TEOREMA ELIMINASI CUT PADA SISTEM LOGIKA FL gc DAN FL w,gc

Transkripsi

1 Jurnal Mateatika Vol 0 No Agustus 007:39-4 ISSN: TEOREMA ELIMINASI CUT PAA SISTEM LOGIKA FL gc AN FL wgc Bayu Surarso Jurusan Mateatika FMIPA UNIP Jl Prof H Soedarto SH Tebalang Searang 5075 Abstract It is well known that the cut eliination theore does not hold for FL c dan FL wc neither for propositional level nor predicate level On the other hand it has been proved that for the propositional level the cut eliination theore holds for FL with global contraction (FL gc ) which is equivalent to FL c Siilar result is also shown for syste FL with both weakening and global contraction rule (FL wgc ) which is equivalent to FL wc In the present paper we odify and develop the ethod used to prove the cut eliination for proportional logic FL gc to show that the cut eliination theore even holds for the predicate logics FL gc dan FL wgc Keywords: Theorea Eliination Cut logica Full Labek (FL) global contraction PENAHULUAN Pada tahun 935 Gentzen engenalkan forulasi suatu logika yang disebut logika intuisionistik (intuitionistic logics) Forulasi tersebut yang keudian lebih dikenal sebagai siste sequent tipe- Gentzen LJ euat tiga aturan struktural yang disebut aturan weakening contraction dan exchange Sedangkan logika yang tidak euat salah satu atau beberapa aturan-aturan struktural ini disebut logika substruktur Secara uu siste sequent tipe- Gentzen untuk logika substruktural euat suatu aturan yang disebut aturan cut [3] tetapi pada kenyataannya adanya aturan cut akan enibulkan kesulitan dala enganalisa logika yang bersangkutan Gentzen berhasil engatasai kesulitan itu untuk LJ dengan ebuktikan bahwa suatu sifat yang keudian disebut teorea eliinasi cut berlaku pada LJ Teorea eliinasi cut enyebutkan bahwa jika sebuah sequent dapat dibuktikan aka sequent tersebut dapat dibuktikan tanpa enggunakan aturan cut Logika subtruktur Full Labek (FL) pertaa kali dikenalkan oleh Ono pada tahun 990 secara garis besarnya logika ini dapat diperoleh dari LJ dengan enghilangkan aturan-aturan struktural weakening contraction dan exchange Teorea Eliinasi Cut telah diketahui berlaku pada FL dan FL dengan weakening (FL w ) di lain pihak telah dibuktikan bahwa teorea eliinasi cut tidak berlaku pada FL dengan aturan contraction (FL c ) dan FL dengan aturan contraction dan aturan weakening (FL wc ) [] Pada [] dikenalkan suatu aturan struktural yang disebut global contraction dan ebuktikan bahwa pada level logika proposisi teorea cut eliination berlaku pada logika-logika FL dengan global contraction (FL gc ) dan FL dengan weakening dan global contraction (FL wgc ) kedua logika terakhir ini asingasing ekuivalen dengan logika-logika proposisi FL c dan FL wc ala tulisan ini teknik pebuktian Teorea Eliinasi Cut yang telah digunakan pada [] akan diodifikasi dan dikebangkan untuk ebuktikan teorea eliinasi cut pada logika-logika predikat FL gc dan FL wgc FORMULASI LOGIKA PREIKAT FL gc dan FL wgc Logika predikat FL gc dapat diperoleh dari logika proposisi FL gc [] dengan enabah aturan universal quantifier dan 39

2 Jurnal Mateatika Vol 0 No Agustus 007:39-4 ekstensional quantifier Lebih tepatnya FL gc dapat didefinisikan sebagai berikut efinisi Logika Predikat FL gc terdiri dari inisial sequent berikut A A Γ C 3 Γ Τ dan aturan inferensi berikut Aturan cut: Γ A A ( cut) Γ dala hal ini forula A yang uncul pada sequent atas aturan cut tersebut dinaakan forula cut Aturan struktural global contraction: Γ Γ Aturan untuk penghubung logika: Γ A ( ) Γ A B Γ A B A B Γ Γ A ( ) Γ A B Γ ( ) Γ A B Γ A C Γ B C Γ A B C Γ A Γ ( ) Γ A B Γ A C ( ) Γ A B C Γ B C ( ) Γ A B C Γ A ( ) Γ A B Γ AB C ( ) Γ A B C Aturan untuk quantifier: Γ C( t ) Γ zc( ( global contraction) z ) ( ) ( ) ( ) Γ A( x ) C Γ za( z ) C Γ C( x ) ( ) Γ zc( z ) Γ A( t ) C ( ) Γ za( z ) C isini t adalah suatu ter dan x adalah suatu variabel yang eenuhi persyaratan variabel eigen engan kata lain x tidak boleh uncul di sequent bawah dari dan ( ) Logika predikat FL wgc diperoleh dari logika predikat FL gc dengan enabahkan aturan weakening sebagai berikut ( weakening) Γ Γ A 4 TEOREMA ELIMINASI CUT PAA LOGIKA FL gc dan FL wgc Pada [] telah dibuktikan teorea eliinasi cut pada logika-logika proposisi FL gc dan FL wgc dengan lebih dahulu eperkenalkan suatu aturan stuktural yang disebut ulti-cut sebagai berikut Γ A ( ulti cut) * [ Γ / A] dan ebuktikan bahwa FL * gc yaitu siste logika yang diperoleh dari FL gc dengan engganti aturan cut enjadi aturan ulti-cut equivalen dengan FL gc Bila etode tersebut digunakan untuk ebuktikan Teorea Eliinasi Cut pada logika predikat FL gc persyaratan variabel eigen akan enyebabkan kesulitan untuk engatasi hal itu ulti-cut diodifikasi ke bentuk berikut Γ A ( ulti cut) [ Γ A] ala hal ini diisalkan x x k adalah variabel yang uncul pada Γ tapi tidak uncul pada A Misalkan A uncul sedikitnya kali pada Abil sebarang buah variabel yang tak harus saling berbeda y i i y untuk setiap i= k Untuk setiap j aka Γ j erupakan ultiset yang diperoleh dari Γ dengan engganti setiap keunculan bebas x i 40

3 Bayu Surarso (Teorea Eliinasi Cut pada Siste Logika Fl gc dan Fl wgc ) i dengan variabel y j untuk setiap i= k pada setiap forula Γ Maka * [ Γ # A] adalah ultiset yang diperoleh dari dengan engganti A i dengan Γ i untuk setiap i=k Mudah diperlihatkan bahwa aturan ulti-cut dala bentuk yang telah diodifikasi di atas bisa diturunkan dala FL gc dengan bantuan aturan cut Sebaliknya aturan cut hanyalah suatu kasus khusus dari ulti-cut tersebut engan enggunakan ulti-cut dala bentuk yang telah diodifikasi seperti yang dijelaskan di atas sekarang teorea cut eliinasi untuk logika predikat FL gc dapat dibuktikan sebagai berikut Teorea 3 Teorea eliinasi cut berlaku pada logika predikat FL gc Bukti Mudah dibuktikan bahwa FL * gc yaitu siste logika predikat yang diperoleh dari logika predikat FL gc dengan engganti aturan cut enjadi aturan ulti-cut dala bentuk yang telah diodifikasi equivalen dengan FL gc engan adanya ekuivalensi ini Teorea 3 cukup dibuktikan dengan ebuktikan sifat berikut Jika suatu sequent S terbukti pada FL * * gc aka S terbukti pada FL gc tanpa ulti-cut Sifat tersebut seperti pada pebuktian teorea eliinasi cut pada logika proposisi FL gc dibuktikan dengan tripel induksi atas rank global contraction grade dan rank dari P diana rank global contraction dari P adalah banyaknya aplikasi global contraction yang uncul diatas aplikasi ulti-cut grade dari sebuah ulticut dari P adalah banyaknya sibol logika dari forula ulti-cut tersebut dikalikan dengan banyaknya keunculan forula ulti-cut yang diganti dan rank dari P adalah banyaknya sequent yang terdapat diatas sequent bawah dari aturan ulti-cut Γ za( z) A( t) Γ A() t Γ za( z) A t Γ Γ za( z) Γk Γ [ ] () [ za( z) ] [ ] [ za( z) ] engan aturan triple-induksi tersebut sebuah aturan ulti-cut yang uncul sebagai aturan inferensi paling bawah suatu bukti P dari S dapat dieliinasi apabila: Rank global contraction dari P lebih kecil dari P Rank global contraction dari P saa dengan P sedangkan grade dari P lebih kecil dari grade P 3 Rank global contraction dan grade dari P saa dengan P sedangkan rank dari P lebih kecil dari rank P Bukti dari sifat di atas dibagi enjadi 4 kasus sebagai berikut S atau S adalah inisial sequent S atau S adalah sequent bawah dari sebuah aturan global contraction 3 S dan S adalah sequent bawah dari suatu aturan untuk penghubung logika atau aturan untuk quantifier sedeikian hingga prinsipal forula dari kedua aturan tersebut adalah forula ulti-cut 4 S atau S adalah sequent bawah dari aturan untuk penghubung logika atau aturan untuk quantifier kecuali kasus 3 Pada kasus 3 untuk S adalah sebuah sequent bawah dari ( ) dan S adalah sequent bawah dari Bagian akhir dari P akan berbentuk: Γ A( t) ( ) ( ) ( ) A( x) Γ z A z za( z) ( ulti cut) Γ za( z) Γ Γ za z [ ] k [ ( )] diana Γ k diperoleh dari Γ dengan enstubtitusikan beberapa variabel engan persyaratan variabel eigen x tidak uncul pada dan B dan A(x) B dapat dibuktikan tanpa ulti-cut jadi A(t) B juga terbukti tanpa ulticut Keudian bentuk diatas dapat ditransforasikan enjadi: ( ulti cut) ( ulti cut) 4

4 Jurnal Mateatika Vol 0 No Agustus 007:39-4 4

5 Bayu Surarso (Teorea Eliinasi Cut pada Siste Logika Fl gc dan Fl wgc ) Rank dari ulti-cut sebelah atas lebih kecil dari rank P dan grade ulti-cut sebelah bawah lebih kecil dari grade P Maka dengan hipotesis induksi kedua ulti-cut dapat dieliinasi \ Pada kasus 4 akan diperlihatkan untuk S adalah sebuah squent bawah dari isini akan digunakan beberapa aplikasi jadi persyaratan variabel eigen dari ( ) harus selalu diperhatikan Bagian akhir dari P akan berbentuk: Γ A( x) Σ Γ za( z) Σ ( ulti cut) * # [( Γ za( z) Σ ) B] iasusikan disini bahwa buah keunculan dari A pada akan digantikan dengan ulti-cut diatas Karena berbentuk B B B + aka bentuk diatas dapat dituliskan dala bentuk: Γ Γ Γ za A( x) Σ za ( z ) Σ B B + ( z ) Σ Γ za ( z ) Σ Γ za ( z ) Σ + ( ulti cut ) diana i ( ) i Γ ( )Σ Γi za z Σ diperoleh dari za z dengan beberapa penggantian variabel untuk setiap i Abil variabel berbeda y y yang tidak uncul pada P aka bentuk di atas dapat ditransforasikan enjadi bentuk: Γ A Γ A Γ ( x ) Σ B B + ( y ) Σ Γ A ( y ) Σ + za ( y ) Σ Γ za ( y ) Σ beberapa aplikasi Γ za ( z ) Σ Γ za ( z ) Σ ( ulti cut ) + + Rank dari ulti-cut diatas lebih kecil dari P sehingga dengan hipotesis induksi dapat dieliinasi engan cara yang saa dapat dibuktikan Teorea 3 Teorea 3 Teorea eliinasi cut berlaku pada logika predikat FL wgc 4 KESIMPULAN Berdasarkan pebahasan pada bab sebelunya aka diperoleh kesipulan bahwa teorea eliinasi cut berlaku pada FL dengan global contraction (FL gc ) dan FL dengan weakening dan global contraction (FL wgc ) baik untuk level logika proposisis aupun level logika predikat Teorea eliinasi cut adalah teorea dasar pada teori pebuktian Karena telah dibuktikan bahwa teorea eliinasi cut berlaku pada FL gc dan FL wgc aka dengan enggunakan sifat tersebut diharapkan untuk selanjutnya dapat dipelajari sifat-sifat lain dari FL gc dan FL wgc 5 AFTAR PUSTAKA [] Bayu Surarso (006) Prinsip Maksiova Untuk Logika FL wgc Makalah ipublikasikan di prosiding Seinar Nasional SPMIPA [] Ono H Bayu Surarso (996) Cut Eliination in Noncoutative Substructural Logics Reports on Matheatical Logics [3] Troelstra ASSchwichtenberg H (000) Basic Proof Theory Second Edition Madrid Cabrige University Press 43