BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN

Transkripsi

1 STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi A. Persamaan Lingkaran Sejak di sekolah dasar kita sudah mengenal bentuk lingkaran. Dalam matematika lingkaran didefinisikan sebagai himpunan atau tempat kedudukan titiktitik ang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu itu selanjutna disebut pusat lingkaran, dan jarakna disebut ukuran jari-jari. Perlu di bedakan antara lingkaran dan daerah dalam lingkaran, seperti pada Gambar 4.., ang berwarna biru adalah lingkaran dan daerah ang diarsir adalah daerah dalam lingkaran. Titik A pada Gambar 4.., terletak pada lingkaran, sedangakan titik B tidak terletak pada lingkaran tapi pada daerah dalam. B A Gambar 4. Gambar 4.. Dalam bidang kartesius, tiap titik dapat dinatakan sebagai pasangan terurut (,), sehingga himpunan titik-titik ang terletak pada lingkaran tertentu memenuhi persamaan tertentu ang disebut persamaan lingkaran.. Persamaan Lingkaran ang Pusatna (0,0) dan Jari-jari r Misalkan A(,) terletak pada lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r seperti terlihat pada Gambar 3., maka OA = = r. ( 0) ( 0) = = r +

2 r A(,) O(0,0) Gambar 4.3 Jadi persamaan lingkaran ang berpusat di (0,0) dan jari-jari r memiliki persamaan + = r. Contoh 4. Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di (0,0) dan melalui titik A(-3,4) Persamaan lingkaran ang pusatna O(0,0) dan jari-jari r adalah + = r. r = OA = ( 3 0) (4 0) = 9 6 = 5 Jadi persamaan lingkaran ang berpusat di (0,0) dan melalui titik A(-3,4) adalah + = 5 + = 5. Contoh 4. Diketahui titik A(0,) dan B(0,9). Tentutkan persamaan tempat kedudukan P(,) sehingga PB = 3PA. PB = 3PA Latihan. ( 0) ( 9) = 3 ( 9) = 3 ( 0) ( ( + (-9) = 9( +(-) ) = 9( ) = 9( ) = = -7 + = 9. Tuliskan persamaan lingkaran ang berpusat di O(0,0) dengan jari-jari a. 5 b. 8 c. 9 d., e. a. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik a. (,3) b. (-,) c. (4,0) d. (-6,-8) 3. Tentukan pusat dan jari-jari dari masing-masing lingkaran berikut. a. + = 36 b. + = c = 9 4. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat sama dengan pusat lingkaran + = 5, tetapi jari-jarina dua kali jari-jari lingkaran tersebut. 5. Periksa titik titik manakah ang terletak pada lingkaran + = 5 ) )

3 a. (3,4) b. (,5) c. (-5,0) d. (-,-3) 6. a. Jika A(0,) dan B(0,4) tentukan persamaan tempat kedudukan. titik P ang memenuhi PB = PA b. Jika A(0,-) dan B(0,-5) tentukan persamaan tempat kedudukan. titik P ang memenuhi PB = 5PA. Persamaan Lingkaran dengan Pusat A(a,b) dan Jari-jari r Misalkan titik P(,) terletak pada lingkaran dengan pusat A(a,b) dengan jari-jari r, maka AP = r = ( a) ( b) (-a) + (-b) = r. Persamaan (-a) + (-b) = r ini merupakan persamaan lingkaran ang titik pusatna (a, b) dan jari-jarina r P(,) A(a,b) 0-4 Gambar 4.4. Contoh 4.3 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) dengan jari-jari 5 Persamaan lingkaran itu adalah ( -3) + ( 4) = 5 ( -3) + ( 4) = 5 Latihan. Tuliskan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari berikut. a. (,), 3 b. (0,3), 4 c. (5,0), d. (-5,), 7. Carilah persamaan lingkaran a. pusat (6,8) melalui O(0,0) b. pusat (-,0) melalui (3,4) 3. Carilah pusat dan jari-jari dari setiap lingkaran berikut. a. ( -) + ( 3) = 5 b. ( -) + ( + 4) = Tentukan persamaan lingkaran ang konsentrik (sepusat) dengan lingkaran ( -) + ( 4) = 5, tetapi memiliki jari-jari dua kali jari-jari lingkaran tersebut. 5. Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di (,5) dan meninggung sumbu. 6. Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di (,-) dan meninggung sumbu.

4 7. Tentukan empat persamaan lingkaran berjari-jari 3 ang meninggung sumbu dan sumbu. 8. Tentukan persamaan lingkaran ang melalui O(0,0) dan A(4,6) dengan OA adalah diameter.. 9. Tentukan persamaan lingkaran ang melalui B(-3,5) dan C(, -) dan BC adalah diameter. 0. Diketahui A(,), B(4,6), dan C(,6). Buktikan ACB siku-siku, dan tentukan persamaan lingkaran ang melalui titik-titik A, B, dan C. 3. Persamaan Umum Lingkaran Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (-a) + (-b) = r -a + a + b + b = r + -a b + + a + b - r = 0. Bila -a = A, -b = B dan C = a + b - r, maka persamaan + -a b + a + b - r = 0 dapat ditulis sebagai + + A + B + C = 0. Dengan demikian bila diketahui persamaan lingkaran + + A + B + C = 0, maka dari koordinat titik pusatna (a,b) = (-½ A, -½B) dan jari-jari r = A B ( ) ( ) C. Contoh 4.4 Tentukan persamaan umum lingkaran ang pusatna (3, -4) dan jari-jari 5. Misalkan persamaan umum lingkaran itu + + A + B + C = 0. Absis titik pusatna a =3, maka A = -a = -6. Ordinat titik pusatna b = -4, B = -b = 8. C = a + b r = 3 + (-4) 5 = 0. Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (3,-4) dan jari-jari 5 adalah = = 0. Contoh 4.5 Tentukan koordinat titik pusat lingkaran dan jari-jari dari persamaan: = 0. A =, B = -0, dan C = -30 Titik pusatna ( - ½ A, - ½ B) dan jari-jarina r = Titik pusatna ( - ½., - ½ (-0)) = ( - 6, 5) Jari-jarina r = A B ( ) ( ) A B 0 ( ) ( ) C = ( ) ( ) ( 30) Latihan 3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut. a = 0 b = 0 c = 0 d = 0. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut. a = 0 b = 0 C = = 9.

5 3. Manakah ang merupakan persamaan lingkaran? a = 0 b = 0 c. + 5 = 0 d = 0 e. ( -) + ( ) = 6 f = 0 4. Tentukan h jika titik (h,3) terletak pada lingkaran = 0 5. Tentukan k jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran = 0 6. Jika (,) terletak pada lingkaran + + f = 0, tentukan f. 7. Jika (-,) terletak pada lingkaran g - 6 = 0, tentukan g. 8. Jika lingkaran + + A + B + C = 0 melalui O(0,0), (,3) dan (5,-5), tentukan A, B, dan C. 9. Tentukan persamaan lingkaran ang melalui (0,-), (,3), dan,6). 0. Tentukan persamaan lingkaran luar segitiga OAB bila A(-,4), B(-,7), dan O (0,0) B. Garis Singgung Lingkaran Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dan sebuah garis, maka kedudukan lingkaran dengan garis itu ada 3 kemungkinan: (i) saling berpotongan di dua titik, (ii) berpotongan di satu titik, dan (iii) tidak beririsan seperti terlihat pada Gambar k m n 8 A 6 4 B C 4 - Gambar 4.5 Garis k memotong lingkaran di dua titik B dan C, garis m ang memotong lingkaran tepat di satu titik A, sedangkan garis n tidak memotong lingkaran. Garis ang tepat memotong lingkaran tepat di satu titik seperti garis m pada Gambar 4.5., disebut garis singgung lingkaran.. Persamaan garis singgung melalui A(, ) pada Lingkaran + = r

6 Perhatikan Gambar 6., garis k meninggung lingkaran + = r di titik A(, ). Garis singgung lingkaran k itu memiliki sifat tegaklurus terhadap garis OA. Titik O(0,0) dan A(, ), maka garis OA memiliki gradien m =. Karena garis k tegaklurus garis OA maka gradien garis singgung k adalah m = saling tegaklurus bila hasil kali gradienna m.m = -) (kedua garis O A(, ) Gambar 4.6 k Titik A(, ) pada lingkaran + = r, maka + = r. Selanjutna persamaan garis k ang melalui A(, ) dengan gradien m adalah = m (- ) = (- ) = r. Dengan demikian diperoleh kesimpulan: Jika ttik A(, ) pada lingkaran + = r, maka garis singgung lingkaran ang melalui titik A adalah + = r. Contoh 4.6: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran + = 5 melalui titik (4,-3). Periksa apakah titik (4,-3) pada lingkaran atau tidak, dengan mensubsitusi ke dalam persamaan lingkaran 4 + (-3) = = 5. Artina titik(4,-3) pada lingkaran. Karena titik (4,-3) pada lingkaran maka rumus ang digunakan untuk menentukan persamaan garis singgungna adalah + = r dengan = 4 dan = -3, sehingga persamaan garis singgung itu 4 3 = 5.. Persamaan garis singgung melalui A(, ) pada Lingkaran (-a) +( -b) = r

7 Perhatikan Gambar 4.7, titik A(, ) pada lingkaran (-a) +( -b) = r dan k adalah garis singgung lingkaran ang melalui titik A. Pusat lingkaran (-a) +( -b) = r b adalah P(a,b), gradien garis PA adalah m =. Karena garis k tegak lurus PA, a maka gradienna adalah m = a b k A(, ) P(a,b) 0 Gambar 4.7. Persamaan garis k ang melalui A(, ) dengan gradien m = = a (- ) )( )( -b) = -( -a)(- ) b a adalah b ) b - + b = - + +a a ( a) + ( b) = ( a ) + ( -b ) ( -a -a + a )+ ( b b + b ) = ( + a a +a )+ ( -b -b +b ( -a)(-a) + ( b)( - b)= ( -a) +( -b) ( -a)(-a) + ( b)( - b)= r Dengan demikian diperoleh kesimpulan: Jika titik A(, ) pada lingkaran (-a) +( -b) = r maka garis singgung lingkaran ang melalui titik A adalah ( -a)(-a) + ( b)( - b)= r Contoh 4.7: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (- 4) + ( +3)= 5 melalui titik (7,). Periksa apakah titik (7,) pada lingkaran atau tidak, dengan mensubsitusi ke dalam persamaan lingkaran (7-4) + ( +3) = = 5. Artina titik(7,) pada lingkaran. Karena titik (7,) pada lingkaran maka rumus ang digunakan untuk menentukan persamaan garis singgungna adalah ( -a)(-a) + ( b)( - b)= r Dengan dengan = 7 dan =, a = 4 dan b = -3, sehingga persamaan garis singgung itu (7-4)( -4) + ( +3)( +3) = 5 3(-4) + 4(+3) = 5

8 = = 5 3. Persamaan garis singgung melalui A(, ) pada Lingkaran + + A + B + C = 0 dan Di atas telah dikemukakan bahwa dengan mensubsitusi a = - ½ A, b = - ½ B, A B r = ( ) ( ) C ke dalam persamaan (-a) + (-b) = r diperoleh persamaan umum lingkaran + + A + B + C = 0. Selanjutna jika titik A(, ) pada lingkaran (-a) +( -b) = r maka garis singgung lingkaran ang melalui titik A adalah ( -a)(-a) + ( b)( - b)= r ( -a -a + a )+ ( b b + b ) = r. Kemudian dengan mensubsitusi a = - ½ A, b = - ½ B, dan r = A B ( ) ( ) C ke dalam persamaan ( -a -a + a )+ ( b b + b ) = r, diperoleh ( + ½ A + ½ A + ( ½ A) + ( + ½ B + ½ B + (½ B) ) = (½ A) +( ½ B) C + + ½ A( - ) + ½ B( ) + C = 0. Uraian di atas menimpulkan jika A(, ) terletak pada persamaan lingkaran + + A + B + C = 0, maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut melalui titik A adalah + + ½ A( - ) + ½ B( ) + C = 0. Contoh 4.8: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 0 melalui (, -5). Periksa apakah titik (, -5) pada lingkaran atau tidak, dengan mensubsitusi ke dalam persamaan lingkaran + (-5) - () + 4(-5) 4 = 0. Artina titik(,-5) pada lingkaran. Karena titik (,-5) pada lingkaran maka rumus ang digunakan untuk menentukan persamaan garis singgungna adalah + + ½ A( - ) + ½ B( ) + C = 0 Dengan = dan = -5, A = - dan B = 4 dan C = -4 diperoleh persamaan garis singgung itu. + (-5) - ( ) + ( + 5) - 4 = = 0-3 = = 0 Latihan 4. Tunjukkan bahwa (,-3) terletak pada lingkaran + = 0 dan tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran itu di titik itu.. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran + = 3 di titik (-,3) 3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (-) + (-5) = 9 di titik (, ) 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 0 di titik (4,- ) 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 0 di titik (-,)

9 4. Sarat Garis Meninggung Lingkaran Misalkan garis k memiliki persamaan = p + q dan lingkaran + = r. Kedua persamaan ini membentuk sistem persamaan ang penelesaianna merupakan koordinat titik potong garis dengan lingkaran. Bila = np + q disubsitusikan ke dalam persamaan + = r diperoleh + (p + q) = r + p + p + p = r (+p ) + p + (p - r ) = 0 Ini merupakan persamaan kuadrat dengan a = + p, b = p dan c = p r. Telah kita ketahui bahwa suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real, satu akar real atau tidak memiliki akar real. Persamaan kuadrat a + b + c = 0 akan memiliki : (i) dua akar real ang berbeda bila b -4ac >0 (ii) satu akar real bila b -4ac = 0 (iii) tidak memiliki akar real bila b -4ac < 0 Ini menimpulkan bila persamaan garis disubsitusikan ke dalam persamaan lingkaran menghasilkan suatu persamaan kuadrat a + b + c = 0, maka garis itu (i) memotong lingkaran di dua titik bila b -4ac >0 (ii) meninggung lingkaran bila b -4ac = 0 (iii) tidak beririsan dengan lingkaran bila b -4ac < 0 Contoh 4.9: Tentukan persamaan persamaan garis singgung lingkaran + = 9 ang melalui titik (0,-5). Titik (0,-5) terletak di luar lingkaran, sebab jika disubsitusikan ke dalam persamaan lingkaran aitu 0 + (-5) = 5 > Gambar 4. 8 Misalkan gradien persamaan garis singgung itu m sehingga persamaan garis singgung lingkaran itu (-5) = m ( 0) atau = m -5 Sekarang subsitusi = m -5 ke dalam + = 9 diperoleh + (m -5) = 9 + m -0m + 5 = 9 ( +m ) 9m +6 = 0. Garis = m 5 akan meninggung lingkaran + = 9 bila diskriminan dari persamaan kuadrat ( +m ) 9m +6 = 0 adalah D = 0 D = b -4ac = 0 (-0m) 4( +m ).6 = 0

10 00m 64 64m = 0 36 m 64 = 0 36 m = 64 m 6 = 9 m = 4 3 Jadi persamaan garis singgung lingkaran + = 9 ang melalui titik (0,-5) ada dua aitu = dan = Latihan 5. Buktikan bahwa garis = 0 meninggung lingkaran = 0, tentukan pula titik singgungna.. Buktikan bahwa garis = meninggung lingkaran = 0, tentukan pula titik singgungna. 3. Tentukan nilai r jika garis = 5 meninggung lingkaran + = r. 4. Diketahui lingkaran = 0 dan garis singgung lingkaran itu ang memiliki persamaan = - + c. Tentukan nilai-nilai c ang mungkin. 5. Buktikan bahwa garis singgung di titik (-,-3) pada lingkaran + = 0 juga meninggung lingkaran = 0. Tentukan panjang garis singgung persekutuan tersebut.

11 Prakata Bab 4 Banak sekali benda-benda di sekeliling kita memuat bangun lingkaran seperti, roda kendaraan, bagain-bagian pada baik mesin mobil atau mesin-mesin produksi lainna. Dengan demikian bangun lingkaran tidak dapat diabaikan dalam kehidupan, sehingga cukup menarik untuk dikaji secara matematis, khususna secara geometri dan aljabar. Soal Apersepsi. Bila diketahui sebuah lingkaran dan sebuah garis. Tentukan kemungkinankemungkinan kedudukan antara lingkaran dan garis tersebut.. Perhatikan Gambar. berikut, P pada lingkaran dan O pusat lingkaran. Apa ang kalian ketahui antara garis OP dan garis m? m P O Perdalam Konsepmu!. Jika (, ) di luar lingkaran + = r, apakah benar persamaan garis singgungna + = r?. Titik (, ) ang terletak di daerah dalam lingkaran + = r. Mungkinkah kita dapat membuat garis singgung lingkaran tersebut ang melalui titik (, )? RANGKUMAN Bab 4. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r adalah + = r. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (-a) + ( b) = r 3. Suatu lingkaran ang memiliki persamaan umum + + A + B + C = 0 A B berpusat di (- ½ A, - ½ B) dan jari- jari r = ( ) ( ) C 4. Persamaan garis singgung lingkaran + = r ang melalui titik (, ) pada lingkaran tersebut adalah + = r 5. Persamaan garis singgung lingkaran (-a) + ( b) = r ang melalui titik (, ) pada lingkaran tersebut adalah ( a)(-a) + ( -b)(-b) = r 6. Persamaan garis singgung lingkaran + + A + B + C = 0 ang melalui titik (, ) pada lingkaran tersebut adalah + + ½ A( ) + ½ B( ) + C = 0 7. Jika garis m dengan persamaan = a + b dan lingkaran ang memiliki persamaan + + A + B + C = 0. Garis m meninggung lingkaran tersebut bila diskriminan persamaan kuadrat + (a +b) + A +B(a+b) +C = 0 adalah 0

12