amplitudo harmonisa-harmonisa ang frekuensina di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalna frekuensi harmonisa ang amplitudona tinggal % dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi ang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width). 7

28 Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini dalam format cosinus = Acos( s ) : a). Amplitudo, puncak pertama terjadi pada =, frekuensi siklus siklus/skala. b). Amplitudo, puncak pertama terjadi pada =,, frekuensi siklus siklus/skala. c). Amplitudo, pergeseran sudut fasa o, frekuensi sudut rad/skala. d). Amplitudo, pergeseran sudut fasa +3 o, frekuensi sudut rad/skala.. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini = 4+ 5sin πt cos π4t+,sin π8t Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, tentukan lebar pita fungsi ini. 3. Ulangi soal sebelumna untuk fungsi berikut. o = 3cos(πt 6 ) - sinπt+ cosπ8t 4. Ulangi soal sebelumna untuk fungsi berikut. = cost+ cos3t + cos5t +. cos5t+, cos 5t 5. Ulangi soal sebelumna untuk fungsi berikut. = + cos π5t + 3cos πt + cos π5t+,cos πt 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

29 Referensi. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun , sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN ,. 4. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book,. 5. Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book,. 9