Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. Abstrak PERBANDINGAN MODEL REGRESI NONPARAMETRIK DENGAN REGRESI SPLINE DAN KERNEL Lilis Laome ) ) Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Haluoleo Kedari 933 email : lhis@yahoo.com Tulisa ii membahas model regresi oarametrik utuk data ertumbuha aak balita. Ada dua metode estimasi regresi oarametrik yag diguaka yaitu regresi slie da kerel. Tujua utama adalah membadigka kedua metode utuk megestimasi model regresi oarametrik. Berdasarka hasil umerik, dieroleh model regresi slie lebih baik dari ada model regresi kerel. Kata kuci : Regresi oarametrik, regresi slie, regresi kerel Abstract This aer study about usig of oarametric model for child growth data. It is discussed two oarametric techiques called slie ad kerel regressio. The mai goal is to comare the techiques used for redictio of the oarametric regressio models. Accordig to the results of umerical studies, it is cocluded that slie regressio estimators are better tha those of the kerel regressio. Keywords : Noarametric regressio, slie regressio, kerel regressio I. Pedahulua model : X, Y Misal ada egamata ideede i ii, yag diasumsika megikuti y f ( x ), i,,..., () i i i dega i N(0, ). Kurva regresi f ( x i ) ada ersamaa () daat diestimasi dega edekata oarametrik jika tidak ada iformasi tetag betuk f ( x i ). Ada beberaa metode edekata regresi oarametrik diataraya slie, kerel, k-earest eigborhood da lai-lai. Diatara metode-metode edekata tersebut, regresi oarametrik dega edekata slie da kerel meruaka metode yag serig diguaka. Kedua metode tersebut memiliki keuggula masig-masig. Pedekata kerel memiliki betuk yag lebih fleksibel da erhituga matematisya mudah disesuaika []. Sedagka edekata slie daat meyesuaika diri secara efektif terhada data tersebut, sehigga didaatka hasil yag medekati kebeara [].
Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. Olehya itu dari kedua edekata slie da kerel, sagat etig utuk megetahui edekata regresi oarametrik maa yag lebih baik, regresi slie atau regresi kerel utuk memodelka fugsi ertumbuha aak balita. II. Tijaua Pustaka II. Estimator Slie Secara umum, fugsi slie berorde adalah sembarag fugsi yag daat ditulis dalam betuk : h i i j j i j () f ( x) x ( x k ) dega ( x k ) j ( x k j ), x k 0, x k j j da adalah kostata real da k, k,..., k h adalah titik-titik kot. Jika =, = 3, da =, disubtitusika kedalam ersamaa () maka aka dieroleh fugsi slie secara berturut turut diamaka fugsi slie liear, slie kuadratik, da slie kubik [3]. Misal diberika f ( f ( x ), f ( x),..., f ( x )) adalah vektor dega ilai fugsi f ada titik-titik kot k, k,..., k. Estimasi slie f ˆ meruaka ilai estimasi ada y (,,..., ) T sebagai berikut : y y y fˆ ( x ) y ˆ ˆ ( ) y f x f ( S ) ˆ atau f Sy fˆ ( x ) y (3) Dega ˆf adalah fugsi slie dega titik-titik kot k, k,..., k utuk arameter eghalus >0 da S adalah matrik smoother yag defiit ositif berukura []. II. Estimator Kerel Peghalusa dega edekata kerel yag selajutya dikeal sebagai eghalusa kerel (kerel smoother) sagat tergatug ada fugsi kerel da badwidth []. Taksira keadata kerel sagat tergatug ada fugsi kerel yag diguaka, diamaka fugsi kerel didefiisika dega :
Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. ( ) x Kh x K h h utuk x () yag memeuhi : (i). K( x) 0, (ii). K( x) dx, (iii). K ( x) dx, da (iv). K( x ) simetris di sekitar 0. Secara umum taksira kerel didefiisika sebagai berikut : ˆ x X ( ) ( ) i f x Kh x X i K i h i h () dimaa h adalah derajat eghalus kerel yag disebut arameter badwidth da berera utuk megotrol eyebara dari fugsi f ˆ ( x). Kriteria emiliha fugsi kerel yag baik berdasarka ada resiko kerel miimum yag daat dieroleh dari kerel otimal atau kerel-kerel dega variasi miimum. Berikut macam-macam fugsi kerel [] seerti ada tabel di bawah ii : Tabel. Macam-macam Fugsi Kerel Kerel K(u) Eaeckikov u 3 I ( u ) Quartic Trigular Gaussia u I ( u ) u I ( u ) u Uiform ( ) I u ex I ( u ) III. Hasil da Pembahasa Data yag diguaka [], dega variabel eelitia adalah umur balita (X) da berat bada balita (Y) sebayak aak laki-laki da aak eremua. Lagkah awal yag dilakuka sebelum melakuka aalisis regresi adalah melakuka deskrisi data. Deskrisi data dilakuka dega membuat lot data atara umur aak balita (X) da berat bada aak balita (Y) baik laki-laki mauu eremua. Plot data tersebut diguaka utuk meaksir fugsi data yag medekati da melihat bagaimaa erubaha ola erilaku kurva. Selajutya melakuka emodela regresi oarametrik dega edekata slie da kerel.
Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. III. Model Balita Laki-laki Pertama dilakuka edekata dega slie. Utuk medaatka estimasi model yag otimal, terlebih dahulu dicari titik kot yag otimal dega kriteria GCV miimum. Berdasaraka [3] dieroleh titik kot otimum adalah,; 30,; da. Selajutya dega titik kot tersebut, diestimasi fugsi ertumbuha aak balita sebagai berikut : Yˆ 3, 9 0,9X 0, 0X 0, 039( X, ) 0, 00( X 30,) 0, 09( X ) () Slie Fit Berat Bada Balita (Kg) 0 0 30 0 0 0 Usia Balita (Bula) Gambar. Estimasi ertumbuha balita laki-laki dega edekata slie Ukura kebaika model R dieroleh 99,% da ilai MSE adalah 0,0. Kemudia memeuhi asumsi idetik, ideede da berdistribusi ormal [3]. Kedua dilakuka edekata dega kerel. Utuk medaatka estimasi model yag otimal, terlebih dahulu dicari ilai badwidth yag otimal dega kriteria GCV miimum. Berdasarka egolaha data dega Matlab dieroleh ilai badwidth otimal dega ilai GCV miimum sebagai berikut : Tabel. Nilai badwidth da GCV Badwith (h) GCV (h) 0,000 0,030* 0,000 0,03 0,7000 0,03 0,000 0,037 0,9000 0,033,0000 0,0399 * Nilai badwidth otimal dega GCV miimum
Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. Berdasarka ilai GCV miimum dieroleh model estimasi dega edekata kerel : ex( u ) I( u ) yi ˆ i x xi Y, u 0, ex( u ) I( u ) i (7) 99.9 99 9 90 Probability Plot of Normal Mea -0079 StDev N KS 0.0 P-Value >0,0 0. 0.0 Scatterlot of vs Yfit Percet 0 70 0 0 0 30 0-0.0-0. 0. -0. -0. -0.0 0.0 0..0 7..0 Yfit..0 7. Autocorrelatio Fuctio for (with % sigificace limits for the autocorrelatios) Model Pertumbuha Aak Balita.0 Autocorrelatio 0. 0. 0. 0. 0.0-0. -0. -0. -0. -.0 Berat Bada Balita (kg) 3 7 Lag 9 3 0 0 30 0 0 0 Usia Balita (bl) Gambar. Uji residual da estimasi dega edekata kerel utuk balita laki-laki Ukura kebaika model R dieroleh 99,% da ilai MSE adalah 0,00. Kemudia dieriksa aakah residual memeuhi asumsi idetik, ideede da berdistribusi ormal. Berdasarka Gambar daat ditujukka bahwa distribusi residual berdistribusi ormal dega -value > 0,0. Plot residual terhada estimasi Y (Y fit ) membetuk suatu tre tertetu sehigga asumsi variasi idetik/kosta diagga tidak tereuhi. Plot ACF dari residual terlihat ada yag keluar garis sehigga asumsi ideede tidak tereuhi. III.b. Model Balita Peremua Dega lagkah yag sama seerti ada model laki-laki, dilakuka emodela dega edekata slie. Selajutya dieroleh titik kot otimum adalah 9, 3, da 3 dega ilai GCV miimum adalah 0,, sehigga estimasi modelya adalah : Yˆ,93 0, 97X 0, 0X 0, 07( X 7) 0, 003( X 3) 0, 09( X 3) Ukura kebaika model R dieroleh 99,%, MSE adalah 0,7 da memeuhi asumsi idetik, ideede, da berdistribusi ormal [3]. ()
Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. otimal yaitu : Selajutya dilakuka emodela dega edekata kerel, dieroleh badwdth Tabel 3. Nilai badwidth da GCV Badwith (h) GCV (h) 0,000 0,3 0,9000 0,,0000 0,3*,00 0,,000 0,9 * Nilai badwidth otimal Berdasarka ilai badwidth otimal dieroleh estimasi model sebagai berikut : ex( u ) I( u ) yi ˆ i x xi Y, u ex( u ) I( u ) i (9) Probability Plot of Normal 0.0 Scatterlot of vs Yfit Percet 99.9 99 9 90 0 70 0 0 0 30 0 Mea 0 S tdev 0 N KS 0.09 P - Valu e >0,0 0. -0. -0.0 0. -0.7-0.0-0. 0. 0.0-0.7.0 7..0 Yfit..0 7..0 Autocorrelatio Fuctio for (with % sigificace limits for the autocorrelatios) Model Pertumbuha Aak Balita Autocorrelatio 0. 0. 0. 0. 0.0-0. -0. -0. -0. Berat Bada Balita (kg) -.0 3 7 Lag 9 3 0 0 30 0 0 0 Usia Balita (bl) Gambar 3. Uji residual da estimasi dega edekta kerel ada balita eremua Ukura kebaika model R dieroleh 99,% da MSE adalah 0,09. Kemudai dieriksa aakah residual memeuhi asumsi idetik, ideede, da berdistribusi ormal. Berdasarka Gambar 3 dieroleh distribusi residual berdistribusi ormal dega -value > 0,0. Plot residual terhada estimasi Y (Y fit ) tidak membetuk suatu tre tertetu sehigga asumsi variasi idetik/kosta diagga tereuhi. Plot ACF dari residual terlihat ada yag keluar garis sehigga asumsi ideede tidak tereuhi. Berdasarka uraia yag telah diaarka di atas, dari kedua edekata yag diguaka daat dirigkas ada Tabel :
Jural Ilmiah Matematika da Teraa, vol.7, o., Mei 0, hal. -7. Tabel. Performa edekata regresi slie da kerel utuk model balita laki-laki Kriteria / Model Regresi Slie Kerel R 99, % 99, % MSE 0,0 0,00 Asumsi - Idetik Memeuhi Tidak memeuhi - Ideede Memeuhi Tidak memeuhi - distribusi ormal Memeuhi Memeuhi Tabel 3. Performa edekata regresi slie da kerel utuk model balita eremua Kriteria / Model Regresi Slie Kerel R 99,7 % 9,3 % MSE 0,7 0,039 Asumsi - Idetik Memeuhi Memeuhi - Ideede Memeuhi Tidak memeuhi - distribusi ormal Memeuhi Memeuhi IV. Kesimula Berdasarka kriteria kebaika model yaitu R, MSE da uji asumsi residual, edekata regresi slie lebih baik dari regresi kerel utuk ertumbuha balita. Hal ii daat dilihat dari uji asumsi residual yag meujukka bahwa edekata slie memeuhi semua asumsi residual. V. Daftar Pustaka [] Purama, S.W. da Wibowo, W. 00. Perbadiga Regresi Noliier da Regresi Noarametrik dalam Meaksir Fugsi Pertumbuha Aak Balita, Laora Peelitia Dose Muda. Surabaya : Istitut Tekologi Seuluh Noember. [] Eubak, R.L. 99. Slie Smoothig ad Noarametric Regressio. New York : Marcel Dekker. [3] Laome, L. 009. Regresi Noarametrik Slie Liear da Kuadratik dalam Meaksir Fugsi Pertumbuha Aak Balita. Paradigma, 3 (3), hal. -7. [] Aidi, D. 007. A Comariso of the Noarametric Regressio Models usig Smoothig Slie ad Kerel Regressio. World Academy of Sciece, Egieerg ad Techology, 3, 3-7. [] Hardle, W. 990. Smoothig Techique with Imlemetatio i Statisticss. New York : Sriger.