4 Pesamaan Medan Relatvstk dan Rumusan Lagange Setelah mempelaja bab 4, mahasswa dhaapkan dapat:. Menuunkan nla egen dan pesamaan gelombang untuk patkel spn.. Menuunkan nla egen dan pesamaan gelombang untuk patkel spn ½. 3. Menuunkan nla egen dan pesamaan gelombang untuk patkel spn. 4. Menuunkan solus pesamaan Dac bak solus yang begantung waktu maupun solus gelombang bdang. 5. Menuunkan opeato spn up dan spn down. 6. Memaham dan mengklasfkaskan blnea da kombnas spno 4-komponen dan. 7. Menuunkan pesamaan geak da medan vekto, medan scala, medan Dac da umusan Lagange. Sebagamana telah kta pelaja dalam knematka elatvstk, pesamaanpesamaannya dtuunkan da dua postulat elatvtas. Dua keangka nesa yang begeak elatf satu dengan yang lan dengan kecepatan konstan dhubungkan melalu tansfomas Loentz. da suatu caa sedehana untuk mempeoleh pesamaan-pesamaan yang konssten secaa elatvtas khusus (yatu pesamaan-pesamaannya tampak sama da sudut pandang pengamat dalam geak elatf) dengan menyatakan pesamaanpesamaan tesebut dengan caa nvaan Loentz. Pada bab n akan dpelaja pesamaan-pesamaan gelombang untuk medan skala (spn-), medan spno (spn-/) dan medan vekto (spn-) dengan meneapkan pnsppnsp elatvtas seta de-de dasa dalam mekanka kuantum yang sangat dpelukan dalam mempelaja obyek-obyek yang beukuan sangat kecl, patkel yang beukuan mko. Kombnas pesamaan eneg dan momentum elatvstk dengan opeato eneg dan momentum menghaslkan pesamaan-pesamaan gelombang yang bemanfaat dalam mempelaja fska patkel. Selanjutnya, melalu peumusan Eule-Lagange pesamaanpesamaan geak yang dpeoleh dapat pula dtuunkan dengan memlh apat Lagangan secaa tepat. 8
4. Medan Skala: spn- Pasal n akan mempelaja pesamaan gelombang untuk sebuah patkel yang tdak spn-, yatu sebuah patkel skala. Patkel n dbekan smbol φ. Pesamaan gelombang patkel skala, dapat dpeoleh da pesamaan eneg-momentum elatvstk dengan mensubsttuskan opeato-opeato dfeensal untuk eneg E dan momentum p yang dbekan dalam mekanka kuantum. Kta akan mengawal dengan menuunkan pesamaan gelombang non elatvstk. Opeato-opeato dfeensal dalam mekanka kuantum untuk eneg E dan momentum p dbekan oleh E p (opeato eneg), (4.) t (opeato momentum), (4.) Dalam lmt non-elatvstk, eneg knetk da sebuah patkel bebas dengan massa m dan momentum p dbekan oleh p E = m. (4.3) Dsn E adalah eneg knetk patkel. Jka opeato-opeato dfeensal untuk eneg dan momentum dsubsttuskan ke pesamaan (4.3) maka dpeoleh m t = (pesamaan Schodnge). (4.4) nalog dengan penuunan pesamaan Schodnge, sebuah pesamaan kovaan (sama dalam setap keangka acuan) dapat dpeoleh dengan menggunakan pesamaan eneg p = E, p, dan momentum 4-vekto elatvstk da sebuah patkel, p = p p = E p = m. (4.5) Opeato-opeato dfeensal pesamaan (4.) kemudan dapat dnyatakan dalam notas 4-vekto p = x, (4.6) 8
Dalam ungkapan n, opeato eneg adalah komponen ke nol pesamaan (4.6). Substtus pesamaan (4.6) ke pesamaan (4.5), dengan mengngat bahwa opeato selalu bekeja pada suatu keadaan (state), φ, pesamaan (4.5) menghaslkan pesamaan dfeensal ode-, φ = t φ m φ. (pesamaan Klen-Godon) (4.7) Pesamaan (4.7) dnamakan pesamaan Klen-Godon KG. Dengan mempekenalkan notas kotak t pesamaan (4.7) dapat dtuls kembal dalam bentuk = =, (4.8) ( m ) φ ( x) + =, (4.9) Opeato adalah nvaan Loentz, jad pesamaan KG adalah pesamaan kovaan elatvstk jka φ ( x) adalah sebuah fungs skala. Yatu tehadap tansfomas Loentz φ ( x) betansfomas x = ( t, x) x' = ( t ', x ') sebaga bekut φ φ φ, (4.) ( t, x) '( t ', x ') = ( t, x) sehngga φ adalah nvaan. Pesamaan (4.7) adalah pesamaan ode- dalam devatf waktu, sehngga mudah dlhat bahwa solus pesamaan KG adalah solus gelombang bdang, φ ( x) = Ne ( p x) Et. (4.) dmana N adalah konstanta nomalsas. Jka kta substtuskan solus gelombang bdang d atas ke pesamaan KG maka solus untuk eneg da pesamaan n membekan dua buah nla eneg, yatu eneg postf dan eneg negatf, + + E = + 4 m c p c, eneg postf 4 m c p c, eneg negatf. (4.) Solus eneg negatf adalah sebuah pemasalahan ketka kta menafskan φ ( x) sebaga sebuah fungs gelombang untuk patkel tunggal. Untuk sebuah patkel bebas, 8
eneg total E sepenuhnya dnyatakan oleh eneg knetknya sehngga enegnya konstan, kaenanya dapat dplh patkel dengan keadaan eneg postf dan mengabakan keadaan eneg negatf. Namun ketka patkel benteaks, ada petukaan eneg dengan lngkungan yang beat ada sejumlah eneg yang demskan dalam poses. Kemudan eneg da sebuah patkel akan menuju ke keadaan eneg negatf tak behngga dan n tdak mungkn tejad untuk sebuah patkel tunggal jka φ dtafskan sebaga sebuah fungs gelombang. Namun demkan kta tdak dapat mengabakan begtu saja solus eneg negatf sebaga solus tdak fss. Kaena solus n dpelukan untuk mendefnskan kelengkapan suatu keadaan. Bebeda halnya jka φ ( x) dtafskan sebaga sebuah medan kuantum, kedua solus eneg bukan masalah. Solus eneg postf dan negatf tekat dengan opeato-opeato untuk patkel tecpta atau teanhlas. Pemasalahan kedua dengan tafsan fungs gelombang yang muncul adalah ketka kta mencoba untuk meealsaskan apat pobabltas. Dalam pesamaan Schodnge, jka adalah fungs gelombang maka apat pobabltas, ρ, dbekan oleh ρ = *. (4.3) Kaena pobabltas adalah kekal maka hauslah memenuh pesamaan kontnutas ρ j + = t, (4.4) dmana j adalah aus pobabltas. us pobabltas yang memenuh pesamaan kontnutas n adalah j = m ( * *). (4.5) kan tetap, apat pobabltas yang ddefnskan oleh pesamaan (4.3) tdak kekal dalam pesamaan KG. In kaena pesamaan KG adalah pesamaan ode- dalam devatf waktu, seupa dengan pesamaan geak Newton dalam mekanka. Syaat awal untuk menyelesakan pesamaan geak Newton adalah poss awal dan kecepatan awal. In beat bahwa kta pelu membekan konfguas awal devatf φ( x ) dan tuunannya φ( x) / t pada pesamaan KG. Untuk kasus patkel bebas elatvstk maka pesamaan apat pobabltas dan aus pobabltas hauslah melbatkan komponen waktu sehngga kedua besaan n akan betansfomas sebaga sebuah vekto (4-vekto). Dalam kasus n pesamaan kontnutas dapat dnyatakan secaa kovaan, 83
=. (4.6) j dmana j ( ρ, j). Kaena tu secaa elatvstk, apat pobabltas bukan sebuah kuanttas skala tetap komponen ke nol da sebuah 4-vekto. ga pesamaan kontnutas dpenuh maka ρ dan j dapat dplh sebaga bekut φ φ * ρ = φ * φ m t t, (4.7a) j = ( φ * φ φφ *). (4.7b) m Tampak pebedaan yang jelas antaa pesamaan (4.7a) dan (4.3). Pada kasus tak elatvstk apat aus pobabltas memlk nla defntf postf ρ = φ * φ = φ = N. sedangkan dalam kasus elatvstk tdak defntf postf, ρ = N E, kaena kta mash bsa memlh E benla negatf. kbatnya aus j tdak membekan tafsan ρ sebaga apat pobabltas (kaena tdak defntf postf) sepet dalam pesamaan Schodnge. Contoh 4.. Buktkan bahwa jka apat pobabltas dan aus pobabltas masng-masng dbekan oleh pesamaan (4.3) dan (4.5) maka pesamaan kontnutas ρ j + = t, akan dpenuh. Pesamaan kontnutas (4.4) ekuvalen dengan kekekalan muatan (buktkan!). Jawab: Pesamaan (4.3) membekan hasl ρ * ( * ) * = = + t t t t dan da pesamaan (4.5) dpeoleh 84
j = m + ( * * * * ) * = * m φ m m t t * = * + t t Dengan menjumlahkan kedua pesamaan d atas maka pesamaan kontnutas dpenuh. Da dua kesultan pesamaan KG sebaga pesamaan elatvstk untuk patkel tunggal: () adanya solus eneg negatf () aus pobaltas tdak menghaslkan apat pobabltas defntf postf, P..M. Dac kemudan menuunkan sebuah pesamaan yang konssten dengan peumusan eneg-momentum elatvstk dan dapat menjelaskan kedua masalah pesamaan KG. Pesamaannya adalah pesamaan ode petama dalam tuunan waktu dan belaku untuk sebuah patkel spn-/. Pada pasal bekut n akan dpelaja pesamaan Dac yang dapat pula dtuunkan melalu pesamaan enegmomentum namun pesamaan n haus dfaktosas. ltenatf penuunan pesamaan Dac dapat dkejakan melalu sfat-sfat tansfomas da spno tehadap gup Loentz. 4. Spno: Patkel spn-/ Dalam menuunkan pesmaaannya, Dac menggunakan sebuah stateg bahwa pesamaan (4.5) dapat dfaktosas sehngga menghaslkan sebuah pesamaan keadaan untuk patkel spn-/. Patkel n dbekan smbol (spno 4-komponen). Msalkan pesamaan (4.5) dapat dfaktosas sebaga bekut Dsn ( p p m ν ) ( p m τ )( p m β ν γ τ ) = +. (4.8) ν τ β dan γ adalah koefsen-koefsen yang belum dketahu. Selanjutnya, uas kanan pesamaan (4.8) duakan menjad ( β ν p m)( τ p m) ν p ( τ p m) mc( τ ν + γ τ = β ν β τ + γ pτ m) Lhat Ryde, L.H., Quantum Feld Theoy, Bab II. 85
ν τ ν ν = β γ p p β p γ p m m. (4.9) ν τ ν ν ν τ Koefsen-koefsen β dan γ dtentukan oleh suku lne da p ν. Jka suku lne dalam p ν pada pesamaan (4.9) dabakan maka dpeoleh kbatnya pesamaan (4.8) menjad β ν p γ ν p = β ν = γ ν. () ν p p ν = γ γ p p, (4.) ν τ ν τ Dengan menguakan komponen-komponen untuk masng-masng uas pesamaan (4.), maka dpeoleh 3 3 ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) = ( γ ) ( p ) + ( γ ) ( p ) + ( γ ) ( p ) + ( γ ) ( p ) + ( γ γ + γ γ ) + ( γ γ + γ γ ) 3 3 + ( γ γ + γ γ ) + ( γ γ + γ γ ) 3 3 + ( γ γ + γ γ ) 3 3 + ( γ γ + γ γ ) p p p p p p 3 p p p p p p 3 3 (4.) Da pesamaan n dapat dlhat bahwa tdak ada satu hmpunan skala ( γ, γ, γ, γ 3 ) yang memenuh uas kanan pesamaan. Pesamaan tesebut hanya dpenuh jka γ haus meupakan bentuk-bentuk matks, yang kemudan dkenal dengan matks Dac. Dac memlh matks-matks γ yang meupakan matks 4 x 4 sebaga bekut γ σ = σ, σ γ = σ, γ σ = σ, 3 γ 3 σ = 3 σ, (4.3) dmana (,,,3 ) sebaga bekut σ = adalah matks x yang dbekan oleh matks-matks Paul σ =, σ =, σ =, 3 σ =. (4.4) Kta dapat menguj hubungan pesamaan (4.) dengan mensubsttuskan matks-matks (4.3). Matks-matks Dac kemudan memenuh aljaba Clffod: γ γ ν + γ ν γ = g ν, (4.5) atau 86
{ } ν ν γ, γ = g. (4.6) Dsn {, B} = B + B adalah hubungan ant komutato untuk kuanttas dan B dan g ν adalah metk Mnkowsk. Dapat dbuktkan bahwa matks γ memenuh ( γ ), ( γ ), γ γ ν γ ν γ ( ν ) = = =, =, =. (4.7) γ γ γ γ Hubungan eneg-momentum elatvstk pesamaan (4.8) kemudan menjad ( p p m ) ( ν p m)( τ γ ν γ pτ m) Pesamaan d atas mengandung dua solus yatu = + =. (4.8) γ p m =, γ p + m =. (4.9) Dan n mengjnkan pula dua solus bak untuk solus eneg postf maupun negatf. Bekut n akan djelaskan solus (), solus () dapat dkejakan sebaga lathan. Sepet dalam penuunan pesamaan Schodnge dan pesamaan KG, momentum elatvstk dgant menjad opeato dalam mekanka kuantum, pesamaam (4.6). Dengan mengngat kembal bahwa opeato bekeja pada suatu keadaan,, maka pesamaan (9) untuk solus () menjad ( γ m) =, (pesamaan Dac) (4.3) In adalah sebuah pesamaan dfeensal ode petama yang kovaan dan dkenal sebaga pesamaan Dac dengan sebaga medan spno Dac. Pesamaan (4.3) adalah pesamaan matks 4 x 4 sehngga mudah dpaham bahwa medan spno Dac meupakan sebuah matks kolom, 4 x, dengan empat komponen = 3 4. = (4.3) * * * * 3 4 Sebaga catatan, meskpun mengandung empat komponen, n bukan sebuah 4- vekto. 87
Contoh 4.: Buktkan bahwa masng-masng komponen da memenuh pesamaan KG! Jawab: Mula da pesamaan Dac (4.3) γ m =. Kejakan pada kedua uas pesamaan sebuah opeato γ ν untuk mempeoleh γ γ γ =. ν ν m ν ν Suku kedua uas k pesamaan d atas adalah ( m) ν γ γ ν ν γ =, sehngga menjad + m =. Pesamaan n juga dapat dtuls dalam bentuk smetk dengan mempetukakan ndeks ν + m =. ν γ γ ν Jumlahkan kedua pesamaan d atas dengan mengngat ν = ν maka dpeoleh atau In adalah pesamaan KG (4.7). ν ν ν m γ γ + γ γ + = ν g + m = ν + m = + = t m Selanjutnya, bagamana Dac dapat menjelaskna dua poblem dalam pesamaan KG. Rapat aus sepet apa yang memenuh pesamaan kontnutas (4.6) yang dapat menghaslkan apat pobabltas defntf postf?. Seta bagamana menjelaskan kebeadaan solus eneg negatf dan eneg postf. Untuk tu, kta pelu melakukan sebuah manpulas yang membekan konsekuens n, sepet halnya contoh d atas. Dengan mengambl konjugat Hemtan pesamaan Dac maka 88
(( m) ) = ( + m) γ γ γ s s. (4.3) = γ γ = ( m) Kalau adalah matks kolom (4.3), adalah matks bas x 4. Smbol s dan s beat beopeas ke sebelah k. Dengan menggunakan sfat-sfat matks Dac (4.7), γ = γ dan γ = γ maka pesamaan (4.3) menjad s ( m) γ + γ = s. (4.33) Kalkan da kanan pesamaan d atas dengan γ s s γ + γ m γ = ( ) s s γ γ + γ γ γ = ( m ) s s + + = ( m) γ γ γ ( γ m) γ + = Selanjutnya spno adjont ddefnskan sebaga bekut maka dpeoleh s = γ, (4.34) s γ + = ( m). (4.35) Pesamaan dan pesamaan dapat dgunakan untuk menunjukkan bahwa apat aus adalah kekal, j = : j = γ, (4.36) ( γ ) ( ) γ ( γ ) = = + j ( m ) ( m ) = + =. (4.37) Komponen nol da apat aus adalah apat pobabltas t s B B B B B Notas dengan panah d atas beat: = = ( ) ( ) s =.. Sebaga contoh 89
j = γ = γ γ = = = + + + * * * * 3 4 3 4 3 4, (4.38) n menghaslkan apat pobabltas postf. Dbandngkan dengan pesamaan KG, pesamaan Dac membekan lebh jelas dalam mengatas apat pobabltas untuk patkel. Sepet dhaapkan masalah apat pobabltas telah dapat dpecahkan. Untuk kasus eneg negatf dapat djelaskan pasal bekut n. Contoh 4.3. Jka fungs keadaan ( x) memenuh pesamaan Dac, peoleh kembal hubungan eneg-momentum elatvstk 4 E = p c + m c! Jawab: Pesamaan Dac () dapat dtuls kembal untuk sebuah patkel dengan massa m yang memlk keadaan : atau ( γ p m) =, (4.39) + + + =. (4.4) 3 3 ( γ p γ p γ p γ p3 mc) 4 Dengan menguakan masng-masng komponen pesamaan d atas maka dpeoleh sebuah pesamaan matks E m pz px + py E m p p p pz px py E m 3 px + py pz E m 4 x y z =. (4.4) 9
Pesamaan n membekan empat buah pesamaan yang haus dselesakan. Dengan melakukan pekalan matks maka dpeoleh: z ( x y ) E m p p p =. (4.4a) 3 4 E m p + p + p =. (4.4b) x y 3 z 4 p + p p E + m =. (4.4c) z x y 3 ( x y ) z ( v) p + p p E + m =. (4.4d) 4 Da pesamaan (4.4a) dan pesamaan (4.4b) dpeoleh = p p p E m ( p p ) p. (4.43) + z x y 3 x y z 4 Sedangkan da pesamaan (4.4c) dan pesamaan (4.4d) dpeoleh = ( ) p p p E + m ( p p ) p + 3 z x y 4 x y z Kombnas pesamaan (4.43) dan (4.44) membekan hasl. (4.44) px + py + p z p = ( ) ( E m px py p z = E m ) + + Sehngga dpeoleh. (4.45) = p ( E m ), atau E = p + m γ p + mc =? pakah solus n dapat dpeoleh jka dselesakan untuk 4.. Solus Pesamaan Dac. Solus begantung waktu Tnjau bahwa medan spno Dac tdak begantung pada poss, yatu =, = = =. (4.46) 3 x t x x x 9
Kemudan elemen-elemen matkss kolom (4 x ) da medan spno Dac dsusun menjad dua buah matks kolom ( x ) sebaga bekut = 3 B 4. (4.47) Jelaslah dsn dan B masng-masng adalah matkss kolom ( x ) dengan komponen-komponen matksnya dbekan oleh 3 =, B = 4. (4.48) Maka pesamaan medan Dac menjad x t m =, (4.49) x B B t dmana x adalah matks satuan ( x ). Da pesamaan (4.49) ada dua buah pesamaan yang haus dselesakan t m =, (4.5a) B m B =. (4.5b) t Dengan mengntegaskan pesamaan-pesamaan d atas maka dpeoleh solus untuk masng-masng pesamaan, ( t) = ()exp( mt ), (eneg postf: patkel), (4.5a) ( t) = ()exp( + mt ). (eneg negatf: ant patkel). (4.5b) B B Pesamaan (4.5) adalah pesamaan begantung waktu da patkel dalam keadaan kuantum dengan eneg E. Dalam keangka dam patkel ( p = ), eneg da sebuah patkel dbekan oleh E = m sehngga adalah solus yang mungkn. Sedangkan menggambakan keadaan kuantum da sebuah patkel lan dengan eneg negatf E = m. Dac kemudan membekan tafsan bahwa adalah solus untuk keadaan B 9
patkel (eneg postf) spn-/ sedangkan B adalah solus untuk keadaan ant-patkel (eneg negatf) spn-/. 3 Sebaga contoh, jka adalah keadaan kuantum elekton maka B adalah keadaan kuantum ant-elekton yatu poston. Da kenyataan n dapat dsmpulkan bahwa pesamaan Dac bukan pesamaan yang menggambakan pesamaan untuk patkel tunggal tetap pesamaan untuk patkel dan ant patkel. Eneg Foton m Patkel m Lautan Dac nt-patkel (hole) Gamba 4.. Pencptaan pasangan patkel-antpatkel dalam tafsan lautan Dac. Masalah solus eneg negatf kemudan djelaskan dengan mempekenalkan apa yang dsebut lautan Dac (Dac sea). Betolak da pnsp laangan Paul untuk patkel spn-/, Dac mengasumskan bahwa keadaan eneg negatf tes secaa penuh (sebuah vakum stabl dmana semua keadaan eneg negatf dtempat) dan pnsp Paul mencegah setap patkel memasuk lautan keadaan eneg negatf n. Gambaan n juga membawa suatu kesmpulan bahwa tafsan patkel tunggal untuk pesamaan Dac adalah tdak mungkn. Sebuah foton dengan eneg E > m dapat mengekstas salah satu elekton yang mengs keadaan eneg negatf akan mennggalkan sebuah lubang (hole) dalam lautan Dac (Lhat Gamba 4.). Lubang n bepelaku sepet sebuah patkel dengan massa yang sama tetap muatannya belawanan yang dtafskan sebaga sebuah 3 Membedakan patkel dan ant patkel hanyalah sebuah konvens. Jad kta juga dapat mengubah konvens tesebut, msalnya poston adalah patkel dan elekton adalah ant patkel. Dalam hal n kta hdup dalam duna ant patkel. 93
poston. Implementaskan da hal n dapat dlhat ketka kta mengkuantsas medan spn-/. 4 B. Solus gelombang bdang Solus gelombang bdang untuk pesamaan Dac adalah ( x) = N exp( p x) u( p), p = ( E, p), (4.5) dmana N adalah konstanta nomalsas dan u( p ) adalah fungs Dac bebas sedemkan sehngga ( x) memenuh pesamaan Dac (4.3). Fungs u( p ) kemudan akan menyatakan keadaan spno 4-komponen. Kaena ( x) begantung pada x maka ( x) kbatnya pesamaan Dac menjad atau ν exp = = p N pν x u p x ( ( ν ) ) ( ν ). (4.53) ν ν γ p N exp p x u p m N exp p x u p =. (4.54) ( p m) u( p) γ =. (4.55) In dnamakan sebaga pesamaan Dac dalam uang momentum. Jka u( p ) memenuh pesamaan (4.55), maka ( x) pada pesamaan (4.5) memenuh pesamaan Dac. Dengan menggunakan analog contoh 4., namun sekaang untuk fungs bebas Dac u( p ) (spno 4-komponen) yang ddekomposskan sebaga bekut u u =, u B u u, = u u B u 3 = u 4. (4.56) Maka dapat dpeoleh dua buah pesamaan smultan: u u B u = = u p p p u E m ( p p ) p u. (4.57a) + z x y 3 x y z 4 u = = u ( ) p p p u E + m ( p p ) p u. (4.57b) + 3 z x y 4 x y z 4 Dalam buku n tdak akan membahas kuantsas medan. Untuk kuantsas medan dapat dbaca pada buku teks teo medan kuantum, lhat efeens. 94
Jka kedua pesamaan d atas dselesakan maka hubungan eneg-momentum elatvstk juga dpeoleh, + + E = +, p m, patkel p m ant patkel (4.58) Kembal, aka postf tekat dengan keadaan patkel dan aka negatf adalah untuk ant patkel, sepet djelaskan sebelumnya. Kaena u( p ) mash meupakan fungs bebas maka pemlhan komponen-kompenen da pesamaan (4.57) akan menghaslkan empat buah solus: dua buah untuk solus eneg postf solus eneg negatf E = p + m, yatu:. Dua solus untuk eneg postf (patkel): () jka u = dan u = : patkel dengan spn up, maka dan u u E = + p + m dan dua buah untuk =, (4.59a) ( p ) x + py p z u p p p p. (4.59b) 3 z x y z B = u = = 4 ( E m) E m px p + + + y Sehngga dpeoleh u E p Untuk patkel dam p = up adalah (, ) u p = z u = B E m. (4.59c) + px + py E + m fungs keadaan spno 4 komponen da patkel dengan spn (,) u E = ( x) = exp( Et) () jka u = dan u = : patkel dengan spn down, maka. (4.59d) 95
dan u =, (4.6a) Sehngga dpeoleh 3 x y B = u = 4 ( E m ) p + z u u E p u p p. (4.6b) (, ) Sehngga untuk patkel dam p = dengan spn down adalah u px p = y u =. (4.6c) B E + m pz E + m fungs keadaan spno 4 komponen da patkel (,) u E = ( x) = exp( Et). (4.6d). Dua solus untuk eneg negatf (ant patkel): () jka u 3 = dan u 4 = : ant patkel dengan spn up, maka u u z = u = ( E m) px p + y p. (4.6a) Sehngga dpeoleh u B =. (4.6b) u E p (, ) Untuk ant patkel dam p = dengan spn up adalah u p p ( E m) x y = u = B ( E m) z + p. (4.6c) fungs keadaan spno 4 komponen da antpatkel 96
(,) u E = ( x) = exp( + Et). (4.6d) () jka u 3 = dan u 4 = : ant patkel dengan spn down, maka u p p x y = u = ( E m ) p z u. (4.6a) Sehngga dpeoleh u B =. (4.6b) u E p (, ) Untuk ant patkel dam p = dengan spn down adalah u px p p ( E m) z = u = B ( E m) y. (4.6c) fungs keadaan spno 4 komponen da antpatkel (,) u E = ( x) = exp( + Et). (4.63d) Fungs Dac bebas u(p) d atas adalah funs Dac yang belum tenomalsas. Maka untuk mempeoleh fungs Dac tenomalsas pelu dpekenalkan konstanta nomalsas N. Msalkan empat fungs Dac bebas (spno Dac 4-komponen) yang tenomalsas dnyatakan oleh: () u dan () u adalah solus untuk patkel, (3) u dan (4) u adalah solus untuk ant-patkel. Kta tulskan kembal pesamaan d atas dengan melbatkan fakto nomalsas sebaga bekut: () Solus untuk patkel E = + p + m adalah 97
p () u ( E, p) = N z E + m px + p E + m y (spn up), (, ) px p y E + m pz E + m () u E p = N (spn down). (4.64) Pesamaan n betuut-tuut mengambakan pesamaan keadaan elekton dengan spn-up dan spn-down. () Solus untuk ant-patkel E = p + m adalah pz px py ( E m) ( E m ) p (3) x + p y p u ( E, p) = N (spn up), ( E m ) (4) z u ( E, p) = N (spn down) (4.65) ( E m ) Pesamaan n betuut-tuut mengambakan pesamaan keadaan antelekton dengan spn-up dan spn-down. Sfat-sfat akan djelaskan pada pasal bekutnya. Solus eneg negatf dapat pula dtafskan sebaga keadaan antpatkel eneg postf. Untuk tu, ungkapan eneg dan momentum fss da ant patkel dapat dpeoleh dengan membalk tanda kedua kuanttas n. Untuk mempejelas pebedaaan antaa solus patkel dan ant patkel yang keduanya sekaang memlk eneg dan momentum ( s) postf( E = p + m ), untuk patkel dnyatakan dengan u dan ant patkel dengan ( s) v dengan s =,. Sehngga dengan membalk tanda pesamaan (4.65) maka dpeoleh px py ( E m + ) p = =, (4.66a) ( + ) () (4) z v ( E, p) u ( E, p) N E m 98
pz ( E + m) p + p = = ( + ) (, ) (, ) () (3) x y v E p u E p N E m, (4.66b) In adalah solus untuk dua keadaan spn ant patkel. Dengan demkan solus gelombang bdang da pesamaan Dac dapat dngkas sebaga bekut: dmana s =,. ( s) ( x) ( s) ( ) ( s) N exp p x u p, patkel = N exp p x v p, ant patkel (4.67) Contoh 4.4. Calah konstanta nomalsas N dengan menggunakan pesamaan-pesamaan (4.64) jka syaat nomalsas untuk spno dbekan oleh u u = E? Jawab: Da pesamaan (4.64) dpeoleh () () * p p z x py u u NN p = z E m E m E m + + + px + py E + m p ( px py )( px + py ) * z = NN + + + ( E + m) E + m E + m * E + m + p E = NN N = E + m. Dengan syaat nomalsas yang dbekan maka 99
E N = E N = E + m E + m. (4.68) In adalah konstanta nomalsas untuk keadaan patkel. Cobalah gunakan untuk spno yang lan, seta tuunkan konstanta nomalsas untuk keadaan ant-patkel? Dengan menggunakan konstanta nomalsas (4.68) maka keempat keadaan spn dapat dnyatakan sebaga bekut () u ( E, p) = E + m z E + m v () ( E, p) = E + m p px + p E + m y, ( px py ) ( E + m) p ( E + m) z (, ) px p y, E + m pz E + m () u E p = E + m pz ( E + m) px + p y v E p = E + m ( E + m ) (), (, ) Sfat-sfat nomalsas da pesamaan spno d atas adalah ( ) ( s) s u ( p) u ( p) = mδ, (4.69a) ( ) ( s) ( ) ( s) u p v p v p u p = =, (4.69b) ( ) ( s) s v ( p) v ( p) = mδ. (4.69c) Dsn, s =,. 4.. Opeato spn Kta ngn mengetahu fungs keadaan spno yang telah dbekan d atas. Matks spn untuk patkel-patkel Dac ddefnskan sebaga bekut σ S = σ. (4.7) Dengan masng-masng komponennya adalah
S x σ x = σ, x ndakan kta ngn menguku (state) : S y σ y = σ, y S x, Msalkan spn up dalam aah-z adalah dan spn down dalam aah-z adalah S y dan S z σ z = σ. (4.7) z S z pada sebuah patkel dalam keadaan α β. (4.7) α α σ z =, spnup dalam aah z β β. (4.73) α α σ z =, spn down dalam aah z β β. (4.74) Petama kta dapat membentuk sebuah pesamaan nla egen Maka nla egen λ dapat dselesakan sebaga bekut α α σ z = λ β β. (4.75) α λ = β. (4.76) Dan pesamaan yang haus dselesakan adalah ( λ) α =, + λ β =, yang membekan solus nla egen λ = ±. Untuk λ = maka dpeoleh α α α α = = α = α, β = β β β β β. (4.77) Dengan mengambl α = dan β = maka keadaan egenya dbekan oleh α =, β spnup. (78) Keadaan egen (4.78) adalah keadaan da sebuah patkel dengan spn up. Kemudan dengan mengambl λ = maka dpeoleh α α α α = = α = α, β = β β β β β. (4.79) maka keadaan egenya dbekan oleh
α =, spn down β. (4.8) Keadaan egen (4.8) adalah keadaan da sebuah patkel dengan spn down dmana kta telah memlh α =, β =. Contoh 4.5. Buktkan bahwa medan spno Dac adalah keadaan patkel spn up dan spn down!. Jawab: Untuk memaham keadaan spn-up atau spn-down da spno-spno Dac dan () v, kta tnjau salah satu danya, yang lan slahkan dcoba. () u, () u, () v p () u = N z E + m px + p E + m y. (4.8) Msalkan p sejaja dengan sumbu-z dan p = p =, maka dpeoleh u () x y E + m =. (4.8) E m Selanjutnya opeaskan opeato spn (4.7) tehadap spno egen d atas maka dpeoleh S u z E + m E + m = = = u E m E m () (). (4.83) Pesamaan d atas membentuk pesamaan nla egen S u z = + u. (spn-up), (4.84a) () ()
dengan nla egen adalah + / yang tekat dengan keadaan (spno) egen Dengan caa yang sama dapat dtunjukan bahwa S u z S u z S u z () () () u spn-up. = u. (spn-down) (4.84b) = + u. (spn-up) (4.84c) (3) (3) = u. (spn-down) (4.84d) (4) (4) 4..3 Kovaan Blne Pada pasal n kta akan mempelaja dan mengklasfkaskan blne da kombnas spno 4-komponen dan. Yang dmaksud blne dsn yatu obyek yang tdak membawa ndeks spno dan hanya melput dua buah medan spno. Tujuan mempelaja bentuk blne adalah untuk mendefnskan suatu fungs Lagange, yang akan kta pelaja pada pasal bekutnya. Sfat-sfat da spno Dac tdak betansfomas sepet 4-vekto meskpun memlk 4 buah komponen. Matks γ juga bukan 4-vekto kaena tdak beubah ketka dtansfomaskan da keangka S dan S. Sehngga dapat dpaham bahwa bentuk blne tekat dengan sebuah matks. Tansfomas da keangka S keangka S yang begeak dengan kecepatan v seaah sumbu-x dbekan oleh dsn S adalah sebuah matks 4 x 4, ' = S, (4.85) dmana a S a a + = + + γ γ = a σ a + + = ( γ + ), a ( γ ) a a σ, (86) =, (4.87) ndakan kta ngn membangun sebuah kuanttas skala dengan menggunakan sebuah spno. Petama kta dapat membuat kombnas, apakah n adalah sebuah skala? Jka skala maka tdak akan beubah tehadap tansfomas (4.85). Kombnas membekan hasl 3
= = + + + * * * * 3 4 3 4 3 4. (4.88) Masng-masng spno betasfomas sebaga bekut ' = S. (4.89a) Sehngga pesamaan (4.88) menjad ' = S = S. (4.89b) ' ' S S =. (4.9) Jka adalah skala, hauslah S S =. Dapat dbuktkan dengan menggunakan pesamaan (4.86), bahwa S S, S S γ βσ βσ = S =, β = v / c (4.9) Kemudan kta ngn mencoba untuk membuat kombnas = γ, dengan caa yang sama haus pula dtansfomaskan sesua dengan kadah tansfomas (4.85), ' = ' γ '. (4.9) Dengan menggunakan pesamaan (4.89b) maka tansfomas d atas menjad ' = S γ S. (93) Dalam kasus n hauslah dbuktkan S γ S = γ. Lhat contoh dbawah n bahwa hubungan n dpenuh, sehngga adalah sebuah skala. Contoh4.6. Bukutkan bahwa S γ S = γ sehngga adalah skala. Jawab: Da pesamaan (4.86) dapat dpeoleh S ( σ ) a a * a a * * * + + σ = = * * * ( a σ) * a+ a σ a+ Dengat mengngat bahwa a ± ted da blangan basa maka a = a, * ± ± 4
Sehngga Sehngga Jad kuanttas S ( + ) ( ) γ γ σ = = S ( γ ) σ ( γ + ) γ + γ σ σ γ + γ σ S γ S = ( γ ) σ ( γ + ) σ ( γ ) σ ( γ + ) γ + σ γ σ σ γ + γ σ = ( γ ) σσ ( γ + ) σ ( γ ) σ ( γ + ) ( + ) ( ) ( ) + ( ) γ σ γ σ σ σ γ σ σ γ σ σ = γ σ σ γ σ σ γ σ σ γ σ + + σ = γ = σ adalah nvaan elatvstk. ' = γ =, (skala) γ 3 4 = = +, (4.94) * da 6 hasl kal dengan bentuk kaena dan j bejalan da sampa 4. 5 = pseudoskala ( komponen) 5 ( v) = pseudovekto (4 komponen) Ragam kombnas lne untuk membangun kuanttas-kuanttas dengan pelaku tansfomas yang bebeda dapat dangkum sebaga bekut: = skala ( komponen) γ j γ = vekto (4 komponen) (4.95) γ γ ν ( v) σ = tenso antsmetk (6 komponen) dmana 5 3 γ γ γ γ γ =, σ γ γ γ γ ν ν ν. (4.96) 5
Pseudoskala dan pseudovekto dbedakan dengan skala dan vekto oleh pelakuan tehadap tansfomas patas 5 (,, ) (,, ) P = x y z x y z. (4.97) Pseudoskala beubah tanda sedangkan skala tdak beubah tanda. Kta melhat ada 6 buah matks yang dapat dbangun da matks gamma 4 x 4 membentuk hmpunan matks {, 5 γ, γ, 5 γ γ, ν σ }: ada buah matks satuan, 5 buah matks γ, 4 buah matks γ 5 ν, 4 buah matksγ γ dan 6 buah matksσ. 4.3 Medan Vekto: Patkel spn- Bekut n akan dpelaja patkel spn-. Foton tdak memlk massa dgambakan oleh pesamaan Maxwell dan patkel bemassa dengan spn- (sebaga contoh boson W ± ) dgambakan melalu pesamaan Poca. Dalam elektodnamka klask medan lstk E dan medan magnet B dbekan oleh 4 set pesamaan yatu pesamaan Maxwell: E = 4πρ (Hukum Gauss), (4.98a) B E + =, (Hukum Faaday), (4.98b) c t B =, (4.98c) E 4π ( v) B = j (Hukum mpee). (4.98d) c t c Penjelasan pesamaan d atas sebaga bekut: pesamaan () adalah hukum Gauss yatu muatan total d dalam sebuah pemukaan tetutup dapat dpeoleh dengan mengntegaskan komponen nomal E pada pemukaan tesebut. Pesamaan () adalah hukum Faaday yatu peubahan medan magnet akan menghaslkan medan lstk Pesamaan () menjelaskan tentang tdak adanya muatan magnetk dan pesamaan (v) adalah hukum mpee yatu peubahan medan lstk menghaslkan medan magnet. Pesamaan () dan () dnamakan pesamaan homogen sedangkan pesamaan () dan (v) dnamakan sebaga pesamaan tak-homogen, mengandung suku sumbe. Dalam notas elatvstk, medan lstk E dan medan magnet B secaa besamasama membentuk sebuah medan tenso kontavaan ank- antsmetk (medan tenso elektomagnetk), 5 J. Gffths, D., Intoducton to Elementay Patcle, Bab IV pasal 4.6. 6
F E E E3 E B B ν 3 = E B3 B E B B 3, (4.99a) F = F, (antsmetk). (4.99b) ν ν Medan tenso elektomagnetk kovaan antsmetk dapat dpeoleh da tenso medan kontavaan dengan mengejakan kontaks ndeks (menuunkan ndeks): F g g F αβ ν = α νβ. (4.) Repesentas matks untuk medan tenso elektomagnetk kovaan antsmetk kemudan dpeoleh: F E E E E B B 3 3 ν = E B3 B E B B 3. (4.) Sedangkan apat muatan ρ dan apat aus j adalah 4-vekto:, j = j j = cρ, j. (4.) Pesamaan Maxwell tak-homogen kemudan dapat dnyatakan sebaga bekut ν 4π ν F = j. (pesamaan Maxwell tak-homogen) (3) c Pesamaan n menghubungkan tenso antsmetk dan vekto sebagamana dtunjukan oleh ndeksnya. Bentuk eksplst pesamaan (4.3), tentunya akan dpeoleh kembal pesamaan Maxwell tak-homogen: (a) dengan mengambl ν =, 3 F F F F F E E x y E = + + + = + + + 3 x x x x x x y z 4π = = c E j, yang membekan kembal pesamaan () dengan mengambl (b) dengan mengambl ν =, j = cρ. x x x x x c t y z 3 F F F F F E B x Bz = + + + = + + y 3 4π j c =, z 7
atau B B z y Ex 4π = j y z c t c x (c) dengan mengambl ν =, atau 3 F F F F F E y Bz Bx = + + + = + 3 x x x x x c t x z 4π c = j, Bz Bx Ey 4π = j x z c t c (d) dengan mengambl ν = 3, atau y 3 3 3 3 33 F F F F F E B z y Bx = + + + = + 3 x x x x x c t x y 4π c 3 = j, By Bx Ez 4π = j x y c t c z Da hasl (b), (c) dan (d), ketga pesamaan n dapat dnyatakan dalam bentuk 3-vekto. Haslnya adalah E 4π B = j c t c yang ekuvalen dengan pesamaan (v), 3 j ( j = jx, j = jy, j = jz ) Da sfat antsmetk F = F maka apat aus j menjad bebas dvegens ν ν =. (4.4) j Pesamaan Maxwell homogen adalah ekuvaken dengan ungkapan bahwa B dapat dnyatakan sebaga otas da sebuah potensal vekto, : B =. (4.5) Sehngga pesamaan Maxwell () menjad E + =. (4.6) c t 8
Dengan mempekenal potensal 4-vekto = φ, dengan, (4.7) B =, E = φ, (4.8) c t pesamaan Maxwell homogen mash dpenuh. Sehngga dalam notas elatvstk dapat dnyatakan sebaga bekut ν ν ν ν F = F =. (4.9) Dalam elektodnamka klask, medan-medan meupakan elemen-elemen fssnya. Mengenalkan sebuah potensal 4-vekto (4.9) hanyalah konstuks matemats yang dapat mempetahankan pesamaan Maxwell homogen dan mengubah bentuk pesamaan tak-homogen menjad fomulas elatvstk. Secaa matemats n dapat dbenakan, namun apa makna fss da kuanttas-kuanttas φ dan belumlah jelas meskpun pesamaan (4.9) menentukan secaa khusus medan lstk dan medan magnet dalam ungkapan φ dan. In beat bahwa φ dan dapat dplh sembaang yang akbatnya φ dan menjad tdak unk. ndakan ada sebuah potensal bau yang juga tdak mengubah ungkapan medan lstk E dan medan magnet B, f ( x) φ( x) φ '( x) = φ( x) +, (4.a) t ( x) '( x) = ( x) f ( x). (4.b) Dsn f ( x ) adalah sebuah fungs sembaang yang kemudan dnamakan fungs gauge. Maka dengan mensubsttuskan ke pesamaan (4.8) dpeoleh ' f ( x) E E ' = φ ' = φ( x) + ( x) f ( x) t t t f ( x) = φ( x) ( x) + f ( x) t t t f ( x) f ( x) = φ( x) ( x) + t t t = φ( x) ( x) t B B' = ' = ( x) f ( x) 9
= ( x) = ( x) ( f x ) Bandngkan hasl tansfomas pesamaan d atas dengan pesamaan (4.8), dapat dlhat bahwa ungkapan medan lstk E dan medan magnet B mash dpetahankan oleh tansfomas (4.). Pesamaan tansfomas (4.) dnamakan tansfomas gauge. Kaena tu pesamaan Maxwell nvaan tehadap tansfomas gauge. Hukum-hukum fska yang tdak beubah tehadap tansfomas gauge dkatakan nvaan gauge. Bentuk kovaan da tansfomas gauge adalah ' = + f, (4.) Dengan mensubsttuskan pesamaan (4.) ke pesamaan (4.3), dpeoleh ungkapan untuk potensal 4-vekto sebaga bekut ν ν 4π ν ( ) = j, (4.) c Dengan mengubah-ubah ungkapan potensal dapat dlhat bahwa peubahan potensal tdak mempengauh medan-medannya, maka da pesamaan (4.) dapat dpaksakan sebuah deajat kebebasan dengan memlh f tetentu sedemkan sehngga tansfomas memenuh syaat gauge Loentz, Sehngga pesamaan (4.) menjad φ = + =. (4.3) c t ν 4π ν = j, (4) c Pesamaan n kemudan membekan dua buah pesamaan gelombang φ 4π φ = 4 πρ, = j, (4.5) c t c t c Solus da pesamaan n membekan potensal Lenad-Wechet. Dalam vakum, pesamaan (4.4) membekan sebuah tafsan ν dalam ungkapan fungs gelombang untuk patkel tak bemassa (foton) ν =, (4.6)
Dalam hal n, pesamaan (4.5) seupa dengan pesamaan KG untuk patkel tak bemassa. Seupa dengan kasus pesamaan Dac, solus pesamaan (4.6) adalah solus p = E, p untuk gelombang bdang dengan momentum da sebuah genealsas da pesamaan Maxwell yang membekan sebuah pesamaan untuk patkel spn- bemassa, 6 F ν m ν + =. (4.7) Pesamaan n dnamakan dengan pesamaan poca. Dengan mengambl dvegensnya maka dpeoleh m =. (8) ν ν Kaena m maka ν =, yatu sebuah gauge Loentz. Sebagaman telah djelaskan sebelumnya, F ν ν adalah nvaan gauge. Tetap melalu pesamaan (4.7), bahwa patkel spn- bemassa tdak nvaan gauge. Dengan mensubsttuskan pesamaan (4.8) ke pesamaan (4.7) maka pesamaan gelombang untuk patkel spn- bemassa adalah dmana = ( m ) + ν =. (4.9). Solus da pesamaan d atas adalah ± p x = ε x p e Syaat gauge Loentz mengakbatkan p ( p). (4.) ε =. Dalam keangka dam ada tga kemungknan solus bebas, msalnya (, ελ ) dmana vekto ε λ membentuk bass untuk epesentas spn-. Oleh kaena tu medan vekto menggambakan patkel spn-. Contoh 4.7. Calah komponen tenso medan kovaan F da tenso medan kontavaan. Jawab: Dengan mengngat tenso metk g ν adalah dagonal maka F = g g F = g g F = B αβ α β 3 Komponen-komponen yang lan dapat dca dengan mengkut langkah n. 6 Ryde, L.H., Quantum Feld Theoy, Bab II hal. 67.
4.4 Lagangan medan spn-, spn-/ dan spn- 4.4. Pesamaan Eule-Lagange Dengan memlh apat Lagangan secaa tepat, pesamaan-pesamaan geak untuk medan skala (spn-), medan Dac (spn-/) dan medan vekto (spn-) yang telah kta pelaja sebelumnya dapat pula dtuunkan melalu pesamaan Eule-Lagange. Dasa kajan mekanka klask (non-elatvstk) adalah hukum II atau pesamaan dnamka Newton: d F = m, (4.) dt yang mengatkan gaya F yang bekeja pada sebuah benda bemassa m dengan pecepatan a = d dt yang dalam benda, dmana adalah vekto kedudukan benda pada saat t. Untuk gaya konsevatf, tedapat sebuah besaan fungs skala V(, t), yang dsebut eneg potensal, dmana gaya F dbekan oleh: F = V, dengan adalah opeato gaden, yang dalam sstem koodnat Katess = x ˆ + y ˆ j + zk ˆ, adalah: ˆ ˆ ˆ + j + k. (4.) x y z Untuk kasus n, pesamaan (4.) menjad: d m dt = V, (4.3) Secaa matematka, (4.3) adalah suatu pesamaan dfeensal basa ode- yang memlk solus tunggal: = (t), apabla nla kedudukan dan kecepatan d / dt, pada saat awal t = t dbekan, yakn: d ( t) =, dan = v. (4.4) dt Pesamaan (4.4) adalah syaat awal untuk memecahkan pesamaan dnamka (4.3). Jad, bla syaat awal (4.4) dbekan, maka kedudukan benda pada saat t = t' > t tetentu, yakn ' = ( t '), tetentukan secaa past! tnya, dalam menempuh pejalanan da kedudukan awal (, t ) menuju kedudukan B( ', t '), benda melewat suatu lntasan
stmewa C λ, yang dbekan oleh solus tunggal pesamaan (4.3), yakn: = (t), untuk sembaang waktu t. Kenyataan n menunjukkan bahwa geak patkel dalam pandangan mekanka klask adalah besfat detemnstk atau teamalkan. t f t B C C λ t q q f q Gamba 4.. Kemungknan lntasan C, dmana C λ adalah lntasan stmewa yang dtempuh benda lasan benda memlh suatu lntasan stmewa C λ, dan bukan yang lannya, dapat dkaj da syaat ekstm sebuah fungs yang begantung pada lntasan C penghubung ttk dan B dalam uang-waktu: S = S(C). (4.5) Dalam Gamba 4., dlustaskan kemungknan lntasan C antaa dan B, untuk kasus geak -dmens, dengan = (q), dalam dagam uang-waktu. Yakn, jka sebuah lntasan yang bebeda secaa nfntesmal da atau C λ, maka S ( Cλ' ) = S( Cλ ) + δs = S( Cλ ), C λ' adalah δ S =. (4.6) In adalah syaat ekstm atau stasone untuk fungs aks S(C). Fungs lntasan S n ddefnskan sebaga bekut: 3
t f S( C) L(, &, t) dt, (4.7) = t dengan & = d/ dt, adalah kecepatan, dan d L(, &, t) = m V (, t), (4.8) dt dkenal sebaga fungs Lagange. Fungs lntasan pada pesanaan (4.7) dnamakan fungs aks (acton). Dengan menggunakan kalkulus vaas, maka da syaat stasone (4.6) dtuunkan pesamaan Eule-Lagange: dmana q α dan q& α d dt L L =, q& α q α (4.9),, (α =,, 3), betuut-tuut adalah komponen vekto kedudukan dan kecepatan &. Koodnat q α lazm dsebut sebaga koodnat umum (genealzed coodnates). Untuk kasus dnamka sstem dengan N-buah benda ttk, maka ndeks (α =,, 3, L, 3N). Ruang bedmens 3N n dsebut uang konfguas sstem. Dalam teo medan Lagangan adalah fungs da medan φ α seta devatf tehadap x, y, z dan t. Ruas k pesamaan (4.9) hanya melput devatf waktu maka jka waktu dan uang dpelakukan sama (menuut teo elatvstk), pesamaan Eule- Lagange menjad L L = ( φ ) α φ α. (4.3) 4.4. Medan skala (spn ) Untuk menuunkan pesamaan geak da sebuah medan skala l φ ( x) apat Lagangan-nya dbekan oleh L φ φ φ = m. (4.3) Maka pesamaan geaknya dapat dpeoleh dengan menggunakan pesamaan Eule- Lagange (4.9), 4
L ( φ ) = φ ( + m ) φ ( x) = (4.3) Sedangkan untuk medan skala kompleks, apat Lagangannya adalah L = * m *, (4.33) φ φ φ φ selanjutnya dapat dpandang sebaga jumlah da apat Lagangan untuk dua buah medan skala φ dan φ dengan φ = ( φ + φ ) /. Maka kta mempeoleh dua buah pesamaan geak ( m ) φ ( x) + =, (4.34a) ( m ) φ ( x) + * =, (34b) 4.4.3 Medan Dac (spn-/) Tnjau sekaang sebuah medan spno. Lagangan yang tepat untuk menuunkan pesamaan Dac adalah ( ) L = γ m. (4.35) Vaas tehadap menghaslkan L δ L =, γ m ( ) δ =. (4.36) Sehnga dpeoleh pesamaan geak ( γ m) =, (4.37) yang menggambakan sebuah patkel spn-/ dengan massa m. Sedangkan vaas tehadap menghaslkan L ( ) = γ, δ L m δ =. (38) Sehngga dpeoleh γ + m =. (39) 5
4.4.4 Medan vekto (spn-) Tnjau sebuah Lagangan da sebuah medan vekto, Dapat dpeoleh ν λ L = Fν F + m ( ) 4 = ( + m ) gν ( λ) ν ν (4.4) L ( ν ) Yang menghaslkan pesamaan geak = + λg ( ρ ) ν ν ν ρ ( m ) ( ν λ ν ) (4.4) + =. (4.4) In dnamakan pesamaan Poca yang telah dpelaja sebelumnya yatu menggambakan sebuah patkel spn- dengan massa m. kbatnya + =, = (4.43) F ν m ν dan Contoh 4.8. Dbekan sebuah tansfomas = e θ dmana θ adalah suatu blangan konstan. Buktkan bahwa pesamaan Dac nvaan tehadap tansfomas d atas. Jawab. Tehadap tansfomas d atas maka pesamaan Dac akan betansfomas sebaga bekut dmana ( ) L L' = ' γ m ' = e θ = e θ Maka ( ) θ θ L L' = e γ m e = e γ e e m e θ θ θ θ 6
= γ m = γ m = L Jad tehadap tansfomas d atas Lagangan tdak beubah, nvaan. Rangkuman Pesamaan Klen-Godon untuk patkel spn- : ( m ) φ ( x) Solus gelombang da pesamaan KG : φ ( x) = Ne + = Et ( p x) Pesamaan Dac dengan sebaga medan spno Dac untuk patkel spn-/ ( γ m) =, Solus gelombang begantung waktu da pesamaan Dac patkel dalam keadaan kuantum dengan eneg E ( t) = ()exp( mt ), (eneg postf: patkel), ( t) = ()exp( + mt ). (eneg negatf: ant patkel). B B Solus gelombang bdang da pesamaan Dac sebaga bekut: ( s) ( x) ( s) ( ) ( s) N exp p x u p, patkel = N exp p x v p, ant patkel dmana s =,. Pesamaan Poca untuk patkel spn dbekan: dmana = ( m ) + ν =.. Solus da pesamaan d atas adalah ± p x = ε x p e Kovaan blne yatu obyek yang tdak membawa ndeks spno dan hanya melput dua buah medan spno. Tansfomas da keangka S keangka S yang begeak dengan kecepatan v seaah sumbu-x dbekan oleh ' = S, dsn S adalah sebuah matks 4 x 4,. 7
dmana S a a a + = + + γ γ = a σ a + a a σ, + = ( γ + ), a ( γ ) =, * da 6 hasl kal dengan bentuk kaena dan j bejalan da sampa 4. Ragam j kombnas lne untuk membangun kuanttas-kuanttas dengan pelaku tansfomas yang bebeda dapat dangkum sebaga bekut: = skala ( komponen) γ 5 = pseudoskala ( komponen) γ = vekto (4 komponen) γ γ 5 ( v) = pseudovekto (4 komponen) ν ( v) σ = tenso antsmetk (6 komponen) dmana 5 3 γ γ γ γ γ =, σ γ γ γ γ ν ν ν Pesamaan Eule-Lagange elatvstk dtulskan: L L = ( φ ) α φ α Lagangan da sebuah medan medan skala l φ ( x) L φ φ φ = m. Lagangan da sebuah medan spno ( ) L = γ m. Lagangan da sebuah medan vekto, ν λ L = Fν F + m ( ) 4 = ( + m ) gν ( λ) ν ν Dengan mengetahu bentuk Lagange da suatu medan maka akan ddapat pesamaan geak da medan-medan tesebut. 8
Soal-soal Lathan. Tunjukan bahwa φ / x adalah 4-vekto kovaan (φ adalah sebuah fungs skala da x, y, z dan t)!. Tunjukan bahwa pesamaan (4.3) memenuh pesamaan (4.6)! 3. Buktkan pesamaan (4.69)! 4. (a) Tunjukan bahwa syaat nomalsas yang dbekan dalam contoh 4, dnyatakan dalam spno adjont menjad uu = vv = m! (b) Calah konstanta nomalsas N dengan menggunakan pesamaan-pesamaan (4.64) jka syaat nomalsas untuk spno dbekan oleh 5. Tuunkankan pesamaan (4.64) dan (4.65)! 6. Jka () u dan () u dbekan oleh pesamaan (4.64) dan pesamaan (4.66). Buktkan bahwa ( s) ( s) (a) u u = ( γ p + m) s=, ( s) ( s) (b) v v = ( γ p m) s=, u u =! () v dan () v dbekan oleh 7. pakah pesamaan-pesamaan (4.95) nvaan tehadap pesamaan (4.85)! 8. Peoleh pesamaan (4.) da pesamaan (4.)! 9. pakah Lagangan (4.3) nvaan tehadap tansfomas φ φ = e θ φ!. Dengan menggunakan pesamaan Eule-Lagange, tuunkan pesamaan (4.4)! 9