Perumusan Ensembel Mekanika Statistik Kuantum. Part-2

Transkripsi

1 Perumusan Ensembel Mekanka Statstk Kuantum Part-2

2 Menghtung Banyak Status Keadaan Asums : partkel tak punya spn (spnless!)-> apa konsekuensnya? Karena TAK ADA INTERAKSI maka tngkat-tngkat energy yg bsa dmlk system adalah tngkat energy PARTIKEL TUNGGAL. Yang membedakan adalah berapa banyak partkel bsa menempat suatu tngkat energy tsb. Energ level system = Energy level dar 1 partkel! (non nteractng!) Energ system = total energy berdasarkan okupans partkel pada level energy partkel tunggal: ε p = p2 2πħ dengan p = 2m L n Dmana n = (n x, n y, n z ) dengan n j =0, 1, 2, dan L 3 =V.

3 Menghtung Banyak Status Keadaan Spesfkas keadaan system deal dberkan oleh set jumlah okupans { n p } dengan n p : jumlah partkel dengan momentum p. Kendala system: E = p n p ε p N = Untuk kasus spnless boson dan fermon set {n p } sudah secara unk menspesfkas keadaan system. Nla yang djnkan untuk masng-masng adalah: n p = 0,1,2,3, boson 0,1 fermon p n p

4 Gas Ideal d Ensembel Mkrokanonk Untuk Boltzmann : Mekanka Kuantum N! n p = 0,1,2,3, tetap {n p } menyatakan keadaan n 1!n 2!. system! Permutas partkel dengan momentum yg berbeda (p) berbeda tak menghaslkan dstrbus baru. Tngkat energy system N partkel adalah tngkat energy partkel tunggal. Pendekatan : spektrum energ tsb akan dbag dalam sel-sel, tap sel mengandung sejumlah level (tngkat) energ yg berdekatan.

5 Teknk Menghtung Banyak Keadaan Sstem Msal untuk sel ke- : Rata-rata level energ bernla Banyak level d sel tsb: g >>1 Jumlah partkel d sel tsb: n : jumlah n p untuk seluruh level d sel tsb. Konstran: n = N dan n ε = E Banyak cara mendstrbus N partkel ke sel-sel tsb, tap kal menghaslkan satu macam dstrbus n : W {n } Maka banyak keadaan status mcrostate terkat: Γ N, V, E = {n } W{n } Penjumlahan dlakukan terhadap berbaga cara mendstrbuskan {n } yg berbeda yg memenuh konstran d atas. Sel-3 3 Sel-2 2 Sel-1 1 Jumlah level g 3 ; n 3 g 2 ; n 2 g 1 ; n 1 Okupan s

6 Boson Sedangkan W{n }: W n = Dengan w : banyak cara mendstrbuskan partkel dentk ndstngushable sejumlah n d dalam sel ke- yang memlk jumlah level g. Nla w bergantung pada jens partkel : Fermon atau Boson. Kasus Boson: w Tap level boleh bers partkel : 0,1,2,dst Persoalan : dberkan n boson untuk menempat level energ yg berbeda sebanyak g dalam sel-.

7 Boson Pertanyaan : ada berapa banyak cara berbeda untuk mendstrbuskan boson tsb d sel- tsb yg punya g subsel? Persoalan tsb bsa dpandang sbg: Dberkan n partkel dan (g -1) parts. Carlah banyaknya cara berbeda untuk mendstrbuskan n partkel dan (g -1) parts tsb. Partkel ke: n Parts ke: 1 2 g -1 Jumlah parts g -1, sebab jumlah level ( ruang ) : g

8 Boson Banyak cara mendstrbuskan n partkel + (g -1) parts : (n +g -1)! Akan tetap : partkel dentk (undstngushable) demkan juga parts!, maka permutas n dantara partkel dalam satu sel dan permutas dantara (g -1) parts tdak menghaslkan konfguras dstnc yg baru, jad: w = n + g 1! n! g 1!

9 Fermon In berart Total seluruh keadaan yang dstnct untuk satu dstrbus {n } tertentu dar bosons adalah: (artnya seluruh n sudah ddstrbuskan dulu n 1 berapa, n 2 berapa dst) W BE n = W BE n + g 1! = w = n! g 1! Kasus Fermon: Tap level hanya boleh ds maksmum 1 partkel, jad okupans tap level:0 atau 1. Karena sel ke- memlk g level yang akan dtempat n partkel (tentu n tdak bsa > g ), berart akan ada n level yg bers 1 partkel dan ssanya (g -n ) kosong.

10 Fermon Kta bsa memandang n spt d Boson, akan tetap: Jumlah obyek yg akan ddstrbuskan, justru total jumlah levelnya : g Obyek tsb akan dparts jad 2 kelompok saja: kelompok satu masng-masng bers 1 partkel (n ), ssanya (g -n ) tdak ada partkel. Jad ada g! cara berbeda mendstrbus obyek tsb. Tetap permutas dalam tap kelompok : s (n ) dan kosong (g -n ) tdak menghaslkan keadaan baru. Sehngga banyaknya cara yang berbeda dberkan oleh:

11 Fermon w = g! n! g n! Level: g kosong (g -n ) bers (n buah) Parts hanya 1, bsa berpndah-pndah tempat In berart Total seluruh keadaan yang dstnct untuk satu dstrbus {n } tertentu dar Fermon adalah: (artnya seluruh n sudah ddstrbuskan dulu n 1 berapa, n 2 berapa dst) W FD n = W FD g! = w = n! g n!

12 Boltzon Kasus : Boltzon (Partkel maxwell boltzmann: hpotetk) Untuk partkel Boltzmann mula-mula anggap mereka terbedakan (dstngushable) dan mereka bsa menempat status keadaan yang sama sepert boson. Untuk sel ke-, ada g level (subsel) dan terdapat n partkel terbedakan yg harus ddstrbuskan ke g tsb, jelas banyaknya cara berbeda untuk mendstbuskannya adalah: Partkel ke-1, bsa menempat salah satu dar g level, Partkel ke-2, juga bsa menempat salah satu dar g level Partkel ke-n, juga bsa menempat salah satu dar g level

13 Boltzon Total cara berbeda mendstrbuskan n partkel dalam g level adalah : g n Banyak cara membagkan N total partkel ke dalam berbaga sel yang masng-masng bers n 1, n 2 dst dan permutas dalam tap sel tdak menghaslkan keadaan baru adalah (kombnas): N! n 1! n 2! Faktor koreks berkutnya (Gbbs) : 1/N!, karena permutas dantara partkel tsb sendr (N buah) tdak akan menghaslkan status keadaan baru.

14 Boltzon Sehngga total banyak konfguras {n } yang berbeda bag Boltzon n adalah: W MB n = 1 N! N! n 1! n 2! g n 1 n 1 g 2 2 = g n n!

15 Problem of The most Probable Dstrbuton Setelah mengetahu banyaknya cara berbeda mendstrbuskan partkel dentc N buah, maka selanjutnya mest dcar dstrbus {n * } sepert apa yang akan menghaslkan W yg terbesar. Dengan kata lan berapa nla masng-masng n d tap sel agar W palng besar! Entrop S dberkan oleh : S = k ln ( W n ) {n }

16 Problem of The most Probable Dstrbuton Nla log ruas kanan, untuk N besar sekal bsa ddekat dengan 1 suku saja yatu : the largest W{n }=W{n* }, dengan {n* } adalah dstrbus {n } yang akan menghaslkan the largest W : THE MOST PROBABLE STATE! Tetap dengan tetap memenuh dua kendala : total partkel dan energy Jad : Konstran: S k ln W{n } n = N dan n ε = E

17 Metoda Lagrange Multpler Memaka metoda Lagrange multpler, maka konds untuk mendapatkan W max tsb dungkapkan oleh: δ ln W{n } ασ δn + βσ ε δn = 0 Dengan α, β adalah parameter. Asums: n dan g >>1 sehngga Aproksmas Strlng boleh dpaka. Maka: Kasus : Dstrbus Bose Ensten: n + g 1! W BE n = n! g 1!

18 Dstrbus Bose-Ensten Maka: ln W BE = ln W BE ln n + g 1! ln n! ln g 1! n + g 1 ln n + g 1 (n + g

19 Problem of The most Probable Dstrbuton ln W BE δln W BE n ln 1 + g n + g ln 1 + n g δn ln 1 + g n Substtus ke : δ ln W{n } ασ δn + βσ ε δn = 0 Berart ln 1 + g n α βε δn = 0 ln 1 + g n α βε = 0

20 Dstrbus BE, FD dan MB Jad dstrbus Boson yang terkat W terbesar (most probable): g n = e α+βε n 1 (BE) Dapat dbuktkan dengan cara yg serupa untuk gas Fermon dan Boltzmann ddapatkan, the most probable dstrbutonnya: n = n = g e α+βε + 1 g e α+βε n (FD) n (MB)

21 Dstrbus BE, FD dan MB Dapat dbuktkan bahwa hubungan parameter α, β dengan thermodnamka adalah : α = μ 1 dan β = kt kt Sehngga dengan defns fugacty :z = e βμ : g n BE = z 1 e βε 1 n g FD = z 1 e βε + 1 n (MB) = g z e βε

22 Dstrbus BE, FD dan MB Pelabelan thd sel ke- yg memlk degenras g dapat dgant ke pelabelan momentum (yg unk), sehngga: n g BE = z 1 e βε n 1 1 p BE = z 1 e βε p 1 n g FD = z 1 e βε n p FD = z 1 e βε p + 1 n (MB) = g z e βε n p MB = ze βε p Pelabelan momentum p n dentc dengan menggunakan blangan gelombang k, sebab p = ħk

23 Okupans dan Jumlah Partkel Jumlah total partkel N akan dberkan oleh : N = Untuk Boson dan Fermon : 1 p n = z 1 e βε p ± 1 p n p = N Dalam lmt thermodnamka N besar, spectrum energy nyars kontnu: ε p = p2 2m, dengan p = p x, p y, p z dan p = p

24 Okupans dan Jumlah Partkel Maka p dp 4πp 2 N 0 4πp 2 dp z 1 e βp2 /2m ± 1 0 Substtus x 2 = βp2 2m : N 4π 2m β 3/2 0 4πp 2 dp e βμ e βp2 /2m ± 1 x 2 dx e βμ e x2 ± 1 Pada lmt suhu tngg β 0, N yang berhngga menuntut ntegralnya 0.

25 Okupans dan Jumlah Partkel Agar ntegralnya kecl ( 0), maka penyebutnya : Untuk β 0, maka e βμ e x2 ± 1, atau e βμ. e βμ e x2 Hal n berart dalam kasus β 0 atau suhu tngg maka dstrbus Fermon dan Boson menjad sepert Maxwell Boltzmann saja. Jka suhu tngg (β 0) maka okupans level tertentu sebandng dengan: e β(ε p μ) Jka β kecl maka okupans keadaan dengan energy tngg akan sedkt, artnya dalam hal n tak berpengaruh antara boson ataupun fermon, sebab terseda jauh lebh banyak status keadaan dbandngkan partkel yg akan menempat.

26 Perbandngkan Okupans rata-rata Dstrbus Fermon, Boson dan Boltzon ( - ) FD BE MB Nampak bahwa pada ( - ) besar dstrbus FD,BE mendekat MB. Padahal MB (klask) adalah model yg cukup bagus untuk T tngg, berart: ε μ kt Supaya bsa besar, padahal T tngg maka <0 dan magntude harus besar!

27 Pengaruh Spn partkel Jka partkel memlk spn S, maka status keadaan partkel tunggal dengan momentum tertentu p mest dlengkap dengan spn-nya (p,s). Dalam banyak aplkas kta hanya perlu memperhatkan jumlah total status keadaan yang perlu djumlahkan, msalnya untuk N: Dengan s=-s,-s+1,,s. N = s p n s,p = (2S + 1) p n p Msal untuk spn S=1/2, maka s = 1, 1, jad ada (2S+1)= 2 2 (2(1/2)+1)=2 keadaan terkat spn tsb. Jad jka spn=s, maka banyak status keadaan berlpat (2S+1).

28 Entrop Ungkapan Entrop-nya berbentuk (BE): S k ln W n = k n ln 1 + g n + g ln 1 + n g Untuk Fermon, ungkapan entropnya dapat dbuktkan menjad: S k ln W n dan Maxwell-Boltzmann S k ln W n = k n ln g n 1 g ln 1 n = k n ln g n g

29 Entrop Untuk hasl terakhr n telah dlakukan aproksmas : g, n >>1. Jka secara eksplst, n /g untuk masng-masng dstrbus, maka entrop: BE: S k n (α + βε ) g ln 1 e α βε FD : S k n (α + βε ) +g ln 1 + e α βε MB: S k n (α + βε ) Nla n untuk masng-masng dstrbus spt yg dturunkan sebelumnya!

30 Entrop Atau dengan substtus nla n, untuk Boson: ( ln z+βε S k g ) ln 1 ze βε z 1 e βε 1 Untuk Fermon: ( ln z+βε S k g ) + ln 1 + ze βε z 1 e βε +1 Maxwell-Boltzmann: S kz g e βε ( ln z + βε ) Fungs thermodnamka dperoleh dengan elmnas z dar persamaan d atas, dengan memanfaatkan kendala bag N = n

31 Contoh : Gas Boltzmann Kta paka untuk Boltzon, mula dar N = n = z g e βε = z p e βε p Untuk hasl terakhr tsb karena g adalah degeneras level energy ε, ketka dnyatakan dlm momentum maka tap p unk, jad tdak ada degeneras! Bagamana mengubah Σ? Volume elementer d ruang fasa (q,p) = h, jad banyak status keadaan: V h 3

32 Contoh : Gas Boltzmann N zv h 3 4πp 2 e βp2 2m dp = zv 0 λ 3 h Dengan adalah thermal wavelength λ =, dengan 2πmkT n bsa juga dtulskan (v = V/N): z = λ3 v Energ system E = n ε : (dengan bantuan N d atas) E = zg ε e βε zv h 3 4πp 2 p 2 0 2m = z ε p e βε p p βp 2 e 2m dp = 3 2 NkT

33 Entrop Maxwell-Boltzmann: S/k z g e βε ( ln z + βε ) Atau S/k z e βε p( ln z + βε p ) S p ε p e βε p (ln z)z e βε p k βz p S k βe N ln z p

34 Entrop S k 3 Nk N ln z 2 Dengan z = λ3 v : S k 3 2 Nk N ln(λ3 v ) S k 3 Nk N ln N 2 V h 2 2πm kt 3/2

35 Interpretas Ambl msalnya (BE): S k n (α + βε ) g ln 1 e α βε Suku Σ n = N, total partkel dan Σ n ε = E total energ. Sehngga: S k αn + βe g ln(1 e α βε ) Dapat dbuktkan bahwa art parameter dan adalah : α = μ kt dan β = 1 kt sehngga: TS μn + E kt g ln(1 e α βε )

36 Interpretas Atau: E TS + μn = kt g ln(1 e α βε ) Dar thermodnamka dperoleh hubungan: A + μn = PV Sehngga (BE): PV = kt g ln(1 e α βε ) Hasl serupa dperoleh juga untuk FD : PV = kt g ln(1 + e α βε ) Dan MB: (gas deal klask) PV = kt g e α βε = kt n = NkT