1 Sistem Koordinat Polar

Transkripsi

1 1 Sistem Koodinat ola ada kuliah sebelumna, kita selalu menggunakan sistem koodinat Katesius untuk menggambakan lintasan patikel ang begeak. Koodinat Katesius mudah digunakan saat menggambakan geak linea patikel, namun sedikit meepotkan saat digunakan untuk meninjau geak melingka 1. osisi suatu titik (misal ) dalam koodinat pola dinatakan oleh notasi (, θ), dengan menatakan jaak patikel dai suatu titik acuan (titik asal/oigin, misal disebut ) dan θ menatakan sudut antaa suatu sumbu acuan ang melalui dan gais ang menghubungkan dengan. Vekto satuan untuk koodinat pola kita simbolkan dengan {ˆ, ˆθ}. Gambaan untuk, θ, ˆ, dan ˆθ dibeikan oleh gamba beikut (gamba kii). ^θ ^ Gamba 1: Kii: besaan-besaan dalam koodinat pola. Kanan: uaian vekto-vekto satuan koodinat pola ke komponen-komponenna (wana hijau). Vekto posisi titik dinatakan dengan simbol dan digambakan dengan panah wana biu. anjang vekto tesebut adalah. Sudut θ adalah sudut ang dibentuk oleh vekto tehadap sumbu- positif. Hal ang menaik dai koodinat pola adalah aah vekto-vekto satuan ˆ dan ˆθ selalu beubah mengikuti posisi titik. Aah vekto ˆ sama dengan vekto, sedangkan aah ˆθ tegakluus ˆ dan seaah dengan aah bukaan 2 sudut θ. osisi dai titik, dapat dinatakan sebagai = = ˆ. (1) Hubungan antaa koodinat pola dan Katesius dapat dipeoleh dengan meneapkan tigonometi untuk sudut θ. Hasilna, = cos θ dan = sin θ. (2) Vekto-vekto satuan ˆ dan ˆθ juga dapat diuaikan dalam vekto-vekto satuan koodinat Katesius î dan ĵ sebagai beikut (pehatikan gamba kanan dan ingat ˆ = 1), Latihan: buktikan dˆ = ˆθ dan dˆθ = ˆ. ˆ = cos θ î + sin θ ĵ dan ˆθ = sin θ î + cos θ ĵ. (3) 2 osisi, kecepatan, dan pecepatan geak melingka Anggaplah suatu patikel ang mula-mula beada di titik lalu begeak melingka mengikuti lintasan bewana ungu pada gamba 2. osisi patikel tesebut akan beubah tehadap waktu. Jika jai-jai lintasan patikel selalu tetap, maka besaan ang beubah dai posisi patikel adalah tesebut adalah θ, sedangkan nilaina tetap. Kaena vekto-vekto satuan begantung pada θ (lihat pesamaan 3), maka selama patikel begeak aah vekto-vekto satuan ˆ dan ˆθ selalu beubah, atau meupakan fungsi dai waktu t. 1 Walaupun tentu saja, kejadian fisis ang tejadi tidak begantung sistem koodinat. Benda ang ang begeak melingka tetap akan begeak melingka, baik dilihat melalui sistem koodinat pola maupun Katesius 2 ini bukan istilah standa update: 15 Septembe 2016 halaman 1

2 v Gamba 2: atikel begeak melingka mengikuti lintasan bebentuk lingkaan. Sesuai pesamaan (1), posisi patikel adalah (t) = ˆ(t). (4) Kecepatan patikel adalah tuunan petama dai posisi tehadap waktu, sehingga dipeoleh v(t) d (t) = d 0 ˆ(t) + dˆ(t) = dˆ(t) ˆθ ω = ωˆθ, (5) dengan ω disebut kecepatan sudut. Kaena aah ˆθ tegakluus ˆ, dan ˆ seaah dengan jai-jai lingkaan, maka aah ˆθ sejaja dengan gais singgung lingkaan ungu. Dengan demikian, kecepatan v meupakan kecepatan tangensial patikel. Jika nilai kecepatan sudut ω konstan, maka nilai dai laju tangensial juga konstan. Untuk menentukan pecepatan, kita tuukan kembali kecepatan v(t) tehadap t, dipeoleh a d v(t) = d ωˆθ + dω α ˆθ + ω dˆθ ˆ ω = αˆθ ω 2ˆ, (6) dengan α dω disebut pecepatan sudut. Suku petama dai pecepatan tesebut (aitu α) disebut sebagai pecepatan tangensial, kaena aahna seaah dengan ˆθ, dan nilaina begantung pada pecepatan sudut. Jika patikel begeak dengan kecepatan sudut konstan, maka dipeoleh a = ω 2ˆ = v2 ˆ (ingat pesamaan 5). ecepatan ini disebut sebagai pecepatan sentipetal, ang aahna menuju pusat lintasan patikel. Nilai pecepatan sentipetal begantung hana pada ω (dan tentu saja ), sehingga patikel ang begeak melingka selalu memiliki pecepatan jenis ini. Sehingga, kita dapat katakan pecepatan sentipetal sebagai pecepatan ang menebabkan suatu benda begeak melingka. Jika suatu patikel memiliki kedua komponen pecepatan (tangensial dan sentipetal), maka besa pecepatan patikel tesebut adalah a = a 2 tangensial + a2 sentipetal (7) 3 Kinematika geak melingka Secaa umum, pesamaan kinematika untuk geak melingka memiliki bentuk ang seupa dengan pada geak linea. Kita dapat menuliskan, θ = θ 0 + ω 0 t αt2, (8) ω 2 t = ω aαθ. (9) Untuk mendapatkan hubungan antaa besaan-besaan sudut dengan linea, pehatikan gamba 3. Misalkan mulaupdate: 15 Septembe 2016 halaman 2

3 d ds Gamba 3: Hubungan antaa besaan-besaan sudut dengan linea pada geak melingka. Mula-mula patikel beada pada titik dan sesaat kemudian bepindah ke. anjang lintasan ang ditempuh oleh patikel adalah ds dan sudut ang dibentuk oleh vekto posisi kedua titik tesebut adalah. mula (saat t = t 0 ) patikel beada pada titik, dan sesaat kemudian (t = t 0 + ) patikel bepindah ke titik. anjang lintasan ang ditempuh oleh patikel adalah ds dan sudut ang dibentuk oleh vekto posisi pada kedua saat tesebut adalah. Untuk selang waktu ang sangat singkat dapat dianggap sebagai segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di titik. Dai hubungan tigonometi, dipeoleh tan() = ds/. Kaena sudut sangat kecil, belaku tan(), sehingga dipeoleh = ds/, atau ds =. (10) Kecepatan dan pecepatan dipeoleh dengan menuunkan jaak tesebut tehadap waktu, v ds = = ω (11) a dv = dω = α. (12) Sekali lagi, kita peoleh hasil ang sama dengan pada pesamaan (5) dan (6). Namun, pelu diingat bahwa ds adalah pepindahan patikel pada aah tangensial (meninggung lingkaan), sehingga tuunan-tuunanna juga meupakan besaan tangensial (kecepatan tangensial dan pecepatan tangensial). elihat bahwa nilai pecepatan tangensial begantung pada α dω. Sehingga untuk geak melingka dengan kecepatan sudut ω konstan, pecepatan tangensial benilai nol di seluuh bagian lintasan (baik di titik,, maupun lainna). Untuk geak dengan kecepatan sudut konstan, besa dai laju tangensial juga konstan, namun aahna selalu beubah (aitu selalu meninggung lingkaan). ada besaan vekto, peubahan vekto dapat tejadi kaena beubahna besa, aah, maupun keduana. Kaena kecepatan tangensial selalu mengalami peubahan aah, maka dikatakan bahwa kecepatan tangensial selalu mengalami peubahan. Sebelumna, telah kita ketahui bahwa peubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut sebagai pecepatan. Sehingga, kita simpulkan bahwa benda ang begeak melingka dengan kecepatan sudut konstan juga mengalami pecepatan, dan pecepatan tesebut hauslah selain pecepatan tangensial. Mai kita namai pecepatan tesebut (ang mengubah aah kecepatan tangensial benda ang begeak melingka) sebagai pecepatan sentipetal. Untuk mendapatkan pecepatan sentipetal, kita pelu meninjau peubahan kecepatan tangensial saat di titik bila dibandingkan dengan saat di titik. Untuk kepeluan ini, mula-mula kita tinjau geak melingka dengan laju konstan dan menggambakan vekto kecepatan di kedua titik sepeti pada gamba 4 (gamba kii). Selisih kedua vekto kecepatan dituliskan sebagai v = v v (gamba kanan). elihat bahwa segitiga ang dibentuk oleh vekto-vekto posisi (aitu,, dan ) dan vekto-vekto kecepatan ( v, v, dan v) konguen. ebandingan sisi-sisi kedua segitiga membeikan = v v atau v = v. (13) update: 15 Septembe 2016 halaman 3

4 Sehingga kita dapat menentukan pecepatan, a v t = v = v2 t. (14) v Aah dai pecepatan sentipetal ditentukan oleh aah vekto v. Dai gamba, telihat bahwa aah v adalah menuju pusat putaan. elah kita dapatkan besa dan aah pecepatan sentipetal sepeti pada bagian sebelumna. Δ v Dq v Δθ Δθ Gamba 4: Kii: gambaan vekto-vekto posisi dan kecepatan benda saat beada pada titik dan. Kanan: jika titik dan dibuat behimpit, maka segitiga ang dibentuk oleh vekto-vekto posisi dan peubahanna (,, ) seta vekto-vekto kecepatan dan peubahanna ( v, v, v) adalah dua segitiga ang konguen. ehatikan pula bahwa aah v bekebalikan dengan. 4 Gaa Sentipetal Secaa sedehana, gaa sentipetal adalah gaa-gaa ang menghasilkan pecepatan sentipetal. Dengan demikian, gaa sentipetal adalah jumlah semua komponen gaa ang bekeja pada benda dan aahna menuju pusat putaan. Contoh ang cukup sedehana, ketika sebuah benda diikat oleh tali kemudian diputa hingga membentuk lintasan lingkaan pada bidang hoizontal, tegangan tali (ang aahna menuju pusat putaan) bepean sebagai gaa sentipetal. Sehingga pada aah adial belaku F = masentipetal = mv 2 /. (15) Gamba 5: Benda diikat tali dan beputa dalam lintasan lingkaan ang beada pada bidang hoizontal. Anak panah meah menunjukkan aah putaan benda. Contoh beikutna, jika lingkaan ang dilintasi benda teikat tali tesebut beada pada bidang vetikal. Ketika benda beada di posisi tetinggina, maka benda mengalami gaa tegangan tali (kita sebut ) dan gaa beat update: 15 Septembe 2016 halaman 4

5 (mg) ke bawah (menuju pusat putaan), maka saat itu gaa sentipetal ang bekeja pada benda adalah jumlahan kedua gaa tesebut. Sehingga pada aah adial belaku, F = masentipetal + mg = mv 2 / (16) Kemudian ketika benda beada di titik teendahna, aah tegangan tali adalah ke atas (menuju pusat putaan) dan gaa beat ke bawah (menjauhi titik pusat putaan), sehingga gaa sentipetal ang dialami benda adalah mg, F = masentipetal mg = mv 2 / (17) mg mg Gamba 6: Benda diikat tali dan beputa dalam lintasan lingkaan ang beada pada bidang vetikal. Gamba kii menunjukkan diagam benda bebas saat benda beada di titik tetinggi lintasan, sedangkan kanan saat benda beada pada titik teendahna. Anak panah meah menunjukkan aah putaan benda. update: 15 Septembe 2016 halaman 5