STATISTIKA MATEMATIKA I

STATISTIKA MATEMATIKA I Disusu Olh : (005005) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 0

BAB I PELUANG. Ruag Sampl da Kjadia Ruag sampl atau sampl adalah himpua smua kjadia ag mugki dari sbuah pric, disimbolka S. Himpua bagia dari ruag sampl diamaka kjadia/vt. Scara khusus, himpua ag haa trdiri dari satu kjadia diamaka kjadia dasar. Cotoh :. Jika sbuah koi dilmpar 3 kali, kjadia ag mugki adalah : S{GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dga S adalah ruag sampl.. S {,,3} S 3 {,{},{},{3},{,},{,3},{,3},{,,3}} Dari prataa diatas diprolh : {} S Dimaa {} S {} S S adalah powr st atau himpua bagia. 3. Sbuah dadu dilmpar 0 kali. Dari kjadia trsbut, diprolh hasil ksprim atau rkusi kjadia sbagai brikut : Agka sbaak 0 kali, agka sbaak 9 kali, agka 3 sbaak 8 kali, agka 4 sbaak kali, agka 5 sbaak 7 kali, agka 6 sbaak 5 kali. Ttuka baaka jumlah rkusi jika : a) Ada sbuah kjadia mucula agka gap. b) Ada sbuah kjadia mucula agka gajil. c) Ada sbuah kjadia mucula agka kurag dari 4. Utuk mjawab prtaaa diatas, pgrtia pluag dapat ditrjmahka mgguaka rkusi rlati kjadia ag didiisika sbagai : ( A) ( A) ( S)

( S) 0 ( S) ( S) 0 a) A {,4,6} maka (A) 9 + + 5 65 ( A) ( A) ( S) 65 0 b) B {,3,5} maka (B) 0 + 8 + 7 55 ( B) ( B) ( S) 55 0 c) C {,,3} maka (C) 0 + 9 + 8 57 ( C) ( C) ( S) 57 0 Dari cotoh soal diatas, rkusi rlati mmiliki siat : ( 0) 0 ( S) A B) A B ( jika A B Kjadia dikataka salig asig jika kjadia trsbut tidak dapat trjadi brsama-sama. Jika ruag sampl suatu prcobaa dga kjadia dasar S {S i }, maka pluag timbula kjadia dasar S {S i } dga i,,, adalah : P i P[{S i }], i,,, dga siat : P i 0 P i i Jika A,,A k adalah kjadia dalam S ag salig asig maka P k i k P i Pi i. Pluag Klasik Pluag Klasik adalah suatu kjadia ag mmpuai pluag ag sama, aitu N. P i, i, i,,..., N N

( A) PA, dga siat : P ( A) 0 ; P ( S) ; P ( ) 0 da P( A B) P( A) P( B) ( S) jika A B Siat siat lai dari pluag, diataka dalam torma brikut : Jika A,B suatu kjadia dalam S, maka :. P( A B) P( A) P( B) P( A B). P( A) P( A) A A S A A 3. P( A B) P( A) P( A B) 4. P( A B C) P( A) P( B) P( C) P( A B) P( AC) P( B C) + P A B C Cotoh : Dua kartu diambil scara acak satu prsatu, ttuka pluag bahwa kartu ag trambil prtama adalah kartu Jack da kartu ag trambil kdua adalah kartu Qu! Pluag dari kjadia diatas adalah : 4 5 4 5 6 65 4 663.3 Pluag Brsarat Pluag brsarat suatu kjadia dga sarat trjadia pristiwa ag lai (sbluma) didiisika sbagai brikut : P A P A B B dga P B 0 PB 3

Scara umum, jika dua pristiwa A da A salig asig A A, maka : P A A B P A A B P P A B B PB B A B P A B P P A P B B A B PA B P Siat siat lai dari pluag brsarat adalah sbagai brikut :. P(A B) P A B. P A A B P A B PA B PA A B 3. 0 PA B Cotoh :. Empat kartu diambil scara radom satu prsatu tapa pgmbalia. Ttuka probabilitas bahwa kartu ag trambil scara brturut turut adalah as waru hitam (As WH ), as waru mrah (As WM ), as wajik (As W ), as smaggi (As S )! P( As WH WM WJ s As PAs As PAs As As As As As ) P P As WH s As WH WM As WM WH As 0,079 5 5 50 49. Kotak A brisi 0 bola mrah (M A ) da 5 bola hijau (H A ). Kotak B brisi bola mrah (M B ) da 7 bola hijau (H B ). Sbuah bola diambil scara acak dari kotak A kmudia dikmbalika k kotak B. Dari kotak B diambil sbuah bola scara acak. Ttuka pluag bahwa bola ag trambil brwara hijau! WJ WJ WH WM 4

H H PH PH H P A B 5. 5 A 8 30 B 0,36 A.4 Hukum Total Probabilitas Murut tori himpua, tlah diuraika bahwa jika kjadia B da kjadia B salig asig, maka :. B B. B B S 3. A 4. A A Hukum diatas disbut dga Hukum Idtitas. 5. A S A 6. A S S A S A A B B A B A B A B B A B A B P A PA B B PA B PA B, shigga Scara umum, jika B, B,..., Bk kjadia kjadia salig asig, maka S B... B B k. Shigga : B B... Bk A B A B A Bk A S A... Torma : Jika B,...,, B Bk himpua kjadia salig asig, maka utuk sbarag pristiwa A brlaku : k A PB P A B P Bukti : i i Kara A A B... A i B k 5

P A PA B... PA B k P B PA B... PB. PA k. P B. PA B i i i k B k Cotoh : a. Trdapat 3 dos brisi barag lktroik (lampu). Dos I brisi 5 lampu da 5 diataraa rusak. Dos II brisi 35 lampu da 0 diataraa rusak. Dos III brisi 40 lampu da 5 diataraa rusak. Sbuah dos dipilih scara radom, ttuka probabilitas bahwa produk ag trambil rusak! Jawab: Misal : A lampu ag rusak B dos B dos B3 dos 3 P A PA B PA B PA B3 PB PA B PB PA B PB PA B 3 3 3 5 5 0 3 30 3 5 40 Dari cotoh di atas, dapat dikaitka kosp atura Bas, sbagai brikut : Jika diasumsika sprti sarat pada torma sbluma, maka utuk stiap j,j,, 3,..., k brlaku : j P B A PB j PA B j PB j PA B j k j 6

.5 Kjadia Salig Bbas Dua kjadia dikataka salig bbas jika tidak salig mmpgaruhi. Scara statistik, A da B dikataka bbas / idpdt, jika : PA B A PB PA B A PB P Salig Bbas P Tidak bbas / Salig trgatug Shigga : A B PA, Torma : P jika A, B bbas : A B PB, P jika B, A bbas Jika A da B adalah dua kjadia salig bbas jika da haa jika : 7. A da B, bbas 8. A da B, bbas 9. A da B, bbas Bukti : 0. A B P PA PA B PA PAPB PA PB PB PA Scara umum, jika A i, P k k Ai PA i i i i, i,,..., k adalah pristiwa salig bbas, maka : Cotoh : Jika dua dadu dilmpar satu kali scara brsamaa, tujukka bahwa dua kjadia dibawah ii salig bbas! A : Dua dadu brjumlah tujuh. B : Dua dadu mmiliki agka ag sama. 7

A B,6,,5, 3,4, 4,3, 5,, 6,,,,, 3,3, 4,4, 5,5, 6,6 Shigga dapat diktahui bahwa : 6 P A PB, P A PB A B, P A B 0 Kara PA B PA PB bbas. 6 6 36, maka dua kjadia A da B adalah kjadia ag salig 8

BAB II VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI. Variabl Radom Variabl radom adalah sbuah ugsi dga domai kcil hasil pgamata da kodomaia mrupaka himpua bilaga ral. Variabl radom disimbolka dga huru kapital (, Y, Z, dll ). Cotoh :. Sbuah koi dilmparka tiga kali, maka ruag sampla adalah : S { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Misalka mrupaka variabl radom ag mataka baaka agka ag mucul, Y adalah variabl radom ag mataka baaka gambar ag mucul, maka apa hubuga atara da Y? S Y P() P(Y) AAA 3 0 AAG AGA GAA AGG GAG GGA GGG 0 3 8 3 8 3 8 8 8 3 8 3 8 8 Ktraga : 9

Kara PY P, da Y, maka da Y mrupaka variabl acak idtik. Slai itu, kara P Y P PY Macam-macam variabl acak : a. Variabl Acak Diskrit (Coutabl) b. Variabl Acak Cotiu (Masurabl), Y idpdt.. Variabl Acak Diskrit (pd) Jika ruag sampl dari variabl radom coutabl, maka variabl radom diamaka variabl radom diskrit. Suatu ugsi dga domai variabl acak diskrit diamaka ugsi dsitas probabilitas diskrit. Disigkat dga pd diskrit atau diamaka ugsi masa probabilitas. Torma : Suatu ugsi () adalah pd diskrit jika haa jika mmuhi siat:. () > 0. 3. Pulisa lai () dga ilai variabl radom Cotoh : Dari cotoh plmpara koi di atas (Sbuah koi ag dilmpar 3 kali), jlas bahwa () P ( ), 0,,, 3. Smuaa 0 da jumlaha.3 Fugsi Distributi Kumulati (CDF) CDF dari variabl acak didiisika utuk sbarag bilaga ral brlaku : F P F P F 0

Torma : Misal variabl acak diskrit dga pd () da CDF F(). Jika ilai-ilai dari variabl acak ag mugki adalah bruruta aik, maka : 3 F... da j, j>, brlaku F F Sdagka utuk < i, maka F() 0 Shigga F j j j j j Siat-siat CDF : a. lim F b. lim F 0 c. lim F h F h0 d. a b Fa Fb Cotoh : Dari cotoh plmpara koi diatas (sbuah koi ag dilmparka tiga kali), btuklah ugsi distribusia! F 7 8 4 8 8 3

.4 Variabl Acak Kotiu Suatu variabl acak disbut variabl acak kotiu jika trdapat pd (), sdmikia higga CDF-a dapat diataka sbagai : CDF F t d d dt pd F Scara khusus, jika variabl acak kotiu, maka : a. Pa b Pa b Pa b Pa b a. P k 0, b. P a b Torma : dga k kostata b a d Suatu ugsi () adalah pd utuk bbrapa variabl acak kotiu, jika mmuhi :. 0, bilaga ral.. d Cotoh : Jika mrupaka variabl acak kotiu dga pd Ttuka CDF a! c 3 0, 0, 0 3 c d c 0 c

Maka, CDF a adalah : 3 F t dt t dt F 0, 0, 0.5 Nilai Harapa Apabila adalah variabl acak diskrit dga pd (), maka Nilai Harapa dari didiisika sbagai : E Cotoh : Dari cotoh plmpara koi di atas (Sbuah koi ag dilmpar 3 kali), didapat 3 E. E 3 3 3... 0. 8 8 8 8 3 Jika variabl acak kotiu dga pd (), maka Nilai Harapa E Cotoh : Dari cotoh di atas (Jika mrupaka variabl acak kotiu), maka : E 0. d. 3. d 0 d Siat siat umum ilai harapa Torma : Jika variabl radom dga pd () da u() mrupaka ugsi brilai ral dari variabl radom, maka : u u E, VAD R u u E d, VAK R 3

Jika variabl radom dga pd (), a, b suatu kostata da g(), h() suatu ugsi brilai ral dari variabl, maka: E a. g bh aeg beh Bukti : Misalka V variabl acak kotiu, maka : E a. g bh a. g bh d R a. g d bh d R a g d b h d R aeg beh Scara khusus, Ea b ae Eb b b d E E d R R R R.6 Distribusi Campura (Mid Distributio) Suatu distribusi probabilitas utuk variabl radom diamaka campura, jika CDF-a dapat diataka sbagai brikut : F F F, dga 0 d c Cotoh : Misal adalah variabl radom ag mataka waktu tuggu sbuah pross dga CDF F 0,4. F 0,6 F, dga F d da F d. btuk CDF campura trsbut! P t F P t F 0 0, 4 0 P c c, utuk 0. Ttuka 4

0, 636 5 0,4 0,6 Jadi, t 0 P d dt d dt P P 0daP t P 0 0 P F t 0 t F F 0 0 0,4 0,6 0,4 t t t t Ft t.7 Varia Varia dari variabl acak didiisika sbagai Var() V() E E, 0, dga E Atau Var Atau Var d Torma : R, variabl acak diskrit, variabl acak kotiu Jika variabl acak kotiu, maka v E Bukti : V d E R E E E E E. V E 5

Cotoh : Prhatika cotoh plmpara koi sbluma, dga ma simpaga bakua! 0,,, 3 Var() 3. Ttuka varia da Var() 0.75 3 8 3 0.. 3 3. 8 8 8. Maka, V 0,75 0, 866 Torma : Jika variabl acak da a, b suatu kostata, maka : V(a+b)V(a) shigga V(a+b) a V() Bukti : V a b Ea b Ea b Ea b Ea b a v Jika,Y dua buah variabl radom, maka brlaku : V V Cov V, Jika, Y idpd da cov (, ) 0, maka brlaku : v( ) v( ) v( ) Cov, E E E. E 3 3 Jika, Y idpd, maka : E E E. Shigga Cov (,) 0 6

, korlasi (, ) cov(, ) V V Scara khusus, V( ) cov(, ).8 Mom Mom k-k di skitar 0 dari variabl radom didiisika sbagai : k E k E Mom k k diskitar, didiisika : k Jika k E E( ) 0 k E( Cotoh : ) k Misalka ada sorag pmbalap mobil ag diasumsika waktu brkdaraa atara 0 higga 30 mit. Jika adalah variabl acak ag mataka waktu dalam mit, maka ttuka mom k k dari variabl trsbut! 0, 0 30 0, utuk ag lai. Mom k k dari variabl acak trsbut adalah : 30 k k mk E 0 d 0 k 30 0 0 k Shigga diprolh : 30 0 0 k m 5 da m, dimaa k,, 3, 3 3 30 0 633 03 3 7

Kara 8 3 m, shigga diprolh 5. Da kara m, maka diprolh Batas batas probabilitas Jika suatu variabl radom da ugsi brilai ral o-gati, maka utuk smbarag kostata positi c, brlaku : E p( c) c Dari torma batas batas probabilitas di atas, dapat dituruka sbuah prtidaksamaa Chbchv, sbagai brikut : Torma : Jika variabl radom dga ma da varia, maka utuk sbarag k>0, brlaku : P k k k or p k Jika diambil k k P atau p.9 Aproksimasi Ma da Varia Jika suatu ugsi dari variabl radom dapat diataka atau dikspasika dga Drt Talor di skitar, maka ma da variaa dapat dittuka. Slajuta, misalka ' '' turua dari ugsi H, H,..., H Talor di skitar, maka : da H dapat dikspasika murut Drt H '!! ' H H H"... ' Shigga : E H ( ) EH H! H "...) 8

Jadi, E ' H E H E H '' H 0 0 " H H H ' V H V H H Jadi, V ' 0 V H v ' H ' H r ' H H... H".... Cotoh : Jika variabl radom brilai positi dga pd l V l H E l maka H l H ' H" '' l l H l l, maka ttuka E l da 9

' V l H.0 Mom Gratio Fuctio (MGF) Jika variabl radom, maka MGF dari didiisika sbagai brikut : t t E M, h t h, h 0 Ekspktasi ii ada ilaia, jika : i t ti Variabl acak diskrit M t E t t Variabl acak kotiu M t E d Fugsi ii ptig trutama dalam mdapatka ma da varia. Scara khusus, jika variabl diskrit, maka brlaku : M M' ti t ti t i ti t M" M ( r) : : r ti t i i i i i i r Jika t 0, maka : ' 0 M '' E 0 M i i i i 0

M r E r r Jadi, M i ' i 0 '' M i ' M 0 0 Cotoh : Jika variabl acak kotiu dga, 0 M t R 0 t d t d, maka ttuka MGF! 0 t d 0 t t dt t t 0 t t 0 t 0, t t M ' M t t t t t

M ' " M M t 0 3 t t " t 3 0 Jadi, E Cotoh : Jika variabl acak diskrit dga pd dga 0,... Ttuka MGF-a! M ti t i0 ti i0 i0 t i0 s i i i i s s... 8 t Jadi, drt kovrg t t l

Siat-siat MGF : bt. Jika a+b, maka MGF-a adalah M t M at t. M t M t Torma : r r r Jika MGF ada, maka E E M 0 dga t M t r r! r 3

BAB III HUKUM HUKUM PROBABILITAS Distribusi Probabilitas Trdapat dua macam distribusi probabilitas, aitu :. Variabl acak diskrit. Variabl acak kotiu Macam-macam distribusi probabilitas variabl acak diskrit :. Distribusi Broulli. Distribusi Biomial 3. Distribusi Hiprgomtrik 4. Distribusi Poisso 5. Distribusi Uiorm, dll. Macam-macam distribusi probabilitas variabl acak kotiu :. Distribusi Uiorm. Distribusi Gamma 3. Distribusi Eksposial 4. Distribusi Wibull 5. Distribusi Normal, dll. VARIABEL ACAK DISKRIT 3. Distribusi Broulli Suatu variabl acak brdistribusi Broulli jika pd-a brbtuk : ( ) p q, 0,,... p sukss, jika 0 < p < q gagal, jika ( - p) 4

Torma : Jika Broulli, maka : E( ) p v( ) pq Cotoh : Buktika torma diatas da cari MGF-a! E ( ) ( ) E ( ) ( ) 0. q. p 0. q. p p p Shigga, v ( ) E( ) ( E( )) p p M t ( t) ( p q) p( p) pq 3. Distribusi Biomial Ciri-ciri : a. Prcobaa dilakuka kali da idpd b. Pluag sukss (p) da gagal (q) Suatu variabl acak brdistribusi Biomial, jika pd-a brbtuk : ( ) p q, 0,,... ( ) b(,, p) BIN (, p) 5

Torma : Jika BIN (, p), maka : E( ) p v( ) pq t M ( t) ( p q) Bukti : M ( t) E( t ) t p i i i t ( p) ( t p q) i q q i ( a b) io E( ) ' (0) i a b i v( ) ' ' (0) ( ' i (0)) Cotoh : 0 b 6,0, 6 6 4 0,0046 3.3 Distribusi Hiprgomtris Suatu populasi aka brdistribusi Hiprgomtris apabila mmuhi : a. Brukura M, diataraa brsiat a (trttu). b. Sampl diambil scara radom brukura, diataraa brsiat a. c. Pgambilaa tapa pgmbalia. 6

7 Diisi : Variabl radom dikataka brdistribusi Hiprgomtris, jika pd-a brbtuk : N M N M M N h,..., 0,,, ),,, ( Torma : Jika distribusi Hiprgomtris, maka : N M E ) ( ) ( N M N N M N M v Bukti : ) ( ) ( E N M N M 0 N N M N M M N M N M N M Misal :, maka, shigga 0, Shigga :

M N 0 Jadi, E( ) E( ) M N M N M N M N M N Dga cara ag sama, maka v ( ) E( ) ( E( )) Cotoh : M M N M Jadi, v( ) N Spuluh produk diambil dari sbuah dos bsar brisi 000 produk, 400 diataraa rusak. Sampl trsbut diambil scara radom. Dari spuluh ag diambil tadi, trdapat lima produk ag cacat. 5, 0, N000, M400 400600 5 5 h(,, N, M ) h(5,0,000,400) 0,03 000 0 Torma : Jika brdistribusi Hiprgomtris da M 0,,...,, N, M, P,maka : N 8

9 q N q p N M N M lim 3.4 Distribusi Poisso Suatu variabl radom brdistribusi Poisso jika pd-a brbtuk : 0 0,,,...,,! ) ( ), ( Torma : Jika brdistribusi Poisso, maka ) ( ) (, ) (, ) ( t t M v E Bukti : ) ( ) ( i E t M t 0!! t!) ( t t ( ) t t t M t ) ( ) ( ' (0) ' M ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( '' t t t t t M (0) M (0)) ' ( (0) ) ( M M v

30 Torma : Jika ), ( p BIN, maka utuk stiap ilai 0,,,, da 0 P dga p suatu kostata, maka! ) ( lim p p, dga. Cotoh : Buktika torma diatas! p p )!!(! ) ( ) )...( )( ( ) )...( )( (! ) )...( )( (! ) )...( )( (!..... ) )...( ( lim..!.! (Trbukti)

3.5 Distribusi Uiorm Diskrit (Sragam) Suatu variabl radom brdistribusi Uiorm Diskrit, jika pd-a brbtuk :, N,,..., N N () Mmiliki pluag ag sama 0, ag lai Torma : Jika DU(N), maka E ( ) ( N ), da v ( ) ( N ) Cotoh : Buktika torma diatas! E( ) v N ( ) N N... N N Na U NN N N (Trbukti) ( ) ( ) N 4 3... N N 3

( N ) (Trbukti) VARIABEL ACAK KONTINU 3.6 Distribusi Uiorm Kotiu Suatu variabl acak brdistribusi Uiorm Kotiu pada itrval (a,b), jika pd-a brbtuk : UNIF( a, b) pd (, a, b), a b b a 0, ag lai 0, a CDF F(, a, b) a, a b a, b Torma : Jika UNIF( a, b), maka E ( ) ( b a), da v( ) ( b a) Cotoh : Buktika torma diatas! b E ( ) ( ) d a b d b a a 3

33 b a a b b a a b a b a b a b ) ( a b (Trbukti) b a b a d d v ) ( ) ( ) ( b a a b d a b 4 3 4 3 a b b a a b 3 3 4 3 a ab b a b a b 4 4 3 a ab b a ab b a b a b 4 4 3 3 3 a ab b a ab b 6 a ab b a ab b a b (Trbukti)

3.7 Distribusi Gamma Utuk mmahami distribusi Gamma, prlu diktahui ugsi Gamma scara umum da siat-siata. Scara umum, ugsi Gamma didiisika sbagai : t 0 t Siat-siata : dt., 0.!, A 3. 4. suatu variabl acak kotiu dga distribusi Gamma dga paramtr positi da gati, jika pd-a brbtuk : GAM (, ) :,,, 0, 0, 0 da mrupaka paramtr-paramtr trttu, mrupaka paramtr btuk da mrupaka paramtr skala. Kara mrupaka btuk, maka btuk kurva distribusi Gamma trgatug dari ilai. Torma : Jika GAM(, ), maka E ( ), da v ( ) Cotoh : Buktika torma diatas! E( ) 0 d 0 d 34

0 0. ( ) d ( ) ( ) (Trbukti) 0 d d Akibat khusus : CDF-a : GAM(, ) Jika da Jika F,, 0 t t, maka GAM ( ) GAM,, maka GAM, ksposial dt 3.8 Distribusi Eksposial brdistribusi Eksposial ( p() ), jika pd-a :,, 0, 0 Jika, maka :,, 0, 0 CDF-a brbtuk : F(, ) 35

Torma : Jika brdistribusi Eksposial, maka E ( ), da v ( ) Scara khusus, distribusi Eksposial mrupaka distribusi ag sagat ptig, khususa di bidag tori (kadala). Pada umuma, pada distribusi ksposial brlaku siat o mmor, sprti pada torma brikut : p(), jika haa jika : P a t a P t, a o, t 0 o mmor Bukti : P a t a P a tdap a P a P a t ( at) a P t (Trbukti) Cotoh : Masa usia sjis kompo listrik brdistribusi Eksposial dga rata-rata 00 jam. Ttuka probabilitas bahwa kompo trsbut dapat diguaka 50 jam lagi dari batas ag dittuka prusahaa! P 0,6065 3.9 Distribusi Wibull Sprti pmbahasa sbluma, distribusi Wibull srig diaplikasika utuk mdapatka kadala sjis kompo trttu. Sama sprti distribusi Gamma maupu distribusi Eksposial. Diisi : 36

Suatu variabl acak wi,, 0, 0, maka :,, 0, ag lai, 0 Jika, p( ), maka :, Jika, maka :,, Btuk CDF-a :,, Trorma : F Jika wi(, ), maka : E () v( ) Raligh 3.0 Distribusi Normal Distribusi ii diamaka juga distribusi Gauss da mmpuai paramtr. Slai klbiha di atas, distribusi ii sagat brmaaat utuk mlsaika bbrapa kasus / prsoala ag trkait dga distribusi hampira (limitd distributio). Salah satu torma ag trkal ag trkait dga distribusi Normal adalah CLT (Ctral Limitd Distributio). Diisi : Variabl acak kotiu brdistribusi Normal dga paramtr (ma) da (simpaga baku). 37

N(, ),,,,0, v ( ) R E d R d Siat-siat :.,, 0.,, d R Cotoh : Buktika :,, d R R Ambil z d dz d z dz R Misal : z v z z v v dz. v dv v v dv 0 38

v v dv 0 v v dv 0 t 0 dt Slajuta, jika Z brdistribusi Normal baku dga rata-rata 0 da, ag diotasika z N(0,), maka pd-a brbtuk : pd z z, z CDF z t dt Siat-siat :. z z ugsigap. N(0, ) simtris di z 0 Torma : Jika N(, ), maka P F Cotoh : Misalka variabl acak ag mataka masa pakai suatu kompo listrik dga ukura bula. Jika variabl diasumsika brdistribusi Normal dga 60 da 36 39

bula. Ttuka probabilitas bahwa kompo trsbut masa pakaia maksimal 4 tahu! P 48 60 6 48 0, 08 Torma : Jika N(, ), maka M t t t Bukti : t t E M Misal : z z t t E M t zdz R z tz dz R R zt t dt t R z t dz t. Shigga M t M t 40

t M zt t t t t (Trbukti) Torma : Jika N(, ), maka : E v ' 0 0 ' 0 " 4

BAB IV JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM 4. Joi Distribusi (Distribusi Brsama) Dalam aalisis statistik, distribusi brsama umuma distribusi ag trdiri dari k buah variabl radom (brdimsi k) atau srig diamaka vktor radom. vktoracak,..., k, Diisi : pd brsama dari variabl acak diskrit brdimsi k (vktor radom) didiisika sbagai brikut : P,...,,..., k P... k k k k Utuk smua ilai (),,...,, k dari vktor radom ag mugki. Cotoh : Sbuah dos brisi 000 bolp, 400 wara mrah, 400 wara hitam, sisaa biru. Jika 0 bolp diambil scara radom skaligus tapa pgmbalia, maka ttuka probabilitas baaka bolp ag trambil brwara mrah, hitam, da biru. 400 400 00 000,0,,, dga 3 000 0 Distribusi brsama biasaa trkait dga distribusi multiomial (prluasa dari biomial). 4. Distribusi Multiomial Misalka trdapat k kjadia ag trbatas da salig asig, aki,,..., k dga vt ag trjadi dari sbuah ksprim da misalka P P. i E i 4

Misalka i variabl acak mataka baaka kjadia E i dari ksprim, maka vktor radom dikataka brdistribusi multiomial, jika pd-a brbtuk :! k,...,, P P... k!... k! k k i, 0 i i k P k P i i mult P, P,...,, P k k Torma : Suatu ugsi,..., brlaku : k adalah pd brsama utuk bbrapa vktor radom jika haa jika a.,..., k 0, i, i,,..., k b....,..., k k Cotoh :. Sbuah bidag ttrahdro dilmparka sbaak 0 kali, masig-masig prmukaaa mmpuai pluag ag sama, aki /4. Ttuka probabilitas bahwa dari prcobaa trsbut mucula agka adalah 4 kali, agka adalah 6 kali, agka 3 da 4 adalah 5 kali. 0! 4!.6!.5!.5! 4 4 4 6 4 5 4 5 0! 4!.6!.5!.5! 4 0,0089 0,9%. mult 3;0,4;0,4 0 43

/ 0 3 0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,6 (0) P( 0) 0,048 0,9 0,9 0 0,43 () P( ) 0,096 0,9 0 0 0,88 () P( ) 3 0,064 0 0 0 0,064 (3) P( 3) 0,6 0,43 0,88 0,064 Pluag : harus (0,4) 0 (0,4) 0 (0,) 3 0,008 P 0, 0, 0,3,,3,3 0,048 0,096 0,064 0,9 0 0 0, 4 Diisi : Jika pasaga variabl acak diskrit, mmpuai pd,, maka pd margial dari da adalah :,, ( id ad variabl) ( id ad variabl) CDF brsama dari k variabl acak (vctor radom) adalah suatu ugsi ag didiisika sbagai brikut : F F,...,,..., k k k Torma : Suatu ugsi F, adalah CDF bivaria jika haa jika brlaku : lim, F, 0,. lim F, F, 0,. F 44

3. F, F, lim, 4. Fb, d Fb, c Fa, d Fa, c 0, a b, c d 5. lim F h, lim F, h F,,, h0 h0 4.3 Variabl Acak Kotiu Brsama Suatu variabl radom (vktor radom) dikataka kotiu jika trdapat ugsi pd brsama,..., k dari vctor radom trsbut, sdmikia shigga CDF-a dapat diataka sbagai brikut : F k,..., k... t, t,..., tk dt,..., dtk, t,..., tk Torma : pd brsama,..., a.,..., 0 k k b.,..., d,...,... k d k jika haa jika mmuhi : Pd margial :, d, d Cotoh : Misalka mataka kostrasi dari substasi trttu dari prcobaa da mataka kostrasi dari substasi trttu dari prcobaa. Jika diasumsika bahwa pd brsamaa 4,0 ;0,., maka ttuka CDF-a. 45

F,... t, t dt. dt... 4. t t. dt. dt 0 0, 4.4 Variabl Radom Bbas Stokastik Dalam aalisis statistik (irsi statistik), variabl radom bbas stokastik mrupaka pokok bahasa ag ptig, kara hampir sbagia bsar prsoala aalisis statistic trkait dga variabl radom bbas stokastik. Diisi : da variabl acak diskrit dga pd brsama,, dikataka bbas stokastik jika dapat diataka sbagai :,. Dga cara ag sama, apabila da mrupaka variabl acak kotiu sdmikia shigga,, maka :. b, c d, dd P a d b c a d b. d d c a b d. d a Jadi, Pa b, c d Pa bpc d. d c Scara umum, variabl radom,..., dikataka bbas stokastik jika ai bi, i,,..., k brlaku bahwa : Pa b,..., ak k bk Pa i i bi 46 k i

Torma : Vktor radom bbas stokastik jika haa jika : CDF F F,..., k k i pd,..., k k i i i i i Cotoh : / 0 ( ) 0 0, 0, 0, 0,4 0, 0, 0, 0,4 0, 0, 0 0, ( ) 0,3 0,5 0, (,) 0,,. ( ) 0,4,. 0, 0,4.0, 5 ( ) 0, Shigga bbas stokastik Shigga buka bbas stokastik 4.5 Distribusi Brsarat (Coditioal Distributio) Jika, variabl acak diskrit atau variabl acak kotiu dga pd brsama,, maka pd brsarat dari dga sarat :,, 0 Dga cara ag sama,,, 0 Jika, bbas stokastik, maka : 47

48 a.., b. Cotoh : Jika da dua variabl acak kotiu ag mmpuai pd brsama : ;0,0, Ttuka : a. b. 4 0 P a. 0., 0 d b. 4 0 P d. 4 4 0 4 3 0 4 3 4 3 8

Siat siat probabilitas. Jika vktor radom ag mmpuai pd brsama,..., k da jika u( ) mrupaka ugsi dari vktor radom, maka : Variabl acak diskrit E( ) E( u( ))... u(,..., k ) (,..., k ) k Variabl acak kotiu E( ) E( u( )) Torma :.... u (,..., ) (,..., ) d,..., d k k k Jika, suatu radom variabl dga pd brsama,, maka : E( ) E( ) E( ) Bukti : ) (, ) d E( d (, ) d (, ) d E ) ( ) ( Jadi, trbukti bahwa E ) E( ) E( ) (. Jika a i, i,,..., k suatu kostata, maka : E ai i Eai i Torma : Jika, dua variabl radom bbas stokastik g() da h() sbuah ugsi, maka : 49

E( g( ) h( )) E( g( )).. E( h( )) Scara umum, jika vktor radom salig idpd da u() suatu ugsi, maka : E( u( )) E( u( )),..., u( k )) E u( )),..., E( u( )) ( k 4.6 Covaria Diisi covaria brsama atara da : cov, E E EE Jika, maka cov, E Torma : E E E v Jika da bbas stokastik, maka : E EE,, shigga cov (, ) 0 Apabila cov (, ) 0, maka tidak brlaku da bbas stokastik. Siat siat covaria. Cov Bukti: 50

. 3. 4. Torma : Jika, Y variabl radom, maka : Jika, Y idpd, maka: (Trbukti) Jika vctor radom aki da suatu kostata, maka varia jika salig idpd, maka : Cotoh : 5

+ + 4 + 9 4.7 Korlasi Jika da Y mrupaka variabl radom dga variasia maisg-masig adalah da kovariasia adalah Maka korlasi da Y didiisika Siat siat korlasi :.. Dga 0,jika -,jika 3. a. 0 corr b. corr 0 c. 0 ucorrlatd Jika, bbas stokastik, maka ttapi tidak brlaku sbalika. 4. 4.8 Ekspktasi Brsarat Jika da Y variabl radom brdistribusi brsama (,Y), maka harapa Y ag dibrika didiisika sbagai : Y Y. Y E,, variabl acak diskrit 5

E Y Y. Y d,, variabl acak kotiu Cotoh : Misalka diktahui pd brsama dari variabl radom Y ag dibrika sbagai brikut : E Y,0 Y, 0 Z Cari EY E Y EY! Y E Y 0 Y 0 Y.. dy. Y 0 4 Torma : Jika da Y variabl radom brdistribusi brsama, maka : E E E Bukti : Misal : E h E Eh h d E d E.. d. d..,. d. d,. d. d 53

E (Trbukti) Cotoh : 4 Dari soal sbluma, jika E da,0, maka cari E. 4 E. d. d 0 0 3.4 0 E! 8 4 3 Dari cotoh-cotoh di atas, kspktasi brsarat dapat juga diguaka utuk variabl ag salig bbas stokastik. Jika, bbas stokastik, maka : a. E E b. E E Variasi brsarat dari dibrika didiisika sbagai : v E E Torma : Jika da Y variabl radom brdistribusi brsama, maka : v E var vare Bukti : E var E E E E E E 54

E E var E E E EE E var vare 4.9 MGF Brsama MGF brsama dari vctor radom jika ada, didiisika sbagai : M t Ep Jika t M k i ti i, h t h M,,t ada, maka variabl radom, bbas jika haa jika : t, t M t M t,. 55

BAB V FUNGSI VARIABEL RANDOM Tujua dari subpokok bahasa ii adalah mtuka distribusi pd dari ugsi variabl acak. Dga sarat, variabl acak sbluma () biasaa sudah diktahui btuk CDF-a. Trdapat tiga mtod / tkik utuk mdapatka distribusi ugsi variabl acak. Tkik trsbut atara lai : 5. Mtod CDF. 5. Mtod trasormasi variabl acak (trasormasi satu-satu atau trasormasi ag lai). 5.3 Mtod MGF. 5. Mtod CDF Misalka variabl acak mmpuai CDF F (). Da misalka u() suatu ugsi variabl acak, maka tkik CDF ii adalah mtuka ugsi diatas dga asumsi variabl acak trdiisi dga jlas. Scara khusus, misalka utuk stiap bilaga ral didiisika A { u() }, maka Y A. Cotoh : A { A 0} B {,,3,,0} C {a,b,c,d,,,g,h,i,j} Shigga dari pgrtia diatas btuk CDF dari Y adalah : F () P {u() } P { A} P [ ] ( d ) F ( ) F ( ) Jadi, pd d CDF. d 56

Cotoh :. Diktahui F () -3, 0. Ttuka pd dari Y! F () P[Y ] P[ ] P[ l ] P[F (h)] -3l, d Jadi, F () ( ) d 3,. Jika variabl acak kotiu. Ttuka pd dari Y! F () P[Y ] P[ ] P[ ] P( ) P( ) F ( ) F (- ) d F () ( F ( ) F (- )) d df df d d, utuk 0 57

Torma : Misalka vctor radom dari variabl acak kotiu dga pd brsama,..., Maka CDF dari Y brbtuk F Pu,,..., k d... d k u da u Cotoh : A Misalka Y F Y PY dga ~ Ep P 0 0, d d A, k. dga Y i, ttuka pd dari Y, p, 0? 0 0 d d d d 0 0 d 0 0 0 d d 0 0 Jadi, pd dari d adalah d 58

5. Mtod Trasormasi Variabl Acak Dalam mtod trasormasi ii, trdapat dua hal, aitu : 5.. Mtod Trasormasi Satu Satu Misalka variabl acak diskrit dga pd () da misalka u() mrupaka ugsi trasormasi satu-satu, maka pd dari Y diataka sbagai: u( ) w( ) w, B dga Cotoh : B 0. ~ GEO (p) dga pd pq,,,... Da -, ttuka pd Y! + w w p. q pq, 0,,... Misalka variabl acak kotiu dga pd () diasumsika bahwa u() mrupaka ugsi satu-satu dari himpua A, B 0 0 dga trasormasi ivrs w(). Jika turua w () kotiu da tidak brilai ol pada himpua B, maka pd dari dapat diataka sbagai d w w Cotoh : d Misalka CDF dari variabl radom adalah F dga mtod trasormasi!, maka ttukam pd dari 59

l w' w j w l 3 d d w F, dga 3 d d 4 F 3 3 w J l 4. Misalka variabl acak kotiu brdistribusi uiorm U,. Ttuka distribusi ugsi Y b ta a! pd U a, b b a U, 60

b ta a b ta a ta a b a w rc ta b Misal : Maka : w' dw d Shigga : b a b ' b a b b w J b a b a 5.. Mtod Trasormasi Buka Satu Satu ( Umum ) Trasormasi utuk k buah variabl radom Scara umum, trasormasi variabl radom dapat ditrapka k buah variabl, u() dga asumsi ugsi variabl trsbut mmpuai plsaia tuggal. (,,..., k ) da mmpuai jacobia matriks sbagai brikut : 6

Torma : Jika suatu vktor radom ag kotiu dga PDF brsama: pada himpua A da Y, mrupaka trasormasi satu-satu aki i u( i ), i,,...,k da jacobia matriks kotiu tidak ol, maka PDF dari adalah solusi tuggal dari. Cotoh : Misalka & adalah variabl radom idpd ag masig-masig brdistribusi ksposial satu. p() Dga pd brsamaa :, >0, >0 Maka ttuka pd brsama dari & bila diktahui, 6

Jawab: Jadi G,, 63

5.3 Mtod MGF Sbagaimaa mtod sbluma, mtod MGF ii juga dapat diguaka dga mudah utuk mtuka distribusi variabl radom atau jumlah ugsi variabl radom. Jika (,,..., k ) mrupaka buah variabl radom ag salig idpd aatau bbas da masig-masig pua MGF : maka jumlah buah variabl radom diatas aki :, idpd Cotoh : Misalka variabl radom brdistribusi biomial ag salig idpd : dga Ttuka distribusi dari 64

Jawab: ( BIN ( 5.4 Ordr Statistik ( i ) Kosp ordr statistik mrupaka kosp ag trkait variabl radom ag ilai-ilai obsrvasia diurutka ssuai variabl radom trsbut. Cotoh : Misalka variabl radom ag mtuka lamaa waktu taha hidup dari 5 macam bola lampu ag diuji hasila. 5 bula bula 3 6 bula 3 pguruta mulai dari ag trkcil 4 0 bula 5 5 7 bula 4 Scara umum (misal trdapat pgamata) 65

Torma : Jika variabl radom dari suatu populasi ag kotuu, maka PDF brsamaa dari statistik urut Misalka : A A A 3 A 4 A 5 A 6 B A,, A,, Dga mmprhatika ilai-ilai jacobia diatas da brdasarka mtod trasormasi sbluma, maka PDF brsama dari kasus diatas mrupaka prkalia dari aktor-aktor, shigga PDF brsamaa diataka : 66

Cotoh :. Misalka mataka sampl radom dga PDF. Ttuka PDF brsama dari statistik brsama da PDF margial! Purua distribusi dari ordr statistik k-k dapat juga dilakuka hubuga atara PDF da CDF :. Misalka, variabl acak kotiu dga PDF :. Ttuka btuk dari distribusi margial dari (pgamata ag trkcil)! Jawab: 67

; a< <b Dari cotoh diatas maka PDF margial scara umum dapat dittuka dga mgguaka torma brikut : sampl radom brordr dari suatu PDF ag kotiu dga >0 68

Utuk a<<b, maka PDF ordr statistik k-k (margial) dapat diataka sbagai : dga a< <b Dalam praktk ordr statistik smallst & biggst atau miimum da maksimum, mmpuai pra ptig khusua dalam statistik irsi. Olh kara itu, trkait dga torma diatas, maka statistik urut miimum da maksimum dapat dirumuska mlalui macam pdkata :. Variabl acak kotiu. Variabl acak diskrit Utuk variabl acak kotiu PDF ma da PDF mi diataka sbagai: CDF :, 5.5 Distribusi Limit Dalam aalisis statistik (irsi) pra dari distribusi limit mrupaka bagia ag ptig, kara trkait dga modl distribusi pdkata limit dari variabl radom. Dalam distribusi limit ii, aka dibicaraka kosp-kosp ag trkait dga kovrg distribusi, kovrg stokastik, kovrg hampir pasti, thorma CLT dari sbuah variabl atau barisa radom. Jadi barisa adalah suatu ugsi dga domai bilaga asli. Diisi : Jika 69

Maka dikataka kovrg dalam distibusi k da diataka Cotoh : Misalka sampl radom dari distribusi ksposial da ordr statistik trkcil. Maka ttuka CDF! F(- ) 0 F( ) Diisi : Suatu barisa dari variabl radom dikataka kovrg stokastik pada kostata c jika barisa trsbut mmpuai distribusi limit pada c. Dari diisi trsbut, maka dapat dituruka diisi distribusi grat. 5.6 Distribusi Grat Fugsi G() adalah CDF dari distribusi grat pada ilai c jika : Dga kata lai, G() adalah CDF dari distribusi variabl acak diskrit jika probabilitas brilai pada titik c da brilai 0 pada ag lai. 70

5.7 Distribusi Partto Suatu variabl acak kotiu dikataka brdistribusi partto dga θ>0, ɸ>0 Jika PDF-a brbtuk : Cotoh : Misalka brdistribusi partto satu-satu da ordr statistik trkcil, maka ttuka CDF dari! G(Y) 5.8 Torma Limit Pusat Misalka suatu barisa variabl radom dga CDF masig-masig : da MGF masig-masig adalah Jika M(t) suatu MGF da CDFa G(Y) dga 7

Maka Cotoh : Misalka suatu sampl radom dari distribusi broulli dga Y sdmikia higga p maka ttuka distribusi limit dga CLT! M (t), maka Y M(t) Dari cotoh diatas, kosp distribusi limit da CLT da kduaa mtuka dga pdkata Satu hal ag prlu diktahui, apabila btuk CDF tidak mmuhi siat-siat umum, maka barisa Y tidak mmpuai distribusi limit pdkata. Torma limit pusat scara khusus : Jika mrupaka sampl radom dari sbuah distribusi dga PDF (), da ma da varia brhigga, maka distribusi limit dari : 7

Dari uraia di atas, dapat disimpulka bahwa Thorma limit Ctral dapat dimodiikasi brdasar kosp-kosp statistik dasar, aitu :.. Jika, maka: 5.9 Aplikasi CLT Utuk mrapka dalil limit pusat dalam prmasalaha shari-hari maka thorma limit pusat dapat dimodiikasi ssuai dga kasus. Trdapat bbrapa modiikasi dalam bbrapa hal :.. Cotoh : Misalka adalah ma sampl radom brukura 75 dari distribusi dga PDF Ttuka pluag P(0,45<! 73

5.0 Kovrg Stokastik Kosp kovrg stokastik baak diguaka utuk mujukka bagaimaa sbuah radom variabl dapat diguaka utuk pdkata asimtotik ormal. Misalka mrupaka distribusi dari variabl radom ag distribusia trgatug pada bilaga bulat positi. Jika c mrupaka kostata ag tidak trgatug pada maka variabl radom dikataka kovrg stokastik/ probabilistik/ lmah k-c jika da haa jika utuk stiap brlaku : Dari kosp diatas, kovrgsi stokastik dapat diprluas trhadap barisa variabl radom. Misalka { } barisa variabl radom,,,... da variabl radom ag trdiisi pada ruag paramtr (ῼ) maka : kovrgsi dari barisa trsbut dapat diuraika mlalui 3 macam kovrg :. Kovrg almost sur / kovrg dga probabiitas / kovrg strog. Kovrg stokastik / kovrg probabilistik / kovrg wak 3. Kovrg distribusi / kovrg lgkap Diisi : Misalka barisa variabl radom dikataka kovrg hampir pasti k-, jika utuk stiap ε > 0 brlaku : dikataka kovrg lma k- jika utuk stiap ε > 0 brlaku : dikataka kovrg dalam distribusi k- jika : Utuk mtuka kovrgsi sbuah barisa variabl radom, dapat diguaka Chbchv. 74

Lagkah-lagkah mtuka kovrgsi :. Guaka prtidaksamaa chbchv. Ttuka ma da variasia 3. Subtitusika k chbchv 4. Slsaika Cotoh : Misalka mrupaka sampl radom dari distribusi ksposial. Buktika kovrg stokastik k! Buktika : lim ( ) 75