BAB. FUNGSI DUA PEUBAH. PENDAHUUAN Pada baian ini akan dibahas perluasan konsep pada unsi satu peubah ke unsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini anda seharusna dapat: - Menentukan domain dan rane unsi dua peubah atau lebih - Membuat sketsa raik unsi dua peubah - Menentukan it dan menelidiki kekontinuan unsi dua peubah.. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU EBIH Pada kalkulus kita telah membahas tentan unsi satu peubah baik eksplisit maupun implisit. Berikut kita inat kembali unsi satu peubah A B Rane Domain D dinotasikan R
Pada unsi satu peubah : A B A R dan B R denan R himpunan semua bilanan real Graik unsi { D }berupa himpunan titik di R dapat berupa aris lurus atau lenkun. Selanjutna pada kalkulus lanjut ini akan kita bahas lanjutanna aitu tentan unsi denan dua variabel atau lebih. Kita telah belajar unsi satu peubah dalam hal ini merupakan peubah bebas dan peubah tak bebas. Akan diperluas menjadi unsi denan peubah lebih dari satu misal: h + z z e 3 4 + 43 + 4 A B z rane R Domain D Pada unsi dua peubah : A B A R R dan B R Graik unsi {z z D } berupa himpunan titik di R 3 dapat berupa luasan di R 3.
Perhatikan bahwa notasi unsi denan peubah lebih dari satu tidak berbeda denan penulisan unsi denan satu peubah. Funsi z adalah unsi denan dua peubah denan peubah bebas and serta z sebaai peubah tak bebas. Funsi w z adalah unsi denan tia peubah. peubah dan z merupakan peubah bebas dan w peubah tak bebas. Nilai dari unsi denan dua peubah atau lebih dapat ditentukan denan memasukkan nilai-nilai dan : Contoh. : + 3 + 3 4 + 9 7 4 3 4 + 3 6 + 9 4 5 5 + 5 + 5 + Deinisi.. Funsi dua peubah adalah suatu unsi dari dua peubah dan adalah suatu aturan an menawankan di dalam suatu himpunan D D disebut domain denan suatu nilai tunal unique value dari an dinatakan denan. Secara sama dapat dideinisikan unsi denan lebih dari dua peubah. Operasi-operasi pada unsi satu peubah dapat diperluas untuk unsi denan dua peubah atau lebih.misalna untuk unsi denan dua peubah dan : ± ± asalkan 3
Domain unsi dua peubah Jika domain tidak diberikan maka domain adalah himpunan semua titik sedemikian sehina unsi terdeinisi. Misal perhatikan unsi 3 + and Domain dari adalah seluruh titik di bidan XY. Setiap pasanan akan memberikan nilai real bai. Domain adalah himpunan di bidan XY sedemikian sehina perkalian lebih dari. Jadi domainna adalah semua titik di kuadran I dan III. Contoh. : Tentukan domain unsi: 5 Penelesaian: Domain memenuhi: adalah himpunan semua titik an atau 5 5 + Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di dalam linkaran: + 5 Contoh.3: Tentukan domain dari unsi: Penelesaian: z + + z 6 Perhatikan bahwa adalah unsi denan tia peubah sehina domainna tidak berada dalam bidan XY tetapi di sistem koordinat tia dimensi. 4
Funsi akan terdeinisi jika: + + z 6 atau + + z 6 Denan demikian domainna berupa himpunan pasanan terurut z an memenuhi. + + z 6. Contoh.4: Tentukan domain unsi: Penelesaian: h ln Kita tahu bahwa arument dari unsi loaritma harus lebih besar dari maka > Ini akan terjadi di kuadran I dan III. Catat bahwa titik-titik di sepanjan sumbu dan sumbu tidak termasuk dalan domain tersebut. 5
Graik unsi dua peubah atau lebih Penambaran raik unsi akan sanat membantu dalam memehami suatu unsi. Graik dapat memberikan ilustrasi atau sebaai representasi visual dari suatu persamaan. Graik dari unsi denan dua peubah denan domain D adalah himpunan semua titik z di R 3 sedemikian sehina z dan berada di D. Graik dari unsi z adalah luasan permukaan dalam ruan dimensi 3. Sedankan raik dari unsi tia peubah w z akan berupa himpunan titik-titik z w an dalam hal ini z adalah sebaai domainna. Graik dari unsi w z adalah dalam ruan dimensi 4. Kita akan mencoba menambarkan raik unsi dua peubah tetapi kita tidak dapat menambarkan raik dari unsi denan 3 peubah atau lebih. Contoh.5: Tentukan domain dan rane dari unsi berikut kemudian sketsakan raikna. z 5 Penelesaian: Dari contoh kita telah tahu bahwa domainna berupa himpunan titik-titik pada dan di dalam linkaran denan jari-jari 5 aitu himpunan titik-titik an memenuhi pertaksamaan: 5 Rane dari z adalah semua kemunkinan nilai z. Rane ini harus non neati karean z adalah akar-akar prinsip denan domain: Nilai dalam akar bervariasai antara dan 5. + + 5 Jadi rane-na adalah z 5 6
Perhatikan bahwa denan menkuadratkan kedua sisi persamaan: Diperoleh: atau z z 5 5 + + z 5 Kita tahu bahwa ini akan berupa bola denan jari-jari 5. Tetapi perhatikan bahwa unsi: z 5 dan persamaan: + + z 5 tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebaai suatu unsi dari dan artina setiap tidak memberikan nilai tunal untuk z. Bahwa unsi di atas mempunai rane z 5 berarti bahwa unsi ini berupa baian setenah atas dari bola. Selanjutna untuk menambarkan raikna terlebih dahulu kita akan menambarkan jejak-jejak di bidan koordinat.. Jejak di bidan jadi dalam hal ini z adalah: 5 atau + 5 Merupakan linkaran berpusat di O denan jari-jari 5 di bidan.. Jejak di bidan z adalah: z 5 atau + z 5 inkaran berpusat di O berjari-jari 5 pada bidan z. 7
3. Jejak di bidan z adalah: z 5 atau + z inkaran berpusat di O berjari-jari 5 di bidan z. Selanjutna kita dapat menambarkan jejak di bidan an sejajar denan bidan koordinat. 4. Untuk z 3: 3 5 atau + 6 Jadi pada bidan z 3 an sejajar denan bidan jejak berupa linkaran berpusat di 3 denan jari-jari 4. 5. Untuk z 4: 5 4 5 atau + 9 Maka pada bidan z 4 an sejajar denan bidan jejak berupa linkaran berpusat di 4 denan jari-jari 3. Berdasarkan kea jejak di atas aitu tia jejak di bidan koordinat ditambah dua jejak di bidan an sejajar denan bidan maka diperoleh sketsa raikna sebaai berikut: 8
raik zsqrt5- - 5 4.5 4 3.5 3.5 4 - -4-4 - 4 ATIHAN. Sketsakan raik luasan permukaan dari unsi:...3. IMIT FUNGSI imit dan kekontinuan unsi dua peubah atau lebih pada dasarna tidak jauh berbeda denan it dan kekontinan unsi satu peubah.deinisi it diberikan sebaai berikut. Deinisi. : Diketahui unsi bernilai real denan daerah deinisi himpunan terbuka D di R dan ab D a b jika dan hana jika untuk setiap bilanan ε > terdapat bilanan δ > sehina untuk setiap D an memenuhi < a + b < δ berlaku < ε. Contoh.6: 9
. 3 3 +.. b b a Siat. : Jika dan maka i ] [ + + ii ] [ iii ] [ iv k K K ] [ konstanta v i. Catatan: Dalam konsep it ini:. tidak harus terdeinisi di ab. Jika b a ada maka baaimanapun carana mendekati ab nilai selalu mendekati. Contoh.7 : Jika + maka tidak ada.
Penelesaian : Tunjukkan! Titik dapat mendekati melalui tak hina banak arah. Untuk itu akan dilihat ketika mendekati sepanjan sumbu sumbu. dan aris m. Jika mendekati sepanjanmelalui sumbu jadi maka + + Di sisi lain mendekati sepanjanmelalui sumbu maka + + Terlihat bahwa dari dua arah an berbeda diperoleh nilai an berbeda denan demikian dapat disimpulkan bahwa it tidak ada untuk. Pada contoh di atas kita tidak perlu mencari it dari arah lain karena dari dua arah sudah didapatkan nilai an berbeda sehina dapat seera disimpulkan bahwa itna tidak ada. Jika dari dua arah tersebut nilaina sama perlu dicari dari arah lainna misal arah m.
atihan.3 : Tentukan nilai it unsi berikut jika ada.. 3 + +. + 3 + + 3. + 4. 3 + 5. + 6. 4 + 7. +.4 KEKONTINUAN FUNGSI Kekontinuan unsi dua peubah diberikan dalam deinisi berikut. Deinisi.3: Misalkan unsi bernilai real an terdeinisi pada daerah D R dan ab D maka dikatakan kontinu di ab jika a b a b Funsi dikatakan kontinu pada D jika kontinu di setiap titik di D. Jadi untuk menunjukkan kontinu di titik ab harus ditunjukkan ketia sarat berikut dipenuhi. i. ab ada. ii. a b ada iii. a b a b
Jika salah satu sarat di atas tidak dipenuhi maka tidak kontinu di ab. Siat. : Jika dan keduana kontinu di ab maka + kontinu di ab kontinu di ab 3 kontinu di ab 4 / kontinu di ab asalkan ab. Contoh.8 : Tentukan apakah kontinu di Penelesaian: + jika jika Menunakan tes kontinuitas di : i ada ii Kita selidiki apakah it ada untuk Jika mendekati sepanjanmelalui sumbu jadi maka + + Jika mendekati sepanjan melalui sumbu maka 3
+ + Jika mendekati sepanjanmelalui maka + + 3 Dapat disimpulkan bahwa + iii + Jadi kontinu di atihan.4:. Diberikan + dan 4. + 4 4 Tunjukkan bahwa : a. untuk tidak ada. b. untuk sama denan nol. c. Jika apakah kontinu di. Selidiki titik-titik kekontinuan unsi berikut: 4
5 3. Selidiki titik-titik kekontinuan unsi berikut: +. jika jika + jika jika