Darpublic Nopember 2013

Transkripsi

1 Darpublic Nopember Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwaperistiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatna dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus ang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f, dengan satuan Hertz (1 Hz = 1 siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T maka 1 T f = (7.1) Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumna, kita menggunakan jumlah radian untuk menatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T ), adalah 2π ω = 2πf = (7.2) T Suatu fungsi cosinus ang memiliki amplitudo (nilai puncak) dituliskan sebagai 2πt = cosωt = cos T (7.3) Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan ang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menatakan fungsi sinus = sin(x) atau fungsi cosinus = cos(x) dengan x sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menatakan fungsi cosinus = cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah ang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.2. π 2πt = cos ωt = sin ωt = sin 2 T (7.4) T t - Gb.7.1. Fungsi cosinus 2πt = cosωt = cos T 1/6

2 Darpublic Nopember T t - Gb.7.2. Fungsi sinus 2πt π = sin ωt = sin = cos ωt T 2 Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah = cosω 2πt 2πT ( t T ) = cos s s T T T T s t - Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran adalah T s. Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 ang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, aitu dengan menuliskanna dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran ang terjadi aitu ang ditunjukkan oleh posisi puncak ang pertama. Untuk selanjutna, peristiwa-peristiwa ang berubah secara sinusoidal kita natakan dengan menggunakan fungsi cosinus, ang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3) ang dapat pula kita tuliskan = cos ω = cos ( t ) T s ( ωt ω ) Pada penulisan terakhir ini, ωt s mempunai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutna T s 2πTs = ωts = T ϕ (7.5) disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan 2/6 Sudaratno Sudirham, Gabungan Funsi Sinus

3 Darpublic Nopember = cos ( ωt ϕ) (7.6) Jika ϕ = π/2 maka kita mempunai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus Kombinasi Fungsi Sinus. Dalam tinjauan selanjutna, jika disebut fungsi sinus, ang dimaksudkan adalah fungsi sinus ang dinatakan dalam bentuk normal, aitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain ang bukan sinus, dapat dinatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. tau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, ang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi ang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen ang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f, dan harmonisa ang memiliki frekuensi harmonisa nf. Sebalikna dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus ang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa ang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus ang menusunna. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi ang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f. Frekuensi f kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah ang menentukan perioda T = 1/f. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f o ), harmonisa ketiga (3f ), dan seterusna, ang secara umum kita katakan harmonisa ken mempunai frekuensi nf Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalna. Bagaimana penebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponen-komponen tersebut t t = 3 cos 2f t = cos 2f t 4 1 t = 1+ 3cos 2πft 2cos(2π(2 f ) t) = 1+ 3cos 2π ft 2cos(2π(2 f) t + π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. 3/6

4 Darpublic Nopember Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi ang dinatakan dengan persamaan ( 2πf t) + 15sin( 2π(2 f ) t) 7,5 cos( 2 (4 f t) = cos π ) Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena (t) = cos(2πft) = jika f =. Komponen sinus ang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah ang mempunai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke; harmonisa ke-3 tidak ada. Fungsi ini dinatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk ang sama aitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan di depan bahwa bentuk normal pernataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, aitu = cos( 2πft + ϕ). Dengan menggunakan kesamaan sin( 2πft ) = cos(2πft π / 2) dan cos( 2πft ) = cos(2πft + π) persamaan fungsi di atas dapat kita tulis = cos(2πft) + 15 cos(2π2 ft π / 2) + 7,5cos(2π4 ft + π) Dalam pernataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi f 2 f 4 f mplitudo ,5 Sudut fasa π/2 π Fungsi ang kita ambil sebagai contoh mungkin merupakan pernataan suatu sinal (dalam rangkaian listrik misalna). Tabel ini menunjukkan apa ang disebut sebagai spektrum dari sinal ang diwakilina. Suatu spektrum sinal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinal ang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, aitu :, f, 2f, dan 4f. mplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 1, 3, 15, dan 7,5 satuan (volt misalna, jika ia adalah sinal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus ang berfrekuensi f, 2f dan 4f berturut turut adalah, π/2, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik aitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik ang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik ang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b). 4 mplitudo Frekuensi [ f ] Gb.7.5.a. Spektrum mplitudo 4/6 Sudaratno Sudirham, Gabungan Funsi Sinus

5 Darpublic Nopember π Sudut Fasa π/ π/2 2π Frekuensi [ f ] Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan sarat tertentu. Fungsi persegi misalna, ang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut : = cos(2πf t π / 2) + cos(2π3 ft π/ 2) 3 + cos(2π5 ft π/ 2) + cos(2π7 ft π/ 2) Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunai sudut fasa sama besar aitu π/2; amplitudona menurun dengan meningkatna frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. Frekuensi: f 2f 3f 4f 5f.. nf mplitudo: /3 /5.. /n Sudut Fasa: - - π/2 - -π/2 - -π/2.. -π/2 Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisaharmonisana. a) b) c) d) e) Gb.7.1. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan ang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21. 5/6

6 Darpublic Nopember Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarna kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi ang memberikan bentuk fungsi ang kita anggap cukup memuaskan artina cukup dekat dengan bentuk ang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudona. Hal ini tidak hana berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap amplitudo harmonisa-harmonisa ang frekuensina di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalna frekuensi harmonisa ang amplitudona tinggal 2% dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi ang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width). 6/6 Sudaratno Sudirham, Gabungan Funsi Sinus