UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 999 Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0. Misalkan diketahui fungsi f dengan ; 0 f() = ; < 0 Gunakan de nisi turunan untuk memeriksa aakah f 0 (0) ada.. Diketahui fungsi f yang dide nisikan f() = +. Tentukan nilai maksimum dan minimum global fungsi f ada [ ; ].. Tentukan dy d dari fungsi imlisit berikut + sin(y) + = 0. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi a( + ) ; 0 < f() = b ; > memunyai turunan di =. 5. Misalkan fungsi f terdiferensialkan ada selang buka I yang memuat. Jika g() = f( ) untuk setia ada I dan f() = f 0 () = maka tentukan (a) g 0 () (b) g 0 () 6. Diketahui fungsi f dengan ; 0 < f() = () + ; < Tana menggunakan gambar, tentukan
(a) titik-titik kritisnya (b) selang di mana gra k f cekung ke atas dan selang di mana gra k f cekung ke bawah (c) titik balik (jika ada). Jika tidak ada berikan alasannya. 7. Suatu tabung lingkaran tegak (silinder) dianaskan sehingga tinggi tabung dan jari-jari lingkaran berubah dengan laju masing-masing sebesar cm/detik. Hitunglah laju erubahan volume tabung tersebut ada saat tinggi tabung 0 cm dan jari-jari lingkaran 5 cm. 8. Berikut ini gambar sebuah talang air dengan kedua ujungnya tertutu. Talang air tersebut memiliki dua enamang berbentuk segitiga sama sisi dan dua enamang lainnya berbentuk emat ersegi anjang dengan anjang cm dan lebar l cm.!!!!!!! T T S!!!!!!!! T l S S!! Talang air tersebut harus memunyai volume 0 cm. Tentukan l dan agar bahan yang digunakan minimum. (Petunjuk : sin 60 = ) 9. Misalkan diketahui fungsi f dengan f() = 5 +. Tentukan (a) titik-titik kritis fungsi f, selang di mana gra k f naik dan selang di mana gra k f turun, serta ekstrim lokal (b) selang di mana gra k f cekung ke atas dan selang di mana gra k f cekung ke bawah (c) asimtot-asimtot gra k (jika ada) (d) sketsa gra k f. 0. Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata, tunjukkan bahwa < 8 < + 7 (Petunjuk : Pilih fungsi f dengan f() = ) **************Selamat Bekerja**************
Jurusan Matematika FMIPA IPB JAWABAN UTS KALKULUS 998/999 SENIN, 5 MARET 999. f () = ; jika 0 ; jika < 0 :!0 f () f (0) 0 f () f (0)!0 + 0!0 f () f (0) 0!0. f () = + ; maka f 0 () = + : 0!0 = 0; 0!0 + = 0:!0 + f () f (0) ; maka f 0 (0) ada.!0 + 0 f 0 () = 0, = ) tidak ada nilai yang memenuhi. f 0 () selalu ada untuk setia ( ; ) : Jadi f tidak memunyai titik kritis. Nilai maksimum dan nilai minimum global (mutlak) diberikan oleh titik ujung selang: f () Keterangan ( ) + ( ) = 6 6 adalah nilai minimum global + () = 6 6 adalah nilai maksimum global. + sin (y) + = 0: Jika kedua ruas ersamaan ini diturunkan secara imlisit terhada dieroleh. f () = d d + sin (y) + = d d (0) + (cos (y)) y + dy = 0 d + y cos (y) + (cos (y)) dy d = 0 a ( + ) ; jika 0 b; jika > dy d = ( + y cos (y)) cos (y) Jika f tidak kontinu di = ; maka f 0 () tidak ada. Jadi haruslah f kontinu di = : Ini berarti f () + f () = f (), (a ( + )) b = a ( + ) +, a = b = a
Jadi a = b: Turunan dari arah kiri: f () f () Turunan dari arah kanan: f () f () + Agar f 0 () ada maka haruslah Ini mengakibatkan a = a ( + ) a a a b a + b + b + ( + + b) = b: f () f () a () f () f () : + b: Jadi dieroleh a + a a a = a b ( b) + () ( + ) b () a = b; dan a = b; sehingga a = dan b = 7 : 5. g () = f dan f () = f 0 () = : (a) g 0 () = f + f 0 = f + f 0 (b) 6. f () = (a) g 0 () = f + f 0 = f () + f 0 () = + () = : ; jika 0 < () + ; jika < : f 0 () = ; jika 0 < < () ; jika < < f () = ; f () () = + + maka f () tidak ada, sehingga f tidak kontinu di = : Akibatnya f 0 () tidak ada. Jadi = titik kritis dari f: Titik ujung selang = 0; dan = :
(b) f 00 () = ; jika 0 < < ; jika < < Jadi f cekung ke atas ada selang (0; ) dan f cekung ke bawah ada selang (; ) : (c) Terjadi erubahan kecekungan hanya di = ; tetai f tidak kontinu di = : Jadi f tidak memunyai titik balik. 7. Misalkan h adalah tinggi tabung ada saat t; r adalah jari-jari tabung ada saat t; V adalah volume tabung ada saat t: Diketahui: dr dt = dh dt = cm/detik Ditanyakan dv ada saat h = 0 cm dan r = 5 cm. dt Persamaan yang menghubungkan laju yang ditanyakan dengan laju yang diketahui: V = r h: Jika kedua ruas ersamaan ini diturunkan secara imlisit terhada t; dieroleh dv dt = r dr dh h + r : dt dt Pada saat h = 0 dan r = 5 : dv dt = [ (5) () (0) + 5 ()] = 50 Jai laju erubahan volume ada saat tinggi tabung 0 cm dan jari-jari tabung 5 cm adalah 50 cm/detik. 8. Misalkan adalah anjang talang, ` adalah lebar talang, dan B adalah fungsi luas bahan yang digunakan. enamang talang yang dibuat adalah segitiga sama sisi, maka luas segitiga sama sisi dengan anjang sisi ` adalah ` `, sehingga luas bahan yang digunakan adalah B = ` + ` ` = ` + `: Fungsi B terdiri dari variabel, yaitu dan `: Substitusi salah satu variabel melalui batasan yang diketahui: yaitu volume talang 0 cm : Jadi: V =! ` ` = ` = 0 ) = 0 = 80 ` : ` 5
Fungsi B menjadi: B = 80 ` ` + ` = 960 ` + `: B 0 (`) = ( ) 960 ` + ` = 960 ` + ` = 960 + ` = ` 0 ` ` 9. f () = 5 + (a) f 0 () = B 0 (`) = 0, ` 0 = 0 ) ` = 0; dan = 80 : 0 = 5 + ; maka D f = fj 6= 0g : = ( ) ( + ) = : Tanda f 0 () + + + (0) () (0) + + + 0 Fungsi f naik ada selang ( ; ] dan selang [; ); fungsi f turun ada selang [ ; 0); dan (0,]: Nilai maksimum lokal adalah f ( ) = ( ) 5 + minimum lokal adalah f () = : = 9; nilai (b) f 00 () = 8 Tanda f 00 () () + + + 0 Fungsi f cekung ke bawah ada selang ( ; 0) dan cekung ke atas ada selang (0; ) : (c) [f () ( 5)] = 0; maka garis y = 5!+!+ adalah asimtot miring dari fungsi f:!0 f ()!0 5 + = ; atau f () = +!0 + maka garis = 0 meruakan asimtot tegak dari f: f () = + dan f () = ;! maka f tidak memunyai asimtot datar. 6
(d) Gra k fungsi f : 0. Dengan menggunakan TNR dan memilih fungsi f () = =, akan ditunjukkan bahwa < 8 < + 7 : Misalkan f () = = ; dan misalkan a = 7; b = 8: Maka f kontinu ada selang [7; 8]. f 0 () = = = maka f 0 () selalu = ada untuk setia (7; 8) : Jadi menurut Teorema Nilai Rata-rata, terdaat c (7; 8) sehingga Jadi : c (7; 8) ; maka f 0 (c) = f (8) f (7) : 8 7 f (8) = f (7) + f 0 (c) 8 = = + c = = : + c = c (7; 8) maka c > 7 sehingga Akibatnya > 0 sehingga berlaku c= 8 > () c < = 7 = = (9) = 7 : 8 = + c = < + 7 : () Jadi dari () dan () daat disimulkan bahwa < 8 < + 7 : 7