Statistika, Vol. 7 No., 55 60 Mei 007 ji Rank Mann-Whitney Dua Tahap Teti Sofia Yanti Dosen Jurusan Statistika FMIPA NISBA. Abstrak ji rank Mann-Whitney adalah salah satu bentuk pengujian dala analisis statistika non paraetrik, di ana pengujian digunakan untuk enguji kesaaan distribusi dua populasi yang saling bebas dengan asusi distribusi dari kedua populasi adalah kontinu dan skala pengukuran dari data inial ordinal. ji rank Mann-Whitney dua tahap erupakan perluasan uji rank Mann- Whitney, di ana pengabilan sapel dilakukan sebanyak dua tahap. Jika pada tahap pertaa sudah diperoleh keputusan apakah H0 ditolak atau diteria aka tahap kedua tidak usah dilakukan, dengan deikian uji rank Mann-Whitney dua tahap dianggap lebih efisien dibandingkan uji rank Mann-Whitney karena dapat ereduksi ukuran sapel sehingga dapat engheat biaya dan waktu. Kata kunci: Dua sapel saling bebas, uji rank Mann-Whitney. Pendahuluan ji rank Mann-Whitney adalah salah satu bentuk pengujian dala analisis statistika non paraetrik, di ana pengujian digunakan untuk enguji kesaaan distribusi dua populasi yang saling bebas dengan asusi distribusi dari kedua populasi adalah kontinu. Pengujian dilakukan terhadap sapel-sapel yang diabil dari kedua populasi yang saling bebas dengan teknik sapling tertentu. Salah satu faktor elakukan penyapelan adalah factor biaya dan ketersediaan waktu. Pada uji rank Mann-Whitney proses pengabilan sapel dari kedua populasi dilakukan dala satu kali pengabilan. Mann dan Whitney (dala Suprierr dan Hewett, 976) eperkenalkan uji rank Mann Whitney dua tahap di ana proses pengabilan sapel terhadap kedua populasi dilakukan dala dua tahap, hal ini diaksudkan selain dapat ereduksi ukuran sapel dari data yang akan dianalisis dapat juga engheat waktu dan biaya. Proses penyapelan tahap kedua dilakukan jika hipotesis pengujian pada tahap pertaa ditolak atau diteria, tetapi jika engahasilkan keputusan dilanjutkan aka dilakukan pengabilan sapel tahap kedua.. ji Rank Mann-Whitney Dua populasi yang akan diuji epunyai ukuran populasi yaitu M untuk populasi pertaa dan N untuk populasi kedua, dari asing-asing populasi diabil sapel sebanyak dan n. Proses pengabilan sapel dilakukan enggunakan sapling rando. Randoisasi dapat dilakukan dengan enggunakan bilangan acak. Skala pengukuran untuk uji Rank Mann-Whitney inial ordinal. Misalkan X adalah peubah acak dari populasi dengan fungsi distribusi Fx dan Y adalah adalah peubah acak dari populasi dengan fungsi distribusi Gy, di ana populasi dan populasi saling bebas, aka bentuk hipotesis yang akan diuji adalah: H0: Fx=Gy H: Fx<Gy Dengan elakukan teknik sapling rando diperoleh sapel pada tahap pertaa x,x,,x dari populasi dengan fungsi distribusi Fx dan y,y,,yn dari populasi dengan fungsi distribusi Gx. Statistik uji yang digunakan untuk enguji hipotesis di atas diklasifikasikan enjadi dua yaitu jika sapel yang terabil dari kedua populasi asingasing sebesar 0 dan 9 n 0 disebut dengan pengujian terhadap sapel kecil, sedangkan jika sapel yang terabil dari kedua populasi asing-asing sebesar >0 dan n>0 disebut dengan pengujian terhadap sapel besar. 55
56 Teti Sofia Yanti Sapel Kecil Statistik uji yang digunakan adalah pilih nilai yang terkecil, di ana statistic uji adalah: atau ( ) n R n( n ) n R Statistika, Vol. 7, No., Mei 007 Di ana: R = Julah peringkat pada kelopok sapel pertaa R = Julah peringkat pada kelopok sapel kedua. Peberian peringkat diurutkan pada sapel secara keseluruhan, nilai terkecil peringkat dan terbesar diberi peringkat (+n) Tolak H0 Sapel Besar jika α, α adalah nilai kritis pada uji rank Mann-Whitney () () diberi Statistik uji yang digunakan untuk sapel besar elalui pendekatan distribusi noral baku yaitu: E( ) Z var( ) n n( n ) dengan kriteria uji tolak H0 jika Z<Zα. 3. Prosedur ji Rank Mann-Whitney Dua Tahap Teknik pengabilan Sapel Dua populasi saling bebas yang akan diuji epunyai ukuran populasi yaitu M untuk populasi pertaa dan N untuk populasi kedua, dari asing-asing populasi diabil sapel sebanyak dan n. Teknik pengabilan Sapel uji rank Mann Whitney dua tahap dilakukan sebanyak dua tahap yaitu: Tahap Pengabilan sapel tahap satu asing-asing sapel berukuran dan n di ana perbandingannya sebesar n 3. Proses pengabilan sapel dilakukan n 5 enggunakan sapling rando. Randoisasi dapat dilakukan dengan enggunakan bilangan acak, jika pada tahap pertaa belu diabil keputusan hipotesis diteria atau ditolak aka dilanjutan pada tahap kedua. Tahap Pada tahap pertaa telah terabil sapel dari kedua populasi asing-asing berukuran dan n, pada tahap kedua perlu dilakukan pengabilan sapel kebali terhadap kedua populasi asing-asing sebesar =(-) dan n=(n-n), sehingga ukuran sapel yang digunakan pada tahap dua sebesar dan n.. ji Rank Mann-Whitney Dua Tahap Misalkan X adalah peubah acak dari populasi dengan fungsi distribusi Fx dan Y adalah adalah peubah acak dari populasi dengan fungsi distribusi Gy, di ana populasi dan populasi saling bebas, aka bentuk hipotesis yang akan diuji adalah: H0: Fx=Gy H: Fx<Gy Dengan elakukan teknik sapling rando diperoleh sapel pada tahap pertaa x,x,,x dari populasi dengan fungsi distribusi Fx dan y,y,,yn dari populasi (3)
ji Rank Mann-Whitney Dua Tahap 57 dengan fungsi distribusi Gx. Statistik uji yang digunakan untuk enguji hipotesis di atas diklasifikasikan enjadi dua yaitu jika sapel yang terabil dari kedua populasi asingasing sebesar 8 atau n 8 disebut dengan pengujian terhadap sapel kecil, sedangkan jika sapel yang terabil dari kedua populasi asing-asing sebesar >8 dan n>8 disebut dengan pengujian terhadap sapel besar. Sapel Kecil Statistik uji yang digunakan pada tahap pertaa adalah: n i j (4) Di ana, untuk x i y j 0, untuk lainnya i. Tolak H 0, jika c ii. Teria H 0, jika c iii. Lakukan peilihan sapel tahap dua, jika c < <c Lakukan peilihan sapel tahap dua, jika c<<c Nilai c daan c terdapat pada lapiran. Jika yang terjadi adalah kriteria (iii) aka harus dilakukan pengabilan sapel tahap dua, dan dilakukan pengujian terhadap sapel tersebut. Pilih sapel tahap kedua yaitu x x,, x dari populasi dan y y,, y dari populasi. Statistik uji Mann-,, Whitney dua tahap dengan sapel kecil adalah: nn i p Di ana j, untuk x i y j 0, untuk lainnya iv. Tolak H0, jika p c3 v. Teria H0, jika p c3nilai c3 terdapat pada lapiran. Sapel Besar ji rank Mann-Whitney dua tahap untuk sapel besar (>8) dapat digunakan pendekatan distribusi noral baku (Spurierr dan Hewet, 976). Statistik ujinya adalah sebagai berikut: V E( ) var( ) n ( i. Tolak H0, jika V c ii. Teria H0, jika V c n n ) Lakukan peilihan sapel tahap dua, jika c<v<c Jika yang terjadi adalah kriteria (iii) aka harus dilakukan pengabilan sapel tahap dua, dan dilakukan pengujian terhadap sapel tersebut. Statistik uji Mann-Whitney dua tahap dengan sapel besar adalah: (5) (6) Statistika, Vol. 7, No., Mei 007
58 Teti Sofia Yanti V E( ) var( ) n ( n n ) (7) Di ana: p=+ dan np=n+n iii. iv. Tolak H0, jika Vp c3 Teria H0, jika Vp c3 Nilai c3 terdapat pada lapiran. 4. Aplikasi Data yang digunakan adalah julah gula darah (g/dl) penderita stroke infark berdasarkan jenis kelain, diana ingin diketahui apakah julah gula darah penderita stroke infark laki-laki dan perepuan berbeda atau tidak. Data diperoleh dari hasil penelitian yang dilakukan di Poliklinik dan Rawat Inap di bagian/smf Ilu Penyakit Saraf Fakultas Kedokteran NPAD/RSHS Bandung. Berdasarkan teknik sapling acak sederhana sapel untuk laki-laki sebanyak 5 dan untuk perepuan sebanyak 0. Data sapel terdapat pada table. Tabel Data Julah Gula Darah (g/dl) Penderita Stroke Infark Berdasarkan Jenis Kelain No Laki-laki Perepuan 67 94 94 7 3 05 9 4 0 66 5 7 37 6 95 7 8 8 98 9 68 0 77 Suber: Poliklinik dan Rawat Inap Bag. Ilu Penyakit Saraf FK NPAD Hipotesis yang akan diuji adalah: H 0: F x=g y H : F x<g y ji Rank Mann-Whitney ; julah gula darah penderita stroke infark laki-laki dan perepuan tidak berbeda. Statistik uji yang digunakan adalah pilih nilai yang terkecil, di ana statistik uji adalah: 5(5 ) 0(0 ) 5x8 44 atau 5x8 76 9, sehingga nilai statistik ujinya sebesar. Berdasarkan kritria uji tolak H0 jika < α, karena nilai kristis (α) sebesar aka H0 diteia. Statistika, Vol. 7, No., Mei 007
ji Rank Mann-Whitney Dua Tahap 59 ji Rank Mann-Whitney Dua Tahap Pada tahap pertaa diabil sapel dengan perbandingan n 3, sehingga n 5 untuk laki-laki sebanyak 3 orang penderita dan untuk perepuan diabil sapel 6 orang, diperoleh data sebagai berikut: Tabel 3. Data Julah Gula Darah (g/dl) Penderita Stroke Infark Berdasarkan Jenis Kelain Tahap No Laki-laki Perepuan 05 8 94 7 3 67 77 4 66 5 37 6 68 Suber: Poliklinik dan Rawat Inap Bag. Ilu Penyakit Saraf FK NPAD Statistik uji yang digunakan pada tahap pertaa adalah: 3 6 i j Di ana, untuk x i y j 0, untuk lainnya = [(D+D+D3+D4+D5+D6) + (D+D+D3+D4+D5+D6) + (D+D+D3+D4+D5+D6)] = [(0+0+0+0++0) + (0+0+0+0++0) + (+++0++) = 7 Berdasarakan tabel nilai kritis yang diberikan oleh Spurierr dan Hewett degan perbandingan n 3 diperoleh nilai kritis untuk c=.886 dan untuk c=0.70. n 5 Berdasarkan kriteria uji yang ada karena >c aka H0 diteria yang berarti julah gula darah penderita stroke infark laki-laki dan perepuan tidak berbeda. 5. Kesipulan ) Dengan enggunakan uji Rank Mann-Whitney, di ana ukuran sapel untuk kelopok pertaa sebesar 5 dan ukuran sapel kelopok kedua sebesar 0 diperoleh hasil hipotesis nol diteria. ) Dengan enggunakan uji Rank Mann-Whitney dua tahap, dengan pengujian tahap pertaa di ana ukuran sapel untuk kelopok pertaa sebesar 3 dan ukuran sapel kelopok kedua sebesar 6 diperoleh hasil hipotesis nol diteria. 3) Pada uji Rank Mann-Whitney dua tahap, dengan pengujian tahap pertaa sudah bisa diabil suatu keputusan yaitu hipotesis nol ditolak. Hal ini enunjukan bahwa uji Rank Mann-Whitney dua tahap lebih efisien dibandingkan uji uji Rank Mann-Whitney karena uji Rank Mann-Whitney dua tahap dapat ereduksi ukuran sapel yang beriplikasi waktu yang digunakan dan biaya yang dikeluarkan lebih sedikit juga teknik perhitungan lebih cepat. 6. Daftar Pustaka Conover, W.J., 980, Practical Nonparaetric Statistic. Second Edition, John Wiley&Son, Newyork Chichester, Brisbane-Toronto-Singapore Daniel, Wayne W,989, Statistik Nonparaetrik Terapan. PT Graedia, Jakarta Spurrier, J.D. and Hewett, J.E., 975, Double Sapel Test for the Mean of a Noral Population, Journal of the Aerican Statistical association. Statistika, Vol. 7, No., Mei 007
60 Teti Sofia Yanti Spurrier, J.D. and Hewett, J.E., 976, Two Stage Wilcoxon Test of Hypothesis, Aerican Statistical association. Journal of the Lapiran c,c, c3 dan Maxiu ESSR for Double Sapel Test in the Liiting Case dengan α=0.05 dan 0.0 α=0.05 Design No. / n/n c c c3 Max( ESSR) 3 4 5 6 /5 /5 55/00 /3 7/0 4/5 55/00 /3 7/0.886.984.073.050.78.749 0.70 0.79-0.48 0.438 0.950.045.783.78.784.76.868.909 0.866 0.907 0.999 0.869 0.88 0.893 α=0.0 Design No. / n/n c c c3 Max( ESSR) 3 4 5 6 /5 /5 55/00 /3 7/0 4/5 55/00 /3 7/0.499.558.600.635.45.390.59 0.635-0.46 0.966.50 -.88.493.496.50.4.600.65 0.879 0.93.030 0.878 0.897 0.908 Spurrier, J.D. and Hewett, J.E., 975, Double Sapel Test for the Mean of a Noral Population, Journal of the Aerican Statistical association Statistika, Vol. 7, No., Mei 007