KETERBAGIAN TAK HINGGA DISTRIBUSI LOG-GAMMA DAN APLIKASINYA DALAM PEMBUKTIAN RUMUS PERKALIAN GAUSS DAN RUMUS LEGENDRE

Transkripsi

1 Jurnal Mateatika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal ISSN : c Jurusan Mateatika FMIPA UNAND KETERBAGIAN TAK HINGGA DISTRIBUSI LOG-GAMMA DAN APLIKASINYA DALAM PEMBUKTIAN RUMUS PERKALIAN GAUSS DAN RUMUS LEGENDRE MISHBAH ULHUSNA Progra Studi Magister Mateatika, Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala, Universitas Andalas, Kapus UNAND Liau Manis Padang, Indonesia, ulhusna 82@yahoo.co Abstrak. Jika diberikan suatu peubah acak Y = α log X, diana X adalah peubah acak berdistribusi Gaa, α R dan Y adalah peubah acak berdistribusi Log-Gaa, aka dengan enggunakan representasi kanonik fungsi karakteristik dapat ditentukan ukuran Levy untuk distribusi Log-Gaa yang erupakan distribusi terbagi tak hingga. Representasi kanoniknya dapat digunakan untuk ebuktikan ruus perkalian Gauss dan ruus Legendre. Kata Kunci: Fungsi karakteristik, distribusi terbagi tak hingga, ruus perkalian Gauss, ruus Legendre 1. Pendahuluan Konsep distribusi terbagi tak hingga erupakan kajian penting dala teori peluang pada beberapa dekade terakhir, terutaa dala topik ukuran Levy untuk suatu fungsi karakteristik. Pebentukan distribusi terbagi tak hingga berdasarkan ukuran Levy dilakukan dengan enggunakan representasi kanonik dari suatu fungsi karakteristik distribusi tertentu. Ide dasar tentang distribusi terbagi tak hingga dala perasalahan Teorea Liit Pusat adalah keterbagian peubah acak X enjadi peubah-peubah acak yang saling bebas dengan distribusi yang saa. Peubah acak X dikatakan terbagi enjadi n jika terdapat peubah-peubah acak yang identik dan saling bebas X 1, X 2,, X n sedeikian sehingga X = X 1 X 2 X n. Suatu fungsi distribusi F dikatakan terbagi tak hingga jika untuk setiap bilangan bulat positif n terdapat suatu fungsi distribusi F n sedeikian sehingga F adalah konvolusi n kali dari F n dengan dirinya sendiri, yaitu F = F n F n n kali 2]. Definisi yang ekuivalen dengan definisi distribusi terbagi tak hingga di atas adalah bahwa suatu fungsi distribusi F dengan fungsi karakteristik ϕ adalah terbagi tak hingga jika untuk setiap bilangan bulat positif n terdapat fungsi karakteristik ϕ n sedeikian sehingga ϕu = ϕ n u n untuk setiap u R 2]. Jika ditentukan suatu distribusi dari suatu peubah acak Y = α log X diana X adalah peubah acak berdistribusi Gaa dan α R, aka dapat dikaji bentuk distribusi terbagi tak hingga dari peubah acak Y serta bentuk representasi kanonik fungsi karakteristiknya. 28

2 Keterbagian Tak Hingga Distribusi Log-Gaa 29 Pada paper ini akan dikaji tentang distribusi terbagi tak hingga dari peubah acak Y = α log X, diana X adalah peubah acak berdistribusi Gaa, α R untuk selanjutnya Y disebut peubah acak berdistribusi Log-Gaa dan bentuk representasi kanonik fungsi karakteristik dari peubah acak Y tersebut serta aplikasinya terhadap pebuktian ruus perkalian Gauss dan ruus Legendre. 2. Distribusi Gaa dan Distribusi Log-Gaa Berikut diberikan definisi fungsi kepadatan peluang, fungsi karakteristik dan bentuk kanonik dari fungsi karakteristik terbagi tak hingga dari distribusi Gaa. Definisi ] Misalkan X adalah peubah acak berdistribusi Gaa X Gaaξ, β. Fungsi kepekatan peluang X didefinisikan sebagai fx = dengan x ξ 1 e βx dx = Γξ. Keudian 0 βξ Γξ xξ 1 e βx ; x > 0, ξ > 0, β > 0, β ξ fxdx = β ξ Γξ xξ 1 e βx dx = 1. Fungsi karakteristik dari peubah acak X berdistribusi Gaaξ, β adalah Karena β ϕ X u = β iu ξ. ϕ n u = ϕ X u] 1 n, aka jelas bahwa ϕ n u erupakan fungsi karakteristik dari Gaa ξ n, β. Jadi, distribusi Gaa erupakan distribusi terbagi tak hingga ϕ n u Gaa ξ n, β. Bentuk kanonik dari fungsi karakteristik terbagi takhingga berdistribusi Gaa, seperti dijelaskan oleh Lukacs 1970, dikarakterisasi oleh γ, σ 2, M, dan diberikan sebagai berikut: ϕ X u = exp di ana γ = ξ iu 0 ξ 0 e βx 1 x 2 dx 0 e iux 1 e βx 1 x 2 dx,, σ2 = 0, dan Mx = ξ x iux 1 x 2 d ξ x e βy y dy, x > 0. e βy Selanjutnya akan dikaji fungsi distribusi dari peubah acak Y = α log X untuk selanjutnya Y disebut peubah acak berdistribusi Log-Gaa, diana X adalah peubah acak berdistribusi Gaa, α 0, fungsi karakteristik dan bentuk kanonik dari fungsi karakteristiknya. Pandang dua kasus berikut. y ] dy,

3 30 Mishbah Ulhusna Kasus 1. Misalkan α adalah konstanta positif. Fungsi distribusi kuulatif dari peubah acak Y adalah y ] P Y y = βξ e ξ α t βe α t dt Γξ α. Kasus 2. Misalkan α adalah konstanta negatif α = α. Fungsi distribusi kuulatif dari peubah acak Y adalah P Y y = 1 βξ Γξ y e ξ α t] e βet/α] dt α. Fungsi karakteristik dari distribusi Log-Gaa dengan α positif aupun α negatif adalah Ee iuy ] = e iuy fydy. Dengan eisalkan e y/α = x untuk α positif dan e y/α aka diperoleh = x untuk α negatif, Ee iuy ] = Γξ iαu Γξβ iαu. Diperoleh fungsi karakteristik dari distribusi Log-Gaa sebagai berikut. ϕ Y u = Γiαu ξ Γξβ iαu. Selanjutnya, diberikan suatu teorea tentang fungsi karakteristik dari distribusi Log-Gaa. Teorea ] Misalkan terdapat peubah acak Y = α log X, di ana X adalah peubah acak berdistribusi Gaa dan α R, aka fungsi karakteristik dari fungsi distribusi P Y y dapat ditulis sebagai berikut dengan Γξ iαu Γξβ iαu = exp iu α Γ ξ Γξ γ = α Γ ξ Γξ σ 2 = 0, My = y e iuy 1 α log β α3 iuy 1 y 2 α log β α3 e ξ/αs ds, y < 0. 1 e s/α s y 2 e ξy 1 α 2 y 2 1 e y dy e ξ/αy ] 1 e y/α y dy, y 2 1 α 2 y 2 e ξy 1 e y dy,

4 Keterbagian Tak Hingga Distribusi Log-Gaa Aplikasi pada Pebuktian Ruus Perkalian Gauss dan Ruus Legendre Dala subbab ini akan dijelaskan bahwa sifat ukuran Levy dapat digunakan untuk ebuktikan ruus perkalian Gauss dan ruus Legendre. Adapun bentuk ruus perkalian Gauss adalah sebagai berikut Π 1 z Γ k = 1/2 z 2π 1/2 1 Γz. Sedangkan ruus Legendre adalah sebagai berikut ΓzΓ z 1 = 2 1 2z πγ2z, 2 dengan α = 1, z = ξ iη dan = 2, 3,. Akan ditunjukkan bahwa ruus perkalian Gauss dapat dibuktikan dengan enggunakan sifat ukuran Levy dengan eisalkan α = 1, z = ξ iη dan = 2, 3,. Perhatikan bahwa ruas kiri dari ruus perkalian Gauss dapat ditulis sebagai berikut. Π 1 Γ z k = Π 1 ξ Γ iη k = Γξβ iη Γ ξ 1 exp iη exp iη Γ ξ β iη Γ Γξ log β e iηy 1 iηy 1 y 2 ξ 1 Γ ξ 1/ Γξ 1/ log β e iηy 1 iηy 1 y 2 β iη y 2 e ξy 1 y 2 1 e y dy e ξy ] 1 e y y dy e ξ1/y 1 e y y dy ] y 2 e ξ1/y 1 y 2 1 e y dy Γ ξ 1/ 0 exp iη Γξ 1/ log β y 2 e ξ 1/y 1 y 2 1 e y dy e iηy 1 iηy e ξ 1/y ] 1 y 2 1 e y dy y = ΓξΓ ξ 1 Γ ξ 1 β iη Γ ξ exp iη Γξ Γ ξ 1/ Γξ 1/ Γ ξ 1/ Γξ 1/ iη log β iη e iηy 1 y 2 e ξy 1 y 2 1 e y/ dy iηy 1 y 2 e ξy 1 e y/ y dy ].

5 32 Mishbah Ulhusna Selanjutnya dengan engganti variabel y dengan y, diperoleh Π 1 ξ Γ iη k = ΓξΓ ξ 1 Γ ξ 1 β iη Karena dan = Γ ξ Γξ 0 exp iη Γ ξ Γξ Γ iη log β iη Γ ξ Γξ Γ e t e t dt = log, t ΓξΓξ 1/ Γξ 1/ Γξ aka diperoleh Π 1 ξ Γ iη k ξ 1/ Γξ 1/ Γ ξ 1/ Γξ 1/ e iηy 1 iηy 1 y 2 y 2 e ξy 1 y 2 1 e y dy e ξy ] 1 e y y dy. ξ 1/ Γξ 1/ Γ ξ 1/ Γξ 1/ = Γ1/Γ2/ Γ 1/ ξ 1 = 2π 1/2 1/2 ξ, = 2π 1/2 1/2 ξiη Γξβ iη exp iη Γ ξ 0 Γξ log β e iηy 1 iηy 1 y 2 y 2 e ξy 1 y 2 1 e y dy e ξy ] 1 e y y dy = 2π 1/2 1/2 ξiη Γξ iη untuk ξ > 0. Berdasarkan uraian di atas, aka diperoleh Π 1 z Γ k = 1/2 z 2π 1/2 1 Γz. Hal tersebut enunjukkan bahwa ruus perkalian Gauss dapat dibuktikan dengan enggunakan sifat ukuran Levy, yaitu dengan eisalkan α = 1, z = ξ iη dan = 2, 3,. Sedangkan jika diganti = 2, aka diperoleh ruus Legendre sebagai berikut. ΓzΓ z 1 = 2 1 2z πγ2z. 2

6 4. Ucapan Teria kasih Keterbagian Tak Hingga Distribusi Log-Gaa 33 Penulis engucapkan teria kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, M.Sc, Bapak Dr. Adi Nazra, Bapak Dr. Muhafzan, Ibu Dr. Maiyastri, Ibu Dr. Lyra Yulianti dan Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan yang telah eberikan asukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka 1] Katsuo, T A Note on Gaa Functions. Japan Matheatical Research. Vol 1579 : ] Laha, R. G. dan V. K. Rohatgi Probability Theory. John Wiley & Sons, New York. 3] Lukacs, E Characteristic Function. Second Edition. Griffin, London.