0
MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG ATURAN PERKALIAN Beriut ii diberia sebuah dalil tetag peetua baya susua yag palig sederhaa dalam suatu permasalaha yag beraita dega peluag. Dalil 2.1: ATURAN PERKALIAN SECARA KHUSUS Jia suatu proses terdiri atas dua tahap, dega tahap pertama dilaua dalam 1 cara da masig-masig cara ii tahap edua dapat dilaua dalam 2 cara, maa proses itu eseluruhaya dapat dilaua dalam ( 1 x 2 ) cara. Sebuah proses mugi bisa terdiri atas lebih dari dua tahap, dega masig-masig tahap dapat terjadi dalam baya cara yag berhigga. Oleh area itu, atura peralia secara umum dibahas dalam Dalil 2.2. Dalil 2.2: ATURAN PERKALIAN SECARA UMUM Jia suatu proses terdiri atas tahap, tahap pertama dapat dilaua dalam 1 cara, dega masig-masig cara ii tahap edua dapat dilaua dalam 2 cara, dega masig-masig tahap ii tahap etiga dapat dilaua dalam 3 cara, da seterusya sampai tahap e- dapat dilaua dalam cara; maa proses itu eseluruhaya dapat dilaua dalam ( 1 x 2 x 3 x... x ) cara. PERMUTASI Defiisi 2.1: Permutasi adalah sebuah susua dari seumpula obje dega memperhatia urutaya. Peghituga baya susua atau cara berdasara permutasi bergatug pada baya obje yag ada, baya obje yag diambil, da macam permutasi. A. PERMUTASI TANPA PENGULANGAN 1
Dalil 2.3: SEMUA OBJEK DIAMBIL Jia ita mempuyai obje yag berbeda, maa baya permutasi yag dapat dibetu dari semua obje itu ada P =! cara. P =! Dibaca sebagai Permutasi obje dari obje sama dega fatorial. P bisa ditulis P(,). Dalil 2.4: SEBAGIAN OBJEK DIAMBIL Misala ita mempuyai obje yag berbeda. Jia obje diambil dari obje, maa baya permutasi yag mugi ada P = P(,) =! ( )! susua. P = P(,) =! ( )! dibaca sebagai Permutasi obje dari obje sama dega fatorial dibagi dega urag difatoriala. B. PERMUTASI DENGAN PENGULANGAN Dalil 2.5: OBJEK YANG SAMA Jia ita mempuyai obje, dega 1 adalah baya obje pertama yag sama, 2 adalah baya obje edua yag sama, 3 adalah baya obje etiga yag sama,..., adalah baya obje e- yag sama; maa baya permutasi yag dapat dibetu ada!.!!.!..... 1 2 3! susua. C. PERMUTASI MELINGKAR Misala ita mempuyai sejumlah obje yag berbeda. Permutasi yag dapat dibetu dari sejumlah obje itu yag membetu sebuah ligara diamaa permutasi meligar. Oleh area itu, dalam peetua permutasi meligar diperlua ligaraligara yag bayaya bergatug pada permasalahaya. Dalam permutasi meligar yag perlu diperhatia adalah peetapa lebih dahulu salah satu objeya. Setelah ditetua satu permutasi, peetua permutasi laiya harus 2
memperhatia susua obje-obje dari permutasi sebelumya. Peghituga baya permutasi meligar yag dapat dibetu bergatug pada baya obje yag diguaaya. Peghituga baya permutasi meligar yag dapat dibetu secara umum bisa dilihat dalam Dalil 2.6. Dalil 2.6: PERMUTASI MELINGKAR SECARA UMUM Jia ita mempuyai obje yag berbeda, maa baya permutasi meligar yag dapat dibetu ada ( 1)! susua. SAMPEL YANG BERURUTAN Misalya sebuah ota berisi buah bola pigpog. Selajutya, ita megambil sebuah bola pigpog secara aca dari ota itu. Kemudia, ita megambil sebua bola pigpog lagi secara aca dari ota itu sesudah pegambila bola pigpog sebelumya. Demiia seterusya, ita megambil sebuah bola pigpog seperti itu sampai pegambila bola pigpog e-r. Pegambila bola pigpog seperti itu diataa pegambila sebuah sampel yag beruruta beruura r. Pegambila bola pigpog sesudah pegambila bola pigpog sebelumya dapat terjadi dalam dua asus, yaitu: 1. SAMPLING DENGAN PENGEMBALIAN Dalam hal ii, bola pigpog yag sudah terambil disimpa embali e dalam ota, sebelum bola pigpog beriutya diambil. Aibatya, baya bola pigpog yag ada di dalam ota tetap. Sehigga pegambila setiap bola pigpog dari dalam ota mempuyai cara. Dega demiia, ita mempuyai sampel beruruta yag berbeda beruura r dega pegembalia sebaya: x x x... x = r ada r ali buah. 3
2. SAMPLING TANPA PENGEMBALIAN Dalam hal ii, bola pigpog yag sudah terambil tida disimpa embali e dalam ota, sebelum bola pigpog beriutya diambil. Aibatya, baya bola pigpog yag ada di dalam ota berurag sesuai dega baya pegambila bola pigpogya. Artiya pegambila bola pigpog pertama ada cara, pegambila bola pigpog edua ada ( 1) cara, pegambila bola pigpog etiga ada ( 2) cara, da seterusya sampai pegambila bola pigpog e- ada [ (r 1)] cara.. Dega demiia, ita mempuyai sampel beruruta yag berbeda beruura r tapa pegembalia sebaya: ( 1)( 2)...[ ( r 1)]! ( r)! buah. KOMBINASI Defiisi 2.2: PENGERTIAN KOMBINASI Kombiasi adalah sebuah susua dari seumpula obje tapa memperhatia urutaya. Peghituga baya susua berdasara ombiasi bergatug pada baya obje yag ada da baya obje yag diambil utu membetu ombiasi. Hal ii bisa dilihat dalam Dalil 2.7 da Dalil 2.8. Dalil 2.7: SEMUA OBJEK DIBENTUK Jia ita mempuyai obje yag berbeda, maa baya ombiasi yag dapat dibetu dari semua obje itu ada satu cara. Dalil 2.8: SEBAGIAN OBJEK DIBENTUK Misalya ita mempuyai obje yag berbeda. Jia obje diambil dari obje, maa baya ombiasi yag mugi ada!!.( susua. )! 4
Simbol dibaca sebagai ombiasi dari, dega da masig-masig adalah bilaga bulat positif ( ). Simbol adag-adag ditulis C(,). Secara umum, jia baya obje yag ada buah da baya obje yag diambil dari ada buah, maa perumusa ombiasi di atas mejadi: C (, )!!.( )! Peghituga baya susua berdasara ombiasi bisa juga melalui seata gologa.hal ii bisa dilihat dalam Dalil 2.9. Dalil 2.9: SEKATAN GOLONGAN Misalya A yag berisi obje, dibagi mejadi r gologa, yaitu A 1,A 2,A 3,...,A r. A 1 berisi 1 obje, A 2 berisi 2 obje, A 3 berisi 3 obje, da seterusya sampai A r berisi r obje; da 1 + 2 + 3 =... + r =. Maa baya seata gologa dari A yag berbeda ada!.! susua.!.!.....! 1 2 3 r Dalam hal ii, pembagia seata gologa dari A edalam r gologa diyataa dalam betu (A 1,A 2,A 3,...,A r ). Perumusa ombiasi bisa ditulis dalam betu lai, yaitu: ( 1)( 2)...( (1)(2)(3)...( 1)( ) 1) 5
Jia ita memperhatia perumusa ombiasi di atas, maa baya aga pada pembilag maupu peyebut sama, yaitu buah. Dalam hal ii, aga pada pembilag dimulai dega da aga pada peyebut dimulai dega 1. Perumusa ombiasi adag-adag membutuha perhituga yag pajag, area perhitugaya megguaa bilaga besar. Oleh area itu, ita memerlua cara yag pratis dalam peghituga ombiasi ii. Beriut ii ita aa membahas sebuah sifat yag membahas cara tsb. Sifat 2.1: RUMUS KOMBINASI YANG PRAKTIS Permasalaha laiya yag masih beraita dega ombiasi adalah oefisie biomial. Berdasara hasil ilai oefisie di atas, maa secara umum ilai oefisie dari a -r b r dalam (a + b) adalah, yag meyataa baya cara utu memilih r buah b. r Nilai oefisie r dieal sebagai oefisie biomial. Secara umum, hasil peralia dari (a + b) dapat dilihat dalam Dalil 2.10. Dalil 2.10: DALIL BINOMIAL ( a b) 0 a. b dega adalah bilaga bulat positif. 6
7