oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a) : Apabila hubuga ii tidak berlaku utuk seluruh x dalam domai f; kita igi meetuka subset terbesar dalam domai f sehigga hubuga di atas masih berlaku. Salah satu alasa betuk ii mirip poliom (haya sukuya tak berhigga). Poliom cederug mudah ditagai, kotiu, mempuyai turua, da teritegral. Jadi, bila f (x) mempuyai peyajia dalam deret pagkat, kita dapat memafaatka kemudaha-kemudaha yag diperoleh dari kemiripa tersebut. De itio Deret pagkat berpusat di x = a adalah deret dalam betuk c (x a) = c + c (x a) + c (x a) + + c (x a) + : Kostata c ; c ; c ; : : : disebut koe sie deret pagkat da a disebut pusat. Remark Perbedaa medasar deret pagkat dari deret biasa adalah deret pagkat melibatka variabel sehigga dapat membagkitka fugsi. Cotoh Utuk a 6= ; deret pagkat a + ax + ax + = ax megigatka kita pada deret pagkat dega rasio : Jadi, ax = a ; jika < x < : x Himpua/Selag Kekovergea Himpua semua bilaga real x sehigga suatu deret pagkat c (x a) koverge disebut himpua kekovergea. Karea ati terbukti bahwa himpua ii selalu merupaka selag atau iterval, maka lebih serig disebut selag atau iterval kekovergea. Alat utama dalam meetuka iterval kekovergea sebuah deret pagkat adalah Uji Rasio Mutlak. Meurut Uji Rasio Mutlak, utuk tiap x; deret pagkat c (x a) koverge jika it berikut koverge da ja + (x)j <! ja (x)j ja da diverge bila +(x)j! ja (x)j > : Misalka it berikut ada jc + j = ; suatu R:! jc j Maka ja + (x)j c + (x! ja (x)j! jc (x Dega demikia, jika 6= ; a) + a) j jc + j jx aj + jc + j! jc j jx aj jx aj = jx aj! jc j
c (x a) koverge jika jx aj < atau jx aj < ; da c (x a) diverge jika jx aj > atau jx aj > : Nilai disebut radius kekovergea. jc Dapat dibuktika, sekalipu +j! jc j diverge, terdapat iterval ( R + a; a + R) berpusat di a da radius R dimaa deret pagkat koverge mutlak. Jika R = ; maka deret pagkat koverge haya utuk x = a: Theorem 3 Utuk tiap deret pagkat koverge utuk jx! jc +j jc j = R : aj < R da c (x a) ; terdapat R; R ; sehigga c (x c (x a) diverge utuk jx aj > R: Jika! jc +j jc j a) ada, maka Sebagai akibat dari teorema diatas, maka himpua kekovergea setiap deret selalu berbetuk salah satu selag:. fag ;. ( ; ) yaitu seluruh bilaga real, atau 3. (a R; a + R) ; [a R; a + R) ; (a R; a + R] ; [a R; a + R] ; dega < R <. Cotoh Tetuka selag kekovergea deret pagkat () + 4 (x 3) 8 ()3 + : Betuk suku ke- adalah (x! + (x (x 3) : Maka 3) + 3) Jika jj < ; maka jj < sehigga X jj > sehigga X (x! 3) diverge. adi, + jj + jj = jj : () koverge mutlak. Jika jj > ; maka () koverge, jika jj < atau jika x (; 5) : () diverge, jika jj > atau jika x ( ; ) [ (5; ) : Utuk jx Utuk x = 5: Utuk x = : 3j = ; yaitu x = 5 atau x = ; kekovergea harus diperiksa secara tersediri. () = = ( ) ; diverge. () = ( ) = ; juga diverge.
Maka himpua kekovergea dari deret pagkat jj < atau iterval (; 5) : Cotoh Tetuka selag kekovergea deret (x (x+3) 4 : Misalka 3) adalah himpua semua x sehigga Jadi, Maka ja + (x)j! ja (x)j (x + 3) a (x) = 4 = x + 3 4 = x + 3 (x + 3) x + 3 4 = (+)(x+ 3 ) + + ( + )! (x+ 3 )! +! x + 3! + x + 3 + x + 3 + x + 3 = x + 3 : Maka, deret koverge jika x + 3 < atau x + 3 < da diverge jika x + 3 > atau x + 3 > 3 Dega demikia radius kekovegea adalah da pusat deret adalah yaitu 3 3 ; + = ; : Selai itu deret diverge pada ; [ ; : Kita perlu memeriksa kekovergea di ujugujug selag ; : Perhatika Utuk x = ; X + 3 ( ) = = ( ) jelas diverge. Utuk x = : X Maka, iterval kekovergea deret + 3 () = = Cotoh Misalka diketahui bahwa deret (x+ 3 ) adalah ; : jelas diverge. c () koverge pada x = da diverge pada x = : Tetuka kekoverge deret pada x = 6 da x = Misaka I adalah iterval kekoverge dari deret. Karea koverge j 3j = 4; maka iterval kekoverge memuat iterval [ ; 3 + 4) = [ ; ) ; [ ; ) I Karea 6 [ ; ) ; deret koverge pada x = 6 Sedagka karea deret diverge pada x = ; da j ( ; 3 ) [ [; ) = ( ; 4) [ [; ) : Karea ( ; 4) [ [; ) ; deret diverge pada x = : [ ; ) I [ 4; ) : 3j = ; maka deret aka diverge pada selag 3
Deret Radius Kekovegea Iterval Kekovergea x R = ( ; )!x R = fg = Operasi pada Deret Pagkat () R = [; 4) ( ) x (!) R = ( ; ) Misalka J adalah selag kekovergea deret pagkat koverge di ^x; maka c (x a) : Maka utuk tiap ^x J; karea c (^x a) adalah sebuah bilaga real. Dega lai perkataa, kita melihat bagaimaa sebuah deret pagkat ii dapat disigkat sebagai Sebagai cotoh, c (x f (x) = a) membagkitka sebuah fugsi f (x) dega domai J: Hal c (x a) ; utuk tiap x J: x = X x ; utuk tiap x ( ; ) : Kita aka melihat beberapa operasi yag dapat dilakuka pada satu atau dua deret pagkat da bagaimaa meetuka iterval kekovergea da fugsi yag dibagkitka deret pagkat baru. Misalya d (x a) adalah deret pagkat dega iterval kekovergea J membagkitka sebuah fugsi g (x) dega domai J: Kita tertarik misalya pada iterval kekovergea da fugsi yag dibagkitka deret pagkat c (x a) c ; + (x a)+ ; da (c + d ) (x a) : Masalah yag lebih serig ditemuka adalah kebalikaya. Sebagai cotoh, kita igi meetuka fugsi f (x) yag dibagkitka oleh deret pagkat x + x! 3! + x4 4! + x5 x 5! 6!! + + : Jika kita dapat meuliskaya sebagai hasil operasi atas satu atau lebih deret pagkat yag telah diketahui fugsi-fugsi yag dibagkitkaya, maka kita dapat meetuka f (x) : Dalam hal ii, deret di atas adalah jumlah dari dua deret, +x x! Karea 3! + x4 4! + x5 5! maka f (x) = si x + cos x; 6! x! ++ = x! + x4 4! 6! + + x si x = ( ) + x + da cos x = ( ) x si x + cos x = + x x! 3! + x4 4! + x5 5! 6! x! + + : 3! + x5 5! x! + 4
Operasi Kalkulus Theorem 4 (Turua da Itegral suku demi suku) Misalka f (x) adalah fugsi yag dibagkitka oleh c (x a) pada selag dega radius kekovergea R > : Maka utuk tiap x (a R; a + R) ; f d (x) = dx (c (x a) ) = c (x a) = c + c x + 3c 3 x + = f (t) dt = c (t a) c dt = + (x a)+ = c x + c x + 3 c + Z f (t) dt = C + c x + c x + 3 c + Problem 5 Beri pejelasa megapa iterval kovergesi tidak berubah. Theorem 6 Jika c x koverge mutlak utuk jxj < R da f kotiu, maka c (f (x)) juga koverge utuk jf (x)j < R: Cotoh Utuk tiap x; jxj < ; deret pagkat x koverge mutlak ke x : Maka X (x) koverge mutlak pada x utuk tiap x dega jxj < atau jxj < : Cotoh Diketahui bahwa ta x = R x +t dt: Maka + x = ( x ) = x + x 4 + ; x <. Karea x = x : Maka syaratya adalah jxj < : Dega demikia, ta x = + t dt = X ( ) x ( ) dx = + x+ = x utuk jxj < : Operasi Aljabar Theorem Misalka f (x) = c (x a) da g (x) = d (x radius kekovergea R > : Maka, deret (c + d ) (x a) = f (x) + g (x) pada iterval yag sama. Cotoh Diketahui (c + d ) (x a) = f (x) g (x) X @ c j d j= j x = + x + x + + = A (x a) = f (x) g (x) x ; jika jxj < : x = + x + 4x + 8 + = 5 3 + x5 5 x + a) pada selag berpusat di a da x ; jika jxj < :
Maka, + ( + ) x + ( + + 4) x + ( + + 4 + 8) + = X @ j A x = j= x x = x x x 3x + utuk tiap jxj < Jadi, seolah-olah kita megalika dua suku bayak. + x + x + + + x + 4x + 8 + = +( + ) x+( + + 4) x +( + + 4 + 8) + Cotoh Tetuka deret pagkat dari f (x) = : Karea = d ( x) ( x) dx jxj < ; maka Cotoh Misalka S (x) = R x : Maka ( x) = x ; utuk jxj < : = dt +t 5 : Berika hampira S + x 5 = ( x 5 ) = x5 + x x 5 + = Misalka S = Z Z dx + x 5 = x dx + x 5 = ( ) (5+) 5+ 6 + x ( ) 5 + x5+ = R x, da x = X x utuk +x 5 dx dega ketelitia tak lebih dari ( ) x 5 ; utuk x 5 < ; yaitu jxj < : 6 + = sebuah deret bergati tada. Maka js s j < a + = Nilai aka memeuhi (5+6) < jika 5+6 6 6 + 6 6 + (5 ( + ) + ) = 5(+)+ (5 + 6) 5+6 : 5+6 = 5 64 > (5 + 6) 5 > (5 + 6) 64 = (5 + 6) 5 6 4 Jelas sulit utuk meyelesaika pertidaksamaa di atas. Kita ketahui bahwa (a ) mooto turu. Maka kita bisa mecoba sehigga a < : Teryata a 6 = :5 (5 6 + ) 56+ Maka dapat dipilih s 5 sebagai hampira yag memeuhi syarat ketelitia di atas. s 5 = 6 6 + 6 6 + 6 :49 439 9 996 9 6 Titik tegah js 5 + s 6 j = js 5 + s 5 + a 6 j = js 5 j + ja 6j 6
memberi ketelitia yag lebih baik yaitu a6 ; dega kesalaha tak lebih dari S :49 439 9 996 9 + 3 3 :49 439 9 4 483 ja 6 j = 3 3 = : 5 665 94 38 38 : Hasil sampai dega agka dibelakag koma dega Maple adalah Z dx = :494399643::: + x5 j:494399643 :49 439 9 996 9 j = : 46 84 3 < j:494399643 :49 439 9 4 483j = : 43 < ja 6j Beberapa Deret Pagkat Petig x = + x + x + + x 4 + ; jxj < e x x =! = + x! + x! + x3 3! + ; semua x ta x = l ( + x) = x + + = x 3 + x5 5 ( ) + x = x = x + x3 3 x + ; jxj < x 4 4 + ; jxj <