II. KINEMATIKA PARTIKEL

Transkripsi

1 II. KINEMATIKA PARTIKEL Kinematika adalah bagian dai mekanika ang mempelajai tentang geak tanpa mempehatikan apa/siapa ang menggeakkan benda tesebut. Bila gaa penggeak ikut dipehatikan, maka apa ang dipelajai meupakan bagian dai dinamika. Patikel adalah benda dengan ukuan ang sangat kecil. Patikel meupakan suatu pendekatan/model dai benda ang diamati. Pendekatan benda sebagai patikel dapat dilakukan bila benda melakukan geak tanslasi muni. Geak disebut geak tanslasi bila selama begeak sumbu keangka acuan ang melekat pada benda (,,z ) selalu sejaja dengan keanggka acuanna sendii (,,z). 1. PERGESERAN, KECEPATAN dan PERCEPATAN 1.1. Pegesean Posisi dai suatu patikel di dalam suatu sistem koodinat dapat dinatakan dengan vekto posisi: = iˆ + j ˆ....1 Jika posisi suatu patikel pada koodinat katesian tedapat pada titik (,), maka vekto posisi dapat dinatakan sebagai beikut : (,) = iˆ + j ˆ Patikel begeak dai pisisi petama 1 ke posisi kedua melalui lintasan sembaang (tidak haus luus). Pegesean meupakan suatu vekto ang menatakan pepindahan patikel dai posisi petama ke posisi kedua melalui gais luus. Dengan demikian, pegesean didefinisikan: =

2 Sebagai contoh: sebuah patikel pada saat t 1 beada pada posisi 1 begeak pada suatu lintasan hingga pada saat t sudah beada pada posisi. Maka pepindahan/ pegesean patikel tesebut dinatakan oleh. A A 1 B 1 B 1.. Kecepatan Petikel begeak dengan suatu lintasan tetentu. Pada saat t 1, patikel beada pada posisi 1 dan pada saat t patikel beada pada posisi. Kecepatan adalah pegesean patikel tiap satuan waktu Kecepatan ata-ata Kecepatan ata-ata didefinisikan sebagai peubahan posisi (pepindahan/pegesean) suatu patikel selama selang waktu tetentu. Secaa matematis diumuskan : 1 v = =....3 t t Kecepatan sesaat. Kita dapat menghitung kecepatan pada saat tetentu dai sebuah patikel ang sedang begeak. Kecepatan semacam itu kita bei nama sebagai kecepatan sesaat. Lihat pesamaan.3 di atas, jika selang waktu pengukuan dibuat mendekati haga nol maka dipeoleh kecepatan sesaat, aitu kecepatan pada saat t tetentu. Sehingga kecepatan sesaat dapat diumuskan: v = lim....4 Pesamaan tesebut dapat dinatakan dalam bentuk : d v =....5 dt Secaa lebih umum jika kita menganalisis geak dalam dimensi, kecepatan sesaat v dinatakan : d d d v = = iˆ + ˆj dt dt dt....6 v = v iˆ + v ˆj

3 1.3. Pecepatan Sebuah patikel seingkali mengalami peubahan kecepatan selama pegeakanna. Pecepatan adalah sebuah besaan ang digunakan untuk menjelaskan kenataan tesebut. Kita mendefinisikan pecepatan sebagai peubahan kecepatan tiap satuan waktu Pecepatan ata-ata Pecepatan ata-ata adalah peubahan kecepatan dalam selang waktu. Secaa matematis diumuskan sebagai beikut: v v1 v a = =....7 t t Pecepatan sesaat Kita dapat menghitung pecepatan pada saat tetentu dai sebuah patikel ang sedang begeak. Pecepatan semacam itu kita bei nama sebagai pecepatan sesaat. Lihat pesamaan.7 di atas, jika selang waktu pengukuan dibuat mendekati haga nol maka dipeoleh pecepatan sesaat, aitu pecepatan pada saat t tetentu. Sehingga pecepatan sesaat dapat diumuskan : v a = lim Pesamaan tesebut dapat dinatakan dalam bentuk : dv a =....8 dt Secaa lebih umum jika kita menganalisis geak dalam dimensi, pecepatan sesaat a dinatakan : dv dv dv a = = iˆ + ˆj dt dt dt....9 = a iˆ + a ˆj. GERAK DALAM SATU DIMENSI dengan PERCEPATAN KONSTAN Sebuah patikel dikatakan melakukan geak satu dimensi jika selama pegeseanna patikel hana melibatkan satu sumbu koodinat saja untuk menunjukan aah geakanna. Sebagai contoh sebuah patikel ang begeak di atas pemukaan data ke aah kanan dai suatu titik acuan atau sebuah patikel ang mengalami geak jatuh bebas dai ketinggian tetentu. Kita biasa menggunakan sumbu untuk menganalisis geak pada aah hoisontal dan sumbu untuk geak vetikal. 3

4 .1. Geak dalam aah sumbu. Geak satu dimensi beati patikel begeak dalam satu aah saja, misalkan dalam aah sumbu. Sehingga pegesean, kecepatan dan pecepatan geak tesebut dinatakan : = iˆ v = viˆ....9 a = a iˆ Sekaang kita akan meumuskan bebagai keadaan dalam geak satu dimensi. Namun kaena dalam geak satu dimensi aah geak sudah ditentukan maka kita akan menganalisis geak tesebut sebatas besana saja. Peumusan kita akan dibatasi untuk geak dengan Pecepatan konstan. Suatu patikel dikatakan mengalami geak dengan pecepatan konstan manakala patikel tesebut mengalami peubahan kecepatan ang tetap tiap satuan waktu. Kita telah mendefinisikan pecepatan ata-ata pada pesamaan.7. v v1 v a = = t t1 Jika waktu mula-mula t 1 = dan t kita natakan sebagai selang waktu t, sedangkan v 1 dinatakan sebagai kecepatan awal (v o ) dan v meupakan kecepatan pada saat t ang dinatakan dengan v, maka pesamaan.7 dapat dinatakan : v v a = t v = v + at....1 Pesamaan ini menunjukan bahwa pada selang waktu t, kecepatan telah betambah sebesa a t. Jika pecepatan konstan, maka kita juga dapat menatakan bahwa kecepatan ata-atana adalah kecepatan awal (v o ) ditambah kecepatan pada selang waktu t (v ) dibagi dua : v + v v = Bedasakan pesamaan.1, kita juga dapat mengatakan bahwa v t menatakan petambahan posisi dalam selang waktu t. Dengan demikian maka posisi patikel dapat dinatakan : = + v t....1 Dengan mensubstitusikan pesamaan.11 ke dalam pesamaan.1, maka dipeoleh : = 1 + ( v v ) t

5 Sekaang kita subtitusikan pesamaan.1 ke pesamaan.13, sehingga dipeoleh : 1 = + ( v + v + at) t Akhina dipeoleh : 1 = + v t + at vt v Bedasakan pesamaan.1 kita juga bisa meumuskan bahwa : t = a Jika pesamaan tesebut ang kita subtitusikan ke pesamaan.13, maka dipeoleh : = 1 + ( v ) + v t 1 v v = + ( v )( ) + v a Jika kita selesaikan pesamaan tesebut maka dipeoleh : = v + a( ) v Pembahasan ang bau saja kita lakukan telah membawa kita pada suatu benang meah di mana kita dapat menghubungkan keempat vaiabel dalam kinematika, aitu posisi, kecepatan, pecepatan dan waktu dalam satu paket pesamaan. Semua pemasalahan tentang geak patikel dapat diselesaikan dengan menggunakan 4 buah pesamaan beikut : v = v + at (tanpa : ) = 1 + ( v v ) t + (tanpa : a) 1 = + v t + at (tanpa : vt ) = v + a( ) (tanpa : t) v.. Geak dalam aah sumbu. Pesamaan geak dalam aah sumbu dituunkan pesis sama dengan pesamaan-pesamaan ang sudah dipeoleh pada bagian.1 di atas. Sehingga kita akan menuliskan keempat pesamaan pokok geak dalam aah sumbu secaa langsung sebagai beikut : v = v a t (tanpa : ) + = 1 + ( v v ) t + (tanpa : a) 1 = + vt + a t (tanpa : v t ) v = v + a ( ) (tanpa : t) 5

6 Contoh geak dalam aah sumbu adalah Geak Jatuh Bebas dan Geak Vetikal Ke atas...1. Geak Jatuh Bebas Geak jatuh bebas adalah kondisi khusus dai geak dalam aah sumbu. Suatu patikel dikatakan mengalami Geak Jatuh Bebas ketika patikel tesebut jatuh dai ketinggian tetentu ( o ) dengan kecepatan awal v o = dan dipecepat ke bawah oleh pecepatan gavitasi bumi (g). Dengan kata lain, pada Geak Jatuh Bebas dibelakukan v o =, o = dan a = g. Kaena aah geak selalu ke bawah, maka aah ke bawah dibei tanda positip. Dengan memasukan batasan-batasan tesebut dalam 4 pesamaan pokok geak 1 dimensi dipeoleh pesamaan-pesamaan untuk Geak Jatuh Bebas sebagai beikut: v = gt = 1 v t = gt v = g Geak Vetikal Ke atas Geak vetikal ke atas tejadi manakala suatu patikel dilempakan secaa vetikal ke atas (membentuk sudut tehadap sumbu ) dengan kecepatan awal (v ) tetentu. Patikel akan mengalami pecepatan negatif (pelambatan) akibat adana pecepatan gavitasi bumi (g) pada aah ang belawanan dengan aah kecepatan. Kaena mengalami pelambatan maka pada saat tetentu patikel akan mencapai titik tetinggina (behenti) lalu tejatuh. Bedasakan definisi tesebut, maka kita dapat menuunkan paket pesamaan untuk Geak Vetikal Ke Atas sebagai beikut : = v gt.... v = 1 + ( v v ) t = + v t gt.... = v g( )....3 v 6

7 3. GERAK DUA DIMENSI Geak dua dimensi adalah suatu geak patikel ang lintasanna dapat diuaikan ke dalam komponen geak pada aah sumbu dan sumbu. Atina dalam Geak Dua Dimensi ini kita akan menggabungkan pesamaanpesamaan pokok pada geak dalam aah sumbu dan pesamaan-pesamaan pokok geak pada aah sumbu. Komponen Geak Dalam Sumbu v v + at = = 1 + ( v v ) t + 1 = + v t + at = v + a( ) v Komponen Geak Dalam Sumbu v v a t = + = 1 + ( v v ) t + 1 = + vt + a t v = v + a ( ) Kita akan menunjukan bebeapa contoh Geak Dua Dimensi diantaana Geak Peluu dan Geak Melingka Geak Peluu Geak peluu meupakan geak dalam dimensi (bidang). Contoh kongkit dai geak ini adalah geak peluu ang dilepaskan dai sebuah pemicu (misalna: pistol) dengan membentuk sudut tetentu dai aah hoisontalna. Lintasan ang tebentuk adalah sebuah kuva paabolik. v v v v v v v v v v Posisi awal peluu teletak di pusat koodinat, jadi = dan =. Peluu mempunai kecepatan awal v. Kecepatan awal peluu ini dapat diuaikan menjadi komponen-komponenna : v = v cos θ v = v sin θ Setelah peluu melaang di udaa, pada peluu hana bekeja pecepatan gavitasi ang aahna ke bawah: a = -g a = 7

8 Bedasakan keadaan sebagaimana ang telah diuaikan, pesamaan geak ang digunakan dalam menganalisis geak peluu adalah sebagai beikut: Komponen Geak Dalam Sumbu v = v o cosθ = ( vo cosθ ) t Komponen Geak Dalam Sumbu v = v sin θ - gt = 1/ (v sin θ + v ) t = (v sin θ) t - 1/ g t v t = (v sin θ) g Besa kecepatan patikel pada saat t adalah : v = v + v....4 Aah kecepatan tehadap sumbu dipeoleh dengan menguku kemiingan antaa kedua vekto kecepatan. Secaa matematis diumuskan: v tan α =....5 v Dengan mensubstitusikan t dai pesemaan posisi ke pesamaan posisi : = ( vo cosθ ) t = ( v sin ) t 1 o θ gt dipeoleh: = (tanθ ) g /(v cos ) o θ....6 [ ] Pola pesamaan.6 dapat dituliskan: = A - B Bedasakan pesamaan tesebut tampak bahwa secaa matematis lintasan peluu beupa lintasan paabolik. 8

9 3..Geak Melingka Geak melingka adalah geak suatu benda pada lintasan ang bebentuk lingkaan (melingka). B B θ A θ Kecepatan Sudut dan Kecepatan Linie Suatu patikel pada saat t 1 beada di titik A telah menempuh sudut sebesa θ 1, pada t telah beada di titik B dan menempuh sudut sebesa θ. Maka kecepatan sudut dinatakan: θ θ1 ω =....7 t t 1 Kecepatan sudut didefinisikan sebagai peubahan sudut ang ditempuh pada selang waktu tetentu. Jika dibuat sangat kecil (mendekati nol), maka dipeoleh kecepatan sudut sesaat pada waktu t: θ dθ ω = lim = dt....8 Selain kecepatan sudut, pada geak melingka juga bisa dianalisis kecepatan linie (kecepatan singgung). Kita misalkan patikel bepindah dai titik A ke titik B pada lintasan lingkaan ang bejai-jai R. B S A V t θ R R V t V t Peubahan sudut selama pegeakan untuk menempuh panjang busu S adalah θ. Maka kita dapat membuat hubungan: S θ =....9 R 9

10 Jika pesamaan.9 semua uas dibagi dengan, maka dipeoleh: θ S = R Kini dibuat mendekati nilai nol, maka dipeoleh: θ 1 S lim = lim R ω = V T R Dengan demikian, dapat dipeoleh hubungan antaa kecepatan singgung (V T ) dengan kecepatan sudut (ω) sebagai beikut: V T = ωr....3 Kecepatan singgung V T menunjukan kecepatan tangensial (linie) dai sebuah geak melingka Pecepatan Sudut dan Pecepatan Linie Jika selama geak kecepatan sudut benda beubah sebesa ω dalam selang waktu, dikatakan benda mempunai pecepatan sudut. Pecepatan sudut ata-ata didefinisikan sebagai peubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu: α = ω Jika dibuat mendekati haga nol, maka akan dipeoleh pecepatan sudut sesaat, aitu pecepatan sudut pada saat t. ω dω d θ α = lim = = dt dt Bedasakan dalil antai: dω dθ dω dω α = = ω = ω dθ dt dθ dθ

11 Jenis paling sedehana geak melingka dengan pecepatan adalah apabila geak tesebut memiliki pecepatan sudut ang tetap. Dalam kejadian sepeti ini, peumusan pesamaan-pesamaan geak melingka dapat dipeoleh sebagai beikut: Jika dω dt = = α = konstan ω, maka dapat dituliskan bahwa: dω α dt ω = αt + Pesamaan.36 meupakan pesamaan untuk mencai kecepatan sudut pada saat t jika diketahui pecepatan sudut α dan kecepatan sudut awal ω. Jika pesamaan.36 tesebut disubtitusikan pada pesamaan.8, dipeoleh: dθ ω = dt dθ = ωdt = αt + ω ) dt ( Pesamaan.37 diselesaikan dengan caa mengintegalkan kedua uas, maka dipeoleh: = dθ ( αt + ω ) dt θ = ωt + αt + θ Jika kita menelesaikan pesamaan dalil anatai (pesamaan.35) dengan caa mengintegalkan kedua uasna, maka dipeoleh bentuk lain dai pesamaan geak melingka sebagai beikut: dω α = ω dθ αdθ = ωdω 1 1 αθ = ω ω ω = ω + αθ Sampai di sini kita telah melihat betapa pesamaan-pesamaan geak melingka begitu miip dengan pesaaan pada geak linie. 11

12 Sekaang kita akan menganalisis efek pecepatan sudut pada geak melingka tehadap geak liniena. Diumpamakan suatu patikel begeak melingka beubah beatuan (pecepatan sudut tetap). Pada saat t o benda begeak dengan kecepatan ω o, lalu dipecepat oleh pecepatan sudut tetentu sehingga pada saat t kecepatan sudut telah beubah menjadi ω. Akibat adana peubahan kecepatan sudut ini, kecepatan singgung juga mengalami peubahan: = Rω Rω = R ω v T ω,v Tt....4 R ω, V T Adana peubahan kecepatan singgung V T (kecepatan tangensial), menunjukan juga adana pecepatan pada aah tangensial. vt ω at = lim = R lim Dipeoleh: a T = Rα....4 Pecepatan tesebut seaah dengan aah kecepatan singgungna, dan oleh kaena itu disebut sebagai pecepatan tangensial. Bedasakan uaian tesebut, dapat dijelaskan bahwa pecepatan tangensial tejadi kaena adana pecepatan sudut. Secaa inci dapat disebutkan bahwa adana pecepatan sudut mengakibatkan peubahan kecepatan sudut, peubahan kecepatan sudut mengakibatkan peubahan kecepatan singgung (kecepatan tangensial), peubahan kecepatan singgung/tangensial menunjukan adana pecepatan tangensial. Petanaanna, apakah pada geak melingka beatuan, aitu geak melingka dengan kecepatan sudut tetap (pecepatan sudut = ), benda memiliki pecepatan linie? Pada geak melingka beatuan, patikel begeak dengan besa kecepatan konstan, tetapi aah kecepatan tidak konstan/beubah. Hal ini mengakibatkan, 1

13 patikel tesebut juga mengalami pecepatan linie. Ingat kembali definisi umum tentang pecepatan sebagai peubahan kecepatan tiap satuan waktu. Kecepatan meupakan besaan vekto (memiliki besa sekaligus aah). Akibatna, pecepatan timbul kaena adana peubahan besa maupun aah kecepatan atau kedua-duana. Walaupun besa kecepatan konstan (panjang vekto v o = v t ), namun jika tejadi peubahan aah geakan maka timbul juga peubahan kecepatan. Adana peubahan kecepatan menunjukan adana pecepatan. v t v o v t v θ v o Meskipun panjang vekto Vo = Vt, namun aah keduana tidaklah sama, sehingga menimbulkan adana selisih vekto Vt dan Vo sepeti ang ditunjukan oleh gamba. Dengan demikian, dapat dituunkan pesamaan pecepatan sebagai beikut: v a = lim θ θ = limv = v lim Sehingga dipeoleh: a = vω Dengan mensubtitusikan pesamaan.31 ke dalam pesamaan.44, maka dipeoleh: a R vt = vtω = R Kaena pecepatan tesebut selalu beaah pada pusat lingkaan, maka kita menamaina sebagai pecepatan adial (a R ). 13

14 Dengan demikian, pada geak melingka beatuan masih dijumpai adana pecepatan linie aitu pecepatan adial. Pecepatan ini muncul kaena adana peubahan aah kecepatan tangensial. Bedasakan uaian di atas, kita telah menemukan dua komponen pecepatan linie pada geak melingka, aitu pecepatan tangensial dan pecepatan adial. Kedua pecepatan memiliki pebedaan aah ang saling tegak luus, sehingga esultan antaa keduana diumuskan: a = + a R a T a T a R 4. KECEPATAN DAN PERCEPATAN RELATIF Bila suatu patikel begeak dalam suatu keangka (S ) dan keangka tesebut juga begeak tehadap keangka diam (S) ang lain, maka kecepatan dan pecepatan patikel tesebut tegantung pada keangka mana dilihat. 14

15 S A=A S u t = S A ut t = t A s u Pada saat t = patikel menuut keangka S beada di titik A dan menuut keangka S beada di titik A, dimana kedua titik tesebut beimpit. Bila keangka S begeak dengan kecepatan konstan u sejaja sumbu maka pada saat t = t titik A telah begese sejauh ut dai A. Apabila titik A begeak dalam keangka S sejauh maka posisi patikel dilihat oleh keangka S adalah, dimana: = ut Jika pesamaan.47 tesebut dituunkan tehadap waktu dipeoleh: d/dt = u + d /dt v = u + v Jadi kecepatan patikel elatif tehadap keangka S, aitu v, meupakan jumlah vekto kecepatan v (kecepatan patikel tehadap keangka S ) dan u (kecepatan keangka S tehadap S). Kaena u konstan maka jika pesamaan.48 dituunkan sekali lagi tehadap waktu akan dipeoleh: dv/dt = du/dt + dv /dt dv/dt = dv /dt a = a Dapat dikatakan bahwa dalam keangka ang begeak elatif tehadap keangka lain dengan kecepatan konstan, pecepatanna akan nampak sama. 15

16 16