DIMENSI PARTISI GRAF GIR

Jurnal Matematka UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 21 27 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematka FMIPA UNAND DIMENSI PARTISI GRAF GIR REFINA RIZA Program Stud Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Andalas Padang, Kampus UNAND Lmau Mans Padang, Indonesa refna.rza@gmal.com Abstrak. Msalkan G = (V, E adalah graf terhubung dan S V (G. Selanjutnya msalkan terdapat ttk v V (G. Maka jarak ttk v terhadap S ddefnskan sebaga d(v, S = mn{d(v, x x S}. Msalkan hmpunan ttk V (G dparts menjad beberapa parts, sebut S 1, S 2,, S k. Notaskan π sebaga suatu hmpunan terurut dar k-parts, tuls π = {S 1, S 2,, S k }. Msalkan terdapat suatu ttk v d G. Maka representas v terhadap π ddefnskan sebaga r(v π = (d(v, S 1, d(v, S 2,, d(v, S k. Jka setap ttk yang berbeda d G mempunya representas yang berbeda terhadap π, maka π dsebut sebaga parts penyelesaan. Kardnaltas mnmum dar k-parts penyelesaan terhadap V (G dsebut dengan dmens parts dar G, dnotaskan dengan pd(g. Msalkan terdapat graf sklus genap C 2n, n 2: v 0 v 1, v 2n 1 v 0. Graf gr G 2n dperoleh dengan cara menambahkan satu ttk baru, notaskan c, yang bertetangga dengan n buah ttk d graf C 2n, n 2, yatu ttk-ttk v 0, v 2,, v 2n 2. Msalkan dmens parts graf Gr pd(g 2n = k. Pada tulsan n akan dkaj kembal bahwa banyaknya ttk d graf gr G 2n dbatas oleh dmens partsnya, yatu 2n + 1 < 3k 4 (k + 22 k 7. Kata Kunc: Parts penyelesaan, dmens parts, graf gr. 1. Pendahuluan Msalkan terdapat suatu graf terhubung G. Ambl sebarang ttk v d V. Jarak d(u, v antara ttk u dan v pada graf G adalah panjang lntasan terpendek dar ttk-ttk tersebut. Sedangkan jarak terpanjang antara ttk-ttk pada V (G ddefnskan sebaga dameter dar graf G, dtuls dam (G. Msal terdapat ttk v V (G dan S adalah hmpunan bagan dar V (G. Jarak antara v dan S adalah d(v, S = mn{d(v, x x S}. Msalkan V (G dparts menjad k buah hmpunan, S 1, S 2,, S k yang sa-lng lepas. Defnskan π = {S 1, S 2,, S k } sebaga hmpunan yang berskan k-parts tersebut. Msal terdapat ttk v V (G, maka representas dar v terhadap π ddefnskan sebaga r(v π = (d(v, S 1, d(v, S 2,, d(v, S k. Jka ttk-ttk yang berbeda d G mempunya representas yang berbeda terhadap π, maka π dsebut parts penyelesaan (resolvng partton graf G. Kardnaltas dar parts penyelesaan mnmum dsebut dmens parts dar G, dtuls pd(g. Graf sklus adalah graf sederhana yang setap ttknya berderajat dua. Graf sklus dengan n ttk dlambangkan dengan C n. Graf roda merupakan graf yang dperoleh dengan cara menambahkan satu ttk d luar graf sklus C n, dan menghubungkan ttk baru tersebut dengan semua ttk pada C n. Graf roda dengan n + 1 ttk dnotaskan dengan W n. 21

22 Refna Rza Makalah n merupakan tnjauan ulang dar rujukan pustaka [3]. Pada makalah n penuls mengkaj kembal tentang dmens parts dar salah satu graf yang mrp dengan graf roda, yatu graf Gr G 2n, n 2. 2. Dmens Parts dar Graf Gr Msalkan dberkan graf sklus genap C 2n, n 2 dengan V (C 2n = {v 0, v 1,, v 2n 1 } dan E(C 2n = {v v +1 = 0, 1,, 2n 2} {v 2n 1 v 0 }. Untuk mengkonstruks graf gr G 2n, tambahkan satu ttk baru, notaskan dengan c, yang bertetangga dengan n ttk d C 2n, dengan ketentuan, untuk = 0 atau 1, tambahkan ss-ss cv, cv +2, cv +4,, cv +(2n 2. Jad V (G 2n = {v = 0, 1,, 2n 1} {c} dan E(G 2n = {cv j j = 0, 2,, 2n 2} E(C 2n. Dapat dlhat bahwa banyaknya ttk graf gr G 2n adalah 2n+1, sementara banyaknya ss graf gr G 2n adalah 3n. Pada Gambar 1 berkut dberkan gambar C 2n dan G 2n sebagamana yang telah ddefnskan d atas. Gambar 1. Graf sklus genap C 2n dan graf gr G 2n Defns 2.1 dan Defns 2.2 berkut memberkan pengertan dar jarak antara dua ttk dan jarak antara suatu ttk terhadap suatu hmpunan pada suatu graf. Defns 2.1. [3] Msalkan G = (V, E adalah graf terhubung dan msalkan S V. Msalkan terdapat suatu ttk v V. Maka jarak ttk v terhadap S ddefnskan sebaga d(v, S = mn{d(v, x x S}. Defns 2.2. [3] Msalkan G = (V, E adalah graf terhubung dan u, v V adalah dua ttk sebarang d G. Dameter G ddefnskan sebaga jarak maksmum antara setap dua ttk d G, dnotaskan dam(g = max{d(u, v u, v V (G}. Selanjutnya pengertan dmens parts suatu graf dberkan pada Defns 2.3 berkut. Defns 2.3. [3] Msalkan G adalah suatu graf terhubung dengan hmpunan ttk V (G dparts menjad beberapa parts, sebut S 1, S 2,, S k. Notaskan π sebaga suatu hmpunan terurut dar k-parts, tuls π = {S 1, S 2,, S k }. Msalkan terdapat suatu ttk v d G, maka representas v terhadap π ddefnskan sebaga jarak dar

Dmens Parts Graf Gr 23 v ke tap-tap parts d π, dtuls r(v π = (d(v, S 1, d(v, S 2,, d(v, S k. Untuk selanjutnya r(v π n dsebut vektor penyajan. Jka setap ttk yang berbeda d G mempunya representas yang berbeda terhadap π, maka π dsebut sebaga parts penyelesaan. Kardnaltas mnmum dar k-parts penyelesaan terhadap V (G dsebut dmens parts dar G, dnotaskan dengan pd(g. Pada Defns 2.4 berkut dberkan pengertan dar hmpunan penyelesaan. Defns 2.4. [3] Msalkan W V (G dan x, y V (G. Hmpunan W = {w 1, w 2,, w k } dkatakan hmpunan penyelesaan (resolvng set d G jka untuk setap dua ttk x, y V (G, dengan x y maka terdapat suatu ttk w W sedemkan sehngga d(x, w d(y, w. Contoh 2.5. Msal terdapat graf gr G 4 dengan V (G 4 = {c, v 0, v 1, v 2, v 3 }. Akan dtunjukkan bahwa pd(g 4 = 3. Msal π = {S 1, S 2, S 3 } dengan S 1 = {c, v 0 }, S 2 = {v 1 }, S 3 = {v 2, v 3 }. Ambl ttk c S 1. Maka representas ttk c terhadap π adalah r(c π = (d(c, S 1, d(c, S 2, d(c, S 3 = (0, 2, 1. Selanjutnya, ambl ttk v 0 S 1 maka r(v 0 π = (0, 1, 1. Dengan cara yang sama dperoleh : r(v 1 π = (1, 0, 1, r(v 2 π = (1, 1, 0, r(v 3 π = (1, 2, 0. Dapat dlhat bahwa karena sebarang ttk v d G 4 r(v π yang berbeda, maka haruslah pd(g 4 = π = 3. mempunya representas 3. Batas Atas untuk Orde G 2n Untuk membuktkan kembal hasl utama pada kajan n, penuls menggunakan Klam 3.1 Klam 3.4 dan Lema 3.5 Lema 3.9 sebaga berkut. Klam 3.1. Terdapat palng banyak dua angka 1 pada vektor penyajan dar ttk tep selan poss pertama. Klam 3.2. Terdapat palng banyak dua angka 2 pada vektor penyajan dar ttk tep mnor selan poss pertama. Klam 3.3. Blangan terbesar pada vektor penyajan ttk mnor adalah 4. Klam 3.4. Blangan terbesar pada vektor penyajan ttk mayor adalah 3. Msalkan pd(g 2n = k. Pada Lema 3.5 Lema 3.9 berkut dtunjukkan keterkatan antara n dan k tersebut. Lema 3.5. Banyaknya representas yang berbeda dar ttk pusat c pada graf gr terhadap parts dar V(G 2n adalah 2 k 1. Bukt. Msal pd(g 2n = k dan π = {S 1, S 2,, S k } adalah suatu k-parts terurut dar ttk-ttk pada G. Asumskan bahwa ttk pusat c S 1. Dapat dtulskan

24 Refna Rza r(c π = (d(c, S 1, d(c, S 2,, d(c, S k, yang berskan k buah unsur. Unsur pertama yatu d(c, S 1, haruslah 0. Untuk k 1 poss lannya, dapat ds dengan angka 1 atau 2. Oleh karena tu banyaknya representas yang berbeda untuk c adalah 2 k 1. Lema 3.6. Banyaknya representas yang berbeda pada ttk-ttk tep mayor dalam S 1 yang mengandung ttk pusat c terhadap parts dar V(G 2n adalah 2 k 1. =0( k 1 Bukt. Msalkan v merupakan ttk mayor pada S 1, maka poss pertama pada vektor penyajan v terhadap π adalah 0. Sehngga k 1 poss lannya dapat ds dengan angka 1, 2 atau 3. Dar tga kasus d atas maka banyaknya representas yang berbeda adalah ( k 1 =0 2 k 1 dmana adalah banyaknya angka 1 dalam vektor penyajan. Lema 3.7. Banyaknya representas yang berbeda pada ttk-ttk tep mnor dalam S 1 yang mengandung ttk pusat c pada graf gr terhadap parts dar V(G 2n adalah 2 k j 1. =0( k 1 j ( k j 1 Bukt. Msal u adalah ttk mnor d S 1. Karena poss pertama pada vektor penyajan ttk u terhadap π ds 0, maka k 1 poss lannya dapat ds dengan 1, 2, 3, atau 4. Karena palng banyak dua poss ds angka 1 (berdasarkan Klam 1 dan berdasarkan Klam 2, terdapat palng banyak dua buah angka 2 maka banyaknya representas yang berbeda adalah =0 ( k 1 j ( k j 1 2 k j 1. Lema 3.8. Banyaknya representas yang berbeda pada ttk-ttk tep mayor dalam kelas lan selan S 1 yang mengandung ttk pusat c pada graf gr terhadap parts dar V(G 2n adalah ( k 2 =0 2 k 2. Bukt. Msalkan w adalah ttk mayor pada kelas lan selan S 1. Tanpa mengurang perumuman dapat dasumskan bahwa w S 2, maka poss pertama pada vektor penyajan w terhadap π adalah 1 dan poss kedua ds oleh 0. Sehngga k 2 poss lannya dapat ds dengan 1, 2 atau 3. Karena terdapat palng banyak dua buah angka 1 (berdasarkan Klam 1, maka dengan cara yang sama sepert pada pembuktan Lema 3.1.2 dperoleh bahwa banyaknya representas yang berbeda adalah =0( k 2 2 k 2, dmana adalah banyaknya angka 1 dalam vektor penyajan. Lema 3.9. Banyaknya representas yang berbeda pada ttk-ttk tep mnor dalam kelas lan selan S 1 yang mengandung ttk pusat c pada graf gr terhadap parts dar V(G 2n adalah 2 2 ( k 2 =0 2 k j 2. j ( k j 2 Bukt. Karena poss pertama pada vektor penyajan dapat ds oleh 1 atau 2 dan poss kedua ds oleh 0, sehngga k 2 poss lannya dapat ds dengan 1, 2, 3, atau 4. Berdasarkan Klam 1 dan Klam 2 dan dengan cara yang sama sepert pada pembuktan Lema 3, maka banyaknya representas yang berbeda adalah 2 2 ( k 2 ( k j 2 =0 j 2 k j 2, dengan j adalah banyaknya angka 1 dan adalah banyaknya angka 2 dalam vektor penyajan.

Dmens Parts Graf Gr 25 Dengan menggunakan Lema 3.5 Lema 3.9, akan dtunjukkan bahwa banyaknya ttk pada graf Gr dbatas oleh dmens partsnya, sepert yang dtunjukkan pada Teorema 3.10 berkut. Teorema 3.10. Msalkan n 2 dan k merupakan dmens parts dar G 2n, maka orde graf gr G 2n dbatas oleh dmens partsnya, yatu 2n + 1 < 3k 4 (k + 22 k 7. Bukt. Msal π = {S 1, S 2,, S k } dan ttk pusat c berada d S 1. Maka berdasarkan Lema 3.5 Lema 3.7 dperoleh bahwa banyaknya ttk pada S 1 adalah S 1 2 k 1 + ( k 1 2 k 1 + =0 = 2 k 7 (k 4 2k 3 + 27k 2 + 14k + 152 < 3k 4 2 k 6, ( ( k 1 k j 1 2 k j 1 j =0 untuk setap k 3. Berdasarkan Lema 3.8 dan Lema 3.9 maka banyaknya ttk pada parts lannya adalah S l ( k 2 2 k 2 + 2 =0 ( ( k 2 k j 2 2 k j 2, j =0 = 2 k 7 (k 4 6k 3 + 35k 2 + 46k + 80, < 3k 4 2 k 7 untuk setap k 3. Karena banyaknya ttk d G 2n adalah jumlah ttk dar masng-masng kelas parts, maka dperoleh k 2n + 1 = S l, l=1 < 3k 4 2 k 6 + 3(k 1k 4 2 k 7 < 3k 4 (k + 22 k 7. Dapat dsmpulkan bahwa orde G 2n dbatas oleh dmens partsnya. Contoh 3.11. Dberkan suatu graf gr G 6, dengan n = 3 dmana n adalah banyaknya ttk d G 6 yang bertetangga pada C 6. Akan dtunjukkan bahwa pd(g 6 = 3 dan orde G 6 dbatas oleh dmens partsnya. Msal dambl π = {S 1, S 2, S 3 }, dmana S 1 = {c, v 0, v 5 }, S 2 = {v 1, v 2 }, S 3 = {v 3, v 4 } maka dperoleh representas

26 Refna Rza setap ttk pada graf G 6 relatf terhadap π adalah: r(c π = (0, 1, 1, r(v 0 π = (0, 1, 3, r(v 1 π = (1, 0, 2, r(v 2 π = (2, 0, 1, r(v 3 π = (1, 1, 0, r(v 4 π = (1, 2, 0, r(v 5 π = (0, 2, 1. Karena representas setap ttk terhadap π pada G 6 berbeda, maka π merupakan hmpunan parts penyelesaan dar G 6. Karena π = {S 1, S 2, S 3 } dan π = 3 maka pd(g 6 = 3. Kemudan akan dtunjukkan bahwa orde graf gr G 6 dbatas oleh dmens partsnya. Dketahu bahwa n = 3 dmana n adalah banyaknya ttk d G 6 yang bertetangga pada C 6. Telah dperoleh bahwa pd(g 6 = k = 3. Maka berdasarkan Teorema 3.10, berlaku 2n + 1 < 3k 4 (k + 22 k 7, 2(3 + 1 < 3(3 4 (3 + 22 3 7 6 + 1 < 3(81(52 4 7 < 76. Dar contoh d atas dapat dlhat bahwa orde graf gr G 6 terbatas d atas oleh dmens partsnya. 4. Kesmpulan Msalkan terdapat graf sklus genap C 2n dengan n 2. Notaskan V (C 2n = {v 0, v 1,, v 2n 1 } dan E(C 2n = {v v +1 = 0, 1,, 2n 2} {v 2n 1 v 0 }. Graf gr G 2n dperoleh dengan cara menambahkan satu ttk, namakan c, yang bertetangga dengan n ttk d C 2n, yatu v 0, v 2,, v 2n 2. Jad V (G 2n = {v = 0, 1,, 2n 1} {c} dan E(G 2n = {cv j j = 0, 2,, 2n 2} E(C 2n. Pada tulsan n telah dkaj kembal bahwa dmens parts graf Gr G 2n dbatas oleh banyaknya ttk pada graf Gr tersebut. Msalkan n 2, dengan n adalah banyaknya ttk pada G 2n yang bertetangga dengan ttk-ttk d C 2n dan k merupakan dmens parts dar G 2n, maka 2n + 1 < 3k 4 (k + 22 k 7, untuk setap k 3. 5. Ucapan Terma kash Penuls mengucapkan terma kash kepada Ibu Lyra Yulant, Bapak Adm Nazra, Bapak Syafrzal Sy, Bapak Narwen, dan Bapak Zulakmal yang telah memberkan masukan dan saran sehngga makalah n dapat dselesakan dengan bak.

Daftar Pustaka Dmens Parts Graf Gr 27 [1] Bondy, J. A dan Murty, U. S. R., 1976, Graph Theory wth Applcatons, Macmllan, London [2] Chartrand, G., Saleh, E., dan Zhang, P., 2000, The partton dmenson of a graph, Aequatones Mathematcae 59: 45 54 [3] Javad, I. dan Shokat S., 2008, On the partton dmenson of some wheel related graphs, Prme Research n Mathematca 4: 154 164